関数y = ax2 (1) y

関数 y = ax 2
関数 y = ax 2 (1)
1
関数 y = 3 x2 について，次の問いに答えなさい。
(1) 右の表を完成させなさい。
x2
0
0
y
0
x
1
2
3
1 4 9
3
12
27
4
16
5
25
48
75
(2) x の値が 2 倍，3 倍，4 倍になると，対応する y の値は何倍になるか。
4 倍，9 倍，16 倍になる
(3) 次のをうめなさい。
3
x2 の値に y を対応させてみると y = ×x2 の形になっているから，
比例している。
y は x2 に 2
次の (1)～(4)について，y を x の式で表しなさい。また，y が x の 2 乗に比例す
るものをいいなさい。
(1) 底辺が xcm ，高さが xcm の三角形
の面積を y cm 2 とする。
y=
(2) 半径が xcm の円の周の長さを y cm
とする。
y = 2 xπ
1 2
x
2
x cm
xcm
比例している。
xcm
周の長さ y cm
(3) 底面の 1 辺が xcm の正方形で，高さ
が 4 cm の正四角柱の体積を y cm 3 と
する。
(4) 底面の半径が xcm で，高さが 3 cm
の円すいの体積を y cm 3 とする。
y = x2 π
y = 4 x2
3 cm
4 cm
xcm
比例している。
xcm
3-4-1
x cm
比例している。
関数 y = ax 2
関数 y = ax 2 (2)
1
次の各問いに答えなさい。
(1) y は x の 2 乗に比例し、x = 3 のとき y = 27 である。
①　y を x の式で表しなさい。
y = 3 x2
②　x = 5 のときの y の値を求めなさい。
y=75
(2) 関数 y = ax2 で，x = 2 のとき y = − 8 である。
①　a の値を求めなさい。
a= - 2
②　x = − 4 のときの y の値を求めなさい。
y=-32
(3) y は x の 2 乗に比例し，x = − 2 のとき y = − 4 である。
①　y を x の式で表しなさい。
y = - x2
②　x = − 3 のときの y の値を求めなさい。
y=-9
③　y = − 16 のときの x の値を求めなさい。
x=±4
(4) 関数 y = ax2 で，x = − 6 のとき y = 9 である。
①　a の値を求めなさい。
a=
1
4
②　x = 2 のときの y の値を求めなさい。
y=1
③　y = 16 のときの x の値を求めなさい。
x=±8
3-4-2
y = ax 2
y = ax 2
(1)
y = x2
1
y
(1)
x
y
y軸
(2) x
y
x <0
減少する
x >0
増加する
(3) y
y=0
x
O
x
x=0
y = ax2
2
言葉を書き
原点
(1)
上
(2) a > 0
(3) y = ax2
(4) y = ax2
a <0
x軸
y = − ax2
1
1
放物線
2
2
対称軸
1
3
放物線の頂点
下
放物線
y
対称軸
2
1
放物線
x
O
3
3-4-3
y = ax 2
y = ax 2
3
1
A
B
(2)
y = 2 x2
C
A(2 ,5)
1
2
4
B(− 3,− 18)
(1) (4)
1
1
(1) y = − x2 ③
3
4
y
2
1
1 2
x
(2) y =
2
②
(3) y = − 3x2
④
2 2
x
5
①
(4) y =
C(− 4,32)
O
3
x
4
のグラフは、 a < 0 の時は、下に開いたグラフになり、
a >0
の時は、上に開いたグラフになる。
また、 a の値が大きいほど、開く大きさは小さくなるため。
3-4-4
y = ax 2
y = ax 2
(3)
y = 2 x2
1
y
18
・
(1)
・
16
2
(2)
y=2x
14
12
(2,
(
8
±3
)
10
,18)
・
8
・
6
4
・2 ・
− 4 − 3 − 2 − 1O
−2
−4
y = − x2
2
(1) (5 , a)
a b
(2) ( b,− 49)
a = -25
b = ±7
3-4-5
1 2 3 4 x
関数 y = ax 2
関数 y = ax 2 のグラフ (4)
1
関数 y = ax2 のグラフが次の点を通るとき，この関数の式を求めなさい。
(1) 点 (2,16)
(2) 点 (3,− 18)
y = 4 x2
y = - 2 x2
(3) 点 (− 2,12)
(4) 点 (− 3,− 9)
y = 3 x2
2
y = - x2
関数 y = ax2 のグラフが点 (2,− 4) を通る。このグラフが点 (− 3,,
m) を通るとき，
m の値を求めなさい。
m=-9
3
関数 y = ax2 のグラフが 3 点 (2,− 8)，(3, b )，( c,− 2) を通るとき，次の問いに
答えなさい。
(1) y を x の式で表しなさい。
y = - 2 x2
(2) b の値を求めなさい。
b=-18
(3) c の値を求めなさい。
- 2 = - 2c
2
2
c =1
c =±1
3-4-6
y = ax 2
変域とグラフ(1)
y = x2
1
y
10
(1)
(2) x
1
2
x
y
8
1 ≦ y ≦ 4
(3) x
−3
x
6
2
y
4
2
0 ≦ y ≦ 9
− 4 − 3 − 2 − 1O
1
−2
−4
y = − 2x2
2
(1) 2
(2) − 1
(1) 2
(2) − 2
1 2
x
2
6
x
x
(1), (2)
,y
(1), (2)
,y
-32 ≦ y ≦ -8
2
x
y=
3
4
x
,x
-8 ≦ y ≦ 0
x
2 ≦ y ≦ 18
2
0 ≦ y ≦ 2
3-4-7
2
3
4 x
y = ax 2
変域とグラフ(2)
y
1
(1)
y
y = ax2
0
−2
x
18
y
a
のとき、 y=18
x= 3
3
x
なので、
y = ax2
1 8 = a× 9
a= 2
x
O
(2) x
y=
−
−6
1
x+ b
3
x
4
2
y
y= −
1 2
x
2
y
x
O
b
1
1
2
(-6) =
( - 6 )+ b
2
3
b=-16
y= −
(3)
y = 3 x2
a b
x
−2
x
x の変域が −2
2 7 = 3 a2
2
a= ± 3
a
1 2
x
2
y
x
b
3 で、
y=3x は、原点を通るので、
a＞ - 2 なので、
b=0
a= 3
3-4-8
y
27
関数 y = ax 2
変化の割合 (1)
1
関数 y = 2 x2 について，x が 1 から 4 まで増加するとき，次の問いに答えない。
(1) x の増加量を求めなさい。
4-1=3
(2) y の増加量を求めなさい。
x= 1 のとき、 y = 2
のとき、 y=32
x= 4
32-2=30
(3) 変化の割合を求めなさい。
30
=10
3
2
関数 y = − 2x2 について，x が − 5 から − 2 まで増加するとき，次の問いに答え
なさい。
(1) x の増加量を求めなさい。
-2-(-5)=3
(2) y の増加量を求めなさい。
x= - 2 のとき、y = - 8
x= - 5 のとき、y = - 5 0
-8-(-50)=42
(3) 変化の割合を求めなさい。
42
3
3
関数 y =
=14
1 2
x について，x が次のように増加するときの変化の割合を求めなさ
3
い。
(1) x が 1 から 4 まで増加するとき
1
x= 1 のとき、 y = 3
x= 4
のとき、y =
16
3
(2) x が − 6 から − 4 まで増加するとき
x= - 6
のとき、y=12
x= - 4
のとき、y =
3-4-9
16
3
16
1
3
3
4-1
16
-12
3
-4-(-6)
=
5
3
= -
10
3
関数 y = ax 2
変化の割合 (2)
1
次の問いに答えなさい。
(1) 関数 y = ax2 について，x が 3 から 5 まで増加するときの変化の割合が 16 である。a
の値を求めなさい。
25a -9a
5-3
= 8a = 16
a = 2
(2) 関数 y = − 2x2 について，x が p から p + 3 まで増加するときの変化の割合が − 10 で
ある。p の値を求めなさい。
2
− 2(p+3)- (− 2p2 )
p + 3- p
-4p -6 = -10
= -10
p = 1
(3) 2つの関数 y = ax2 と y = 3 x + 1 について，x が 1 から 4 まで増加するときの変化の
割合が等しい。このとき a の値を求めなさい。
16a -a
4-1
= 3
a =
3
5
(4) 2つの関数 y = 2 x2 と y = 4 x − 3 について，x の値が a から a + 2 まで増加するとき
の変化の割合が等しい。このとき a の値を求めなさい。
2
2(a+2)- ( 2a 2 )
a + 2- a
8a +8 = 8
= 4
a = 0
3-4-10
関数 y = ax 2
変化の割合 (3)
1
次のア～カの関数について、下の問いに記号で答えなさい。
ア． y = x2
イ． y = − x2
ウ． y = 2 x2
エ． y = − 2x2
オ． y = 3 x2
カ． y = − 3x2
(1) x が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合がもっとも大きいものはどれか。
オ、カ
(2) x が − 3 から − 1 まで増加するときの変化の割合がもっとも大きいものはどれか。
オ、カ
(3) x が 1 から 3 まで増加するときの変化の割合が，直線 y = − 8x + 3 の傾きと等しいも
のはどれか。
エ
3-4-11
y = ax 2
1
y = x2
2
A(1 ,1)
B(2,4)
y
(1)
y = x2
1
x
2
3
y = x2
B(2,4)
(2) (1)
A(1,1)
傾き
x
O
(3)
y = 3x-2
y=
2
1 2
x
4
2
A
B
x
2 4
(1)
y=
1 2
x
4
x
2
4
y=
4-1
=
4-2
(2) (1)
3
2
1 2
x
4
y
B
AB
A
O
傾き
(3)
AB
y =
3
x-2
2
3-4-12
x
y = ax 2
直線と放物線(1)
y = x2
1
y = x+ 2
A
B
y
A ( -1, 1 )
B ( 2, 4 )
y = x2
B
A
O
x
y = x+ 2
y = − x2
2
y = x− 6
A
y
O
x
A ( -3, -9 )
B ( 2, -4 )
B
A
y = x− 6
y = − x2
3-4-13
B
y = ax 2
直線と放物線(2)
y = x2
P
x
1
y = ax
O
P
2
y
(1)
P
y
y = 4
P
(2)
y = x2
y = ax
y = ax
y = − x2
2
x
O
2
− 2, 1
x
2
A
B
y
(1)
A
B
O
A ( -2, -4 )
B ( 1, -1 )
(2) 2
A
A
B
y = x -2
(3) (2)
y
y = − x2
( 0, -2 )
(4)
x
B
AOB
1
1
2×2×　＋2×1×　＝3
2
2
3-4-14
y = ax 2
直線と放物線(3)
1
y = − x2
y = − 16
x
4 , -4
2
y = x2
y= k
2 −2
x
k
k = 4
3
y=
1 2
x
2
y=8
A
B
AB
y
y=8
A( 4, 8 )
A
B
B( -4, 8 )
4-(-4)=8
y=
1 2
x
2
O
3-4-15
x
y = ax 2
y = ax 2 の活用 (1)
1
ABCD
AB
P
P
, 2
y cm 2
(1) y
A
P, Q
B
Q
1 cm Q
x
A
AD
10cm
D
D
2 cm
C
APQ
Q
x
20cm
y = x2
(2) y
y
0≦　≦100
(3) A
4
16㎝ 2
(4)
64 cm 2
APQ
A
8秒後
(5) x
y
A
B
P
APQ
y
96
92
88
84
80
76
72
68
64
60
56
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
O
3-4-16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x
y = ax 2
y = ax 2 の活用 (2)
1
ABC
BC
AC // PQ
y cm
(1) BQ
P
AB
BP
B
A
x cm
Q
PBQ
2
A
x
P
6cm
3
x
2
x cm
(2) y
x
y=
(3) x = 2
B
3 2
x
4
y
y = 3
(4) x
x
0≦　≦6
(5) y
y
0≦　≦27
3-4-17
9cm
Q
C
y = ax 2
y = ax 2 の活用 (3)
1
x
1 2
x
y=
4
ym
A
3m
1m
(1)
x
y
ym
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
O
(2) A
1
ym
x
2
3
4
5
A
(3) A
x2 =4x +12
x = -2,6
x > 0より
x = 6
答え　6秒後
3-4-18
6
7 x
関数 y = ax 2
関数 y = ax 2 の活用 (4)
1
車がブレーキをかけてきき始めてから止まるまでに進む距離を制動距離という。
制動距離は，およそ車の速さの 2 乗に比例する。時速 40 km で走っているとき
の制動距離を 12 m とする。このとき，次の問いに答えなさい。
(1) 時速 x km のときの制動距離を y m として，y を x の式で表しなさい。
y=
3 2
x
400
(2) 時速 60 km のとき，制動距離は何 m になるか。
27m
2
物を落とすとき，落ち始めてから x 秒間に落ちる距離を y m とすると，x と y に
は，およそ y = 5 x2 という関係がある。このとき，次の問いに答えなさい。
(1) 落ち始めて 1 秒後から 4 秒後までの間におよそ何 m 落ちるか。
80-5=75
75 m
(2) 落ち始めて 1 秒後から 4 秒後までの間の平均の速さを求めなさい。
25 m/秒
(3) 125 m の高さから物を落とすとき，地面につくまでにかかる時間は，およそ何秒か。
5 秒
3-4-19

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