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解答と解説
芝浦工大 2014 年度コンピュータグラフィックス小テスト 1 回目（行列以外の問題用紙）
実施日：2014/10/22
講師：大槻麻衣
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上記ページ下部の「Submit（送信）」ボタンを押しても，その後の画面で「Edit
your response（回答を編集）」リンクから回答を修正できます．こまめに
Submit ボタンを押して Save しましょう
制限時間は行列部分とあわせて 45 分です
※オレンジ色の文字は採点基準，コメント等．■の欄は正解率が低かった問題．
(1)
CG 用語で，多角形のことを何と呼ぶか答えよ
ポリゴン
(2)
以下の行列があらわす幾何学的変換を答えよ
x 軸方向，y 軸方向にそれぞれ+2 平
行移動
 x'   1 0 2  x 
  
 
 y '    0 1 2  y 
 1   0 0 1  1 
  
 
(3)
平行移動，というキーワードが入っている
移動方向と大きさが記述されている
以下の行列があらわす幾何学的変換を答えよ
大
 x'   2 0 0  x 
  
 
 y '    0 2 0  y 
 1   0 0 1  1 
  
 
(4)
x 軸方向，y 軸方向にそれぞれ 2 倍拡
「拡大」
（または「拡大縮小」「スケーリング」）
というキーワードが入っている
方向と倍率が記述されている
以下の行列があらわす幾何学的変換を答えよ
原点周りに+90 度回転
「回転」というキーワードが入っている（「回転
 x'   0  1 0  x 
  
 
 y '    1 0 0  y 
 1   0 0 1  1 
  
 
移動」も可）
角度が記述されている
回転方向が合っている（反時計回り，左回転）
「z 軸周りに」という記述について，2 次元座標
変換に z 軸はないので×
【別解】y=x の線分に対して鏡映後、y 軸で鏡映
または y=-x で鏡映ののち、x 軸で鏡映
(5)
以下のような性質を持つ変換を一般に「何変
換」と呼ぶか答えよ
 x'   a b
  
 y'    d e
 1 0 0
  
c  x 
 
f  y 
1  1 
1
（2 次元）アフィン変換
芝浦工大 2014 年度コンピュータグラフィックス小テスト 1 回目（行列以外の問題用紙）
実施日：2014/10/22
講師：大槻麻衣
(6)
下図のような変換をなんと呼ぶか答えよ
スキュー（または，スキュー変換，
せん断）
(7)
下図は，立方体を 2 種類の投影法を使って表
示したものである．それぞれ何と呼ぶか答え
よ．
(a)
透視投影
(b)
平行投影
「投影法」を答えよ，なので「～図法」は×
(a)
(8)
(b)
(11) の問題の (a) (b) の投影法の特長を以下
の選択肢からそれぞれ選べ
(i)
3 次元図形の各点から投射線を平行に投影面に
おろす
(ii) 3 次元図形の各点から視点に向かって投射線を
(a)
(ii), (iv), (vi)
(b)
(i), (iii), (v)
引く
(iii) 遠くのものと近くのものが同じ大きさで描かれ
る
(iv) 遠くのものが近くのものより小さく描かれる
(v) 設計図用 CG の作成に利用される
(vi) 写実的な CG の作成に利用される
(9)
(11) の問題の (a) の投影法を利用して，CG
画角（視野角）を小さく（狭く）する
を表示するとき，物体の位置，カメラ（視点）
の位置を変えずに，ウィンドウ内の物体の大
「レンズを絞る」は光量を落とすことなので×
きさをより大きく表示するためには，どうす
「投影面を小さくする」も間違いではないが，
ればよいか答えよ
ここでは「カメラをどのように操作して投影面
を小さくするか」を記述することを求められて
いる．
2
芝浦工大 2014 年度コンピュータグラフィックス小テスト 1 回目（行列以外の問題用紙）
実施日：2014/10/22
講師：大槻麻衣
(10) 以下に示す投影変換の処理の手順を正しい順
番に並べなさい．
①ビューボリューム内の図形をウィンドウ
（投影面）に投影
②→
③
→①
②座標系を右手系から左手系へ変換
③ビューボリュームを正規化ビューボリュー
ムに変換
(11) 図形が定義されてから，実際に画面上に表示
1 モデリング座標系（モデル座標系・オブ
されるまでには，5 つの座標系を経由する．こ
の 5 つの座標系を経由する順に答えよ．
ジェクト座標系・ローカル座標系も OK）
2 ワールド座標系（世界座標系，グローバ
ル座標系も OK）
3 カメラ座標系（視点座標系も OK）
4 投影座標系
5 デバイス座標系
(12) ウィンドウやビューボリュームからはみ出る
クリッピング
図形を除外する操作を何と言うか
トリミングも似た用語だが 3DCG ではあまり使
わない．2D 画像の編集で用いられる
(13) 多面体の形状を表現するモデルを 3 種類答え
1 ワイヤーフレームモデル
よ
2 サーフェスモデル
3 ソリッドモデル
ワイヤーフレームはワイヤフレームでも可．ワ
イヤーモデルは×「ワイヤーフレームモドル」
は大変残念
サーフェスはサーフェイス，も可，サーフィス
は×
「～モデル」まで書いてほしい
3
芝浦工大 2014 年度コンピュータグラフィックス小テスト 1 回目（行列以外の問題用紙）
実施日：2014/10/22
講師：大槻麻衣
(14) 以下のような立体 A と B があるとき，立体 C
～F を CSG 表現によって表現せよ
C
[C] ア A∩B
B
A
D
[D] イ A∪B
[E] ウ A-B
E
[F] エ B-A
F
A と B の順番に注意！
http://www.3dreshaper.com/en1/En_boolean.htm
(15) a～f に示す各図形に対し，y 軸周りの回転移動スイープを行った結果，生成される物
体として，最も適するものを選べ
a
カ
b
イ
c
オ
d
エ
e
ウ
f
ク
4
解答と解説
芝浦工大
コンピュータグラフィックス小テスト 1 回目（行列編）
実施日：2014/10/22
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この小テストは直接書き込んで解答してください
制限時間は行列部分とあわせて 45 分です
学籍番号
氏名
(1)
以下のような幾何変換を行う行列 A1 を求めよ
テスト中に「計算結果だけ書いてくださ
い」とアナウンスしたので途中までしか書け
ていない場合（例↓）は×．
 cos 

 sin 
 0

 sin 
cos 
0
0  1 0 t x 


0  0 1 t y 
1  0 0 1 
数式としては合っているので今回は以下も
OK としました．
【解答】
A1  R( )T (t x , t y )
 cos 

  sin 
 0

 sin 
cos 
0
 cos 

  sin 
 0

 sin 
cos 
 cos 

  sin 
 0

 sin 
cos 
0
0
0  1 0 t x 


0  0 1 t y 
1  0 0 1 
t x cos   t y sin  

t x sin   t y cos  

1

t x cos  

t x sin  
1 
4x4 の行列（上の例だと一番下の行列か，
その上の行列）が書けていれば OK．
 x' 
x
 
 
y
'

A
 
1 y 
1 
1 
 
 
cos



  sin 
 0

 cos 

  sin 
 0

 cos 

  sin 
 0

 sin 
0  1 0 t x  x 

 
0  0 1 t y  y 
1  0 0 1 1 
t x cos   t y sin   x 
 
t x sin   t y cos   y 
1 
1
 
cos 
0
 sin 
cos 
0
 sin 
t x cos   x 
 
t x sin   y 
1 1 
cos 
0
以下は数式として正しくないので×
 cos 

A1   sin 
 0

 sin 
cos 
0
t x cos   x 
 
t x sin   y 
1 1 
合成変換と行列の掛け算の順序→講義資料 2 回目 p29～p31
芝浦工大
コンピュータグラフィックス小テスト 1 回目（行列編）
実施日：2014/10/22
(2)
以下のような幾何変換を行う行列 A2 を求めよ
A1  T (t x , t y ) R( )
 1 0 t x  cos   sin 


  0 1 t y  sin  cos 
 0 0 1  0
0


 cos   sin  t x 


  sin  cos  t y 
 0
0
1 

 cos   sin  t x 


  sin  cos  0 
 0
0
1 

0

0
1 
または
 x' 
x
 
 
 y '   A2  y 
1 
1 
 
 
1 0

 0 1
0 0

 cos 

  sin 
 0

 cos 

  sin 
 0

t x  cos   sin 

t y  sin  cos 
1  0
0
 sin  t x  x 
 
cos  t y  y 
0
1 1 
 sin 
cos 
0
0  x 
 
0  y 
1 1 
t x  x 
 
0  y 
1 1 
合成変換と行列の掛け算の順序→講義資料 2 回目 p29～p31
(3)
3 次元空間で，(x, y, z)=(0, 0, 0) の座標を (1, 2, 3) に平行移動する変換行列 T1 を 4x4
の行列の形で記述せよ
T1  T1 (1,2,3)
 x' 
 x
 
 
 y' 
 y
 z '   T1  z 
 
 
1
1
 
 
1

0

0

0

0 0 1

1 0 2
0 1 3

0 0 1 
講義資料 2 回目 62，63p
芝浦工大
コンピュータグラフィックス小テスト 1 回目（行列編）
実施日：2014/10/22
(4)
3 次元空間で，x 軸まわりにθ度回転する変換行列 R1 を 4x4 の行列の形で記述せよ
R1  R1 ( )
 x' 
 x
 
 
 y' 
 y

R
1
 z' 
z
 
 
1
1
 
 
0
1

 0 cos 

0 sin 

0
0

0
 sin 
cos 
0
講義資料 2 回目 65p
0

0
0

1 

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