1/11
２０１４年度 東北大学（理系） 数学解答・解説および配点予想
ここでは理系数学の満点を 300 点満点で考えています。学部学科によっては満点が異なる場合が
ありますが、採点基準は共通であると考えられます。
1
配点予想
（50 点）
【解答】
(1)
0 < t≦
1
dx
1
4
1
のとき，
= 1 − 2 ≦ 1 − = − < 0 となるから，
dt
2
3
3
3t
3点
x は単調減少する．
3点
1⎞
⎛
また， lim ⎜ t + ⎟ = + ∞ であるから， x のとりうる値の範囲は，
t → +0⎝
3t ⎠
4点
t=
1
1 2
7
のとき， x = + =
より，
2
2 3
6
x≧
7
6
…(答)
5点
2
(2)
⎛
a⎞
a2
与方程式の左辺を f (x ) とおくと， f ( x ) = ⎜⎜ x + ⎟⎟ −
+b
2⎠
4
⎝
題意を満たす条件は，次の(ⅰ)または(ⅱ)の場合である．
a2
4
(ⅰ) 判別式
D = a 2 − 4b ≧ 0
かつ
軸の位置
−
かつ
境界条件
⎛ 7 ⎞ 49 7
+ a + b≧0
f⎜ ⎟=
⎝ 6 ⎠ 36 6
(ⅱ) 境界条件
∴ b≦
a
7
≧
2
6
7
3
∴ a≦−
⎛ 7 ⎞ 49 7
+ a + b ≦0
f⎜ ⎟=
⎝ 6 ⎠ 36 6
5点
…①
5点
…②
∴ b≧ −
∴ b≦−
7
49
a−
…③
6
36
7
49
a−
…④
6
36
5点
10 点
ゆえに，求める点( a ， b )の存在
範囲は，右図の斜線部分である．
b=
（ただし，境界をすべて含む）…(答)
a2
4
図に 8 点
境界について
述べて 2 点
−
7
3
b=−
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール
7
49
a−
6
36
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1
【解説】
t > 0 だから，(相加平均)≧(相乗平均)を考える人もいるかも
しれないが， x が最小となるときの t の値は t =
0 < t≦
x=t+
1
であるから，
3
1
の範囲外である．
2
1
3
1
のグラフの全体像を右に示すが，見ての通り，
3t
0 < t≦
1
において x は単調に減少するので，
【解答】のように
2
t で微分して調べるのが確実な方法だろう．ここはちょっとだけ数学Ⅲだ．
(2)は， x = t +
1
に関係なく，数学Ⅰで学ぶ「方程式の解の配置問題」であるから，定石通り
3t
判別式，軸の位置，境界条件の３つを用いて， a ， b がみたす条件を特定していけばよい．
2
⎛
a2
a⎞
a2
この場合は判別式よりも， y = f ( x ) = ⎜⎜ x + ⎟⎟ −
+ b のグラフの頂点の y 座標 −
+ b ≦0 の
2⎠
4
4
⎝
方が速いが，一般的には判別式の方が好まれるようなので【解答】のようにして求めた．
「少なくとも 1 つの解」をもつように条件を定めるので，
【解答】の(ⅰ)(ⅱ)のような場合分けが
必要である．Web でこのページをカラーで見ている人は，
(ⅰ)が緑の領域，(ⅱ)が青の領域
であるから，見分けておこう．
養賢ゼミナール本科生は，前期数学ⅠＡテキスト
「日々の試練」第５回の問題３を参照してほしい．
【山影 哲】
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
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2
(1)
（50 点）
【解答】
配点予想
題意の条件より，点 N の位置ベクトルは，
ON = OD + t DG
（0 < t <
1
）
2
2点
= ( − 1 ， 0 ， 6 ) + t ( 0 ，3， 0 ) = ( − 1 ， 3t ， 6 )
また， OM = OA +
1
3
AB = ( 2 ， 0 ， 0 ) + ( 0 ， ， 0 )
2
2
= (2 ，
MN = ON − OM = ( − 3 ， 3t −
MN
2
0<t<
(2)
と表せる．
3
，0 )
2
3
， 6)
2
2点
であるから，
2
⎛
⎛
3
3⎞
3⎞
= 9 + ⎜⎜ 3t − ⎟⎟ + 6 = 4 2 …① ⇔ ⎜⎜ 3t − ⎟⎟ = 1 ⇔ 3t − = ±1
2⎠
2⎠
2
⎝
⎝
1
1
より， t =
2
6
ゆえに，N ( − 1 ，
1
， 6)
2
…(答)
点 P（ 0 ， y ， 0 ）とおけて，平面 EMN 上にあることから，
EP = α EM + β EN
2点
3点
より，
2
2点
（ α ， β は実数）と表せる．
①式に 3 点
3点
2点
3点
よって， OP = OE + EP = OE + α EM + β EN
3
1
，− 6 )+ β (−2 ， ，0 )
2
2
= (1 ， 0 ， 6 ) + α (1 ，
3
1
α + β ， 6 − 6α )
2
2
= (1 + α − 2β ，
1 + α − 2 β = 0 かつ
3
1
α + β = y かつ
2
2
これを解いて， α = β = 1 ， y = 2
(3)
となるから，
6 − 6α = 0
ゆえに，P（ 0 ， 2 ， 0 ）…(答)
3点
4点
3点
5点
(2)の結果より， EP = EM + EN と表せるから，題意の切り口は
平行四辺形 EMPN となる．
ゆえに求める面積は，
EM
=
1
4
5点
2
EN
2
(
− EM ⋅ EN
37 ⋅17 − 25 =
151
2
)
2
3点
…(答)
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
5点
4/11
2
【解説】
今年度のセンター数学ⅡＢの第４問と同じような設定の問題であるから，終わった試験と
はいえ，解けなかった人でもしっかり復習していた人は，この問題を解くのに役立ったの
ではないだろうか．センター数学ⅡＢでは立方体であったが，平行六面体も本質的には同
じものなので，ベクトルの式の作り方に何ら違いはない．この問題では，OA ，OC ，OD が
基底となる３つのベクトルで，これらを用いて，同じ空間内のどの点の位置ベクトルでも
表すことができるからである．
点 P は y 軸上の点であるが，同時に平面 EMN 上にもあるので，実数 α ， β を用いて，
EP = α EM + β EN と表せることがポイントである．このように，同じ平面上にある条件
を使う問題は，2006 年度東北大学文系理系共通問題として出題されているから，過去問
を研究している人にとっては常識だろう．
また，平面 EMN による切り口の形状であるが，こういうときは大抵，平行四辺形という
ことになっているから， α = β = 1 より， EP = EM + EN となることから確信するだろう．
三角形 EMN の面積は，
1
2
EM
2
EN
2
(
− EM ⋅ EN
)
2
という
公式を用いて求めるのは基本であるが，平行四辺形の場合は
1
倍しなければよいだけなので，同じ公式が使えるのだ．
2
このように公式を覚えるときは，丸暗記せずに意味を理解して
から覚えると，応用範囲が拡がるのである．
なお，この問題のコンピュータグラフィックスを作ってみたので，イメージできない人は
参考にしてほしい．（Web で見ている人は，↓このリンクをクリックして下さい）
http://www.yoken.ac/JavaProg/Tohoku142.htm
養賢ゼミナール本科生は，ベクトルチェックテスト第 15 回が同様の問題であるから参照し
よう．
【山影 哲】
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
5/11
3
（50 点）
【解答】
配点予想
文系学部第２問と同一ですので，↓こちらをご覧下さい．
http://www.yoken.ac/news_flash/2014/2014th_mb.pdf#page=4
（Web で見ている人は，クリックして下さい）
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
6/11
4
（50 点）
【解答】
配点予想
a 2 + b2 = 0 のとき， a = b = 0 となるから，3 点 P′ ， Q′ ， R ′ はいずれも
原点 O となるので，題意の条件を満たさない．
述べて 3 点
a 2 + b2 ≠ 0 のとき，正の実数 r = a 2 + b2
および任意の実数 θ を用いて，
cos θ =
a
a 2 + b2
， sin θ =
⎛ cos θ
⎛ a − b⎞
⎟⎟ = r ⎜⎜
A = ⎜⎜
⎝ sin θ
⎝b a ⎠
b
a 2 + b2
定義して 5 点
とおくと，
− sin θ ⎞
⎟ と表せるから，
cos θ ⎟⎠
5点
行列 A の表す 1 次変換により， OP ， OQ ， OR はそれぞれ原点を
中心として r 倍に相似変換され，さらに θ だけ回転移動する．
述べて 4 点
よって，題意の条件より，
P（ cos α ， sin α ），Q（ 2 cos β ， 2 sin β ），R（ 2 cos γ ， 2 sin γ ）
4点
とおけて，行列 A の表す 1 次変換により，
P′ （ r cos(α + θ ) ， r sin(α + θ ) ）
， Q′ （ 2r cos(β + θ ) ， 2r sin(β + θ ) ），
R ′ （ 2r cos(γ + θ ) ， 2r sin (γ + θ ) ）となる．
4点
ここで，点 P′ が領域 D 内に含まれるための条件は，
{
}
1 ≦ r 2 cos2 (α + θ ) + sin 2 (α + θ ) ≦ 4
∴
1 ≦ a 2 + b2 ≦ 4 …①
6点
また，点 Q′ が領域 D 内に含まれるための条件は，
{
}
1 ≦ 4 r 2 cos2 ( β + θ ) + sin 2 ( β + θ ) ≦ 4
1
≦ a 2 + b2 ≦1 …②
4
∴
6点
さらに，点 R ′ が領域 D 内に含まれるための条件も同様に②を満たす．
よって，①かつ②をみたす条件は， a 2 + b2 = 1 である．
3点
逆にこのとき， OP ， OQ ， OR はいずれも原点を
中心として θ だけ回転移動するだけなので，
三角形 PQR が領域 D に含まれるならば，三角形
述べて 5 点
P′ Q′ R ′ は領域 D に含まれる．
ゆえに，求める必要十分条件は， a 2 + b2 = 1
…(答)
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
5点
7/11
4
【解説】
⎛ a − b⎞
⎟⎟ という型の行列は，東北大学に限らず入試では頻出であり，
A = ⎜⎜
【解答】のように，
⎝b a ⎠
⎛ cos θ
⎛ a − b⎞
⎟⎟ = r ⎜⎜
A = ⎜⎜
⎝ sin θ
⎝b a ⎠
− sin θ ⎞
⎟ と変形し，原点を中心にして r 倍に相似変換（ベクトルを伸ばし
cos θ ⎟⎠
たり縮めたりする）と θ だけ回転移動を行う 1 次変換を表すことは受験生の常識だろう．
この問題では，三角形 PQR が領域 D に含まれることは仮定されているから考えなくてよい．
このように「必要十分条件を求めよ」と言われたら，単に求めるだけでなく，
十分条件
a 2 + b2 = 1
三角形 P′ Q′ R ′ が領域 D に含まれる
必要条件
が両方向に成り立っていることを証明することが大切だから，必要条件から a 2 + b2 = 1 を求めた
ら，十分条件の確認も述べないと減点されるので注意しよう．
養賢ゼミナール生は，冬期講習「行列のできる受験生」のテキストに類題があるので，参照して
ほしい．
【山影 哲】
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
8/11
5
π
(1)
I0 =
∫π
2
4
cos x
dx = [ log sin x
sin x
= log1 − log
1
1
= log 2
2
2
π
(2)
配点予想
（50 点）
【解答】
I n − I n −1 =
2 cos((2n
∫π
4
π
=
∫π
2
4
=
(答)
π
] π2
3点
4
+ 1) x ) − cos((2n − 1) x )
dx
sin x
− 2 sin 2nx sin x
dx = −2
sin x
1 ⎛
nπ ⎞
⎜ cos nπ − cos
⎟
2 ⎠
n ⎝
I n − I n −1 =
π
∫π
2
3点
π
sin 2nx dx =
4
2
[ cos 2nx ] π2
2n
4
3点
3点
となるから，
( −1) n
（ n が奇数のとき）
n
( −1) n − ( −1)
n
(3)
5点
…(答)
各6点
n
2
（ n が偶数のとき）
(2)の結果より，
I5 − I4 =
( −1)5
( −1)5
であるから， I 5 =
+ I4
5
5
3点
( −1)5 ( −1)4 − ( −1)2
+
+ I3
5
4
3点
=−
1
( −1)3
+0+
+ I2
5
3
3点
=−
1
1 ( −1)2 − ( −1)1
−
+ I1
+
5
3
2
3点
=−
1
1
( −1)1
−
+ I0
+1 +
5
3
1
3点
これを繰り返して， I 5 =
ここで(1)の結果より，求める値は， I 5 =
1
8
log 2 −
2
15
…(答)
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
6点
9/11
5
【解説】
I n を直接定積分して求めるのは困難であるが， I n − I n −1 を求めれば， I n の漸化式が得られるから
繰り返し用いて， I 5 が求められるという数学Ⅲの定番問題である．
同様の解法を用いる定番問題に次のようなものがあり，市販の入試問題集にも大抵載っている．
負でない整数 m ， n に対して，
ベータ関数
I m, n =
ウォリスの定積分
∫
1
0
x m (1 − x )n dx
In =
∫
⇒
I
=
n
I
m +1
⇒
I n +2 =
n +1
In
n+2
m, n
π
2
0
sin n x dx
log(1 + x ) のマクローリン展開の積分剰余項
e x のマクローリン展開の積分剰余項
In =
In =
1
n!
∫
1
0
∫
m +1, n −1
x n −1
dx
0 1+ x
1
x n e − x dx
⇒
⇒
I n + I n +1 =
I n − I n −1 = −
1
n
1
n! e
これらの問題を解いたことのある人ならば，この東北大学の問題５ は，かなり易しく感じるだろう．
なぜならこの問題では，一般的な I n を考えるのではなく， I 5 を求めるだけでよいからである．
養賢ゼミナール生は，後期「難関大への数学Ⅲ」および冬期講習「超ハイレベル数学Ⅲ」の
テキストで履修済みであるから確認してほしい．
【山影 哲】
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
10/11
6
（50 点）
【解答】
(1)
f ′(x ) = ( n + 1) ⋅
配点予想
1
1
nx − a
−
=
a+x x
x(a + x )
x
f (x ) の増減は右の表のようになる．
ゆえに求める極値は， x =
4点
となるから，
(0) …
a
n
…
－
0
＋
f ′(x )
a
のとき，
n
f (x )
増減表に 5 点
極小
⎧ ⎛
⎫
a⎞
a
a
⎛a⎞
極小値 f ⎜ ⎟ = ( n + 1) ⎨log⎜ a + ⎟ − log(n + 1) ⎬ − n log
− log
n⎠
n
n
⎝n⎠
⎩ ⎝
⎭
⎧ a ( n + 1) ⎫
a
= ( n + 1) log ⎨
⎬ − ( n + 1) log
n
⎩ n( n + 1) ⎭
a
a
− ( n + 1) log
=0
n
n
= ( n + 1) log
(2)
(1)の結果より， f ( x ) = ( n + 1) log
⎞
⎟⎟
⎠
⎛a⎞
≧ log x ⎜⎜ ⎟⎟ となり，
⎝n⎠
n +1
⎛a⎞
≧ x ⎜⎜ ⎟⎟
⎝n⎠
n
∑a
k =1
k
5点
3点
n
ここで，自然数 k に対して， a k =
1
与不等式は，
n
a+x
a
− n log − log x ≧ 0
n +1
n
n +1
⎛ a+x ⎞
⎟⎟
よって， log⎜⎜
⎝ n +1 ⎠
⎛ a+x
底 e > 1より， ⎜⎜
⎝ n +1
…(答)
> ( n + 1)
1
n
n
…①
が成り立つ．
k +1
とおくと， a k > 0 であり，
k
3点
3点
となって，両辺を n 乗すると，
n
⎛ a1 + a2 + a3 + L + a n ⎞
⎟ > n +1
⎜
n
⎠
⎝
・・・(＊) となるから，
2 以上の自然数 n に対して，(＊)が成り立つことを数学的帰納法で示す．
2
(ⅰ)
1
⎛ a + a2 ⎞
n = 2 のとき，(左辺) = ⎜ 1
⎟ =
4
⎝ 2 ⎠
=
3⎞
⎛
⎜2 + ⎟
2⎠
⎝
3点
宣言して 2 点
2
49
48
>
= 2 + 1 = (右辺)
16
16
となるから，(＊)は成り立つ．
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
5点
11/11
配点予想
(ⅱ)
n = m ( m ≧ 2 )のとき，(＊)が成り立つと仮定し，さらに①において，
a = a1 + a2 + a3 + L + a m および x = a m +1 とおくと，
⎛ a1 + a2 + a3 + L + a m + a m+1 ⎞
⎟
⎜
m +1
⎠
⎝
>
m +1
⎛ a + a 2 + a3 + L + a m ⎞
≧ a m +1 ⎜ 1
⎟
m
⎠
⎝
仮定して 2 点
3点
m
m+2
(m + 1) = m + 2 （∵ 仮定より）
m +1
となるから， n = m + 1 のときも(＊)は成り立つ．
3点
4点
2点
以上より，(＊)は 2 以上の自然数 n に対して成り立つから与不等式は成り立つ．
述べて 3 点
(証明終)
6 【解説】
(1)は f ′(x ) の符号変化を調べるだけであるから，易しい．
極小値が 0 になるが， f (x ) ≧ 0 を用いて(2)の不等式を証明せよ，というよくある誘導の仕方であ
るから不等式の証明に慣れていれば戸惑うことはない．
(2)は，次のような「 n 変数の相加平均・相乗平均の大小関係」の証明問題といえる．
自然数 k に対して， a k =
k +1
とおくと， a k > 0 であるから，
k
a1 + a2 + a3 + L + a n −1 + a n
>
n
1
n
1
n
n
∑a
k =1
k
n
a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ L ⋅ a n −1 ⋅ a n
> ( a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ L ⋅ a n −1 ⋅ a n
k +1 ⎛ 2 3 4
n n +1
> ⎜⎜ ⋅ ⋅ ⋅ L ⋅
⋅
∑
k
n −1 n
k =1
⎝ 1 2 3
n
（ a k ≠ a k +1 より等号は成立しない）
1
)n
⎞
⎟⎟
⎠
1
n
= ( n + 1)
1
n
となるから与不等式が得られる．
2 変数・3 変数のときの相加平均・相乗平均の大小関係は常識だが，変数が n 個のときも成り立ち，
その証明は 2000 年度滋賀県立大学など，入試では何度か出題されている有名問題である．
この問題だけは，制限時間内に完答できる人はかなり少ないだろうが，医学部医学科を受験する
人は，(2)でもせめて部分点は取っておきたい．
【山影
(c) 特訓予備校 養賢ゼミナール
哲】
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