PropagationとImpulse問
Langevinお
題 に お け る ラ ンダム
よ びFokker-Planck方
程式の
動学 的価 格 方程 式 へ の応 用
早見
KEO
均
September
1999
Discussion Paper No.54
要 因:
PropagationとImpulse問
:Langevinお
題 に お け る ラ ン ダ 厶 要 因:
よ び:Fokker-Planck方
程 式 の 動 学 的 価 格 方 程 式 へ の 応 用*
早見
均
慶應 義 塾大 学産 業研 究所
1999年9,月2日
学 中
*こ の 論 文 は 『三 田 商 学 研 究 』 岩 田 暁 一 先 生 退 職 記 念 号 の 準 備 の た め に か か れ た も の で あ る.著 者 が 留
同 室 だ っ たJ.Kohler氏(Depaztment
of Applied
Economics
, Cambridge
University)に,流
体力
学 にお け る 偏 微 分 方 程 式 の 立 て 方 に つ い て こ 議 論 い た だ い た こ と が,こ の 論 文 作 成 の 一 つ の 動 機 に な っ
て い る.こ こ に 記 して 感 謝 した い.当 然 な が ら こ の 論 文 に あ るい か な る 誤 り も著 者 の 責 任 で あ る
,
概 要
資 本 の ユ ー ザ コ ス トに 含 ま れ る キ ャ ピ タ ル ・ゲ イ ン の 効 果 を 価 格 に フ ィー ド
バ ッ クす る シ ス テ ム を 経 済 変 動 のpropagatorと
考 え て ,そ れ に 技 術 進 歩 か ら もた
ら され る ラ ン ダ ム なimpulseを
加 え た.ラ ン ダ ム 項 の 扱 い と し て はLangevin方
程 式 を 利 用 して い る.そ の 定 式 化 の た め に 必 要 な道 具 の 解 説 ・展 望 を 行 い な が ら,
最 終 的 にFokker-Planck方
程 式 を:Lie群 の 方 法 で 解 い て 価 格 変 動 の 分 布 が 得 られ
た.解 が 得 られ る た め の 条 件 に は,価 格 方 程 式 に含 ま れ る ドリ フ ト項 と拡 散 項 に
一 定 の 関 係 が な けれ ば な らず
,そ れ が 満 た され て い る こ とが 示 され て い る.価 格
変 動 の 瞬 間 的 分 散 は,実 質 金 利 と資 本 の コ ス トシ ェ ア の 比 に 比 例 し,二 っ あ る 定
常 解 の う ち 一 っ は 不 安 定 で あ る.こ の 不 安 定 点 は ラ ン ダ ム 項 の 存 在 に よ っ て 無 視
で き ず,Frisch[1933]が
定 式 化 がpropagation
い る.
考 え たpropagationとimpulse問
mechanismに
影 響 を 与 え る と い う新 た な 問 題 を 提 起 して
キ ー ワ ー ド:propagation,
impulse,
Plallck方 程 式,動
学 的 価 格 方 程 式,技
動 の 不 安 定 性,デ
1
題 を 統 合 しimpulseの
Langevin方
程 式,揺 動 散 逸 定 理, Fokker術 進 歩 率 , one parameter
Lie群,価
格 変
フ レ ・ス パ イ ラ ル
は じめに
生 産 性 上 昇 の 波 及 効 果 が 価 格 変 動 に 不 安 定 要 因 を も た らす こ と を,Hayami[1993]で
は 多 部 門 の 動 学 的 価 格 方 程 式 を つ か っ て 例 示 し て い る.こ
示 し た ラ ン ダ ム なimpulse要
因 に よ るpropagation問
こ で は,R
題 を ,成
. Frisch[1933]が
長 会 計 か ら導 か れ る 動
学 的 価 格 方 程 式 を 利 用 し て 考 え て み よ う と 思 う2.
propagationとimpulse問
題 と:F`rischが 提 起 し た 考 察 の 本 質 は,価 格 変 動 に つ い て
Irving Fisher[1925]が
卸 売 物 価 指 数 を 分 析 し た 際 に,景 気 循 環 の 周 期 性 に つ い て 否 定
し た こ と を 念 頭 に お い て 考 え た 方 が わ か りや す い .Fisherの
考 え で は,経
済変 動 は摩
擦 の な い 振 り子 の よ う に 決 ま っ た 周 期 が あ る も の で は な い .気
候 や モ ンテ カ ル ロ の賭
け の よ うに 平 均 か ら上 下 して 変 動 す る も の に も ス ム ー ズ な 曲線 を 当 て は め る こ と は で
き る.「 も し 月 の 満 ち 欠 け の よ う な 周 期 が あ れ ば,過
去 の パ タr.ン か ら 将 来 の を 予 測 で
き る 。 気 候 の 変 動 や モ ン テ ・カ ル ロ で の ツ キ は も ち ろ ん 予 測 で き な い が ,経 済 活 動 の
ツ キ を 予 測 で き る で あ ろ うか.価 格 の 変 動 で 経 済 活 動 が 支 配 さ れ る 限 り そ れ は 不 可 能
で あ る.」 と述 べ て い る(Fisher[1925],
pp.191-2
.)3.
Fisherは,経
済 の 変 動 を,枝 を ひ っ ぱ っ て 離 し た と き に 木 が 揺 れ る よ う な も の,森 の
木 が 風 で 揺 れ て い る よ うな も の,外 的 な 要 因 に 対 す る 反 応 の 仕 方 で あ る と 考 え て い る .
つ ま り,Frisch流
に 考 え れ ば,風 の よ うなimpulseを
与 え た とき
,そ の 後 のpropagation
の 仕 方 が シ ス テ ム の 構 造 に依 存 す る とい うこ と で あ る .
2こ こで もちい る動 学的価 格方程 式はH
amagu・hi[・985】,黒田,吉 岡,7青水[1987],吉 岡[・989]で禾・
亅
用
鑢
下いた もの を2階 の常微 分方程 式体系 として 導出 した ものに も とつい てい る・詳 しくはH・y・mi(・993]
3例 外 と し て は
・ 季 節 変 動 とH・myL・M。
。・eの 降 雨 循 環 に よ る8年 サ イ ク ル(金 星 循 環)を あ げ て い
る.Moore[1923,1926]は
気 候 の 変(振)動
が 生 産 お よ び 需 要 に あ た え る影 響 が 価 格 弾 力 性 と価 格 指 数 の
ウ ェ イ トを 通 じて 物 価 の 循 環 を も らた す こ と を 示 した.
1
Frisch[1933]は,振
talion[1913,1927]に
動 す るpropagationを
も た らす 経 済 シ ス テ ム と し て は,主 にAfよ る 資 本 財 の 懐 妊 ラ グ を 分 析 し て い る.エ
ラ テ ィッ ク な シ ョッ ク
を 第 二 の 変 動 要 因 と 考 え て い る が,そ
れ ま で に 提 示 さ れ て い た モ デ ル がpropagation
を も た ら す 経 済 シ ス テ ム を 明 示 し て い な い た め,調
加 え た だ け に と ど ま っ て い る4.Frisch[1934]で
Fisher[1932亅
のDebt
De$ationの
は,靴
和 振 動子 の微 分 方程 式 に考察 を
屋 と 農 家 の 交 換 モ デ ル にIrving
ア イ デ ィ ア を く わ え,ノ
ル ウ ェ ー 政 府 の く じ引 き を
利 用 し て エ ラ ー に よ っ て 循 環 す る モ デ ル を 例 示 し て い る.し
な デ フ レ に よ っ て 負 債 が 増 加 す る(あ
か し,Fisherの
る い は キ ャ ピ タ ル ・ロ ス)と
固 定 価 格 モ デ ル の た め 考 慮 さ れ て い な い.最
後 にFrisch[1933]は,
イ ノ ベ ー シ ョ ン を 振 動 を 維 持 す る 要 因 と し て と り あ げ て い る.た
り 子 の 先 か ら放 水 す る モ デ ル を 考 え れ ば よ い と 記 述 し て い る.放
振 り子 が 動 く と い う 仕 組 み で あ る が,定
い うよ う
い うメ カ ニ ズ ム は ,
Schumpeterに
よる
と え 話 と し て は ,振
水 す る際 の 反 作 用 で
式 化 は して い な い .
こ こ で 扱 うモ デ ル の 特 徴 と して は,第 一 にpropagation部
分 と して は,価 格 方 程 式
を 資 本 の レ ン タ ル コ ス トに 含 まれ る キ ャ ピ タ ル ・ゲ イ ン/ロ ス 部 分 を 明 示 的 に 解 い て
動 学 化 した も の を利 用 して い る.第 二 に,Moore[1926]やFrisch[1934]が
な 多 部 門 間 の 波 及 に つ い て も考 慮 で き るモ デ ル(月:ayami[1993])に
考 えた よ う
も とつ い て い る .第
三 に,シ
ョック を与 え る 要 因 と して は 全 要 素 生 産 性(TFP)の
変 化 率 で あ り,技 術 進 歩
も含 ま れ る イ ノベ ー シ ョン 効 果 も扱 う こ とが で き る.技 術 進 歩 率 を確 率 過 程(た と え
ば 幾 何 ブ ラ ウ ン運 動)に した が っ て 変 動 して い る と仮 定 す る こ と でimpulse部
分の定
式 化 を して い る.お そ ら く こ の よ うな道 具 だ て を用 意 す れ ば,propagationとimpulse
問 題 を 動 学 的 な 価 格 方 程 式 か らで も十 分 に満 足 の い く よ うに表 現 で き る の で は な い か
と考 え て い る.た だ し,そ れ を 解 説 す る た め に は 準 備 が 必 要 で ,そ の た め に ラ ン ダ ム
要 因 の 扱 い につ い て の 展 望 と偏 微 分 方 程 式 の解 法 に つ い て の 展 望 を加 え る こ とに した .
管 見 で は,た
しか に 確 率 微 分 方 程 式 の 解 説 は 非 常 に 多 い が,筆 者 と 同 じよ うな 視 点 か
ら これ ま で 系 統 的 に 解 説 が な され て い な か っ た の で は な い か と思 っ て い る .そ の た め
あ え て こ こ に解 説 的 記 述 を 費 や して い る.
4Wicksel1の1907年
の 講 演, Akermanの
波 」),数 学 的 な 定 式 化 と して は,Slutzky,
季 節 変 動 と長 期 変 動(「 川 底 の 不 規 則 性 か ら く る川 面 の
Yule, H。tellingお よ びWienerを
あ げ て い る . Yule[1927】
は ウ ォ ル フ(Johann
Rudolph
な っ て い る.Yuleの
方 法 で は 周 期 の 推 定 を 改 善 す る こ と は で き な か っ た とい う否 定 的 な 結 論 を 得 て い る .
Wolf(1816-1893))太
陽黒 点数 の周 期 の 自己相 関過程 を用 い た推 定 をお こ
太 陽 黒 点 の 周 期 は11.1年
た が っ て,Yuleの
て か らAR(2)を
で あ る が,極 小 か ら極 大 ま で は4 .8年 か か り,極 大 か ら極 小 が6.2年 か か る.し
推 定 して,さ らに 残 差 に つ い て 周 期 性 を も とめ た り
,移 動 平 均 を とっ
あ て は め る とい う方 法 で は 無 理 が あ ろ う. Slutzky[1937]は
,移 動 平 均 過 程 とFourier
よ うなAR(2)で
級 数 を 主 に 利 用 して 誤 差 過 程 か ら周 期 を 作 ろ う と した,時
もpropagationの
分 析 が 欠 け て い た.ち
系 列 解 析 の 古 典 と は な っ た が ,い ず れ の 方 法
なみ に太 陽黒 点 の周 期 は原 因 が黒 点が 磁場 の流 束 に よる こ とか
ら太 陽 磁 場 の 変 動 で あ る こ と は わ か っ て い る が,電
る し(太 陽 中 心 近 く),ま
Neutrino
い はNASA
Unit)と
た 表 面 付 近 に は1000以
弱 統 一 場 の 介 在 す る太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ に も振 動 が あ
上 の 圧 カ モ ー ドの 振 動 が 見 つ か っ て い る ,SNU(Solaz
太 陽 黒 点 との 逆 相 関 が あ る と い わ れ た が 解 決 して い な い . J. N, Bahcall[1989]
,あ る
Data Analysis CenterのWebsite
http://umbra
.nascom.nasa,govか
らた ど る と
のSolar
最 新 情 報 が あ る.
2
2
ラ ン ダ 厶 要 因 の 扱 い に つ い て:簡
単 な 導 入
は じめ に ラ ン ダ ム 要 因 を ど の よ うに 扱 うか と い う こ と に つ い て 簡 単 な 展 望 を して
お き た い 。 こ れ に よ っ て ラ ン ダ ム 要 因 を 扱 う場 合 の 限 界 や 一 般 化 に つ い て の 見 通 し
を 与 え る こ とが で き る は ず で あ る.と い の も,数 学 者 に よ る 確 率 過 程 の 解 説 で は 数
学 的 な 条 件 は 明 らか に され て い る が,現 象 論 と し て 経 済 変 数 や デ ー タ と どの よ うな
対 応 が つ く の か 必 ず し も明 らか で は な い か ら で あ る5.こ
やvan
Kampen[1992]に
Uhlenbeck[1945]に
の 節 の 記 述 は ,Reich1[1980]
よ る と こ ろ が 大 き い が,基 本 的 に は 古 典 的 な 文 献Wang
and
依 存 して い る.た だ し,こ こ で は対 象 を 当 面 の 関 心 で あ る経 済 変
数 の 変 動 に 即 して 記 述 した い.
た と え ば,こ こ で は あ る 確 率 過 程 に した が う変 数 は,全 要 素 生 産 性(TFP)の
変 化率
で あ る とす る.TFPの
変 化 率 は,技 術 進 歩 率 の よ うな 成 功 ・失 敗 の 無 数 の 繰 り返 しに
よ っ て加 速 した り減 速 した り して 動 き は ラ ン ダ ム で あ る とす る .こ の よ うな 設 定 は し
ば しば行 われ る が,結 局 の と こ ろ 作 業 仮 説 で あ る に す ぎ な い .そ れ で も,個 々 の 技 術
の 改 善 は 非 常 に 小 さ い が,そ れ が 集 積 してTFPの
上昇 にな る と考 え る と
,中 心 極 限
定 理 が 利 用 で き る.つ ま り,TFPの
上 昇 率 の 分 布 にGauss分
布 を 仮 定 す る こ とが で
き る.し か し,技 術 の 変 化 の メ カ ニ ズ ム につ い て は,外 か ら与 え られ て お り,経 済 分
析 で は ブ ラ ック ボ ッ クス と して扱 う こ とが 普 通 で あ る.現 在,流 布 して い る技 術 に つ
い て は,そ れ が 経 済 競 争 の 結 果,残 っ た もの で あ り,過 去 と比 較 して 進 ん で い る か あ
る い は遅 れ て い る か ど うか は経 済 分 析 で は 問 題 に して い な い .
この よ うな 定 式 化 は 生 物 学 で も行 われ て い る.進 化 の プ ロセ ス に 確 率 過 程 を導 入 す
る 場 合 に は,遺 伝 子 頻 度 が 確 率 過 程 に した が っ て 変 動 す る と仮 定 して い る .あ る 形 質
を 発 現 す る 遺 伝 子 とそ の対 立 形 質 を発 現 す る遺 伝 子 が 互 い に 背 反 事 象 で あ る よ うに 設
定 して い る.交 配 は無 作 為 に 行 わ れ る と して,あ
る 形 質 が 有 利 に働 くか ど うか な どの
環 境 要 因 をパ ラ メ タ ー と して モ デ ル に 取 りこ ん で い る(Kimura[1964])
.こ の場 合,遺
伝 子 レベ ル で は 自然 淘 汰 の 影 響 を 受 け ず,発 現 した 形 質 が 自然 淘 汰 され る か ど うか を
左 右 す る.過 去 に 起 こ っ た 環 境 変 化 に つ い て は 淘 汰 が か か っ た た め そ の 形 質 が 残 っ て
い る と考 え られ るが,そ れ が 進 化 で あ る か ど うか は わ か らな い .ま た 過 去 と 同 じ環 境
変 化 が 将 来 再 び あ っ た 場 合,も う一 度 同 じそ の 形 質 が 残 るか ど うか も わ か ら な い だ ろ
う.生 命 の 遺 伝 子 頻 度 以 外 の 部 分 は ブ ラ ック ボ ッ ク ス に な っ て い る の で あ る.こ こ で
は 遺 伝 モ デ ル の よ うな複 数 の 対 立 形 質 を 取 り入 れ た モ デ ル で は な い が
,経 済 競 争 の 生
き 残 りに は,TFPの
水 準 が,各 時 点 で の 経 済 環 境 に 対 す る適 合 度 を もれ な く表 現 して
い る と仮 定 して い る.
形 式 的 に は,Xを
確 率 変 数 と し た と き 確 率 過 程Yx(t)=f(X,
値Yx〔t)一yを
と る 確 率 は, Xの 確 率 密 度 関 数Px(X)とDiracの
t)に つ い て,時 点tで
δ関 数 を用 い て 表 さ
れ る.
P1(y,t)一
∫δ(y-YX(t))Px(X)繭
=〈
るいは
δ(y`YX(t))〉 ・
5数 学 者 の 解 説 で は 予 備 知 識 を 別 とす れ ばLC
. G. Rogers[1997]の
3
(1)
も の が 簡 潔 で わ か りや す い.
こ こ で,YX(t)=f〔x,
Yx(t)が,
t)で
確 率 過 程 の 見 本 関 数 で あ る . n個
U 1,y2,_,ynの
の 時 点t1,t2,...,toで
値 を と る 結 合 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 は つ ぎ の よ うに 書 け る
.
Pn〔(yl,tl),(y2,t2),...,(yn>tn))
=JS(U1-Yx(t1))δ(y2-Yx(t2))…
δ(U孔焔))px(X)dx(2)
確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関.,Pnが
つ ぎ の4つ の 整 合 性 条 件 を 満 た す 場 合 で,平 均 値
の 計 算 が 可 能 な 場 合 に,Pnは
確 率 過 程 を 完 全 に 構 成 で き る(Kolmogorovの
存 在 定理
証明は
,
Billingsley[1995]な
ど 参 照).
1.Pn>0
2.Pnは,〔yipti)と(Ul,t;)を
入 れ 替 え て も 値 は 変 わ らな い .
3.
JPn((U1,t1),(y2,t2),…,〔U祠)dyn
=Pn-1((U1,t1),(y2,t2),…,(U箕
一1,t孔一1))
(3)
4・∫P1(y,t)dy=1
具 体 的 な 問 題 を 分 析 す る 際 に は,さ
ら に 定 常 性,Markov性
Gauss分
布 を 導 入 す る こ と が 行 わ れ て い る.
2.1
の 仮 定 や 分 布 形 と して
定 常 過 程 の 扱 い 方 と限 界
も し定 常 過 程 で あ れ ば,確
て も分 布 形 は 変 わ らな い.
率 密 度 ヒエ ラル キ ー 関
pnは,時
間 に つ い て τず ら し
Jpn((U1,t1),(U2,t2),…,(U祠)
=Pn-1((U1,t1+τ),(y2>t2+τ),…,〔yn>to+τ))
定 常 過 程 の 場 合 は,Wiener-Khinchinの
己 相 関 関 数 のFourier変
時
間 の 差 τ=t2-tlの
換 で 与 え ら れ る.自
=
<(Y(t1)一
ニ
<〔Y(0)一
φ(τ)一
関数 で あ りFourier変
定 理 が 成 立 し て パ ワ ー ス ペ ク トル1(ω)は
己 相 関 関 数 φ(t1
,t2)は,定
自
常 過 程 の 場 合,
み の 関 数 と し て 表 さ れ る.
φ(t1,t2)
一 定 の 時 間0<t<丁
(4)
〈Y(t1)〉)(Y(t2)一
〈Y(0)〉)(Y(τ)一
く 〔Y(0)一 〈Y(0)〉)(Y〔
〈Y(t2)〉)〉
〈Y(τ)〉)〉
τ)《Y(τ)〉)〉
の あ い だ で確 率 過 程 の 見 本 関 数 は どれ もtに
換 で き る.振 動 数 をwn=2響
4
(5)
つ い ての 通 常の
と記 す と, Yxが 実 数 で あ れ ば
Fourier係
数0.nに
は,
Q -n=0.*nな
ど の 制 約 が か か る が,
YX(t)一 Σane'ω
・t
n=一 〇〇
Qn一÷TYXO(t)e一
瞬dt
と 表 さ れ る.振 動 数 の わ ず か な 範 囲 の な か のFourier係
数Qnの
強 度1αn l2の 平 均 を ス
ペ ク トル 密 度 あ る い は パ ワ ー ス ペ ク トル と 定 義 して い る .こ の と き,Wiener-Khinchin
の 定 理 は,パ
ワ ー ス ペ ク トル1(ω)が
自 己 相 関 関 数 φ(t)を 用 い て
1(ω)一
荒
と 記 され る.こ
φ(t)e一'ω
・dt
こ で 係 数 盞 は 逆 変 換 の 係 数 と ペ ア に な っ て い る .Wiener-Khinchinの
定 理 に よ り,定 常 過 程 の 場 合 は,自 己 相 関 関 数 を 観 察 す る こ と に よ っ て パ ワー ス ペ ク
トル が 得 られ る が,あ
る特 定 の分 布 に した が う場 合,パ
な る の で 分 析 上 都 合 が よい.た
る場 合 は,ラ
と え ば,パ
ワー ス ペ ク トル は 単 純 な 形 に
ワー ス ペ ク トル が 振 動 数 に よ らず 一 定 に な
ン ダ ム な 影 響 は,白 い スペ ク トル,白
色雑 音 とよんで い る.
定 常 過 程 は 分 析 上 限 られ た も の に しか 適 用 で き な い が,Wiener過
程 の よ うに増 分
が 定 常 過 程 に な る場 合 に は,も と の過 程 を 変 換 して 分 析 す る こ とに な る .
しか し,定 常 過 程 に は な ら な い 例 と して,つ ぎ の よ うな も の が 考 え られ る.tを0
か らTま で の な か にn個 の 点 を と っ て 順 に ラ ベ ル をつ け る とす る .
O=to
<t1
<t2
この 時 間 の 経 過 指 標 が 増 え る と生 産 性y(た
< ・。
・< tη」<T
と え ば 労 働 生 産 性 と訓 練 コス トの 関係)も
変 化 す る が,急 速 な 変 動 は コ ス トが か か る の で そ れ ぞ れ の 階 層 の 二 乗 和 を 最 小 にす る
よ うに決 め る とす る.yo=0,
yn+1=0と
して お く.生 産 性 の 上 昇 は 確 率 変 数 で あ る
独 立 で あ る とす る .労 働 生 産 性 が 急 激 に 変 化 す る と調 整 の コ ス
トが か か る とい う状 況 だ け を と りだ して 考 え て1時 間 単 位 あ た りの 生 産 性 の 変 動 か ら
が,増
分yi+1-Uiは
発 生 す る コ ス トは 訓 練 の ス テ ー ジ1に 無 関 係 に一 定 で あ る とす る .
窖+惚
ギ+…+讐
こ鵯)1+yn2T-tn
生 産 性 の 変 動 の 分 布 を 以 下 の よ う に す る と,先
ほ どの 整 合 性 条 件 を満 た して い る .
Pn((yl>tl),(92,t2),...,(yn,to))
一(2πTa)1/2H渇1(a_)1/2・xp(一
辮
響)
しか し,こ れ は つ ぎ の 自 己相 関 係 数 を み れ ば わ か る よ うに 定 常 過 程 で は な い .
〈Y(t,)Y(t2)〉
一評 ㌃ 塑
5
(6)
2.2
遷 移 確 率 とChapman-Kolmogorov方
程 式
定 常 過 程 で扱 え る モ デ ル は 限 られ て い る の で,つ ぎ にMarkov性
を確 率 密 度 ヒエ ラ
ル キ ー 関 Pnに 導 入 し よ う. Markov過 程 の 性 質 を利 用 した モ デ ル は た く さん あ る が ,
非Markov過
程 の 分 析 は い か に も少 な い.非Markov過
程 は,記 憶 の あ る プ ロセ ス な
ど と も呼 ば れ て い る が,記 憶 項 は 「
粗 視 化 」 に よ っ てMarkov性
を もた らす よ うに 消
去 す る手 続 きが と られ て い る た め で あ る(鈴 木[1994]) .Markov過
程 で は,つ
ぎの関
係 が 成 立 して い る.
Pllτt_1(〔yn,to)1(U1,t1),(U2,t2),…
,(yn-1,tτt_1))
ニ・ PII1(yn,to卜Un_1,to-1)
≡
P1匝_1は,
n-1組
P(fi n,to卜Uτt-1>to-1)
(7)
の 条 件 付 き 確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 で,
P(U孔
,t孔1蜘_1,t孔_1)は,
遷 移 確 率 密 度 で あ る.
Markov過
程 で は 確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 は,遷 移 確 率 密 度 と初 期 値P1(U 1,t1)だ
け で 表 す こ と が で き る.た と え ば,時 点t1にU1で
あ っ た も の が,時 点t2にU2に
なっ
て,時
点t3にy3に
な っ た と し よ う.こ
確 率 密 度 を 使 う とU1か
らy2を
の と き の 確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー は ,条
経 由 す る 確 率 とU1とU2を
確 率 を か け た も の に な る.Markov過
程 の 場 合,後
条 件 と し てU3が
者 の 確 率 はy2を
件付 き
発 生す る
条 件 と し てy3が
発 生 す る 遷 移 確 率 に な る.
P3(〔U1,t1),(U2,t2),(y3>t3))一P2((U1,t1),(y2,t2))Pll2(U3
==
第 二 行 目の 式 を,u2で
,t31(U1,t1),(y2,t2)〕
P(U3,t3卜U2,t2)P(y2>t2卜UIt,)P1(U1,t1)
(8)
積 分す る と
P2((yl,tl),(y3>t3))一P1(U1,t1)∫P〔y3>t31tJ2,t2)P(U2,t21U1,t1)dye
条 件 付 確 率 の 定義 か ら,時 点t1にU1で
あ る こ と を条 件 と した とき,時 点t3にy3に
な る確 率 は,
P(y3>t31tiJ1,t1)一
こ れ がChapman-Kolmogorovの
∫P(U3,t31U2,t2)P(y2,t21U1,t1)dye
方 程 式 で あ る.実
際,
Markov過
率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 が 遷 移 確 率 か ら 決 め られ る の で,つ
ば,Chapman-Kolmogorovの
方 程 式 でMarkov過
P1(U2,t2)一
程 で は ,す べ て の 確
ぎの整合性 条 件 を満 たせ
程 は 決 定 され る .
∫P(U2,t21U1,t1)P1(yt,t1)dye
6
(9)
(io)
2.3
Master方
程 式
こ こ で は,遷 移 確 率 をTaylor展
開 し て 時 間 に 関 す る 微 分 形 の 遷 移 確 率 を も と め,
Chapman-Kolmogorovの
微 分 形 で あ るmaster方
程 式 を 導 く .遷 移 確 率 の 時 間 に 関 す
る 偏 微 分 の 定 義 は,
aP(yz,t21y>>t,)一鵠!璽
で あ り,こ
≧±τ厘喫
れ を 評 価 す る た め にP(yz,t2+τIU
ゴ(堕
1 ,t1)をTに
區 瓰
つ い てTaylor展
(11)
開 す る が,
そ の 際 に 規 格 化 条 件,
1P(y2,t2トリ1,t1))dye=1
(12)
が 成 立 す る よ うに定 義 しな け れ ば な らな い.そ の よ うな展 開 の 仕 方 と して
,や や 天 下
り的 で あ る が,つ ぎ の よ うな も の が あ る.
P〔yz,t+Tayt>t)一P(U2,tlU1,t)+TWt(U21U1)一TQ・P(U2,tlU1,t)+・(T)(13)
こ こ で,Wt(U21U
1)=血
≒ 虫bΩ,α0は
規 格 化 条 件 か らつ ぎ の よ う に 得 られ る .
(14)
Clp(u1)一fW(ulu1)dy
ま た,P(y2,tlU
1,t)は
定 義 よ りDiracのdelta関
数 と な る.
P(U2,tly,,t)ニ=δ(y2-U1)
o(τ)は,limT→o
o(τ)/τ=0と
な る 項 で あ る.
式(13)をChapman-Kolmogorovの
て は め る.す
な わ ち,t2=t,
方 程 式(9)の
t3=t+τ
被 積 分 関 数 のP(y3
,t31U2,t2)に
当
な ど とす る と,
P(y3,t31tJ1>tl)=fbJ(y3-y2)(1一
一Ta・)P(U2,t2iU1,t1)dye
+TWt・(U31U2)P〔y2,t2rU1,t1)dye
P(y3,t2+τIU1,t1)p(U3,t21U1,t1)+T
iT
t2→t3と
Wt・(U31U2)P(y2,t21U1,t1)dye
Wt・(ulU3)P(U3,t21U1,t1)dy
して,右 辺 の 最 後 の積 分 変 数 をyか
らy2に
書 きか え る と
∂P(U3,t31U1,t1)
at3
{Wt3(y31y2)P(y2,t31tJl,t1)一wt3(y21y3)p(y3,t31yl,tl)}dye
7
(15)
と な る.こ
れ がmaster方
程 式 で あ る.簡
禦
2.4
一∫(欄)P(U',t)一WU)P(y,t))dy'
Fokker-Planck方
Master方
単 に つ ぎ の よ う に 書 き な お せ る.
(16)
程 式
程 式 は,微
分 と 積 分 が 混 合 し た 方 程 式 で あ る の で, Chapman-Kolmogorov
の 方 程 式 よ りは 分 析 しや す い が,さ
ら に扱 い や す い 方 程 式 に 変 換 した い .そ の た め に
導 入 され る の が,時 間 はyに 飛 躍 が 発 生 し な い ほ ど短 時 間 を と る が ,Markov性
はそ
こ な わ な い,と い う仮 定 で あ る.こ れ に よ り微 分 方 程 式 で あ るFokker -Planck方 程 式
が 導 か れ る6.
い まmaster方
程 式 をUの
飛 躍 ξ を も ち い て 表 現 す る と,具
体 的 に はy'=・U一
ξを
代 入 す る と,つ ぎ の よ うに な る.
aP(y,t)at一 ∫MulU一
こ こ でWt(u卜U一
ξ)P(y一 ξt)一 恥
ξ)P(り 一 ξ,t)をy=y一
ξIU)P(y,t))dξ
ξ
, y'ｮyで
ξ に つ い てTaylor展
開 す る と
次 式 を 得 る.
Wt(ulU一
ξ)P(y一
ちt)=Wt(U一
ξIU)一a;(Wtay〔U一
ξIU)P(y,t))ξ
a2
+ay'2(Wt(U一
これ を も と のmaster方
ξIU)P(y,t))ξ2+・(ξ2)・
程 式 に 代 入 して,積 分 記 号 下 の微 分 の順 序 を 入 れ 替 え る と
,つ
ぎ の 展 開 が 得 られ る.
aP(y,t)
at-aay(∫
こ こ で,以
照U一
下 の3条
ξIU)ξdξP(y,t))+1券(∫
件 を 成 り 立 た せ る よ う な δ>0が
W(ulU')斜0,
W〔uIU'十
P(y十
y'=U一
数藹
膿
嬲
照
鑾
ξIU)ξ2dξP(y,t))+…
存 在 す る と仮 定 す る .
ξ, iii>δ
△y)舘W(uIU'),1△ul<δ
△y,t)駕P(y,t),
1△ul<δ
こ の と き 先 の 展 開 は 高 次 の オ ー ダ ー を 無 視 す る と ,つ
∂P黔tL轟(∫
恥
ぎ の よ う に 書 け る.
U一 ξIU)ξdξP〔y,t))+轟(fW(
殊形 を もちい,Plan・k(1917)は
8
ξIU)ξ2dξP(y,t))
一t・ ・方程 式か5導 き, K・1m・9…v(・93・)が
さ ら に 飛 躍 の モ ー メ ン トQnで
書 き か え る とFokker-Planck方
程 式 が 得 られ る .す
な
わ ち,
aP(y,t)at_.一aay(α1(U)P(y,t))+1譜(α2〔y)P(y,t))
ここで
も し 高 次 のTaylor展
咐
一∫酬u一
ξlu)dξ
開 を す べ て 考 慮 す る とKramers-Moya1展
式 に な る.Fokker-Planck方
る も の で あ る が,偏
程 式 は,と
(17)
開 と呼 ば れ て い る方 程
く に 無 限 小 の 飛 躍 と い う条 件 の も と で 導 か れ
微 分 方 程 式 の 形 を し て い る た め 扱 い が 簡 単 に な る7 .
フ ァ イ ナ ン ス で 多 く利 用 さ れ て い る 確 率 微 分 方 程 式 も:Fokker-Planck方
程 式 の一部
の 応 用 例 で あ り,上 記 の 仮 定 が 前 提 と な る .そ の 仮 定 の う ちMarkov性
につ い て は,
粗視
化 に よ っ てMarkov過
程 で は な い 場 合 に もMarkov過
程 で 近 似 す る こ とが で き る .
しか し,無 限 小 の 飛 躍 に つ い て の 仮 定 は い か に も制 約 が 強 い の で
,よ く行 わ れ て い る
0-U過 程 の 定 式 化 に加 え て,2次 関 数 の 分 布 に 従 う飛 躍 を導 入 す る こ と も あ る8 .
こ こ で は,全 要 素 生 産 性 に つ い て の 確 率 過 程 も無 限 小 の 飛 躍 に した が っ て い る と仮
定 す る.こ の よ うな 考 え は,技 術 進 歩 は漸 進 的 で あ る と い う見解 に通 じる も の が あ る .
時 代 を 超 越 した 技 術 が 発 見 ・発 明 され た 場 合 に は,長 い こ と社 会 か ら無 視 され て い る
こ とか ら も わ か る よ うに,経 済 で 技 術 進 歩 と して 実 現 す る に は あ る程 度 の 連 続 性 が な
けれ ば な らな い で あ ろ う.
Fokker-Planck方
Fokker-Planck方
程 式 は, Pに つ い て 線 型 で あ る.し
程 式 と よ ば れ る 場 合 に は ,α1(y)がyに
が 定 数 で あ る 場 合 を 示 し て い る.都
ま で の 飛 躍 の モ ー メ ン トal(u)(ド
た が っ て,し
ば しば線 型 の
つ い て の 一 次 関 数,α2(U)
合 の よ い こ と に ,Fokker-Planck方
程 式 は,2次
リ フ ト項),α2(y)(拡
散 項)が 観 察 さ れ れ ばす べ て 決
定 さ れ て 解 を 求 め る こ と が で き る.し
か も これ らの 値 は 時 間 に 依 存 しな い の で モ ー メ
ン トの 全 歴 史 に つ い て 知 る 必 要 は な い .こ
で み る よ う に,よ
あ る.た
の よ うな 利 用 上 の 利 点 に 加 え て ,つ ぎ の 節
り 簡 単 に ラ ン ダ ム な 要 因 を 導 入 で き るLangevin方
程 式 との関連 も
だ し,:Langevin方
程 式 の 解 釈 に は や や 複 雑 な 問 題 が あ る .線 型 の 場 合 に は,
マ ク ロ の 観 察 デ ー タ に よ っ て 得 ら れ た も の と ,Fokker-Planck方
程 式 は矛 盾 な く成 立
し て い る が,非 線 型 に な る と 拡 散 項 が 無 視 で き ず ,α1(y)の
識 別 が で き な くな る か ら
で あ る.こ
の よ う な 場 合 に は,master方
平 衡 状 態 が 不 安 定 の 場 合 に は,master方
程 式 の Ω 展 開 の 方 法 が 適 用 さ れ る9 .さ ら に
程 式 の Ω 展 開 が 利 用 で き ず ,秩 序 形 成 の ス
ケ ー リ ン グ 理 論 を 適 用 す る 方 法 が あ る10.
73節 で 鰍
Babbs
ケ ー スに っい モ あ解 麗
and Webber[1997],
El-Jahel
蘊 介 す るが
,厳 密 解 が 求 め られ て い る の は 数 例 に す ぎ な い. $
et al.[1997]で は,資 産 価 格 の 変 動 分 布 がleptokurticで
ある こ
と も 解 消 で き る と し て い る.
9Ω は 典 型 的 に は 系 の サ イ ズ を あ ら わ す パ ラ メ タ ー で あ る.
lovan
Kampen[1992]
, p.96,鈴
木[1994],
p.243.
9
2.5
:Langevin方
程 式の利 用可能 性
こ こで は ラ ン ダ ム要 因 を扱 う方 法 と して 広 く利 用 され て い るLangevin方
て 解 説 し た い.ラ
Planck方
ン ダ ム 要 因 にGauss分
程 式 は , Fokker済 学 で は 伊 藤 の 確 率 微 分 方 程 式 が 多 用 され て い る が ,
程 式 と 同 値 に な る.経
Langevin方
程 式 につ い
布 を 仮 定 す れ ばLangevin方
程 式 に 含 ま れ る ラ ン ダ ム 要 因 の 係 数(拡 散 項)を 伊 藤iの 解 釈 とStratonovich
の 解 釈 の ど ち ら を 選 ぶ か で,結
果 と し て 得 ら れ るFokker-Planck方
程 式 は 異 な る .こ
述 し た い シ ス テ ム が ど の よ うな も の で あ る か に 依 存 し
の い ず れ の 解 釈 が 適 当 か は,記
て い る.し
た が っ て,不
用 意 に 解 釈 して モ デ ル す る と誤 っ た 解 を得 る こ とに な る.
Langevin方
程 式 は,シ
ス テ ム の マ ク ロ 的(す
られ て い る 場 合 で,そ れ に 加 わ る 揺 動(Langevin
き に 特 に 有 効 で あ る.た
な わ ち 決 定 論 的)な 方 程 式 が す で に 知
force, L(t))の 効 果 を 叙 述 し た い と
と え ば,Frisch[1933]に
した が っ て 調 和 振 動 子 の 運 動 方 程 式
で マ ク ロ の 経 済 シ ス テ ム が 叙 述 で き た と す る.こ
気 象 な ど ラ ン ダ ム な 要 因L(t)に
ば 価 格 水 準 の 対 数 をpと
の と き に 経 済 の 外 的 要 因 ,た と え ば
う した 場 合 に た と え
よ っ て 撹 乱 を 受 け る と し よ う.こ
し て,ラ
ン ダ ム なLangevin
force L(t)が
加 わ る とす る と,
2dp+ydp+w2p=t(t)
と 定 式 化 で き る.こ
こ で,t(t)に
(lg)dt
dt
つ い て つ ぎ の 仮 定 を 置 く.
t(t)>
r
〈L(t)L(t')〉=「
o
δ〔t-t')
(19)
こ こで 重 要 な こ とは,L(t)の 確 率 的 特 徴 はPに は 関 係 な い こ と, t(t)の 衝 撃 は 瞬 間 的
な も の で そ の 広 が りは δ関数 で 近 似 で き る も の とす る.正 確 に は 衝 撃 の継 続 時 間 は 無
限 小 で,大
き さは 無 限 大 とい う こ とに な るが,実 際 に は 近 似 で あ る .後 に 述 べ る よ う
に,衝 撃 が 広 が りを 持 つ 場 合 に は 近 似 と して 伊 藤 解 釈 を利 用 す る こ と は で き な い .
Langevin方 程 式(18)を 解 く た め に は,ま ず 斉 次 方 程 式 の解 を 求 め て か ら定 数 変 化
方 で 一 般 解 の係 数 を 求 め る手 続 き が 必 要 で あ る.特 性 方 程 式 の 解 を 円 ,ｵ2と す る と,
一般解 は
p(t)一c1〔t)eｵ't+c2(t〕eｵ・t,μi一
と書 け る.よ
一 γ/2土VY一/4-w2,
i=1,2
く知 られ て い る よ うに 重 根 の場 合 に は,
p(t)=〔C1(t)十C2(t)t)to-Yt/2
と な る.定
き る.こ
数 変 化 法 で 解 く 場 合 に は,c1(t),
c2(t)の
間 に適 当 な 条 件 を 選 ぶ こ と が で
こ で は,
些!eμ1t+dc2ｵ一
一
一e・t-O
dt
10
dt
と選 ん で,dc1/dt,
C10,
dc2/dtに
つ い て の 連 立 方 程 式 を 積 分 し て,
p(t)の
一 般 解 を 得 る.
C20を 積 分 定 数 と す る と,
p(t)一eｵ'
ｵt一!ttLｵ20(s)e一ｵ'Sds+諾f￡L(s)e一ｵ2・ds+c1・eｵ't+c2・eｵz・
と な る.初
期 条 件p(0)=po,
dp(0)/dt=poを
使 う と,
p(t)一(1/D)p・e-yt/2・inh(Dt)+σ/2)p。e-yt/2{…h(Dt)+γ/2・inh(Dt)}
+te-Y(0・
と な る.た
だ し,D=>y/4-w2で
〈p(t)〉
2次
一S)/2{…h(D(t-s))一
あ る.
γ/(2D)・inh(D(トs))t(s)d・}
p〔t)の
平 均 〈p(t)〉
一(1/D)p・e-Yt/2・inh(Dt)+(1/2)p。e-Yt/2{・
の モ ー メ ン ト<p(t)2>は,つ
分 析 で は,均
。sh(Dt)+Y/2、inh(Dt)}
ぎ の よ う に な る.
<p(t)2>一{〈p(t)〉}2+聶
一 分 散<p(t)2>
は,
一 譲{誌G…h(2Dt)一
一{〈p(t)〉}2はt→
∞ の極 限で は
・inh(2Dt))}
,r/(2w2y)と
衡 で の 価 格 の 分 散 と い う意 味 し か も た な い.し
に し た 場 合 に 実 現 す る か ど うか も わ か ら な い.た
な る.こ
か も,均
の 値 は経 済
衡 が 時 間 を無 限
と え 均 衡 が 長 期 に 実 現 す る と し て も,
価 格 の 分 散 の 観 察 値 が経 済 現 象 と して マ ク ロ の ほ か の 変 数 と 関 連 づ け られ る こ と は な
い.し か し,物 理 現 象 で は,平 衡 状 態 の 統 計 力 学 の 結 果(エ ネ ル ギ ー 等 分 配 法 則)か ら,
こ の 値 はkτ/ω2に
一 致 す る こ と が 知 ら れ て い る11 .そ の 結 果,「oykTと
い う等 式,
つ ま り ミ ク ロ の パ ラ メ タ ー を マ ク ロ の 変 数 で あ る 温 度Tで
結 び 付 け て い る 関 係,が
得
られ る.こ の 等 式 こ そEinstein(1905)の
論 文 の 核 心 部 分 で あ り,揺 動 「 と減 衰(散 逸)'γ
を結 び
つ け る 法 則 と し て 知 られ て い る 揺 動 散 逸 定 理(且uctuation-dissipation
theorem)
の 最 も 単 純 な 場 合 で あ る12.Langevinの
い る の は,よ
ア プ ロ ー チ が き わ め て 有 効 で 多 く利 用 さ れ て
り… 般 的 な 場 合 に も 揺 動 散 逸 関 係 を 導 け る た め で あ る.残
分 析 で は,Einsteinの
関 係 式 は 見 つ か っ て い な い.そ
に つ い て も 核 心 部 分 が 欠 け て い る こ と に な る.
こ れ ま で は,Langevin項t(t)に
の 議 論 で 進 め て き た.し
の た め,こ
分 布 を 与 え る こ と な く,2次
た が っ て,上
記 のp〔t)の
モ ー メ ン トま で だ け
分 布 を 与 え る こ と は で き な い.と
ろ が 当 然 の こ と な が ら偏 微 分 方 程 式 の 解 を も た ら すFokker-Planck方
の 形 が 決 定 さ れ る.そ
(Gauss分
布),い
こ でL(t)の2次
い か え る とLangevin方
念 な が ら経 済
う した 分 析 の 有 効 性
程 式 で は,分
こ
布
モ ー メ ン トま で で 分 布 の 型 が 決 定 さ れ る 場 合
程 式 に, W(t)=∫t
L〔s)ds,
W(t)はWiener
llkは ボル ツマ ン定 数,丁 は絶対 温度,式(18)で
調 和振 動 子 の質 量 は1に 規 格 化 され て い る
ia
Einsteinは 熱力 学 の等 式,平 衡状 態 に成 立 す る単位 時 間 当 り単位 断 面積 を通 る粒 子 の個 数 のバ ラン
ス式(揺 動力 と散逸 力 のバ ラ ンス)か らそ の 関係 式 を導 いて い る.
11
過 程 に 従 う,と
い う仮 定 を 加 え る と,Langevin方
程 式 とFokker-Planck方
程式 は同値
に な る 可 能 性 が で る.
これ を 示 す に は,van
とFokker-Planck方
Kampen[1992]に
し た が っ て,ま
ず 問 題 な くLangevin方
程式
程 式 が 一 致 す る 場 合 に つ い て解 説 しよ う.一 階 の微 分 方 程 式 で あ
らわ され て 減 衰 項 だ け が 非 線 型 の 場 合 で あ る.す な わ ち,
dx/dtLA(x)十t(t)
ま ず,初
期 値X(0)とt(t)の
見 本 関 数 が 与 え ら れ れ ば,X(t)は
点 が 異 な る と 統 計 的 に 独 立 で あ り,X(t)はMarkov過
式 に し た が う の で,Kramers-Moyal展
が △t→0の
程 に な る .そ
開 す る こ と が で き る.そ
極 限 で 消 え れ ば,2次
決 定 さ れ る . L(t)は
の た めmaster方
こ で,3次
以 下 の 展 開 の 係 数 とPokker-Planckの
す れ ば よ い.△X(t)=X(t+△t)ｰX(t)と
時
程
以上 の展 開
係 数 を比較
す る と,
t+ot
t+otOx(t)`A(x(s))ds+L(s)dst
t
とな る.こ の 平 均 を と る と,
〈 △X(t)〉=A〔X(t))△t+0(△t)2
2次 の モ ー メ ン トは,
<Ox(t)2>一<{t+otA
t〔X(s))ds}2>+t+ot
t+ott+ot+ds
と な り,右
辺 第1項
t+ot2 ds
dst
t'<A(x(s))L(s')>
ds'<t(s)t(s')>t
t
は △t2で 小 さ く な り,第2項
は
A(x(t+fit))=A(x(t))+A'(x(t))(x(t+Ot)一x(t))Ot+
を代 入 す る と
2A(X(t))△t+ott
ds
t〈t(s)〉+2A'(x(t))t+ot
と な り,第1項
目 は 消 え,第2項
最 後 の 項 は,r△tと
な る.こ
t+otds
目 はo(△t)に
れ ら か ら1次
ン トと し て 「が の こ り,Fokker-Planck方
禦
で は,つ
な り,よ
dst
t<〔X(s)一X(t))L〔s')>ds'+...
り 高 次 の 項 もo(△t)で
の モ ー メ ン ト と し てA(x(t)),2次
あ る.
のモー メ
程 式 と して は 次 の形 の も の に な る .
一一坐(x)PaX(X,t))+黙製
(2・)
ぎに
dx/dt=A(x)十C(x)t(t)
12
(21)
の 場 合 を 考 え て み る.こ
の 場 合 に は,当
然 だ がC(X)≠0と
して 両 辺 を 割 る と
,
1/C(x)dx/dt=A(x)/C(x)十t(t)
と な り,こ
れ をX=∫x1/C(X)dx,
A(X)=A(X)/C(X)と
dX/dtニ
と な る.こ
お い て 変 形 す る と,
・A(X)十t(t)
の と き 類 推 で,
∂P(Xat,生L一
塑 袈 准 り+野1劉
が 成 立 す る.こ
こ で 戸〔X,t)=P(X
,t)C(X)と
お く13.こ
れ を も と の 変 数Xに
変 換 しな
お す た め に,
aPax-axax(PacaX+c慕)
護
一C(X)(C'(X)2+C(x)C〃(X))P(X,t)+C(X)23C'(X)雫+C(x)3聖
を代入する.畿=C(x)を
用いると,
雫L轟(A(X)P(茂t))+razaX{C(x鯉1(X,t))}(22)
が 成 立 す る.P(X,t)で
禦
と な る.こ
整 理 す る と,
一一{(A(X)+IC(x)C'(X))P(茂t)}+興
のFokker-Planck方
黔
程 式 は 明 ら か にLangevin方
程 式(19)の
切(23)
単 純 な 置 き換
え に は な っ て い な い.(20)式
分 す る.そ
の 際 に,右
を 導 い た 際 と 同 様 に し て ,(19)式
を 区 間(t,t+△t)で
辺 第 二 項 の 解 釈 と し て,つ
ぎ の もの を 採 用 す る .
X(t+△t)一X(t)一t+
t△tA(X(s))ds+C幽
こ の と き1次
押)tt+△tt(s)ds(24)
の モ,___.メン ト は,
〈X(t+△t)一X(t)〉
13艇 砥 の1モ
一A(X(t))△t+〈C(興)遮1)t
ーメン而 部雰穐 帰するための条件は
,
aP
t+△tL(s)d・>
P
で あ る.積 分 定数 がxの 関数 で もっ と も素 直 に2次 のモ ー メ ン トが得 られ る関数 はC(X)で
13
ある.
積
と な り,第2項
目 の 展 開 はC((x(t+△t)+x(t))/2)=・C(X(t))+C'(X〔t))(X〔t+△t)一
X(t))/2+o(△t)を
用 い て お こ な う が,そ
の 際 にX(t+△t)一X(t)に(24)式
を代入 し
,
つ ぎ の 関 係 式 を 用 い る.
〈CCx(t+At)ｱx(t)2)ftt+△tL〔s)ds>一c'(x2(t))〈(X〔t+△t)一ｰX〔t))ftt+△
・L(s)ds>
:墨 締 謎 二
繼 繼!瑠 澄1瓢訟 津㌦)ds>
_c'(x(t)夢(X(t))r△t+・
〔△t)
し た が っ て,
〈X〔t+△t)一X(t)〉=A(X(t))△t+⊆
墜
醐
△t+・(△t)
2次 の モ ー メ ン トは,同 様 の 手 続 き を 注 意 深 く行 う と,
〈(X(t+△t)一x(t))2>一C(X(t))2「
を 得 る.こ
れ ら 二 つ の モ ー メ ン トか ら 対 応 す るFokker-Planck方
と が わ か る.1、angevin方
で あ る.こ
△t+。(△t)
程 式(19)に
対 す る(24)式
程 式 は(23)で
の 解 釈 はStratonovichに
あるこ
よ るもの
れ に 対 し て,
(25)
t+ot
t+otx(t+Ot)一x(t)=A(x(s))ds+C(x(t))t(s)dst
t
とす る の が 伊 藤 解 釈 で あ る。 こ の場 合 は 対 応 す るFokker-Planck方
程 式 は,
(26)
聖L轟(A(x)P(X,t))+弊C(X)2P(x,t))
とな る が,こ
の 場 合 はLangevin方
程 式 に 関 係 す る変 数 変 換 の 規 則 を 変 更 しな け れ ば
な らな い.周 知 の よ うに この 変 換 の 規 則 が 伊 藤 の1emmaで
程 式 の 解 釈 に よ っ てFokker-Planck方
あ る .問 題 はLangevin方
程 式 が 変 わ っ て しま い,そ の 結 果 も変 わ っ て し
ま う とい う こ と で あ る.つ ま り,非 線 型 のLangevin方
程 式 のC(x)L(t)項
で , C(X)の
値 を決 め る場 合 にXに 飛 躍 の 直 前 の 拡 散 係 数 を 使 うの か,飛 躍 の 前 後 の 平 均 の 拡 散 係
数 を 使 うの か と い うこ と で あ る.数 学 的 に は,伊 藤 解 釈 に した が っ て飛 躍 直 前 の 拡 散
係 数 を利 用 す る と,こ の 項 はmartingaleと
用 で き る の で便 利 で あ る.た だ,よ
な り, martingaleに
対 す る数 学 的 帰 結 が 応
く知 られ て い る よ うに 物 理 現 象 で は 必 ず しも そ の
前 提 が 成 立 す る よ うな モ デ ル で は な く,Stratonovich解
釈 の方 が妥 当なモデル を導 く
こ とが あ る.た と え ば,Brown運
動 粒 子 の飛 躍 は 非 弾 性 的 に 生 じる 場 合 が ほ とん どで
衝突
,
の 瞬 間 に 飛 躍 が 起 こ る とい うの は 極 度 の抽 象 化 で あ ろ う.た だ しEinsteinが 考 察
した よ うに,Brown運
動 の 場 合,拡 散 係 数 は 絶 対 温 度 ,液 体 の粘 性 と粒 子 の 大 き さで
決 ま り,Xに
依 存 して 勾 配 を もつ 場 合 は 実 験 条 件 を 統 御 す る こ と で避 け る こ と が で き
14
る だ ろ う.問 題 な の は,ど
ち らか を識 別 す る こ とが 難 し く,計 測 され た ドリ フ トと拡
散 項 か らは ど ち らが 妥 当 か の 区 別 が で き な い 状 況 で あ る.Langevin項L(t)が
混入 し
て く る源 を カ ッ トす る こ とが で きれ ば,識 別 可 能 に な る.経 済 モ デ ル で も 同 様 で あ る
が,特 に経 済 の 場 合,ノ イ ズL(t)の 源 を遮 断 す る こ と は難 しい .ま た,実 験 的 に 条 件
を統 御 して拡 散 係 数 に 勾 配 が で な い よ うに す る こ と も難 しい.経 済 モ デ ル で は ,非 線
型 のLangevin方
程 式 を扱 う場 合 に は ノ イ ズ の 源 が 何 で あ る か を確 定 して ,ど ち ら の
解 釈 が よ り正 しい か を判 断 して お く必 要 が あ る(Mori[1975]参 照).
3
Fokker-Planck方
程 式 の 解 法:簡
単 な 展 望
:Langevin方 程 式 が そ の 解 釈 ま で 含 め て 定 式 化 で き た と す れ ば,あ と はFokker-Planck
方 程 式 を 解 く だ け で あ る.た し か に,Fokker-Planck方
程 式 は,そ の 基 本 と な るmaster
方 程 式 よ り も 偏 微 分 方 程 式 な の で 扱 い が 簡 単 で あ る が,実
の は 数 例 で あ る と い わ れ て い る14.こ
て も 全 く 同 様 で あ る.し
Bluman
and
の 状 況 は ,対 応 す るLangevin方
程 式 の解 につ い
程 式 の 解 法 に つ い て は , Bluman[1971],
か し,Fokker-Plank方
Kumei[1989],
Nariboli[1977]な
Cukier
et al.[1973], Dresner[1983]
ど 多 く の 貢 献 が あ る.な
で き る 方 法 が,One
際 に 厳 密 解 が 求 め られ て い る
parameter
, Feller[1950], Hill[1982],
か で も最 も一 般 的 で シ ス テ マ テ ィック に適 用
Lie groupに
よ る 方 法 で あ る15 .
まず そ の 考 え 方 を 示 す と,偏 微 分 方 程 式 を不 変 に 保 つ よ うな:Lie変 換 群 と,不 変 な
曲 面 を 導 く.そ して 曲 面 を利 用 して 偏 微 分 方 程 式 の 独 立 変 数 を 減 ら し,常 微 分 方 程 式
を解 き,そ の の ち に 変 数 を も とに も どす,と い う方 法 で あ る.similarity変
数法 とい う
も の が あ る が,こ の方 法 に よれ ばす べ て の 可 能 なsimilarity変 数 を 見 つ け る と い うア
プ ロ ー チ で あ る.う ま く変 数 分 離 形 に な らな い 場 合 で も,近 似 解 を 求 め て い く際 に 変
数 分 離 に 近 い 形 に して お け ば,効 率 よ く近 似 で き る(Dresner[1983],
Chapter 7参 照) .
す べ て を解 説 す る こ とは 一つ の 論 文 の な か で は 困 難 で あ る し,ま た応 用 数 学 の 文 献
を参 考 す べ き で あ ろ う.こ こ で は,Fokker-Planck方
程 式 の タイ プ(放 物 型 偏 微 分 方 程
式)に つ い て扱 う こ とに す る.先 に導 い た 方 程 式(23)あ
る い は(26)に
して も ,一 般 に
次 の よ うに書 き か え る こ とが で き る.
α(X)喚 製+b(X)ap(X,t)aX+c(X)p(X,t)一
禦
(27)
14R。9・・s[・997]に は
, G・uss笳
す るB一
運 動,・.U過
程,そ れ にBessel過
程 が 示 され て お り,
こ れ で 解 の ほ と ん ど が で そ ろ っ て い る と述 べ て い る .van
Kampen[1992]に
も 同 様 の 叙 述 が み られ る .
isBluman[1971],
berg[1977]は
Bluman
and
Kumei【1989】,
Hill[1982],
Nariboli[1977]が
こ の 方 法 に よ る.
Steiロ ー
よ り一 般 の 偏 微 分 方 程 式 に つ い て も 解 説 し て い る . Bluman[1971]は,拡
散 項 が 一 定 の場
合 に つ い て 行 っ て い る.Nariboli[1977]はFokker-Planck方
程 式 の 解 を か な りシ ス テ マ テ ィッ ク に 分 類
して 解 法 を 示 した.Hill【1982]はNariboliの
Kumei[1989]は,よ
り一 般 的 にmulti-parameter
貢 献 を も と に さ ら に 詳 細 に 分 析 して い る . Bluman
and
Lie groupへ
の拡 張や 常微 分 方 程式 の 解 法な ども含 む
も の で あ る.こ の 方 法 で は 式 の 展 開 が煩 雑 に な る た め コ ン ビZ`"タ
つ か 開 発 され て い る(Zwillinger[1997]参
照) .
15
で数 式 を処 理す るプ ログ ラム もい く
:Lie群 を 構 成 す る に は,微
小 な パ ラ メ タ ー εを 導 入 し て つ ぎ の よ うな 変 数 変 換 を 行 う.
X=X+εX(p,x,t)+0(ε2)
t-t+εT(p,X,t)+0〔
p
こ こ で,0(ε2)は
=
p十
ε2)
εP(p,x,t)十
ε2と 同 位 の 微 小 数 で あ る .独
(28)
〇(ε2)
立 変 数X,tとX,
tの 間 に は,
Jacobian
を 計 算 し て つ ぎ の よ う な 関 係 が 計 算 で き る.
aXaX司
一ε(axaX+ax apapaX)+・(ε2)
霎 一 一ε(axat+axap/ay
acJ+・(ε2)
at一
一EaX (aTaX+飄+・(ε2)
atat-1-e(arat+aT
(29)
apapat)+・(ε2)
(30)
さ ら に この 関 係 を も ち い る と,変 換 され た 方 程 式 に 現 れ る微 分 演 算 規 則 を書 き 下 す こ
とが で き る.
ap
aX-aX
aX+at aX
apaX
ap apaXapatat
oaxat+atat
こ れ ら の 式 を ε の オ ー ダ ー で 評 価 す る と,つ
ap
aX-apaX+ε{aP
ap
at-apat+ε{窪
ax ap
ぎ の よ うに な る .
aT apaX-aXaX-aXat+(i竃
一噐 袈 一器 窪)ap
一警 袈 一慕 髪+(器
2階 の 微 分 規 則 に つ い て もや や 複 雑 に な る が,つ
一{jx apjp,
aX-ar
laxj+・(ε2)
apap
at)apat}+・
〔
ε2)
ぎ の 関係 に 代 入 と演 算 を ほ ど こ す .
a2paX2-aX
aaXaX(apaX)+at
aaXat(apaX)
a2p axa ap ata apaXat-ataX
aX+atat
aX
a2p aXa ap ata apate-at
aX
at+atat
at
16
eの1次
a2p
aX2
ま で を評 価 す る と,2次
c
の 微 係 数 は 以 下 の よ うに与 え られ る .
a2p
aX2+ε{apaX2+(2器
+(a2P
一a2xaX2)apaX a2TapaX2at
_a2x茄
Σ一2諏
δ￡)(apaX)2-2継
+(aPap-taxax-3繖
実 際 にFokker-Plank方
緯(apaX)3-a2Tapapeat(apaX)2
繖)a2paX2-2(aTaX+arapapaX)謝+・(ε2)
程 式 の 場 合 は つ ぎ の2次
の 項 は 現 れ な い が ,計
算 す る とつ ぎ
の よ う に な る.
a2p
aXat-a2paXaX+ε{aPaXat+(a2p
a2xapatｮaXat)apaX+(認
一 驀)apat
一轟(apaX)2+a2Pape一
a2Xap
轟
一 轟)鰭
ap2_82Tap
8p2
+aP_ax_ar_taxap_2aTap
a2p
ate
a2p
ate+ε{aPate+(2
+(a2P
aX8Xapa2p8p28t
ax
8p2axat
at+8p8taxe
a2p_ar+aTap
a2p-a2Tapat
ate)窪
_a2Tape-2a
pat)(窪)2-2轟
+(aP_2ar_3ar
p
∂t
一器(apat)2
a2p+o(EZ)ap
aX at apaX apat
aXat aX apaX
at2
隷
鰭
一 籌(apat)3一
讖(窪)2
ap_ax
ap∂
ap∂t
∂p∂X)a2pate-2(警+axapapat)謝+・(ε2)
こ れ ら の 変 換 に よ っ て 不 変 に 保 た れ る 曲 面 を も と め る に は,解pの
不変 性 か ら
p(p,x,t;ε)=P(父,{)
と な り,ε
の1次
の オ.___.ダ
ー で展 開 す る と
P(p,X>t)oapx(p>x,t)+apT(P,x,t)aX
at
が え られ る.こ の 方 程 式 の 解 が 独 立 変 数 の 数 を 減 らすsimilarity変 数 と な る .特 性 方
程 式 は,つ ぎ の よ うに な る.
dP
dX
P=X=〒
17
dT
(31)
つ ぎ に 具 体 的 に これ らの 微 分 規 則 に した が っ て,Fokker-Plank方
程 式 を不変 に保つ
変換の間に成立する関係 を求める.す なわち,
禦
一α(X)∂
≒製
一b(X)∂plこtLC(X)p(x,t)
一ap(X,t)at一
一α㈹ 鏨
こ こ で,微
分 演 算 とX,t,
Pの
a(x)=a(x)+a'(x)EX,
'はXに
す る に は,各
数 に つい て はつ ぎの式 を代入 す る.
b(x)=b(x)+b'(x)eX,
つ い て の 微 分d/dxで
に つ い て 整 理 す る.以
定 義(29),係
型 一b〔X)茆1蕊
至Lc(X)p(x,t)
下,式
ある
c(x)=c(x)+c'(x)eX
.ε の 係 数 は ゼ ロ に 等 し く な る の で さ ら に 偏 微 係 数
の 量 が 膨 大 に な る の で 詳 細 は省 略 す る が
変 微 係 数 の 項 が ゼ ロ に な ら な け れ ば な ら な い .順
〔a2p/∂X2)(∂p/∂X),(a2p/∂taX),〔ap/ax)2の
難
と な る.∂2p/∂X2の
,恒 等 的 に 成 立
に 調 べ る と,(∂p/∂t)2,
項 か ら,
・よりx=x(x,t)T=T(t)P=p(x,t)f(x,t)+g(x,t)
係 数 か らは,
一a'(x)X(x,t)一a(x)f(x,t)+2a(x)aX(x,t)=oaX
と な る.こ
れ を 積 分 す る とX(X,t)が
求 め られ る.
x(X,t)一X・(t)而+辯
と な る.Xoはxに
呵
α一1/2dx
依 存 し な い 積 分 定 数 で あ る.∂p/∂Xの
項 か ら は ,つ
ぎの式 が得 ら
れ る.
2afaX-a2xaX2+暮(aX
dTaXodt)一Xba'(X)一
き警
こ の 式 も 積 分 す る こ と が で き てf(X ,t)が 得 られ る.
2dxl(x)Xo'(t)_IZ(x)T"(t)/2)+T'(t)4(d〔1(望仔LI晒)
2
こ こ で,1(X)=fa-1/2dxで
s
あ る.
18
(32)
最 後 に 残 る項 は,つ
ぎ の 方 程 式 を も た らす.
器cg-
2bag-QagaX
aX・
裏 一cT'(t)
z_baf_Qa2aX
aX-X畿
一・
gの 偏 微 分 方 程 式 はpのFokker-Planck方
程 式 と全 く同 じな の で,一 般 にg-0と
考
え る こ とが で き る.fに つ い て の 式 は 先 に得 られ た(32)を 代 入 す る .さ らに 式 の 変 形
を つ づ け る と,究 極 的 に つ ぎ の 式 が 得 られ る .
dfo
T"(t)1(x)Xo"(t)12(x)T"'(x)
dt
d
2
g
Xo2{d2adx2+dbdx)(d疂
野 一謬b)+Za'/2doaX}
(33)
+T'(t)44{d2adX2+bd.dx)(dx/2bl(x))+4c+21喋}
こ こ ま で が,一
般 的 に ど の よ う なFokker-Planck方
れ 以 降 の 展 開 は,特
(33)に
現 れ るXの
程 式 で も 成 立 す る 関 係 で あ る .こ
殊 ケ ー ス に つ い て そ れ ぞ れ α(X) ,b(X),
べ き 乗 の 係 数 に つ い て 比 較 す る.そ
数 形 が 求 め ら れ る.そ
の 結 果,変
換 群X,T,
Pの
c(X)に
関 数 形 を 代 入 し,
の 結 果 と し て,fo,
Xo,
Tの
関
関 数 形 が 決 ま る .ス
ペ ー ス の 関 係 上,
た く さ ん の 例 を 載 せ ら れ な い が 一 般 的 な も の と し てBluman[1971]とHill[1982]に
よ
る も の を 紹 介 す る.
82p(x,t)
axZ+ab(x)p(x,t)iap(x,t)ax-atの
場 合 ・6
初 期 条 件 と し て,
p(x,0)=S(x-xo),
x(0)=xo>0
と す る.
(33)式
Xの2次
に,α(X)=1,c(X)ニb'(X)を
代 入 す る.そ
式 とな る.つ ま り,両 辺 を3回Xで
の 結 果1(x)=Xと
な り,左
辺 は
微 分 す れ ば ゼ ロ とな る.右 辺 を み る とb
に か ん す る つ ぎ の 微 分 方 程 式 が 得 られ る.
2Xo(t)(b"一b'b)'"十dT(t)/dt(xt)"十2b'一bb'X-b2)"'=・O
b(X)は
ド リ フ ト項 な の で 奇 関 数b(X)一
一b←X)が
成 立 し て い る .し た が っ て,dT(t)/dt≠O
の と き は,
(xb"十2b'一bb'X-b2)"'==0
上 浮撫
嬲11]で
は じめ て 与 え られ た ・ そ の 後,Bluman
19
andKum・i[・989](PP・226-232)に
も取 り
が成立 しなけれ ばな らない.こ れ を積分す るとつ ぎの式を得る.
2b'(x)一b2(x)一4(32-y一}一(16v2-1)/X2
β,Y,
vは 積 分 定 数 で あ と の 計 算 が 便 利 な よ う に 選 ん で あ る.こ
の 微 分 方 程 式 で,b(X)=一2V'(X)/V(X)と
変換 す る と
d2Vav2+va-x2(3216v2ｮ14_4x2)v一
と な る.こ
の 常 微 分 方 程 式 の 解 は,Kummerの
れ はRiccatiタ
イプ
・
第 一 種 合 流 型 超 幾 何 関 数F(λ
,μ;z)を
も ち い て 表 す こ と が で き る.
V〔X)一(解)1/4+ve慨(λ,μ;警㍉
こ こ で,ｵ=2v+1,λ=ti+1/2一
γ/(8β)と な る17 .こ
し て 方 程 式 が 不 変 に な る た め の,bに
れ は,無
限 小 変 換(29)に
対
つ い て の 制 約 式 で あ る.
つ ぎ にT,X,
fに つ い て の 方 程 式 を 求 め る.式(33)に1〔X)=xを
係 数 を 比 較 す る と,
代 入 し て,
x2の
T"'(t)=4β2T'
Xを 含 ま な い 項 は,
fo'〔t)十T"〔t)/2=γT'〔t)/4
Xo=0と
な る18.初
る の で,T(O)=0,
期 条 件 の 制 約 に よ っ て,
Xに
fo(0)oxo2T"(0)/8が
つ い て は,
得 ら れ る. Tに
Tに
つ い て は , t=0の
り, X(xo ,0)=・0,
つ い て 解 く と,
X(O)=Xpよ
と きt=0と
f(xo,0)=0よ
す
り
T(t)=4sinh2(3t
Xに
つ い て 解 く と,
X(x,t)=2(3xsinh2(3t
17合 流 型 超 幾 何 微 分 芳 程 式 は,ろ
蛎
形 を し て い る.
zdZy/dz2十(ｵ一z)dy/dz一
先 の 方 程 式 は,合
λU=0
流 型 超 幾 何 微 分 方 程 式 にz=(3xZ/2,
を施 した 基 準 形 と同 じ形 を し て い る こ と が わ か る.し
y=vexp{一1/2fz{(2'γ
た が っ て,変
V(x)=X2v+1/2e-Rxz/aF(T,ｵ;(3x2/2)と
18T'(t)=0の
場 合 に相 当す る.
場 合 は,(b"一b'b)'"=Oと
な る が,こ
20
れ はbに
一1)/s一(3sd}s}の
変換
換 前 に戻す と,
な る.
つ い て の 方 程 式 で'v2=1/4と
した
fに つ い て は,
f(x,t)=Ysinh2(3tｮ(1-1-bx)(3
sink2/3t-x2(32
cosh2(3t+xO2(32
と な る.
こ こ で 不 変 曲 面 の 方 程 式(31)を
も ち い てsimilarity変
数 を 求 め る.丁'(t)≠0の
場合
に は ・d17T=dX/xを
解 い て, similarity変 数 ξ=x/∼/〒
を 得 る . fに つ い て の 方 程
式 を も と め て,dp/p=fdT/Tを
解 く と, pの 関 数 型 が つ ぎ の よ う に 与 え られ る .
p(茂t)一 ・xp[穿
一寧
・・thβt一(察
η(ξ)は ξ の 関 数 で あ る.η(ξ)の
代 入 す る19.か
・・thβt+,fZ
関 数 型 を 決 め る に は,も
な り の 計 算 に な る が,そ
b(s)ds)]T(t)1/4η(ξ)
と のFokker-Planck方
の 結 果 η に つ い て の2階
程式 に
の常微 分方 程式 が得
ら れ る.
η"(ξ)一(鱗
X>0の
場 合,modi丘ed(変
述+X・2β2)η
形 さ れ た)Besse1関
数12v(z)を
一・
も ち い て η を表 す こ とが で
き る.
η(ξ)=ξ1/2{Ail2v(βxoξ)十A21_2v(βxoξ)}
A1とA2は
積 分 定 数 で あ る が,
ti≠1/4でX>0,
t>0の
場 合 に は , A2=O
A1-2x・ 一2v(β/2)3/4-v(F(λ,μ;X22))一1
と な る.Fは
b(X)=Bx,
先 に 現 れ たKummerの
c(X)ｮB(Bは
関 数 で あ る.こ
定 数)の
α(X)∂2p(X,t)aX2+(α'(X)+b(X))8p(x,t)aX-+b'〔X)p〔X
拡 散 係 数 α(X)が
彎 合 璽 α(x)=QX,
ispは
方 程 式(27)は
数 を用 い る と
,一
程 とな る.
,t)8p(x,t)一_at_の
一 般 的 な 場 合 はc(X)=0の
b(X)=box+boで
・imilarity変
の タイ プ の特 殊 ケー ス と して,
場 合 がOrnstein-Uhlenbeck過
場 合2・
場 合 に 解 が 得 ら れ て い る.こ
あ る が,こ
れ はFeller[1951]に
般 にp(・,t)一D(ξ(X,t),t)η(ξ)と
の 単 純 な
よ っ て 計 算 され
か け る.一
般 のF。kk,,一Plan、k
つ ぎ の よ う に 変 換 さ れ る.
α(δ
乙aX)2η"+{α1躑
絮
聯
一。
(34)
20Hill[1982]のP
P・109-115お
よ び 演 習 問 題15-17(PP.131-133)に
補 っ て い る.
21
あ る.こ
こ で は,途
中 の展 開 を
た も の で あ る.基
本 的 に は,先
の 例 と 同 じ 方 針 で 求 め て い く が ,f(X,t)の
表 現 は次 の
よ う に な る.
f(X,t)一f・(t)+纏
一∼
要L差 慕II一 圭砦L誓
J一
等 黔+b(X)α 一1/2〔X)
ここで,
dfo(t)/dtに
つ い て も 同 様 の 手 続 き に よ っ て,
_dfo
l d2T
l d2Xo
-1dT4dt{畔
φ〔X)=2α
ld3Tdt
4dt2+2dt21(x)+8dt31(x)2
φ'(X)1(X)+φ(x)}+弊 ユ姻1/2φ鴇
〔X)1/ZJ'(X)十1(X)2-4b'(X)
先 と 同 様 に,Xo(t)=0の
合 に は,tの
墓
場 合 に つ い て 考 え る(Xo≠0の
関 数 を 係 数 と し た1(X)の2次
数(変 数 分 離 型)と
な る.こ
場 合 は 省 略) . Xo(t)ニ ・0の 場
式 と な っ て,1に
の 関 係 か らdI/dx=a-1/2を
つ い て2回
も ち い て,φ
微 分 す る と定
の1に
関す る微
分 方 程 式 を 得 る.
1響1(x)+φ(X)一2k11(X)2+k2
k1, k2は 積 分 定 数 で あ る.こ れ を 積 分 す る と φ が 得 られ る . k3も 積 分 定 数 で あ る21.
φ(X)=klI(X)2十k2十k31(X)一2
これ を も と のdfo/dtの
式 に代 入 して1の 係 数 を 比 較 す る と .
d3T
dT
at3-4k1盃'=0
(35)
dfoat+1籌+k2dT_4
dt・
(36)
微分
これ
方程
らの式
式 を積 分 してT,X,
fの 関 数 型 を求 め る 前 に,先 の 例 と同 様 に φ に 関 す る
が1の 関 数 型 に 制 約 を与 え る こ とを 示 す.つ ま り,こ の 無 限 小 変 換(29)に
対 して 不 変 に保 たれ る方 程 式 で あ る に は,係 数 α とbの 間 に 一 定 の 関係 が 成 立 して い
な け れ ば な らな い.1を
独 立 変 数 と考 え て,φ(1)=φ(X)と
2dTdl+1(1)2一
・・X
。(t)≠0の
譯
・
唱1!一
φ(1)
場 合 に1ま,
fi(x)=ktl(x)2+kzl(x)+ka
と な る.
22
表 す と,dx=α1/2dIよ
り
1の 定 義 を 代 入 して 整理 す る と,
zddl{d1薯
馴+{ギ
と な る.こ
れ はRiccati型
裂}2一 φ(1)
の 微 分 方 程 式 だ か ら,
群
鴨 呈1豊
一雜+2裂
と お く と,
竺 」 型Pv=o
dV
とな る.先
の 例 と 同様 に,φ
4
の 関 数 型 か ら こ の 解 はKummerの
合 流型 超 幾何 関数 に
な る こ と が わ か る22.
つ ぎ に,方
程 式 の 初 期 条 件 と し て 先 の 例 と 同 様 に,
/P(x,0)=1Poδ(X-Xp),
を 与 え る.Io=1(Xp)と
お く. T(0)=0よ
和 が ゼ ロ と い う制 約 が 加 わ る.さ
と な る.最
X(0)ニ:Xp>0
り(35)の3つ
あ る積 分 定 数 の 関 係 式 に そ の
ら にXo(t)=0の
場 合 を 扱 っ て い る の で , T'(0)ニ0
後 に 残 っ た 定 数 は 任 意 で あ る か らT〔t)の 係 数 が1に な る よ う に 選 べ る .そ
の結 果
T(t)osinh2/3t
が 得 られ る.こ
こ で β2=k1で
あ る.こ
れ より
X(t)=1(x)(3sinh
(36)式
と初 期 条 件 よ り
f(茂 ト
22廠
2(3t
はX
鬟 『 …h2βt一
響
・inh2βト
髪 ・inh2(3t-k2
4・inh2(3t+孥
。=0の
場 合,F(a,y;・)をKumm。,の
舗
型超 幾 觸
数 とす る と,つ
れ る.
φ(1) =
klI2+k2+k3/12
Y-1f2>廓
1
a=
z
k2
Σγ一 粛 「77Σ
ニ= k11/212/2
V(1)=ZY/2-1/4e一
23
垂F(α,γ;・)
ぎ の よ うに 与 え ら
と な る.不
変 曲 面 の 方 程 式 か ら,similarity変
数 ξ=1(X)/sinhβtと
, pの
関数型 が
求 め られ る.
P(x,t)一 而
こ こ で η(ξ)の 関 数 型 は,も
讖
確 ・xp[÷
と のFokker-Planck方
網
こ の 解 は,よ
身(1・2+12)…hβt]η(ξ)
程 式 に 代 入 し て 求 め ら れ る23 .
一(孥+轟)η(ξ)
く知 られ て い る よ うに 第 一 種modi丘ed
Z=βIoξ/2,
Besse1関 数 と な る .
η(ξ)=ξ1/2y(Z)
と変 換 す る と標 準 形 が 与 え られ る.α=(1+k3)1/2/2と
す る と,
= η0ξ1/2
2
η(ξ)
・(1α(Z)+Lα(Z))
と な る.
4
価 格 変 動Fokker-Planck方
程 式:単
純 ケー ス
これ まで,ラ ンダム要因の導入 とその解法について解説 してきたが,こ の節 では最
も単 純 な1部 門 の 場 合 に そ れ を応 用 して み よ う.成 長 会 計 か ら得 られ る価 格 方 程 式 に
全 要 素 生 産 性 を ラ ン ダ ム 要 因 と して 与 え た 場 合 の価 格 の 変 動 を分 析 す る が ,マ ク ロ の
決 定 論 的 な 関 係 は 理 論 的 にH:ayami[1993]で 得 られ て い る .一 般 的 なn部 門 の 場 合 に
つ い て も 与 え られ て い る が,こ れ ま で 述 べ て き た 分 析 をn部 門 に拡 張 す る作 業 が 残 さ
れ て い る の で,こ
こ で は 単 純 ケ ー ス に つ い て 考 え る.
は じめ に 変数 の 定 義 を述 べ てお か な けれ ば な ら な い.価 格Pの 変 化 率dlnP/dt,α
分 配 率 の 比 率(1-Wr
Wb)/Wb,
WQ=Px/Cは
は 投 資 財 コ ス トシ ェ ア で あ る.ρ=P(r+dep-dln
利,depは
減 価 償 却 率 で あ る.簡
P/dt)は
資 本 の ユ ー一ザ コ ス ト, rは 金
素価格 の変動
単 の た め シ ェ ア は 一 定 率 で あ る と し,要
も 一 定 と す る と,価 格 の 変 動 要 因 は そ れ 以 外 の 生 産 性 変 化 率L(t)=・dln
と な る 。dln
が,こ
ITP/dtに
も 本 来 ド リ フ ト項Driftが
あ っ て ,一
TFP/dt-Drift
定 の 技 術 進 歩 は して い る
こ で は 簡 単 の た め ド リ フ トは 無 視 し て 考 え る .
こ の と き 成 長 会 計 の 価 格 方 程 式 のLangevinに
d21n
23注19に
P/dt2-a(dlnP/dt)2+(aRｮ1/WbL〔t))dln
あ る式(34)を
を
中 間 投 入 コ ス トシ ェ ア, Wb=ρK/C
用 い る こ と蔘 で き る
よる表現 は
P/dt一
,
24
一R/WbL(t)
と な る.R=r+depで
あ る.価
格Pの
号 と紛 ら わ し い の でUニdlnP/dtを
記 号 が こ れ ま で 利 用 し て き た 確 率 分 布pの
も ち い て 書 き か え る と,つ
記
ぎ の よ う に な る.
g'_一Q(R-y)U一{(Rｮy)/Wb}L(t)
ユ ー ザ コ ス ト ρ/P=R-y≧0の
場 合 が ,経 済 で 許 さ れ て い る 領 域 で あ る.pに
つい
て2次
の ド リ フ ト項 と,1次
の 拡 散 項 が あ る.こ
の よ う に 単 純 にR ,Wbを
一 定 と考
え た 後 で も,こ れ ま で の 議 論 か ら こ の 方 程 式 の 扱 い は 予 想 に 反 し て 複 雑 で あ る こ と が
わ か る.
1、angevin項
の 仮 定 と し て,
〈 1一(t)〉=o,
〈 L(t)L(t')
〉=
「δ(t-t')
と す る.
さ き に 示 した よ うに,こ
解 が 導 か れ る.
こ で 拡 散 項(R-y)/Wbの
解 釈 の しか た に よ っ て,異
なる
た だ し,ミ ク ロで の 無 数 の 技 術 進 歩 がLの 本 質 的 部 分 で あ る と考 え る と,マ ク ロの
価 格 変 動pが 飛 躍 す る タイ ミン グ と は 異 な っ て い る と仮 定 して も 差 し支 え な か ろ う.
この 価 格 が も し株 価 の よ うな 常 に 変 動 して い る も の で あ る とす る と,技 術 の 進 歩 か ら
も た ら され る撹 乱 と の 同 時 性 が 生 まれ て く る で あ ろ う.そ れ で も近 年 の よ うに パ ソ コ
ン な どの 価 格 が 頻 繁 に 変 動 す る よ う に な る と ,技 術 進 歩 が 蓄 積 され て 価 格 が 変 動 し,
現 状 の 価 格 水 準 を前 提 に して,製 品 開 発 の 試 行 錯 誤 が な され る と考 え る こ とに 問 題 が
起 こっ て く る か も しれ な い.つ ま り,Stratonovich解
い 状 況 が あ る か も しれ な い.こ
さ ら にL(t)がGauss過
値 に な る.
釈 で 定 式 化 した ほ うが 都 合 が よ
こで は,伊 藤 解 釈 で 考 え る こ と にす る .
程 に した が う とす る と,つ ぎ のFokker-Planck方
樂L∂(α(u二
禺U劃+1∂2{(墜
程 式 と同
豐2哩
こ こ で,
α(y)一1(R-yWb)2,
b(y)一(一
論
Σ)(R-y)
とお く と,前 節 の 二 番 目の 例 に あ て は め られ る.つ ぎ の 式 が 成 立 し て い る .
囎 ぞtL戦(y,t)}+璽
し た が っ て,も
し1,1を
計 算 して,α
に 合 流 型 超 幾 何 関 数 とmodified
芻u魍
とbに
Bessel関
… 定 の 関 係 が 成 立 す れ ば ,解
数 で あ ら わ す こ と が で き る .実
て み る と,
1(y)=一(2/「)1/2Wb
In(R一
25
一
一y)
は 先 と同 様
際 に計算 し
と な り,
k1-rk22Wb2一
擘,k3一
聖謂
と選 べ ば よい こ とが わ か る.
完 全 な 解p(y,t)を
あ らわ す た め に つ ぎ の 関 係 を 定 義 す る.
p(X,0)=
'Poδ(y-yo),
yo>0はyの
初期値
γ 一1+2∼ 碍 手イ>o
l
α=Σ
β=
Z
k2
γ一藻1i万
(「/2)1/2/Wb
=
k11/212/2
V(1)一ZY/2-1/4e-2F(a,γ;Z)
F(α,'γ;z)はKummerの
第一
一種 合 流 型 超 幾 何 関 数 で あ る . v=〔1+k3)1/2/2と
す る と,
η(ξ)一
嚀2(lv(Z)+1_v(z))
Iv(z)は
第 一 種modi丘ed
Besse1関
数 で あ る .記
号 は 多 少 紛 ら わ しい が,こ
のIv(Z)は,
1〔y)と は 別 の 関 数 で あ る.
価 格 変 動Fokker-Planck方
p(y,t)一
程 式 の 解p(y,t)は
諡1転
つ ぎ の よ う に な る.
・k2(3xp-4-4(1(y・)2+1(y)2)…hβt]η(ξ)
価 格 変 動 のLangevin方
程 式 は,価 格 の 瞬 間 的 分 散(拡 散 係 数)が 実 質 金 利 と資 本 コ
ス トシ ェ ア の 比 率 に比 例 し,ド リフ ト項 は 技 術 進 歩 の 分 散 「が 大 き くな る と小 さ くな
る こ とが 係 数 か ら見 て 取 れ る.し か も,こ れ ら の経 済 変 数 の 間 に は 一 定 の 関 係 ,合 流
型 超 幾 何 分 布V(1(y))で 示 され る 関数 関 係 が 存 在 して い て ,解 が 計 算 で き る.第 一 の
関 係 は 価 格 の 瞬 間 的 分 散,実 質 金 利 と資 本 コ ス トシ ェア を 計 測 す れ ば,TFP変
化率の
分 散 「が 計 測 で き る.し か し,定 常 状 態 で はR=yに
な り価 格 の 瞬 間 的 分 散 は ,た と
えTFPが
変 動 して い た と して も ゼ ロ と な る .価 格 上 昇 が ゼ ロy=0と
い う点 は,不
安 定 で わ ず か に マ イ ナ ス に ず れ る と一 層 マ イ ナ ス に な る傾 向 に あ る .揺 動 効 果 が な け
れ ば ゼ ロで とま る の だ が,:Langevin項
が あ る た め に ,価 格 上 昇 ゼ ロの 点 に と ど ま る こ
とは で き な い.価 格 が マ イ ナ ス 成 長 の領 域 で は,ミ ク ロ のTFPの
振 動 よ り もマ ク ロ
の 動 き の 方 が 現 れ る こ と に な る.よ
り一 般 的 に 分 配 率 が 一 定 で は な い 状 態 に は
求 め られ る か ど うか は わ か っ て い な い.ま
,解 が
た,多 部 門 の 場 合 に は どの よ うに 拡 張 され
るか も,残 され た課 題 で あ る.
26
5
お わ りに
こ の 分 析 の 目的 は,Frischが
な シ ョッ ク,イ
impulse問
経 済 メ カ ニ ズ ム に よ るpropagationの
ノ ベ ー シ ョ ン と い う3つ
題 を,統
一 的 に と ら え る こ と で あ っ た.経
ク ロ の ダ イ ナ ミ ッ ク な 価 格 方 程 式 を 利 用 し,こ
本 コ ス トへ の 影 響 が 含 ま れ て お り,ラ
構 造,ラ
ンダ ム
の タ イ プ に わ け て 考 え て い たpropagationと
済 メ カ ニ ズ ム の 構 造 と して は
,マ
れ に は 資 本 財 の 価 格 の 変 化 が 与 え る資
ン ダ ム 要 因 と し て はTFPの
動 き をLangevin方
程 式 で 定 式 化 し た.
そ の た め に必 要 な道 具 だ て とそ の解 法 に つ い て解 説 す る こ と も,こ こ で の 目的 の ひ
とつ で あ っ た と い え る.な ぜ な ら ば,岩 田[1989]が 展 望 して い る よ うに
,こ れ ま で 多
くの 文 献 で確 率 微 分 方 程 式 は利 用 され て き た が,あ る 種 の 制 約 の も と に解 が 求 め られ
て い る こ と に 詳 し く言 及 して い る もの は な か っ た よ うに思 わ れ る .あ る い は そ れ が 述
べ られ て い て も抽 象 的 な表 現 で
,具 体 的 に どの よ うな 条 件 な の か,た と え ば 経 済 現 象
と して は ど の よ うな 変 数 間 の 制 約 な の か,明 らか に され て い な か っ た .
こ こ で は,マ
ク ロ の 関 係 式 を 与 え て,そ れ にLangevin項
で 示 され る ラ ン ダ ム 要 因
を 取 り込 ん だ.個 々 の 技 術 進 歩 が ど の よ う な も の で あ る か は,観 察 で き な い こ と が 多
く,さ
ら に価 格 に 反 映 され る ま で に も撹 乱 効 果 が あ る で あ ろ う と い うの が そ の 根 拠 で
あ る.こ
の よ うな ラ ン ダ ム 要 因 の 定 式 化 に つ い て,そ
のimpluseをpropagateす
るシ
ス テ ム が ど の よ う な 状 況 で あ れ ば ,ど のFokker-Planck方
程 式 を設定 す るのが適 当で
あ る の か と い う こ と に つ い て の 考 察 も,こ こ で は 行 っ て い る .し か し,Fokker-Planck
方 程 式 の 解 を 求 め る た め に は,分 配 率 が 一 定 な ど の 仮 定 が 必 要 に な っ た .
こ う した 簡 単 化 の 仮 定 の も と で も,方 程 式 は 十 分 複 雑 に な る が,実 質 金 利 が ゼ ロ に
な る物 価 上 昇 点 は 安 定 で あ る が,物 価 上 昇 ゼ ロの 点 は ラ ン ダ ム要 因 の た め に無 視 で き
な い 不 安 定 な 平衡 点 な る.も し ラ ン ダ ム 要 因 が な け れ ば,一 つ の解 と して の 経 路 を も
つ が,ラ ン ダ ム要 因 の た め に,そ の 経 路 に と ど ま る こ とが で き ず
,必 ず デ フ レ ・ス パ
イ ラル に 陥 る か あ る い は 実 質 金 利 ゼ ロの 点 に 向 か う と い う関係 が 導 か れ た .デ フ レ ・
ス パ イ ラ ル の 状 況 下 で は ,価 格 変 動 に 与 え るTFPの
揺 動 の 影 響 は 小 さ く急 速 に マ ク
ロの 効 果 が 現 れ る こ と に な る .ま た,実 質 金 利 ゼ ロの 点 で は,価 格 変 動 の 分 散 は ゼ ロ
とな り,こ こ で もTFPの
揺 動 の効 果 が 観 察 され る こ と は な い .い ず れ に して も, TFP
の 揺 動 効 果 が 観 察 され る状 況 に は な い が ,デ フ レ ・ス パ イ ラル 現 象 が 起 こ る た め に は,
TFPの
揺 動 効 果(:Langevin項)が
な け れ ば, propagation
mechanismと
して シ ス テ ム
が そ う した 状 況 に 陥 る こ とは な くな っ て しま う.
Frischの
考 え たpropagati◎n
因 を 考 慮 し た と き,ミ
propagation
mechanismに
よ り 一 般 的 に は,単
and
impulse
ク ロ のimpulseと
problemに
即 し て 考 え る と,ラ
し て の:Langevin項
ン ダ ム 要
の存 在 に よっ てマ ク ロの
大 き な 違 い を も た ら す こ と が 明 ら か に な っ た.
純 にLangevin方
程 式 を 当 て は め る と い う作 業 よ り も, master
方 程 式 の展 開 とい っ た 方 法 や,安 定 点 の ま わ りに な い 場 合 に 行 わ れ る ス ケ ー リン グ理
論 と い っ た 方 法 が 開 発 され て い る.そ の よ うな 理 論 を応 用 す る 場 合 に ,な に よ り も重
要 な も の は経 済 分 析 に お い て もEinsteinの 関係 の よ うな 実 験 ・実 証 結 果 と理 論 を結 び
付 け る 法 則 あ る い は公 式 で あ る.こ
う した 関 係 が 観 察 され な い か ぎ り,つ ね に 可 能 性
27
の 議 論 と して の み 終 始 して,決 定 打 を 欠 く理 論 が 築 か れ る こ と に な る .
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Dynamic price equation has a feedbackeffectfrom the capital gain/loss of its
user's cost of capital. Hayami[1993]developed the model which endogenously
determines the capital gain/loss, and this paper extends it into incorporating
stochastic fluctuation due to the total factor productivity(TFP) . After examining formulations of random effects, the solution (the distribution of price
fluctuations) is given by the modifiedBesselfunction. There are two stationary
states of the price equation, and one of the two is unstable . This instability is
essential and intrinsic because of the Langevin force (TFP fluctuation) , while
the deterministic model requires an exogenous shock which triggers the system into unstable region. The instability from the propagation mechanism,
however, dominates the impulse, the fluctuation effect of TFP .
Key words: propagation, impulse, Langevin equation, fluctuation-dissipation
theorem, Fokker-Planck equation, dynamic price equation, total factor productivity(TFP), technical progress, one parameter Lie group , instability of
price fluctuation, deflation spiral
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