106 第 17 講微分法の応用（ⅷ）数学Ⅲ 【問題 1】水面から30m の高さ

第 17 講微分法の応用（ⅷ）
数学Ⅲ
【問題 1】
水面から 30m の高さの岸壁から 58m の綱で船を引きよせている．毎秒 4m の速さで綱をた
ぐるとき， 2 秒後の船の速さを求めよ．
106
【問題 2】
座標平面上を運動する点の時刻 t における座標 ( x , y) が次の式で与えられるとき，この点
の t = 2 における速さと加速度の大きさを求めよ．
ì x = cos t - t sin t
í
î y = sin t + t cos t
107
【問題 3】
f ( x ) が x = a で微分可能で，|h|が十分小さければ f ( a + h) は次の近似式で表される．
f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ¢( a ) × h
この式を使って，次の式の近似値を求めよ．
（1） 1.0053
（2） 65
（3） log e 1.001
108
【問題 4】
h ≒ 0 のとき， sin( a + h ) の近似式を導き，それを利用して sin 61° の近似値を求めよ．
109
第 17 講微分法の応用（ⅷ）解答
数学Ⅲ
【問題 1】
水面から 30m の高さの岸壁から 58m の綱で船を引きよせている．毎秒 4m の速さで綱をた
ぐるとき， 2 秒後の船の速さを求めよ．
船から岸壁の真下および頂までの距離をそれぞれ xm ， ym とすると，三平方の定理に
より
x 2 + 302 = y2 …①
①の両辺を t で微分すると
題意から，
dy
2x dx = 2 y
dt
dt
4y
\ dx = dt
x
dy
= -4
dt
また， 2 秒後では y = 58 - 4 ´ 2 = 50 であるから①より
x = 40
( )
\ dx
dt
t =2
= - 4 ´ 50 = -5
40
よって，求める速さは岸壁に向かって 5[m/s]
110
【問題 2】
座標平面上を運動する点の時刻 t における座標 ( x , y) が次の式で与えられるとき，この点
の t = 2 における速さと加速度の大きさを求めよ．
ì x = cos t - t sin t
í
î y = sin t + t cos t
dx = -2sin t - t cos t ， dy = 2 cos t - t sin t
dt
dt
d2x
d2 y
=
+
，
= -3sin t - t cos t
3
cos
t
t
sin
t
dt 2
dt 2

速さ|v|= ( -2sin t - t cos t )2 + (2cos t - t sin t )2 =
4 + t2
加速度

|a |=
( -3cos t + t sin t )2 + ( -3sin t - t cos t )2 =
9 + t2
したがって， t = 2 における速さと加速度の大きさは


|v|= 2 2 ，|a |= 13
111
【問題 3】
f ( x ) が x = a で微分可能で，|h|が十分小さければ f ( a + h) は次の近似式で表される．
f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ¢( a ) × h
この式を使って，次の式の近似値を求めよ．
（1） 1.0053
（2） 65
（3） log e 1.001
（1） 1.0053 = (1 + 0.005)3 ≒1 + 3 ´ 0.005 = 1.015
(
= 8 (1 + 1 )
64 )
64
（2） 65 = 64 + 1 = 64 1 + 1
(
1
2
)
≒ 8 1 + 1 × 1 = 8.0625
2 64
（3） log e 1.001 = log e (1 + 0.001)
≒ log e 1 + 0.001 = 0.001
1
112
【問題 4】
h ≒ 0 のとき， sin( a + h ) の近似式を導き，それを利用して sin 61° の近似値を求めよ．
f ( x ) = sin x とおくと， f ¢( x ) = cos x であるから，求める近似式は h ≒ 0 のとき
sin( a + h) ≒ sin a + h cos a
ここで， a = p ， h = p とおくと， h は十分小さいから，
3
180
(
sin 61° = sin p + p
3 180
)
≒ sin p + p cos p
3 180
3
=
3 + p ´1
2 180 2
≒ 0.866 + 0.017 ´ 0.5 ≒ 0.875
113

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