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¨
¥
§
中 3 数学 ¦
相似
目次
相似な図形
1
1.1
相似な図形の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
三角形の相似条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.3
三角形の相似の証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
相似の証明と線分の長さ《基本》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
相似の証明と線分の長さ《応用》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
相似の証明と線分の長さ《発展》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1
平行線と線分の比
2
11
2.1
平行線と線分の比《基本》
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
平行線と線分の比《応用 I》 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3
平行線と線分の比《応用 II》
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
平行線と線分の比《発展》
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3
三角形の面積比の求め方
17
4
中点連結定理
20
4.1
中点連結定理をつかった証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
中点連結定理の応用≪重心≫
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
補足
23
角の二等分線の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
6
総合演習
25
7
相似と計量
29
5
5.1
7.1
相似比と面積比
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.2
相似比と体積比
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
解答
38
この単元では，
「相似」を学習する。おもに平面図形にかんする問題が多いが，中２で学習した「合同」に比べると，かなり高
度な内容を含んでいる。
特に高校入試においては必ず出題される単元で，「円」やこの後の「三平方の定理」などとの複合問題が中心となる。
今の教科書レベルでは，「重心」を取り扱っていないが，私立高校受験を考えると，ある程度まで深く学習する必要があるこ
とから，教科書レベルを越えた部分まで解説している。
1.1 相似な図形の性質
1 相似な図形 – 1 –
相似な図形
1
そうじ
◆
たがいに拡大・縮小の関係にある図形を，「相似」であるという。
いいかえると，「形が同じで，大きさの異なる図形」は相似であるという。
◆
相似の記号，「 ∽ 」をつかって表す。
¨ ¥
§例 ¦ △ABC ∽ △PQR 「三角形 ABC 相似三角形 PQR 」とよむ。
注
⃝
対応する頂点の順番がそろうようにかくこと
1.1
相似な図形の性質
⇒ 相似な図形でいえること
¨ ¥
右の図で △ABC ∽ △PQR であるとすると，
§例 ¦
A
(1) 対応する辺の長さの比は等しい。
1 対応する辺どうしで考えて，
⃝
AC：PR ＝ 1：2 なら，AB：PQ=1：2
c
a
B
BC：QR=1：2
C
b
つまり，AB：PQ ＝ BC：QR ＝ AC：PR
P
2 また，次のようにもいえる。
⃝
r
p
△ABC で， AB：AC：BC ＝ 3：4：5 なら
△PQR でも， PQ：PR：QR ＝ 3：4：5 である。
Q
(2) 対応する角の大きさは等しい。
q
右の図で， ∠A=∠P，∠B=∠Q，∠C=∠R である。
1.2
R
三角形の相似条件
⇒2 つの三角形が相似であることをいうために必要なこと
【例】上の △ABC と △PQR で
相似条件
1
⃝
3 組の辺の比が等しい。
a：p = b：q = c：r なら相似といえる
2
⃝
2 組の辺の比が等しく，その間の角が等しい。
例えば，a：p = b：q ，∠B=∠Q なら相似といえる
3
⃝
2 組の角がそれぞれ等しい。
例えば，∠A=∠P，∠B=∠Q なら相似といえる
次の中から相似な三角形の組をすべて答えよ。また，そのときの相似条件をかけ。
1
A
J
3.6
D
3.1
3
2
2.4
3
B
G
E
2.5
C
60◦
H
F
50◦
40◦
K
I
3
3
P
M
V
S
3
4
40◦
N
80◦
O
L
5
2
3
50◦
1.4
50◦
Q
2.1
R
T
6
U
W
X
– 2 – 1 相似な図形
1.3
1.3 三角形の相似の証明
三角形の相似の証明
◆ 証明のかき方は合同のときとほぼ同じ。
3 の「2 組の角がそれぞれ等しい」が最も多いので，等しい角を 2 組さがす。
◆ 使う条件は，前ページ⃝
【三角形の相似の証明の手順】
¨
¥
3 で使うおもな定理
⃝
§
¦
証明の手順
・対頂角は等しい
1 2 つの三角形をかく
⃝
・平行線なら ⇒ 同位角・錯角は等しい
2 仮定 (問題文) を利用してかく
⃝
・円なら ⇒ 円周角は等しい
3 定理などを利用してかく
⃝
・二等辺三角形なら ⇒ 底角は等しい
4 相似条件をかく
⃝
・平行四辺形なら ⇒ 対角は等しい
5 結論をかく
⃝
・共通で等しいなど
・この他，「三段論法」を使う場合もある。
¶
例
³
題
A
【例 1】右図で，AB=6cm，AD=4cm, DC=5cm であるとき，
D
△ABD ∽ △ACD であることを証明せよ。
B
【手順】
【証明】
2 つの三角形を上げる
△ABD と △ACB において，
仮定から分かることをかく
1
仮定より，AD:AB=4cm:6cm=2:3 …⃝
C
2
AB:AC=6cm:9cm=2:3 …⃝
その他に分かることをかく
3
共通な角より，∠BAD=∠CAB…⃝
相似条件をかく
1, ⃝
2, ⃝
3 より,2 組の辺の比が等しく,
⃝
その間の角が等しいので
△ABD ∽ △ACD
結論をかく
µ
´
下の図の △ABC で，頂点 A から辺 BC へ，頂点 C から辺 AB へそれぞれ垂線 AD，CE をひくとき，△BAD ∽ △BCE
1
であることを証明せよ。
A
E
B
D
C
¨
¥
§
¦
証明
相似の証明《基本》
2
1 相似な図形 – 3 –
下図の三角形 ABC の辺 AC 上に,∠ABC=∠ADB となるような点 D をとる。このとき,△ABC ∽
△ADB となること
を証明せよ。
¨
¥
§
¦
証明
A
D
B
3
C
下図の三角形 ABC で，AB=12cm，BC=16cm である。いま，辺 BC 上に BD=9cm となる点 D をとる。このとき，
△ABC ∽ △DBA となることを証明せよ。
¨
¥
§
¦
証明
A
B
D
C
– 4 – 1 相似な図形
1.4 相似の証明と線分の長さ《基本》
相似の証明と線分の長さ《基本》
1.4
相似の問題では，
「線分の長さを求めること」が中心となる。⇒ そのためには対応する辺を見つける。
¨
方法 1
¥
¦ 問題文は，必ず「対応する頂点の順」になっているので，それを利用する。
¥
§方法 2 ¦ 3 辺の短・中・長がはっきりしている場合
§
¨
その 1 対応する「短：短」，「中：中」，
「長：長」で式をつくる。
¨
¥
その 2 1 つの三角形の「短：中」，「短：長」，「中：長」で式をつくる。
§方法 3 ¦ 対応する角がはっきりしている場合
対応する角にマークをつけて，マーク順で対応する辺を見つける。
¶
例
A
【例 2】左図で，△ABC ∽
³
題
△ADB である。AB=6cm，AD=4cm のとき，DC の
長さを求めよ。
D
【準備】対応する辺を見つけて，比例式をつくる。
⇒ それぞれの短・中・長をみつける。
B
C
△ABC で，短（AB）・中（BC）・長（AC）である。
△ADC では，短（AD）・中（DB）・長（AB）である。
【解答】 DC= xcm とすると，AC= 4 + x（cm）となる。
対応する辺の比は等しいから，AB：AD=AC：AB より，
6:4=（4+x）：6 内項の積 = 外項の積より，
4（4+x）=6×6
4x = 20 より，x = 5
µ
1
´
右の図で，∠ABC=∠AED であるとき，次の問に答えよ。
A
(1) △ABC ∽ △AED であることを証明せよ。
D
E
B
(2) AE=4cm，EC=2cm，AD=3cm のとき，DB の長さを求めよ。
C
相似の証明と線分の長さ《基本》
1.4
2
1 相似な図形 – 5 –
右の図で，∠ACB=∠ADC であるとき，次の問に答えよ。
A
(1) △ABC ∽ △ACD であることを証明せよ。
D
C
B
(2) AD=9cm，DB=7cm のとき，AC の長さを求めよ。
3
右の図で，AB=9 cm，AC=6 cm，∠ACB=∠ADC のとき，次の問に答
えよ。
A
(1) △ABC ∽ △ACD を証明せよ。
D
B
(2) AD の長さを求めよ。
C
– 6 – 1 相似な図形
4
1.4 相似の証明と線分の長さ《基本》
右の図で，∠ABE=∠ACD であるとき，次の問に答えよ。
A
(1) 相似な三角形を 1 組さがし，その 1 組の三角形が相似であることを証
明せよ。
D
F
B
E
C
(2) AD=3cm，DB=3cm，AC=5cm のとき，EC の長さを求めよ。
5
右の図で，∠BDC=∠BEA であるとき，次の問に答えよ。
A
(1) 相似な三角形を 1 組さがし，その 1 組の三角形が相似であることを証
明せよ。
D
F
B
(2) AB=10cm，BC=12cm，CE=6cm のとき，AD の長さを求めよ。
E
C
相似の証明と線分の長さ《応用》
1.5
1.5
1 相似な図形 – 7 –
相似の証明と線分の長さ《応用》
三段論法を使った証明問題。
¶
例
³
題
A
【例 3】右の図で，1 辺 9cm の正三角形 ABC の辺 BC，AC 上にそれぞれ点 D，E を
とる。BD=3cm，∠ADE=60◦ のとき次の問に答えよ。
E
60◦
(1) △ABD ∽ △DCE を証明せよ。
B
D
C
△ABD と △DCE において，
1
三角形 ABC は正三角形だから，∠ABD=∠DCE=60◦ …⃝
2
ここで，△ABD の外角より，∠ADC=60◦ +∠BAD…⃝
3
また，∠ADC=60◦ +∠CDE…⃝
⃝
2 ，⃝
3 より，∠BAD=∠CDE…⃝
4
1 ，⃝
4 より，2 組の角がそれぞれ等しいので，△ABD ∽ △DCE
⃝
(2) 線分 AE の長さを求めよ。
AE= xcm とすると，CE= 9 − x（cm）。
短：短，長：長で式をつくると，BD：CE=AB：DC。
µ
1
よって，3：(9 − x)=9：6。これを解くと，x = 7cm。
AB//DC で，∠B=∠C=90◦ である台形 ABCD がある。辺 BC 上に
∠APD=90◦ となる点 P をとるとき，次の問に答えよ。
(1) △ABP ∽ △PCD となることを証明せよ。
´
A
D
B
(2) AB= 8 cm，BC= 10 cm，CD= 3 cm のとき，BP の長さを求めよ。
P
C
– 8 – 1 相似な図形
2
1.5 相似の証明と線分の長さ《応用》
右の図のように，直角三角形 ABC の頂点 A から斜辺 BC に垂線をひき
A
交点を H とする。AB= 8 cm，BC= 10 cm，AC= 6 cm のとき，次の問
に答えよ。
(1) △ABH ∽ △CAH を証明せよ。
B
H
C
(2) 辺 AH の長さを求めよ。
3
下の図で，直角三角形 ABC の頂点 B から，斜辺 AC に垂線を下ろし，交点を D とする。AD= 6 cm，CD= 3 cm の
とき，BD の長さを求めよ。
A
D
B
C
相似の証明と線分の長さ《発展》
1.6
1.6
1
1 相似な図形 – 9 –
相似の証明と線分の長さ《発展》
右の図で，平行四辺形 ABCD の辺 AB 上に点 E をとり，点 D，点 C を点 E を
A
D
それぞれ結ぶ。
AE=5cm，DE=8cm，CE=6cm，CD=9cm のとき，次の問に答えよ。
8
5
(1) 右の図において，相似な三角形１組を選び，相似であることを証明せよ。
9
E
6
B
C
(2) AD の長さを求めよ。
2
右の図で，AB=AC である △ABC の辺 BC 上に点 D をとり，
∠ABC=∠ADE となるような点 E を辺ＡＣ上にとる。AB=AC= 8 cm，
A
BC= 12 cm のとき，次の問に答えよ。
8 cm
(1) △ABD ∽ △DCE を証明せよ。
B
8 cm
E
C
D
12 cm
(2) BD= 3 cm のとき，AE の長さを求めよ。
(3) BD= 4 cm のとき，DE の長さを求めよ。
– 10 – 1 相似な図形
3
1.6 相似の証明と線分の長さ《発展》
右の図で，長さ 9cm の線分 BD 上に 1 辺 6 cm の正三角形 ABC と，1
A
辺 3 cm の正三角形 CDE がある。次の問に答えよ。
(1) △BCF ∽ △AGF を証明せよ。
E
G
F
H
B
(2) CH の長さを求めよ。
(3) AG：GD を求めよ。
(4) BF：FG：GE を求めよ。 (5) △AFG の面積は，△ABC の面積の何倍か。
C
D
平行線と線分の比
2 平行線と線分の比 – 11 –
平行線と線分の比
2
◆ 3 つのパターンに分けられる。使い方を混同しないように注意が必要。
1 パターン I】
【⃝
A
左の図で，MN//BC であるとき，△AMN ∽ △ABC。
m
よって，対応する辺の比は等しいから，次の関係が成り立つ。
n
a
¨
¥
a
：m = b：ℓ = c：n
§
¦
c
N
M
ℓ
また，次のように言うこともできる。
B
¨
¥
a
：b：c = m：ℓ：n
§
¦
C
b
注このパターンは単純に三角形の相似を使っているだけ。次のパターンと
⃝
混同しないようにすること。
2 パターン II】
【⃝
左の図で，MN//BC であるとき，次の関係が成り立つ。
¨
¥
m：n = p：q = a：c
§
¦
A
m
n
a
c
N
M
p
また，次のように言うこともできる。
¨
¥
a：m：p = c：n：q
§
¦
q
注上のパターン⃝
1 と混同しないようにすること。
⃝
B
C
p, q が入ってくると，ℓ, b は使えない。
また，対応する辺の順序で式をつくること。
3 パターン III】
【⃝
左の図で，ℓ // m // k であるとき，次の関係が成り立つ。
ℓ
m
¨
¥
m：n = p：q = a：c
§
¦
n
a
c
p
m
また，次のように言うこともできる。
q
¨
¥
a：m：p = c：n：q
§
¦
k
注パターン⃝
2 の頂点 A が離れたと考えてよい。
⃝
平行線と線分の比《基本》
次のそれぞれの図で，AC//BD のとき，x，y の値を求めよ。ただし，いずれも単位は cm である。
2.1
1
(1)
(2)
9
A
x
A
C
y
x
7
O
O
14
10
5
4
D
C
6
B
D
16
B
– 12 – 2 平行線と線分の比
2
2.1 平行線と線分の比《基本》
下の図で，DE//BC のとき，x，y を求めよ。ただし，いずれも単位は cm である。
(1)
A
(2)
(3)
A
y
18
D
8
12
D
B
C
20
C
12
E
y
15
B
C
12
D
6
B
3
x
x
E
8
E
x
9
A
4
下の図で，ℓ // m // n であるとき，x，y を求めよ。ただし，いずれも単位は cm である。
(1)
(2)
(3)
ℓ
ℓ
y
15
x
5
ℓ
15
18
8
10
3.6
n
4
x
m
m
12
m
12
20
n
下の図で，DE//FG//BC であるとき，次の問に答えよ。ただし，いずれも単位は cm である。
A
(1) AC(x) の長さを求めよ。
9
6
D
y
F
12
E
5 x
G
12
B
(2) DE(y) の長さを求めよ。
z
C
(3) BC(z) の長さを求めよ。
x
n
平行線と線分の比《応用 I》
平行線と線分の比《応用 I》
2.2
2 平行線と線分の比 – 13 –
三角形の相似や平行線を利用して，比を移していく。
【例題】左の図で，AD//PQ//BC のとき，PQ を求める。
A
6cm
D
§
¦ ２つの三角形にわけて考える。
AC を結んで，△ABC と △ACD をつくる。
¥
¨
Q
xcm
¥
方法 1
6cm
P
¨
§方法 2 ¦ 平行四辺形をつくって考える。
D から AB に平行な線をひくか，または
12cm
A から DC に平行な線をひくのどちらか
B
⇒
C
18cm
平行四辺形の方が後の計算が簡単なことが多い。
【解き方】左図のように，平行四辺形をつくると，
A 6cm D
まず， AD=PR=BS= 6cm となって，SC= 12cm となる。
6cm
次に，
R
P
Q
△DRQ ∽ △DSC を利用すると，
RQ：SC=DR：DS より，次の式ができる。
RQ：12 = 6：18 これを解くと，RQ= 4cm
12cm
ゆえに， PQ= 6 + 4 = 10cm
B
C
S
18cm
1
次の問に答えよ。
(1) 下の図で，PQ の長さを求めよ。
9cm
A
(2) 下の図で，PQ の長さを求めよ。
D
A
12cm
D
6cm
12cm
P
P
6cm
B
2
Q
xcm
Q
9cm
C
18cm
xcm
B
18cm
C
下の図は，AD//BC の台形 ABCD で，AE：EB=3：2，AD//EF//BC である。AD=6 cm，BC=12 cm のとき，次の
問に答えよ。
(1) 線分 EF の長さを求めよ。
A
D
O
E
B
P
(2) 線分 PQ の長さを求めよ。
Q
F
C
(3) AO：OQ：QC を最も簡単な整数の比で表せ。
– 14 – 2 平行線と線分の比
平行線と線分の比《応用 II》
2.3
2.3 平行線と線分の比《応用 II》
三角形の相似や平行線を利用して，比を移していく
A
【例題】左の図で，AB//PQ//DC のとき，PQ を求める。
¨
¥
考え方２つの step にわけて考える。
§
¨
¥¦
step1 △ABP ∽ △CDP で相似比を求める。
§
¦
¨
¥
step2 △ABC と △PQC で相似比を求める。
§
¦
D
12cm
P
8cm
xcm
B
C
Q
A
左図は，相似を使って表した辺の比である。
3
3
⃝
12cm ¤5 ¡
£¢
P
2
⃝
8cm
¤¡ 2
xcm £2 ¢
B
△ABP ∽ △CDP より，AB：CD=AP：CP= 3：2
△PQC ∽ △ABC より，CP：CA=PQ：AB= 2：5。
D
5
したがって，次の式ができる。
2：5 = x：12 これを解くと，x = 24
5
C
Q
Â
¿
上の図の問題を，公式で解くと，
次のような公式がある。
¨
¥
x = 12 × 8 = 96 = 24
12 + 8
20
5
積
x=
§公式 ¦
和
Á
1
À
次の問に答えよ。
(1) 下の図で，PQ の長さを求めよ。
10cm
A
(2) 下の図で，AB の長さを求めよ。
D
A
P
x cm
Q
D
xcm
P
20cm
12cm
B
2
C
15cm
B
Q
C
AB=6 cm，BC=7 cm，CA=8 cm の三角形 ABC がある。下の図のように，辺 AC 上に AD=2 cm となる点 D をと
る。点 D を通り辺 BC に平行な直線をひき，AB との交点を E とする。直線 CE 上に，FA//ED//BC となる点 F をと
るとき，AF の長さを求めよ。
F
A
E
D
G
B
C
平行線と線分の比《発展》
2.4
平行線と線分の比《発展》
2.4
1
2 平行線と線分の比 – 15 –
下の図で，D は AB の中点であり，BE=EF=FC である。AG：GF を求めよ。
A
D
G
B
2
E
C
F
下の図で，AD=DB，AE=EF=FC であるとき，DH：HG：GC を最も簡単な整数の比で表せ。
A
E
D
F
H
G
B
3
C
下の図で，EF= 3 cm，FC= 9 cm，AB//DE，AE//DF のとき，BE の長さを求めよ。
A
D
B
4
E
C
F
下の図で，EF= 4 cm，FC= 6 cm，AB//DE，AE//DF，線分 BD が ∠ABC の二等分線のとき，次の問に答えよ。
(1) DE：AB を最も簡単な整数の比で表せ。
A
D
B
•
•
E
(2) AB の長さを求めよ。
F
C
– 16 – 2 平行線と線分の比
5
2.4 平行線と線分の比《発展》
右の図の平行四辺形で，辺 AD 上に AE：ED=1：2 となる点 E をとり，CE と BA の延長との交点を F とする。ま
た，BD と CF との交点を G とする。このとき，次の問いに答えなさい。
(1) BF：DC を最も簡単な整数の比で求めよ。
F
(2) FG：GC を最も簡単な整数の比で求めよ。
A
E
D
G
B
(3) EG：GC を最も簡単な整数の比で求めよ。
(4) GC=6 cm とき，EF の長さを求めよ。
(5) △FAE の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
C
3
3
三角形の面積比の求め方 – 17 –
三角形の面積比の求め方
三角形の面積比の問題は，中学の数学ではあまり扱うことはないが，実力テストなどではよく見かける問題である。どの学
年，どの単元とはっきり区別できないため，学校の授業の中で扱うには無理があるようだ。入試では，私立・公立ともによく出
題される。
【要点】三角形の面積の比については，次の 2 点が重要
1 底辺が共通 (等しい) なら，
⃝
「高さの比」
2 高さが共通 (等しい) なら，
⃝
「底辺の比」
A
右の図で，△ABD と △ACD は，
頂点 A が共通だから，高さが等しくなるので，
△ABD：△ACD = a：b
あるいは，
△ABD
a
=
とかくこともある
△ACD
b
B
D ⃝
b
a
⃝
C
次の図も，上の図と同じように頂点 C が共通だと考えることができる
A
右の図で，△ABC と △DBC は，
頂点 C が共通だと考えると，
a
⃝
△ABC：△DBC ＝ a：b
あるいは，
△ABC
a
=
とかくこともある
△DBC
b
⃝
b
D
B
C
実際には，次の方法をよく使う。
右図のように，AB：AP= a：p，
A
AC：AQ= b：q のとき
p cm
a cm
△APQ と △ABC の面積比は
△APQ
pq
=
△ABC
ab
1
P
q cm
b cm
Q
B
C
下の図で，BD=6 cm，CD=10 cm，AE=4 cm，ED=6 cm のとき，次の問に答えよ。
(1) △ABD と △ACD の面積比を求めよ。
A
E
(2) △ACE の面積は，△ABC の面積の何倍か。
B
D
C
– 18 – 3 三角形の面積比の求め方
2
右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点を O とし，辺 AB 上に AE：EB=1：1 となる点 E をとり，AC と DE
の交点を P とする。このとき，次の問いに答えなさい。
(1) AP：PC を最も簡単な整数の比で求めよ。
A
E
D
P
O
(2) △BDE の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
B
C
(3) △DPO の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(4) 四角形 BOPE の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
3
右の図の △ABC で，AP：PB=1：2，AQ：Q=1：1 である。次の問に答えよ。
(1) PD：DC を求めよ。
A
P
Q
D
B
(2) 四角形 APDQ の面積は，△ABC の面積の何倍か。
C
三角形の面積比の求め方 – 19 –
3
4
右の図で AP：BP=2：1，BQ：QC=3：1，AR：RC=1：4 である。次の問いに答えよ。
(1) △ABC：△APR の面積比を求めよ。
A
R
P
(2) △ABC：△BPQ の面積比を求めよ。
B
C
Q
(3) △ABC：△CQR の面積比を求めよ。
(4) △ABC：△PQR の面積比を求めよ。
5
右の図で，D は AB の中点，BE：EC=3：1 のとき，次の問に答えよ。
(1) AF：FE を求めよ。
A
D
F
(2) 点 A，C を結んで △ABC をつくる。四角形 DBEF の面積は
△ABC の面積の何倍か。
B
E
C
– 20 – 4 中点連結定理
3.1 中点連結定理を使った証明
中点連結定理
4
三角形の 2 辺の中点を結んだときの定理 (性質) である。定理は簡単だが応用範囲が広い。
A
左図で，D，E がそれぞれ辺 AB，AC の中点であるとき，次の関係が
成り立つ
D
E
⃝
1
⃝
2
B
DE//BC
DE= 1 BC
2
C
これを中点連結定理という
△ADE と △ABC の相似から，簡単に導くことができる
中点連結定理をつかった証明
4.1
1
下の図の四角形 ABCD で，点 P，Q，R，S はそれぞれ辺 AB，辺 BC，辺 CD，辺 AD の中点である。このとき，四
角形 PQRS が平行四辺形になることを証明せよ。
A
S
D
P
R
B
2
C
Q
下の図の四角形 ABCD で，2 本の対角線 AC，BD をひく。点 P，Q，R，S はそれぞれ辺 AD，線分 BD，辺 BC，線
分 AC の中点である。このとき，四角形 PQRS が平行四辺形になることを証明せよ。
D
P
A
Q
B
S
R
C
中点連結定理の応用≪重心≫
4.2
4.2
4
中点連結定理 – 21 –
中点連結定理の応用≪重心≫
ここは，教科書の範囲をこえた部分だが，知っておくといろいろな問題に役に立つ
3 本の中線の交点を「重心」という。
重心には 2 つの大切な性質がある
A
⃝
1 中線を 2：1 に分ける
左の図で，AG：GQ=2：1
P
BG：GR=2：1
R
CG：GP=2：1
G
B
2 重心によって，6 つの面積の等しい三角形ができる
⃝
C
Q
△AGR，△AGP，△BGP，
△BGQ，△CGQ，△CGR，
の 6 つの三角形の面積が等しい
■ 4.2.1
1
重心を使った問題
下の図で，点 P，Q，R はそれぞれ辺 AB，BC，AC の中点である。次の問に答えよ。ただし，点線によってできた三
角形は除く。
図1
(1) 左図 1 で，△GPB と面積の等しい三角形はどれか。
A
P
R
G
B
C
Q
(2) 左図 1 で，△GBQ と面積の等しい三角形はどれか。
図2
A
P
(3) 左図 2 で，△GPB と面積の等しい三角形はどれか。
R
G
B
C
Q
(4) 左図 2 で，△GBQ と面積の等しい三角形はどれか。
図3
A
P
R
(5) 左図 3 で，△GPB と面積の等しい三角形をすべて答えよ。
G
B
Q
C
– 22 – 4 中点連結定理
2
4.2
中点連結定理の応用≪重心≫
右の図の △ABC で，点 M，N はそれぞれ辺 BC，AC の中点である。また，点 N から辺 BC に平行にひいた直線と線
分 AM との交点を P，線分 AM と線分 BN の交点を G とするとき，次の問に答えよ。
A
(1) BG：GN を求めよ。
N
P
G
(2) AP：PG：GM を求めよ。
B
C
M
(3) △PGN の面積は △ABC の面積の何倍か。
3
右の図の平行四辺形 ABCD で，点 P，Q，R はそれぞれ辺 BC，辺 CD，辺 AD の中点である。このとき，次の問に
答えよ。
(1) AG：GP を求めよ。
A
D
R
H
(2) BG：GH：HD を求めよ。
G
B
(3) △DHR の面積は，平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
P
C
Q
4.1 角の二等分線の性質
5
補足 – 23 –
補足
5
相似の発展的な考え方で，複合問題でよく使う図形の解法を取り上げる
5.1
角の二等分線の性質
左の図で，線分 AP が ∠A の二等分線であるとき，
A
••
a cm
次の性質がある
b cm
⃝
1 BP：CP= a：b
三角形の面積についても，底辺の比が a：b となることから
B
1
P
C
2 △ABP：△ACP= a：b
⃝
となる
右の平行四辺形 ABCD で，∠A の二等分線と，対角線 BD との交点を
A
P，辺 BC との交点を Q，辺 DC の延長との交点を R とする。AB=3 cm，
•
AD=5 cm のとき，次の問に答えよ。
D
•
P
(1) BP：DP を求めよ。
B
Q
C
R
(2) 四角形 PQCD の面積は，平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(3) AP：PQ：QR を求めよ。
– 24 – 5 補足
2
5.1 角の二等分線の性質
右の図で，∠A=90◦ の直角三角形 ABC の頂点 A から，斜辺 BC に垂
線をおろしその交点を D とする。また，∠C の二等分線と線分 AD の交点
A
◦◦
を P，辺 AB との交点を Q，∠BAD の二等分線と線分 CQ との交点を R，
辺 BC との交点を E とする。AC=3 cm，CD=2 cm のとき，次の問に答
Q
R
えよ。
P
(1) △CAD ∽ △CBA を証明せよ。
B
(2) AP：PD を求めよ。
(3) CE の長さを求めよ。
(4) BE の長さを求めよ。
(5) CP：PR：RQ を求めよ。
E
D
••
C
6 総合演習 – 25 –
6
1
総合演習
右の図のように，AD//BC である台形 ABCD がある。辺 BC の中点を
A
Ｍ，直線 DM と直線 AC との交点を E，直線 AM と直線 BE との交点を
D
F とする。AD=3 cm，BC=8 cm のとき，次の問に答えよ。
E
F
(1) 相似な三角形を 1 組さがし，その 2 つの三角形が相似
であることを証明せよ。
B
(2) △DEC の面積は，台形 ABCD の面積の何倍か。
(3) BF：FE の比を，最も簡単な整数の比で表せ。
M
C
– 26 – 6 総合演習
2
右の図で，1 辺 8 cm の正方形 ABCD の 1 辺を直径とする半円 O をえ
A
E
D
P
がく。頂点 C から半円の接線をひき，接点を P，辺 AD との交点を E と
する。また，DP の延長と辺 AB との交点を Q とするとき，次の問に答
Q
えよ。
O
(1) CP の長さを求めよ。
A
E
D
B
P
O
B
C
(2) AE の長さを求めよ。
A
E
D
P
O
B
C
(3) AQ の長さを求めよ。
A
E
D
P
Q
O
B
C
C
6 総合演習 – 27 –
(
3
下の図で，正方形 ABCD の点Ｂを中心に，正方形の 1 辺を半径とする AC をえがく。辺 BC の中点Ｍと頂点 D を結
(
び，AC との交点を P とするとき，DP：PM を求めよ。
D
A
P
B
D
A
M
¨
¥
§
¨
¦
¥
§
¦
C
考え方 1 AP を延長し，辺 CD との交点を Q とする
P
Q
考え方 2 左図のように考えると，点 P は AB を半径と
する半円上にある。
したがって，∠APM=90◦ となる
M
B
C
E
F
– 28 – 6 総合演習
4
下の図の正五角形で，対角線 AC の長さを求めよ。
¨
¥
§
¦
考え方左図で △ABF ∽
A
△ACB を使う
2 cm
F
E
B
O
C
5
D
下の図は，関数 y = x2 のグラフで，3 点 A，B，C それぞれの x 座標は，−4，−1，2 である。また，四角形 ABCD
は平行四辺形で，P，Q は線分 AC，BC と y 軸との交点である。次の問に答えよ。
y
D
(1) 直線 AC の式を求めよ。
y = x2
A
(2) △APB と △CPB の面積比を求めよ。
P
C
Q
B
−4
−1 O
2
x
(3) △PQC の面積と平行四辺形 ABCD の面積比を求めよ。
7 相似と計量 – 29 –
相似と計量
7
相似な図形における面積比と体積比の問題である。17 ページの三角形の面積比の特殊な形だと考えてよい。
7.1
相似比と面積比
面積比は相似比の 2 乗
相似比
a：b なら =⇒ 面積比 a2 ：b2
¶
面積比
例
m：n なら =⇒ 相似比
√
m：
√
n
³
題
A
【例 1】右の図で，三角形 ABC の辺 AB 上に点 D をとり，点 D を通り辺 BC に平行
な直線と辺 AC との交点を E とする。AB=10cm，AD=4cm であるとき，次の
E
D
問に答えよ。
(1) △ABC と △ADE の面積比を求めよ。
相似比が，4cm：10cm=2：5 だから，
C
B
面積比は，22 ：52 =4：25
(2) 三角形 ADE の面積が 12cm2 のとき，四角形 DBCE の面積を求めよ。
¥
¨
方法 1 △ABC の実際の面積を求める。
§
¦
△ADE と △ABC の面積比が，4：25 だから，
4：25=12cm2 ：x cm2 これを解くと，x = 75cm2
¨
よって，四角形 DBCE=75−12=63cm2
¥
方法 2 比で考える。
§
¦
△ADE と △ABC の面積比が，4：25 より，
四角形 DBCE= 25 − 4 = 21。よって，
4：21=12cm2 ：x cm2 これを解くと，x = 63cm2
µ
1
´
A
右の図で，DE//BC で，AD：DB=3：2 のとき，次の問に答えよ。
(1) △ADE と △ABC の面積比を求めよ。
D
B
(2) △ABC の面積が 50cm2 のとき，台形 DBCE の面積を求めよ。
E
C
– 30 – 7 相似と計量
2
7.1 相似比と面積比
A
右の図の三角形 ABC で，点 D，E はそれぞれ辺 AB，AC の中点で，点
F，G はそれぞれ線分 DB，EC の中点である。
三角形 ABC の面積が 48cm2 であるとき，次の問に答えよ。
E
D
G
F
(1) △ABC と △ADE の面積比を求めよ。
C
B
(2) 台形 DFGE と台形 FBCG の面積比を求めよ。
(3) 台形 FBCG の面積を求めよ。
3
A
右の図で，三角形 ADE と四角形 DBCE の面積が等しくなり，DE//BC
であるように 2 点 D，E をとった。
辺 AB の長さが 10cm のとき，線分 AD の長さを求めよ。
E
D
C
B
4
右の図で，三角形 ABC の辺 AB 上に，∠BAC=∠BCD となるような点
A
D をとる。
•
辺 AB=8cm，辺 BC=5cm のとき，三角形 ACD と三角形 BCD の面積
の比を求めよ。
D
•
B
C
相似比と面積比
7.1
5
7 相似と計量 – 31 –
右の図は，AD//BC の台形 ABCD である。いま，対角線 AC と対角線
A
D
BD の交点を E とする。
AD=4cm，BC=8cm であるとき，次の問に答えよ。
E
(1) △AED と △CEB の面積比を求めよ。
B
C
(2) 三角形 ACD の面積は台形 ABCD の面積の何倍か。
(3) 三角形 AED の面積が 5cm2 のとき，台形 ABCD の面積を求めよ。
6
A
右の図は，AD//BC の台形 ABCD である。いま，対角線 AC と対角線
D
BD の交点を E とする。
△AED の面積が 18cm2 ，△BCE の面積が 50cm2 であるとき，次の問
E
に答えよ。
(1) △AED と △CEB の相似比を求めよ。
(2) 三角形 CDE の面積は台形 ABCD の面積の何倍か。
B
C
– 32 – 7 相似と計量
7
7.1 相似比と面積比
F
右の図の平行四辺形 ABCD で，辺 AD 上に AE：ED=3：2 となる点 E
をとる。
A
直線 BE と直線 CD の交点を F とし，直線 BE と対角線 AC との交点を
E
D
G とするとき，次の問に答えよ。
G
(1) 三角形 ABE と三角形 DFE の面積比を求めよ。
B
(2) 三角形 FDE と三角形 FCB の面積比を求めよ。
(3) 三角形 ABG と三角形 CFG の面積比を求めよ。
(4) 四角形 CDEG の面積は，平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(5) 三角形 AGE の面積と三角形 FDE の面積の比を求めよ。
C
相似比と面積比
7.1
8
右の図の平行四辺形 ABCD で，∠B の二等分線と辺 AD の延長線の交
7 相似と計量 – 33 –
D
A
点を E とし，点 E と点 B，点 C，点 D をそれぞれ結ぶ。線分 BE と辺 CD
E
F
との交点を F，対角線 AC との交点を G とする。
AB=6cm，BC=5cm のとき，次の問に答えよ。
G
(1) 三角形 AEG と三角形 CBG の面積比を求めよ。
•
B
(2) 三角形 ABG と三角形 CFG の面積比を求めよ。
(3) 三角形 ABG と三角形 CBG の面積比を求めよ。
(4) 三角形 CEF の面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
(5) 四角形 AGFD 面積は平行四辺形 ABCD の面積の何倍か。
•
C
– 34 – 7 相似と計量
7.2
7.2 相似比と体積比
相似比と体積比
体積比は相似比の 3 乗
相似比
a：b なら =⇒ 面積比 a3 ：b3
¶
例
³
題
O
【例 1】右の図で，三角形 ABC を底面とする三角すい OABC がある。いま，三角す
い OABC の辺 OA，OB，OC 上にそれぞれ点 P，Q，R をとり，底面の三角形
P
ABC に平行になるように三角形 PQR をつくる。
このとき，次の問に答えよ。
R
Q
A
(1) 点 P が辺 OA の中点であるとき，三角すい OPQR と
三角すい OABC の体積の比を求めよ。
C
B
相似比が，1：2 だから，体積比は，13 ：23 =1：8
(2) OP：PA=2：3 のとき，三角すい OPQR と三角すい OABC の体積の比を求めよ。
相似比が，2：5 だから，体積比は，23 ：53 =8：125
(3) OP：PA=2：1 で，三角すい OABC の体積が 108cm3 のとき，三角すい台 PQRABC の体積を求めよ。
三角すい OPQR と三角すい OABC の相似比は，2：3 だから，
体積比は，23 ：33 =8：27。したがって，三角すい台 PQRABC の体積は，27 − 8 = 19。
よって，三角すい台 PQRABC の体積 = 108 ×
µ
1
19 = 76cm3
27
´
右の図で，底面の円 O の半径が 6cm，高さ PO=8cm，母線の長さが
10cm の円すいがあり，線分 PO の中点を Q とする。
P
円 Q を底面とする円すいをア，円 O を底面とする円すいをイ，イから
アを取り除いた円すい台をウとするとき，次の問に答えよ。
Q
(1) 円 Q と円 O 面積の比を求めよ。
O
(2) アとウの側面積の比を求めよ。
(3) ウの体積を求めよ。
相似比と体積比
7.2
2
7 相似と計量 – 35 –
右の図で，O-ABCD は底面が 1 辺 6 cm の正方形で，OH=12 cm を高
O
さとする正四角すいである。線分 OH 上を O から H まで動く点 P があり，
点 P を通り，底面 ABCD に平行な平面が辺 OA，OB，OC，OD と交わ
る点をそれぞれ，Q，R，S，T とする。
この立体について次の問に答えよ。ただし無理数の場合は
√
Q
の中を
T
P
最も簡単な整数にすること。
R
(1) OP=2 cm のとき，四角形 QRST の面積を求めよ。
S
A
D
H
B
(2) OP=3 cm のとき，四角すい OQRST と四角すい OABCD の体積
比を求めよ。
(3) OP=4 cm のとき，四角すい OQRST と四角すい台 QRST-ABCD
の体積比を求めよ。
(4) OP=9 cm のとき，四角すい台 QRST-ABCD の体積を求めよ。
(5) 四角形 QRST の面積が，底面 ABCD の面積の 1 になるとき，四
2
角すい OQRST と四角すい OABCD の体積比を求めよ。
C
– 36 – 7 相似と計量
3
7.2 相似比と体積比
右の図で，1 辺 6cm の立方体 ABCDEFGH があり，点 M，N はそれぞ
H
れ辺 FG，GH の中点である。
N
G
4 点 B，M，N，D を通る平面でこの立方体を切断した。このとき，次
E
F
M
の問に答えよ。
(1) 線分 MN と BD の長さの比を求めよ。
D
C
A
B
(2) 三角形 MGN と三角形 BCD の面積比を求めよ。
(3) 頂点 C を含む立体の体積を求めよ。
4
右の図は，∠B=∠E=90◦ ，AB=DE=6 cm，BC=EF=9 cm である三
D
H
角形 ABC，三角形 DEF を底面とし，側面はすべて長方形である三角柱
G
F
E
ABC-DEF を表している。
DG：GE=1：2，GH//EF，AD=8 cm のとき，次の問に答えよ。ただ
し，無理数の場合は
√
の中を最も小さい整数にせよ。
A
(1) 線分 GH の長さを求めよ。
B
(2) 三角形 DGH と三角形 ABC の面積の比を求めよ。
(3) 立体 BCEFHG の体積を求めよ。
C
相似比と体積比
7.2
5
7 相似と計量 – 37 –
右の図で，三角形 ABC は ∠A=90◦ の直角三角形で，側面はすべて長方
A
形である三角柱 ABC-DEF を表している。辺 EF の中点 M，辺 AC 上に
AN：CN=1：2 となる点 N をとり，点 M から線分 BN に平行な直線をひ
N
B
C
き辺 DF との交点を L とし，4 点 B，M，L，N を通る平面でこの立体を 2
つに分ける。
AB=9 cm，AC=AD=12 cm のとき，次の問に答えよ。ただし，無理数
√
の場合は
D
L
の中を最も小さい整数にすること。
(1) 線分 LF の長さを求めよ。
(2) 三角形 ABN と三角形 LMF の面積比を求めよ。
(3) 頂点 A を含む方の立体の体積を求めよ。
E
M
F

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