[問題編]の解答例

サマーセミナー（7 月 21 日第１限）　「知ってお得な図形あれこれ」　星城高校　信川正史
[問題編]の解答例
【１】円周角の問題
∠CBA = ∠CAB = (180 ー 48)÷2 = 66°　、　∠OAB = 90 ー 66 = 24°　∠CBD = ∠CBA ＋ 90° = 156°
【２】方べきの定理。
PT 2=PA×PB=8×14=112 , PT= √ 112=4 √ 7 ,また半径を r とすると
9
OP2 −r2=PT 2 =112 より (7+r)2−r2=112 , したがって r =
2
【３】円周角の定理・方べきの定理など。
（０２年センター改題）
（１）BI、AI が角の 2 等分線であるから、
∠IBC＝∠IBA、　∠BAI＝∠CAI＝
∠CBD　（円周角）
したがって　∠BID ＝ ∠IBA ＋ ∠IAB
＝ ∠IBC ＋ ∠CBD
＝ ∠IBD
以上から△DBI は 2 等辺三角形で、BD ＝ ID 。
（２）△EBD ∽ △AHI (なぜか分かります？)より
AI ： ED ＝ IH ： BD ＝ IH ： ID
よって
AI・ID = ED・IH = 2R×r = 2rR
（３）方べきの定理より
2
2
AI×ID = R −OI
OI2 = R 2−AI×ID = R 2−2rR
【４】メネラウスの定理
BP BC QA
SP
SP
1
×
×
=1 よって
×3×2=1 ,
=
AS PB CQ
AS
AS
6
よって
△ ASB =
6
6 1
2
△ APB = × △ ABC = △ ABC
7
7 3
7
同様に考えて
△ BCT = △CAU =
2
△ ABC
7
したがって
△STU : △ ABC =
1
△ ABC : △ ABC = 1 : 7
7
【５】距離の平方和に関する定理
(1)　原点を中心とした半径１の円がある。周上の
点 A の座標を( 1 , 0 ) とする。円周上に任意の 3
点 B , C , P を置く。
PA 2+PB2 +PC2
の値が、点 P の位置に関係ない定数になるとき、
△ABC はどういう三角形になるのか？
（２）　（１）の場合のとき、
PA + PB + PC
の最大値、最小値を求めよ。
(名古屋市立大、一橋大)
（１）距離の平方和の公式で
Q = G　とすると
PA 2+PB2 +PC2−3PG 2
=AG 2+BG 2+ CG2
PA 2+PB2 +PC2
=3PG2 + AG 2+ BG2 +CG2
この左辺はPの位置に依存しないので
あるから
PG=一定、つまり G=O である。
重心と外心が一致するので
△ ABC は正三角形
である。
（２）このとき、トレミーの定理より
PA×BC=PB×AC+PC×AB　=>　PA = PB + PC
つまり
PA+PB+PC = 2PA となる。
ここで、点 P が上の弧 BC 上にあっても一般性は失わない。最小値は P＝B または C のとき、最大値は
PA が円の直径の時である。
したがって
最小値　2 √ 3
最大値　４
【６】極と極線の関係　数学２の図形の範囲です。
（図１）　（図２）
（１）原点が中心、半径１の円の外の点 P（ a , b )から接線を引く。その接点を A、B とする。
直線 AB の方程式を求めよ。（図１）
（２）また、P からこの円に割線を引く。（図２）その割線と円との交点を Q , T とし、直線 AB との交点を S
とする。
PQ = r 1 , PT = r 2 , PS = r ならば
1
1
2
+
=
r1
r2
r
が成り立つことを示せ。
（大分医大）
＜解答＞（１）略
（２）を初等幾何で解こう。
OM⊥QT とすると
PQ +PT
PM =
2
四角形 OHSQ は同一円周上にある
ので
PS×PM = PH×PO
△OAP は直角三角形なので
2
PH×PO = PA
さらに、方べきの定理より
PA
2
= PQ×PT ここで、
PQ = r 1 , PT = r 2 , PS = r , PM =
r1 +r2
, PS×PM = PQ×PT
2
より
r×
r 1 +r 2
=r 1×r 2 , したがって
2
1
1
2
+
=
r1
r2
r
(終)
【７】やはり極と極線の関係 (数学２の範囲)
(1) 円 x 2 + y 2 =25 へ円外の点P (a , b) から２本の接線を引く。接点をA ,Bとしたとき、
直線ABは定点C(1 , 2)を通る。点Pの軌跡を求めよ。
(2) 線分CPの長さの最小値を求めよ。
(名工大)
＜解答例＞
(1) AB は　ax + by = 25 これが C( 1 , 2 )を通るので、　a + 2b = 25
つまり点 P（a , b）の軌跡は　x + 2y = 25
(2) 点 C( 1 , 2 ) と直線 x + 2y = 25 との距離が最小値
CPの最小値 =
∣1+2⋅2−25∣
√1
2
+2
2
=
20
= 4 √5
√5
【８】角の二等分線とメネラウスの定理
△ABC の頂点 A の外角の二等分線と BC との交点を P 。また ∠B 、 ∠C の角の 2 等分線と辺 CA、
BC との交点をそれぞれ Q , R とする。
このとき、3 点 P , Q , R は一直線上にあることを示せ。
＜証明＞
角の2等分線より
AR
AC
=
,
RB
CB
BP
BA
=
PC
AC
,
CQ
CB
=
QA
BA
AR BP CQ
AC BA CB
×
×
=
×
×
= 1
RB PC QA
CB AC BA
メネラウスの定理より
点P 、Q 、 Rは一直線上に並ぶ。
【９】円周角の定理
円に内接する鋭角三角形 ABC の垂心を H とする。
AH と BC との交点を D , 円との交点を E とする。
このとき
DH = DE
であることを示せ。
(明治大)
△AHF ∽ △BHD より
∠HAF ＝ ∠HBD
円周角定理より
∠EAC ＝ ∠CBE
したがって
∠HBD ＝ ∠EBD
また
BD ⊥ EH
から
△HBD と △EBD は合同
したがって
HD ＝ DE
【１０】方べきの定理
２つの円の交点を A ,B とする。また共通接線 m
を引いて、その接点を C , D とする。さらに AB と
CD の交点を M とする。
（１） M は CD の中点であることを示せ。
（２） AB ⊥ CD ならば、２つの円の半径は等し
いことを示せ。
(1) 方べきの定理より
MC2= MA⋅MB = MD2
（岩手大）
したがって MC = MD .(終)
（２） △ACB と △ABD が合同よりそれぞれの外接円
O1 , O2 の半径は等しい。
または、 △CO 1 A ≡△ DO2 A （2 等辺三角形）
であることも分かる。したがって
CO1 = DO 2
【１１】数学 B（ベクトル）の範囲。面積を上手に使う。
(京大)
(1) 略
(2) BQ : QC = △ BPA : △CPA = 3×5 : 7×7 = 15 : 49 より
49 ⃗
b+15⃗
c
49 ⃗
15
⃗
⃗
AQ =
=
b +
c
15+49
64
64
(3) AQ : QP = △ ABC : △ PBC = 21 : 35 = 3 : 5
よって
AP
8
8
49 ⃗
5
=
, ⃗
AP= ⃗
AQ=
b + ⃗
c
AQ
3
3
24
8
【１２】距離の平方和の公式を上手く使う。
(1) 半径１の円に内接する△ABC について
BC = a , CA = b , AB = c
としたとき
S = a2 + b2 + c2
の最大値を求めよ。
（２） S = 8 となる場合はどういう場合か。
(1) PA 2 +PB2 +PC2 −2PG2 =QA 2+QB2 +QC2 −3QG 2 (P , Qは任意の点、 Gは△ ABCの重心)
ここで、 P=A , Q=G とすれば
2
2
2
2
2
AB +AC =4AG + BG +CG
同様に P=B , P=C の場合から
2
2
2
2
2
2
AB +BC +CA =3(AG +BG +CG )
⋯⋯
(ア)
また、公式で P=G , Q=O とすれば
AG 2 +BG 2 +CG 2 =OA 2 +OB2 +OC2 −3OG 2 ⋯⋯ (イ)
ここで、 OA =OB=OC=1 から
AB2 +BC 2 +CA 2 = a 2 + b2 +c2 = 9 − 9OG 2
したがって、最大値はOG ＝０、つまり重心と外心が一致する場合で、このとき△ ABCは
正3角形となり、最大値は９となる。
1
(2) S=8 からOG= .ところでHを垂心とすると、 OH=3OG であった。これより OH=1
3
したがって、垂心Hは円周上にある。つまり△ ABCは直角三角形となる。逆に、 △ ABCが直角三
角形の場合、 S=8となることはすぐに分かる。

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