あもんノート
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ユークリッド幾何学、ニュートン力学から、相対論、宇宙論、量子論、素粒子論、そ
してひも理論まで、理論物理学を簡潔にかつ幅広く網羅したノートです。TOP へは上
の URL をクリックして行けます。
目次
1
2
ひも理論入門
1.1
相対論的粒子の作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
e=1 ゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
物理的状態と BRS 電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
南部・後藤作用とポリヤコフ作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
共形ゲージと共形対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
ひもの運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7
ユークリッド化と複素座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.8
ゴーストの運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9
共形カレントと共形保存量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.10 ヴィラソロ代数と中心電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
1
ひも理論入門
ひも理論 (弦理論, string theory) は、もともとはハドロンの性質を説明するた
めに考案された理論ですが、その後、量子重力を含む理論になり得ることが指摘
され、特にフェルミオンを導入したものは万物の理論 (theory of everything) の候
補と考えられています。ここではまず簡単な相対論的粒子の系で特異系の量子論
を復習し、次に同様な方法でひも理論を構成し、その性質を見てゆくことにしま
しょう。
1.1
相対論的粒子の作用
質量 m の相対論粒子の作用は、世界線の長さ ×(−m) で、
Z
Sm = −m dτ
と書かれるのでした。ここで τ は固有時間です。世界線上の適当なパラメータを
λ, 世界線各部のローレンツ座標を xµ (λ), ローレンツ計量を ηµν とすれば、ミン
コフスキー計量構造 : dτ 2 = ηµν dxµ dxν に注意して、
Z
√
Sm = −m dλ x·
˙ x˙
と書くこともできます。ドットは λ 微分、センタードットはローレンツ計量によ
る内積を意味します (図 1)。
√
そうすると、ラグランジアンは L = −m x·
˙ x˙ であり、xµ の正準共役変数は、
∂L
mx˙ µ
pµ = µ = − √
∂ x˙
x·
˙ x˙
となり、正準変数の間に p·p = m2 という拘束条件を生じてしまいます。このた
め正準量子化を行えません。こうした困難が生じるのは、世界線のパラメーター
λ の与え方が任意で、このため再パラメータ化 (reparameterization) :
δλ = λ0 − λ = −θ(λ)
に関して作用 Sm が不変だからです。すなわち系がローカル対称性を持っていて、
特異系になっているからです。
x0µ (λ0 ) = xµ (λ) ∴ x0µ (λ − θ(λ)) = xµ (λ)
∴ x0µ (λ) = xµ (λ + θ(λ)) = xµ (λ) + θ(λ)x˙ µ (λ)
2
図 1: 世界線
に注意すると、力学変数 xµ の無限小変換は、
δxµ (λ) = θ(λ)x˙ µ (λ)
と書かれます。このローカル対称性を固定しなければ正準量子論が得られないの
は当然でしょう。
いま、e(λ) を補助変数として、
1
S=−
2
µ
Z
dλ
x·
˙ x˙
+ m2 e
e
¶
という作用を考えると、これは元の作用 Sm と等価です。実際このとき e に関す
る運動方程式は、
√
x·
˙ x˙
e=
m
となるため、これを S に戻せば Sm が得られます。しかしいぜんとして S は、
δxµ = θx˙ µ ,
˙ + θe˙
δe = θe
という再パラメータ化に対して不変です。
1.2
e=1 ゲージ
そこで、生成汎関数 :
Z[J] =
Z
DxDe eiS+J·x
.Z
DxDe eiS
から再パラメータ化の自由度を抜き出し、この自由度を固定する処理を行いましょ
う (ゲージ固定)。特に e = 1 に固定するなら、恒等式、
Z
δe
Dθ Det δ [e − 1] = 1
δθ
3
および、
µ
¶ Z
µZ
µ
¶ ¶
δe
d
d
= Det e + e˙ = DcDb exp
dλ b e
+ e˙ c
Det
δθ
dλ
dλ
に注意して、
Z
Z[J] =
DxDcDb e
˜
iS+J·x
.Z
˜
DxDcDb eiS ,
Z
˜ = − 1 (x·
˙ x˙ + m2 ) − ibc˙
L
2
を得るでしょう。このゲージ固定を特に e=1 ゲージといいます。c, b は実グラス
マン数の変数で、ゴーストを意味します。
˜ から得られる正準共役変数は、
有効ラグランジアン L
S˜ =
˜
dλ L,
˜
∂L
= −x˙ µ ,
∂ x˙ µ
˜
∂L
= −ib
∂ c˙
なので、今度の場合は拘束条件はなく、
[xµ , x˙ ν ] = −iη µν ,
[xµ , xν ] = [x˙ µ , x˙ ν ] = 0,
および、簡便量子化、
{c, b} = −1,
{c, c} = {b, b} = 0,
により正準量子論を得ることができます (他は可換)。運動方程式は、
x¨µ = 0,
c˙ = b˙ = 0
となるので、x˙ µ , c, b はそれぞれ保存量です。ハミルトニアンは、
˜
˜
∂L
∂L
µ
˜ = 1 (−x·
˜
c˙ − L
˙ x˙ + m2 )
H = µ x˙ +
∂ x˙
∂ c˙
2
となり、これも確かに保存量になっています。
ネーターの定理の観点から、系の 4 元運動量は x˙ µ です。ここでのハミルトニア
˜ は世界線の再パラメータ化のグローバル部分 (並進部分) からくる保存量で
ンH
あり、系のエネルギーとは異なるので注意してください。
1.3
物理的状態と BRS 電荷
˜ が保存量であることに注意して、物理的状態空間を、
ハミルトニアン H
˜ >= 0}
Vphys = { |f > | H|f
4
˜ は世界線の再パラメータ化の並進部分の生成子なので、こ
で定義しましょう。H
の仮定は、物理的状態、すなわち我々の量子世界が、パラメータ λ の並進変換に
対し不変であることを意味しています。パラメータ λ は物理的な量ではないので、
˜ は保存量なので、この仮定は初期条件と
この仮定はいたって自然です。また、H
考えることもできます。
いま、4 元運動量 x˙ µ の固有値 k µ , ゴースト c の固有値 γ を与える固有ベクト
ルを |k, γ > とすると、
x˙ µ |k, γ > = k µ |k, γ >,
c|k, γ > = γ|k, γ >
˜ γ > = 0 から、
ですが、これが物理的状態にあるとすれば、H|k,
k·k = m2
です。すなわち物理的状態においては、4 元運動量 x˙ µ の固有値は必ず on-shell に
あるというわけです。
ちなみに ξ を無限小のグラスマン数として、
δB xµ = ξcx˙ µ ,
δB c = 0,
δB b =
iξ
(x·
˙ x˙ − m2 )
2
で BRS 変換を定義すると、
˜=−
δB L
¢
ξ d ¡
c(x·
˙ x˙ + m2 )
2 dλ
が確かめられるので、有効作用 S˜ は BRS 変換に対して不変です。ネーターの定
理から得られる保存量は、
QB =
1
˜
c(−x·
˙ x˙ + m2 ) = cH
2
となり、BRS 電荷と呼ばれます。明らかに Q2B = 0 で、すなわち BRS 電荷のベキ
零性が成立します。
˜ > = 0 は、ゲージ場の量子論で知られるような一般的
ここでの物理的条件 H|f
な物理的条件 QB |f > = 0 の十分条件になっていて、
˜ > = 0 ⇒ QB |f > = 0
H|f
であることに注意してください。
(余談) たかが 1 粒子の量子力学が相対論的な場合はそれが特異系であるために、このようにレ
ベルの高い話になります。相対論的な場合は粒子よりむしろスカラー場の量子論の方が、ローカ
ル対称性を持たないため、初等的なレベルで済むわけです。
5
1.4
南部・後藤作用とポリヤコフ作用
それではひも理論に進みましょう。
空間的にひも状の物体はミンコフスキー時空において 2 次元の面を描くことに
なります。これを世界面といいます。世界面上の適当なパラメータ (2 次元座標) を
σ a (α = 0, 1), 世界面各部のローレンツ座標を X µ (σ) とすると、世界面の計量は、
g¯αβ = ηµν
∂X µ ∂X ν
= ∂α X ·∂β X
∂σ α ∂σ β
となります (図 2)。
図 2: 世界面
ひも理論の作用は世界面の面積に比例したものと仮定され、
Z
p
1
2
d σ − det g¯
SNG = −
2πα0
と書かれます。これを南部・後藤作用といいます。α0 はひも理論における唯一の
定数で、作用の無次元性から質量次元 −2 です。よってこの理論が量子重力を意
味していると考えた場合、α0 は万有引力定数程度の量ということになります。以
下、α0 = 1 の単位系をとります。
gαβ (σ) を補助場として、
1
S=−
4π
Z
p
d σ − det g g αβ ∂α X ·∂β X
2
はポリヤコフ作用と呼ばれますが、これは南部・後藤作用と等価です。実際、
δ det g = det g g αβ δgαβ ,
δg αβ = −g αγ g βδ δgγδ
に注意すると、gαβ の場の方程式は、
µ
¶
1p
1 αβ γδ
δS
=−
− det g
g g − g αγ g βδ g¯γδ = 0
δgαβ
4π
2
6
∴ gαβ g γδ g¯γδ = 2¯
gαβ
を与えますが、g γδ g¯γδ = k とおくことで、
2
g¯αβ
k
が任意の 0 でない実数 k に対して解であるとわかります。これを S に戻して gαβ
を消去すると、南部・後藤作用 SNG が得られます。
gαβ =
ポリヤコフ作用は、再パラメータ化 (2 次元一般座標変換) :
δX µ = θα ∂α X µ ,
δgαβ = θγ ∂γ gαβ + ∂α θγ gγβ + ∂β θγ gαγ
に対して不変になっています (δσ α = −θa )。また、ワイル変換 (スケール変換) :
δgαβ = λgαβ
に対しても不変になっています。ここで θa , λ は共に世界面の座標 σ α に依存した
無限小量で、 それゆえこれら対称性は自由度 3 のローカル対称性です。
1.5
共形ゲージと共形対称性
ひも理論の生成汎関数は、ポリヤコフ作用を S として、
Z
.Z
DXDg eiS
Z[J] = DXDg eiS+J·X
ですが、補助場 gαβ を 2 次元ローレンツ計量 ηαβ に固定すれば、自由度 3 のロー
カル対称性を全て殺せます。恒等式、
Z
δg
Dθ Det δ [ g − η ] = 1
δθ
および、cγ , aαβ (= aβα ) を実グラスマン数として、
µZ
¶
Z
δg
d2 σ cγ (−gαβ ∂γ + gγβ ∂α + gαγ ∂β )aαβ
Det
= DaDc exp
δθ
であることに注意すれば、
Z
.Z
˜
˜
iS+J·X
Z[J] = DXDaDc e
DXDaDc eiS ,
Z
Z
1
2
α
S˜ = −
d σ ∂α X ·∂ X − i d2 σ cγ ∂α (−δγα aββ + 2aαγ )
4π
を得るでしょう。添字の上げ下げはローレンツ計量で行っています。あるいは、
bαγ = 2π(−δγα aββ + 2aαγ ) で変数変換すれば、bαα = 0, bαβ = bβα が成り立ち、有効作
用は、
µ
¶
Z
1
1
d2 σ
∂α X ·∂ α X + icγ ∂α bαγ
S˜ = −
2π
2
7
となります。このゲージ固定を共形ゲージといいます。
ポリヤコフ作用が、一般座標変換 + ワイル変換 :
δgαβ = θγ ∂γ gαβ + ∂α θγ gγβ + ∂β θγ gαγ + λgαβ
に対して不変であったことに対応し、有効作用 S˜ は、
∂α θβ + ∂β θα = −ληαβ
を満たす変換パラメータ θα による一般座標変換に対して不変です。この変換は角
度を変えない変換になっているため、共形変換と呼ばれ、共形変換に対して不変
な性質は共形対称性 (conformal symmetry) と呼ばれます。変換パラメータ θα は
完全に自由ではないため、共形対称性はローカル対称性ではありません。いわば
無限自由度のグローバル対称性であり、それゆえ共形対称性を持つ理論は無限個
の保存量を持ちます。
1.6
ひもの運動
有効作用 S˜ の式から、ひも座標 X µ (σ) の運動方程式は、
∂α ∂ α X µ = 0
です。いま、閉じているひも (閉弦) を考え、σ 1 = 0 ∼ 2π とし、周期的境界条件
1
を課すと、{ einσ | n ∈ Z } が完全系を成すことに注意して、
X
1
µ
X =
fnµ (σ 0 ) einσ
n∈Z
とおけます。これを運動方程式に代入して、f¨nµ = −n2 fnµ . ドットは σ 0 による微
分を意味します。よって、
(
xµ + uµ σ 0
(n = 0)
µ
fn =
0
0
Aµn einσ + Bnµ e−inσ (n 6= 0).
ここで xµ , uµ , Aµn , Bnµ は定数です。これを X µ の式に戻すわけですが、後の便
宜上、
i
i
Aµ−n = √ αnµ , Bnµ = √ α
¯ nµ
2n
2n
と置換して、
´
i X 1 ³ µ −in(σ0 +σ1 )
µ
µ
µ 0
µ −in(σ 0 −σ 1 )
α e
X =x +u σ + √
+α
¯n e
n n
2
n6=0
8
を得ます。これが X µ の一般解の式です。X µ の実性 : X µ∗ = X µ は、
xµ∗ = xµ ,
µ
αnµ∗ = α−n
,
uµ∗ = uµ ,
µ
α
¯ nµ∗ = α
¯ −n
であれば満たされます。
X µ の正準共役は −(2π)−1 X˙ µ となるので、正準交換関係は、
[X µ (σ), X˙ ν (σ 0 )]σ0 =σ00 = −2πi η µν δ(σ 1 −σ 01 )
で与えられ、他は同 σ 0 値において可換です。これは、
[xµ , uν ] = −iη µν ,
ν
ν
0
[αnµ , αm
] = [¯
αnµ , α
¯m
] = −nδn+m
η µν
µ
において満たされます (他は可換)。αnµ と α−n
= αnµ∗ (n = 1, 2, · · · ) が交換せず、
これらが場の量子論における生成消滅演算子の役割を果たします。生成消滅演算
子が多数あるのは、ひもが色々な振動モードを持つからで、大別して αnµ と α
¯ nµ の
2 種類が存在するのは、ひもが閉じていることにより、右回りと左回りの振動モー
ドが存在するためです。
ネーターの定理の観点から、系の 4 元運動量は、
´
1 X ³ µ −in(σ0 +σ1 )
1 ˙µ
µ
µ −in(σ 0 −σ 1 )
µ
X =p + √
+α
¯n e
P =
αn e
2π
2 2π n6=0
であり、ここで、
1 µ
u
2π
はひもの重心の 4 元運動量を意味します。pµ の固有値が物理的条件によりどのよ
うに束縛されるかが重要になってきます。
pµ =
1.7
ユークリッド化と複素座標
共形変換の式 : ∂α θβ + ∂β θα = −ληαβ をばらして書くと、
∂0 θ0 = −
λ
2,
∂1 θ1 =
λ
2,
∂0 θ1 + ∂1 θ0 = 0
ですが、θα = −δσ a だったので、これらは、
∂δσ 0
∂δσ 1
=
∂σ 0
∂σ 1 ,
∂δσ 1
∂δσ 1
=
∂σ 0
∂σ 0
を意味します。また、
τ = iσ 0 ,
σ = σ1
9
で世界面座標のユークリッド化を行えば、
∂δτ
∂δσ
=
∂τ
∂σ,
∂δσ
∂δτ
=−
∂τ
∂σ
となります。さらに、
z = eτ +iσ
で世界面の複素座標 z を定義すれば、共形変換は、
δz = ²f (z)
と表せます。ここで ² は無限小の実数、f は任意の複素関数です。実際このとき、
δz = zδτ + izδσ に注意して、上式は、
∂δτ
∂δσ
d f (z)
+
i
=
²z
²f (z)
∂τ
∂τ
dz z
δτ + iδσ =
∴
z
∂δτ
∂δσ
d f (z)
+i
= i²z
∂σ
∂σ
dz z
µ
¶
µ
¶
∂δτ
∂δσ ∂δτ
∂δσ
∴
−
+i
+
=0
∂τ
∂σ
∂τ
∂σ
を与えますが、これは τ を実数とみなすユークリッド化の観点において、共形変
換の式を意味しています (∗) 。
一方、共形ゲージにおける有効作用 S˜ は、世界面上の一般座標を χα として、
µ
¶
Z
p
1
1
d2 χ − det g
S˜ = −
g αβ ∂α X ·∂β X + ig αβ cγ ∇α bβγ ,
2π
2
∇α bβγ = ∂α bβγ −Γδ βα bδγ −Γδ γα bβδ
と書けるはずです。ここで計量と接続係数は、
gαβ
∂σ γ ∂σ δ
= α β ηγδ ,
∂x ∂x
1
(−∂α gβγ + ∂γ gαβ + ∂β gγα )
2
Γαβγ =
で与えられます。特に複素座標 :
z = eτ +iσ ,
z¯ = eτ −iσ
においては、
∂σ 0
1
=
∂z
2iz,
1
∂σ 0
=
∂ z¯
2i¯
z,
1
∂σ 1
=
∂z
2iz,
1
∂σ 1
=−
∂ z¯
2i¯
z
に注意して、
gz z¯ = gz¯z = −
1
2z z¯,
g z z¯ = g z¯z = −2z z¯
10
( 他の成分は 0 ),
1
1
Γz¯z¯z¯ = −
( 他の成分は 0 )
z,
z¯
= b11 , b01 = b10 から bz z¯ = bz¯z = 0 であることに注意して、有
Γz zz = −
となり、また、b00
効作用は、
Z
¡
¢
1
S˜ =
dzd¯
z ∂z X ·∂z¯X + icz ∂z¯bzz + icz¯∂z bz¯z¯
2π
となります。
複素座標におけるひも座標の運動方程式が、
∂z ∂z¯X µ = 0
となることに注意してください。その解は、任意の z の関数と任意の z¯ の関数の
和です。一方、ひも座標の一般解を複素座標で表すと、
¢
i µ
i X 1 ¡ µ −n
µ
µ
X = x − u log(z z¯) + √
αn z + α
¯ nµ z¯−n
2
2 n6=0 n
ですが、これは確かにそのような形式になっています。
(*注) 複素関数を 2 次元ユークリッド空間上の写像 R2 → R2 と見たときにこれが共形になるこ
とは比較的有名な話で、初等的な関数論において習うことも多いでしょう。共形対称性に関する保
存量を構成するためにはユークリッド化および複素座標の導入は不可欠であり、このためひも理
論は他の量子物理学と比べひときわ難解なものになってしまいます。
1.8
ゴーストの運動
有効作用 S˜ の式から、ゴーストの運動方程式は、
∂z¯cz = ∂z¯bzz = ∂z cz¯ = ∂z bz¯z¯ = 0
です。すなわち cz , bzz は z だけの関数で、また、cz¯, bz¯z¯ は z¯ だけの関数になり
ます。よって一般解は、
X
X
z
−n+1
c =i
cn z
, bzz =
bn z −n−2
n∈Z
cz¯ = i
X
n∈Z
c¯n z¯−n+1 ,
n∈Z
bz¯z¯ =
X
¯bn z¯−n−2
n∈Z
のように書けます。ここで cn , bn , c¯n , ¯bn はグラスマン数の係数です。
∂z 1
∂z 0
c
+
c = iz(c0 + c1 ),
0
1
∂σ
∂σ
µ 0
¶
∂σ ∂σ 0 ∂σ 1 ∂σ 1
∂σ 0 ∂σ 1
1
=
+
b00 + 2
b01 = − 2 (b00 + b01 )
∂z ∂z
∂z ∂z
∂z ∂z
2z
cz =
bzz
11
に注意すると、cz /(iz) および z 2 bzz が実であり、このことから、
c∗n = c−n ,
b∗n = b−n
です。c¯n , ¯bn についても同様で、c¯∗n = c¯−n , ¯b∗n = ¯b−n .
また、
dzd¯
z = 2z z¯ dσ 0 dσ 1 ,
∂z =
1
(∂0 + ∂1 ),
2iz
∂z¯ =
1
(∂0 − ∂1 )
2i¯
z
に注意すると、有効作用のゴースト部分は、
Z
¡
¢
1
d2 σ zcz (∂0 − ∂1 )bzz + z¯cz¯(∂0 + ∂1 )bz¯z¯
2π
となるので、bzz の正準共役は (2π)−1 zcz であり、 bz¯z¯ の正準共役は (2π)−1 z¯cz¯ で
す。よって正準反交換関係は、
{bzz (z), z 0 cz (z 0 )}σ0 =σ00 = 2πi δ(σ 1 −σ 01 ),
{bz¯z¯(¯
z ), z¯0 cz¯(¯
z 0 )}σ0 =σ00 = 2πi δ(σ 1 −σ 01 )
で与えられ、他は同 σ 0 値において反可換です。これらは、
0
{bn , cm } = {¯bn , c¯m } = δn+m
(他は反可換)
において満たされることが確かめられるでしょう。
1.9
共形カレントと共形保存量
共形変換はユークリッド化のもとでは一般的な複素関数による変換となるため、
その無限小変換は、
X
δz = −
²n z n+1
n∈Z
と表せます。ここで ²n は複素数です。また、ユークリッド化の観点では z の複素
共役が z¯ であり、よって、
X
δ¯
z=−
²¯n z¯n+1
n∈Z
です。ここで ²¯n =
²∗n .
そうすると、ひも座標 X µ (z, z¯) の無限小変換は、
X¡
¢
µ
δX =
²n z n+1 ∂z X µ + ²¯n z¯n+1 ∂z¯X µ
n∈Z
となり、一方でゴーストについては、運動方程式 ∂z¯bzz = ∂z bz¯z¯ = 0 に注意して、
X¡
¢
δbzz =
²n z n+1 ∂z bzz + 2²n ∂z z n+1 bzz ,
n∈Z
12
δbz¯z¯ =
X¡
¢
²¯n z¯n+1 ∂z¯bz¯z¯ + 2¯²n ∂z¯z¯n+1 bz¯z¯
n∈Z
となります。また、有効ラグランジアン密度は、複素座標において、
¢
1 ¡
L˜ =
∂z X ·∂z¯X + icz ∂z¯bzz + icz¯∂z bz¯z¯
2π
ですが、その共形変換は、やはり運動方程式を用いて、
!
Ã
!
Ã
X
X
1
1
²n z n+1 ∂z X ·∂z¯X + ∂z¯
²¯n z¯n+1 ∂z X ·∂z¯X
δ L˜ = ∂z
2π
2π
n∈Z
n∈Z
と計算されます。よって共形変換の保存カレントを Tnα , T¯nα (α = z, z¯) とすると、
ネーターの定理から、
X¡
¢
²n Tnz + ²¯n T¯nz =
n∈Z
∂ L˜
1 X
∂ L˜
µ
δbz¯z¯ −
²n z n+1 ∂z X ·∂z¯X,
δX +
µ
∂∂z X
∂∂z bz¯z¯
2π
n∈Z
X¡
¢
²n Tnz¯ + ²¯n T¯nz¯ =
n∈Z
∂ L˜
1 X
∂ L˜
µ
δb
−
δX
+
²¯n z¯n+1 ∂z X ·∂z¯X
zz
µ
∂∂z¯X
∂∂z¯bzz
2π
n∈Z
ですが、ここから、
¢
i ¡ n+1 z
1 n+1
z ∂z X ·∂z X +
z c ∂z bzz + 2∂z z n+1 cz bzz ,
2π
2π
¢
1 n+1
i ¡ n+1 z¯
T¯nz =
z¯ ∂z¯X ·∂z¯X +
z¯ c ∂z¯bz¯z¯ + 2∂z¯z¯n+1 cz¯bz¯z¯
2π
2π
および、Tnz = T¯nz¯ = 0 を得ます。
Tnz¯ =
そうすると、例えば、
Z 2π
Z
0
Ln = 4i
dσ Tn = 4i
0
dz
z z¯=s 2iz
µ
¶
Z
1 z
1 z¯
1
Tn +
Tn =
dz Tnz¯
2iz
2i¯
z
is z z¯=s
はネーターの定理により保存量となり、s = e2τ に依存しません。よって特に s = 1
(σ 0 = 0) において表すと、
I
dz n+1
(c)
z ∂z X ·∂z X,
Ln = L(α)
L(α)
n + Ln ,
n =
2πi
I
¢
dz ¡ n+1 z
n+1 z
L(c)
=
z
c
∂
b
+
2∂
z
c
b
z zz
z
zz
n
2π
H
となります。ここで は z z¯ = 1 (単位円) 上の積分を意味します。同様に、
Z 2π
¯ n = −4i
L
dσ T¯n0
0
13
に対して、
I
¯n =
L
¯ (α)
L
n
¯ (c)
L
n =
+
I
d¯
z n+1
z¯ ∂z¯X ·∂z¯X,
2πi
¢
d¯
z ¡ n+1 z¯
z¯ c ∂z¯bz¯z¯ + 2∂z¯z¯n+1 cz¯bz¯z¯
2π
¯ (c)
L
n ,
¯ (α)
L
n
=
¯ n が共形対称性に基づく保存量で、n ∈ Z ですから、これは無限個あ
です。Ln , L
ります。
1.10
ヴィラソロ代数と中心電荷
ひも座標の一般解から、
i X µ −n−1
αn z
∂z X µ = − √
,
2 n∈Z
1
α0µ := √ uµ
2
となることに注意すると、
I
dz n+1
1X
(α)
Ln =
z ∂z X ·∂z X = −
αn−k ·αk
2πi
2
k∈Z
µ
を得ますが、n = 0 のときは αn−k
と αkν が交換しないため、これらの順序に関す
る不定性を生じます。そこで上式は n 6= 0 の場合とし、n = 0 のときは、
(α)
L0 = −
1X
: α−k ·αk : −a
2
k∈Z
とします。ここで、
(
: α−k ·αk : =
α−k ·αk
(k ≥ 0)
αk ·α−k
(k < 0)
(α)
は正規順序積で、a は不定の定数です。Lk
なしています。
(k = 1, 2, · · · ) を全て消滅演算子とみ
(α)
Ln の交換関係は、交換子の中では定数を加える不定性が消えることに注意す
ると、任意の整数 n, m に対し、
1 XX
(α)
(α)
[αn−k ·αk , αm−l ·αl ]
[Ln , Lm ] =
4
k∈Z l∈Z
ですが、交換子のライプニッツ則から、
[ab, cd] = [ab, c]d + c[ab, d] = [a, c]bd + a[b, c]d + c[a, d]b + ca[b, d]
14
ν
0
であること、および [αnµ , αm
] = −nδn+m
η µν を用いれば、
¢
1 X¡
(α)
(α)
[Ln , Lm ] = −
(n−k)αk ·αn+m−k + (k−m)αn+m−k ·αk
2
k∈Z
(α)
と計算されます。n + m 6= 0 のとき右辺は (n − m)Ln+m となりますが、n + m = 0
のときは演算子の交換による定数項を生じ、結果、
(α)
0
(α)
(α)
[L(α)
n , Lm ] = (n − m)Ln+m + δn+m An
(α)
と書けます。一般にこのような交換関係を持つ代数 Ln をヴィラソロ代数といい、
(α)
定数 An を中心電荷 (central charge) といいます。中心電荷を直接的に導出しよ
うとすると ∞ − ∞ のようなトリッキーな問題を生じるため、ここでは間接的な
アプローチでこれを評価することにしましょう。
まず、ヤコビ恒等式 :
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
[ [L(α)
n , Lm ], Lk ] + [ [Lm , Lk ], Ln ] + [ [Lk , Ln ], Lm ] = 0
(α)
(α)
(α)
が、特に n + m + k = 0 において、(n−m)Ak + (m−k)An + (k−n)Am = 0 を
与えることに注意します。すなわち中心電荷は、任意の整数 n, m について、
(α)
(α)
(n−m)A−n−m + (2m+n)A(α)
n − (2n+m)Am = 0
を満たすはずで、この式の一般解は、
3
A(α)
n = c3 n + c1 n
と表されます。2 つの未定係数 c3 , c1 は以下のように定まります。
√
いま、ひもの基底状態 |0 > を、全ての消滅演算子および α0µ = (1/ 2)uµ によっ
て消える状態としましょう :
αnµ |0 > = 0 (n ≥ 0),
(α)
< 0|0 >= 1.
(α)
そうすると、L1 , L−1 は共に基底状態を消すことが確かめられるので、
(α)
(α)
< 0| [L1 , L−1 ] |0 > = 0
(α)
ですが、ヴィラソロ代数の式と L0
す。よって、
(α)
の式から、左辺は −2a + A1
と評価されま
(α)
A1 = 2a.
(α)
(α)
また、L2 は同様に基底状態を消しますが、L−2 においては −(1/2)α−1 ·α−1 の項
だけが基底状態を消さないことに注意すると、
(α)
(α)
(α)
(α)
< 0| [L2 , L−2 ] |0 > = < 0|L2 L−2 |0 > =
15
D
1
< 0|α1 ·α1 α−1 ·α−1 |0 > =
4
2.
(α)
ここで D = δµµ は時空の次元です。一方、ヴィラソロ代数の式と L0
(α)
左辺は −4a + A2
と評価されるので、
(α)
A2 =
(α)
A1
(α)
と A2
の式から、
D
+ 4a.
2
の式から未定係数 c3 , c1 が定まり、結果、中心電荷の式として、
A(α)
n =
D 3
(n − n) + 2an
12
を得るでしょう。
書きかけ
16
索引
あ
e=1 ゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
か
共形ゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
共形対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
共形変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
さ
再パラメータ化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
世界面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
相対論粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
た
中心電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
な
南部・後藤作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
は
ひも理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
ヴィラソロ代数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
複素座標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
閉弦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
ポリヤコフ作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
や
ユークリッド化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
わ
ワイル変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
17
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