SCHUR 多項式の一般化とその PIERI の公式 A GENERALIZATION

表現論シンポジウム講演集，2005
pp.202-203
SCHUR 多項式の一般化とその PIERI の公式
A GENERALIZATION OF SCHUR POLYNOMIAL
AND ITS PIERI’S FORMULA
沼田泰英 (北海道大学大学院理学研究科)
NUMATA, YASUHIDE (HOKKAIDO UNIV.)
Abstract. We introduce a generalization of Schur polynomials.
We show its Pieri’s formula.
K を標数 0 の体とする. 整数 i ∈ Z に対して, Vi を有限次元 K-線型
L
S
空間とする.
i∈Z Vi を V とおく. また, 各 Vi の基底を Yi とおき
i Yi
を Y とする. 非負整数 j ∈ N と整数 i ∈ Z に対して Uj は Uj (Vi ) ⊂ Vi+j
を満す V 上の K-線型写像, Dj は Dj (Vi ) ⊂ Vi−j を満す V 上の K-線型
写像とする. この様な Uj , Dj たちが, ある {am ∈ K}m∈N に対して,
D(t0 )U (t) = a(tt0 )U (t)D(t0 ),
P
P
P
(ただし, D(s), U (s), a(s) は, それぞれ, 母関数 i Di si , i Ui si , i ai si
とする.) を満しているとする. このとき, U (tn ) · · · U (t1 ), D(t1 ) · · · D(tn )
は generalized Schur operaotors と呼ばれている.
i 箱のヤング図形からなる集合を Yi とおき, Yi を基底とするような
線型空間を Vi (= KYi ) とする. この時, λ ∈ Y, i ∈ N に対して
X
Ui λ =
µ,
(1)
µ; λ に各列高々1 箱,
全部で i 箱加えると µ になる.
Di λ =
X
µ
µ; µ に各列高々1 箱,
全部で i 箱加えると λ になる.
と定義すると, {ai = 1}i∈N とする generalized Schur operators の例に
なっている.
このヤング図形の例においては, 例えば, µ1 , . . . , µn ∈ N に対し,
Dµ1 · · · Dµn λ の κ の係数は, 形が λ/κ でありウェイトが µ であるような
skew semi-standard Young tableaux の数を表しており, D(t1 ) · · · D(tn )λ
の κ の係数は, λ/κ に対応する skew Schur polynomial になっている.
Young tableaux においては, 同じ形の semi-standard Young tableaux の
ペアとある行列の間の一対一対応, つまり Robinson-Schensted-Knuth
対応が知られているが generalized Schur operators においても, ある条
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件の下では, Robinson-Schensted-Knuth 対応に相当する対応を構成で
きることは Fomin によって示されている.
さて, ここで, D(t0 )U (t) = a(tt0 )U (t)D(t0 ) を満たす generalized Schur
operators D(t1 ) · · · D(tn ), U (tn ) · · · U (t1 ) から定義される 2 つの多項式
を導入する.
{D }
λ ∈ V , µ ∈ Y に対し, sλ,µm (t1 , . . . , tn ) を D(t1 ) · · · D(tn )λ における
µ の係数, 即ち,
{D }
sλ,µm (t1 , . . . , tn ) = hD(t1 ) · · · D(tn )λ, µi
と定義し, シューア多項式の一般化だと思う.
{am }
多項式 hi
(t1 , . . . , tn ) を
 k
X {a }


{a }

hj m (t1 , . . . , tn−1 ) · hk−jm (tn ) n > 1,
{am }
hk (t1 , . . . , tn ) = j=0


a tk
n=1
k 1
{a }
と帰納的に定義する. このとき, hi m (t1 , . . . , tn ) は a(t1 ) · · · a(tn ) =
P {am }
(t1 , . . . , tn ) を満たしている. また, 特に, {am = 1}m∈N のとき,
i hi
{am }
hi
(t1 , . . . , tn ) は i 次の完全対称多項式 hi (t1 , . . . , tn ) になる.
この時, 次の公式を U (t) と D(t) の交換関係 (1) から得た.
定理 (Pieri’s formula)
(2)
(3)
{D }
m
sUi λ,µ
(t1 , . . . , tn )
=
i
XX
ν∈Y j=0
{a }
{D }
m
hUj ν, µihi−jm (t1 , . . . , tn )sUi λ,ν
(t1 , . . . , tn ).
この公式を, ヤング図形の例において, µ = ∅ (0 箱のヤング図形)
の場合について考える. Uj の定義から, hUj ν, ∅i は j = 0 かつ ν = ∅
のときのみ 1 でその他のときには 0 であることに注意すると, (3) は,
hi (t1 , . . . , tn ) · sλ (t1 , . . . , tn ) となることがわかる. 一方で (2) は λ に各
列高々1 箱, 全部で i 箱加えた κ について sκ (t1 , . . . , tn ) の和を取ったも
のであり, これはシューア多項式における Pieri’s formula そのもので
ある.
References
[1] Fomin,S., Schur Operators and Knuth Correspondences, J. of Combinatoric
theory, Series A. 72(1995),277-292.
E-mail address: [email protected]
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