PropagationとImpulse問 Langevinお 題 に お け る ラ ンダム よ びFokker-Planck方 程式の 動学 的価 格 方程 式 へ の応 用 早見 KEO 均 September 1999 Discussion Paper No.54 要 因: PropagationとImpulse問 :Langevinお 題 に お け る ラ ン ダ 厶 要 因: よ び:Fokker-Planck方 程 式 の 動 学 的 価 格 方 程 式 へ の 応 用* 早見 均 慶應 義 塾大 学産 業研 究所 1999年9,月2日 学 中 *こ の 論 文 は 『三 田 商 学 研 究 』 岩 田 暁 一 先 生 退 職 記 念 号 の 準 備 の た め に か か れ た も の で あ る.著 者 が 留 同 室 だ っ たJ.Kohler氏(Depaztment of Applied Economics , Cambridge University)に,流 体力 学 にお け る 偏 微 分 方 程 式 の 立 て 方 に つ い て こ 議 論 い た だ い た こ と が,こ の 論 文 作 成 の 一 つ の 動 機 に な っ て い る.こ こ に 記 して 感 謝 した い.当 然 な が ら こ の 論 文 に あ るい か な る 誤 り も著 者 の 責 任 で あ る , 概 要 資 本 の ユ ー ザ コ ス トに 含 ま れ る キ ャ ピ タ ル ・ゲ イ ン の 効 果 を 価 格 に フ ィー ド バ ッ クす る シ ス テ ム を 経 済 変 動 のpropagatorと 考 え て ,そ れ に 技 術 進 歩 か ら もた ら され る ラ ン ダ ム なimpulseを 加 え た.ラ ン ダ ム 項 の 扱 い と し て はLangevin方 程 式 を 利 用 して い る.そ の 定 式 化 の た め に 必 要 な道 具 の 解 説 ・展 望 を 行 い な が ら, 最 終 的 にFokker-Planck方 程 式 を:Lie群 の 方 法 で 解 い て 価 格 変 動 の 分 布 が 得 られ た.解 が 得 られ る た め の 条 件 に は,価 格 方 程 式 に含 ま れ る ドリ フ ト項 と拡 散 項 に 一 定 の 関 係 が な けれ ば な らず ,そ れ が 満 た され て い る こ とが 示 され て い る.価 格 変 動 の 瞬 間 的 分 散 は,実 質 金 利 と資 本 の コ ス トシ ェ ア の 比 に 比 例 し,二 っ あ る 定 常 解 の う ち 一 っ は 不 安 定 で あ る.こ の 不 安 定 点 は ラ ン ダ ム 項 の 存 在 に よ っ て 無 視 で き ず,Frisch[1933]が 定 式 化 がpropagation い る. 考 え たpropagationとimpulse問 mechanismに 影 響 を 与 え る と い う新 た な 問 題 を 提 起 して キ ー ワ ー ド:propagation, impulse, Plallck方 程 式,動 学 的 価 格 方 程 式,技 動 の 不 安 定 性,デ 1 題 を 統 合 しimpulseの Langevin方 程 式,揺 動 散 逸 定 理, Fokker術 進 歩 率 , one parameter Lie群,価 格 変 フ レ ・ス パ イ ラ ル は じめに 生 産 性 上 昇 の 波 及 効 果 が 価 格 変 動 に 不 安 定 要 因 を も た らす こ と を,Hayami[1993]で は 多 部 門 の 動 学 的 価 格 方 程 式 を つ か っ て 例 示 し て い る.こ 示 し た ラ ン ダ ム なimpulse要 因 に よ るpropagation問 こ で は,R 題 を ,成 . Frisch[1933]が 長 会 計 か ら導 か れ る 動 学 的 価 格 方 程 式 を 利 用 し て 考 え て み よ う と 思 う2. propagationとimpulse問 題 と:F`rischが 提 起 し た 考 察 の 本 質 は,価 格 変 動 に つ い て Irving Fisher[1925]が 卸 売 物 価 指 数 を 分 析 し た 際 に,景 気 循 環 の 周 期 性 に つ い て 否 定 し た こ と を 念 頭 に お い て 考 え た 方 が わ か りや す い .Fisherの 考 え で は,経 済変 動 は摩 擦 の な い 振 り子 の よ う に 決 ま っ た 周 期 が あ る も の で は な い .気 候 や モ ンテ カ ル ロ の賭 け の よ うに 平 均 か ら上 下 して 変 動 す る も の に も ス ム ー ズ な 曲線 を 当 て は め る こ と は で き る.「 も し 月 の 満 ち 欠 け の よ う な 周 期 が あ れ ば,過 去 の パ タr.ン か ら 将 来 の を 予 測 で き る 。 気 候 の 変 動 や モ ン テ ・カ ル ロ で の ツ キ は も ち ろ ん 予 測 で き な い が ,経 済 活 動 の ツ キ を 予 測 で き る で あ ろ うか.価 格 の 変 動 で 経 済 活 動 が 支 配 さ れ る 限 り そ れ は 不 可 能 で あ る.」 と述 べ て い る(Fisher[1925], pp.191-2 .)3. Fisherは,経 済 の 変 動 を,枝 を ひ っ ぱ っ て 離 し た と き に 木 が 揺 れ る よ う な も の,森 の 木 が 風 で 揺 れ て い る よ うな も の,外 的 な 要 因 に 対 す る 反 応 の 仕 方 で あ る と 考 え て い る . つ ま り,Frisch流 に 考 え れ ば,風 の よ うなimpulseを 与 え た とき ,そ の 後 のpropagation の 仕 方 が シ ス テ ム の 構 造 に依 存 す る とい うこ と で あ る . 2こ こで もちい る動 学的価 格方程 式はH amagu・hi[・985】,黒田,吉 岡,7青水[1987],吉 岡[・989]で禾・ 亅 用 鑢 下いた もの を2階 の常微 分方程 式体系 として 導出 した ものに も とつい てい る・詳 しくはH・y・mi(・993] 3例 外 と し て は ・ 季 節 変 動 とH・myL・M。 。・eの 降 雨 循 環 に よ る8年 サ イ ク ル(金 星 循 環)を あ げ て い る.Moore[1923,1926]は 気 候 の 変(振)動 が 生 産 お よ び 需 要 に あ た え る影 響 が 価 格 弾 力 性 と価 格 指 数 の ウ ェ イ トを 通 じて 物 価 の 循 環 を も らた す こ と を 示 した. 1 Frisch[1933]は,振 talion[1913,1927]に 動 す るpropagationを も た らす 経 済 シ ス テ ム と し て は,主 にAfよ る 資 本 財 の 懐 妊 ラ グ を 分 析 し て い る.エ ラ テ ィッ ク な シ ョッ ク を 第 二 の 変 動 要 因 と 考 え て い る が,そ れ ま で に 提 示 さ れ て い た モ デ ル がpropagation を も た ら す 経 済 シ ス テ ム を 明 示 し て い な い た め,調 加 え た だ け に と ど ま っ て い る4.Frisch[1934]で Fisher[1932亅 のDebt De$ationの は,靴 和 振 動子 の微 分 方程 式 に考察 を 屋 と 農 家 の 交 換 モ デ ル にIrving ア イ デ ィ ア を く わ え,ノ ル ウ ェ ー 政 府 の く じ引 き を 利 用 し て エ ラ ー に よ っ て 循 環 す る モ デ ル を 例 示 し て い る.し な デ フ レ に よ っ て 負 債 が 増 加 す る(あ か し,Fisherの る い は キ ャ ピ タ ル ・ロ ス)と 固 定 価 格 モ デ ル の た め 考 慮 さ れ て い な い.最 後 にFrisch[1933]は, イ ノ ベ ー シ ョ ン を 振 動 を 維 持 す る 要 因 と し て と り あ げ て い る.た り 子 の 先 か ら放 水 す る モ デ ル を 考 え れ ば よ い と 記 述 し て い る.放 振 り子 が 動 く と い う 仕 組 み で あ る が,定 い うよ う い うメ カ ニ ズ ム は , Schumpeterに よる と え 話 と し て は ,振 水 す る際 の 反 作 用 で 式 化 は して い な い . こ こ で 扱 うモ デ ル の 特 徴 と して は,第 一 にpropagation部 分 と して は,価 格 方 程 式 を 資 本 の レ ン タ ル コ ス トに 含 まれ る キ ャ ピ タ ル ・ゲ イ ン/ロ ス 部 分 を 明 示 的 に 解 い て 動 学 化 した も の を利 用 して い る.第 二 に,Moore[1926]やFrisch[1934]が な 多 部 門 間 の 波 及 に つ い て も考 慮 で き るモ デ ル(月:ayami[1993])に 考 えた よ う も とつ い て い る .第 三 に,シ ョック を与 え る 要 因 と して は 全 要 素 生 産 性(TFP)の 変 化 率 で あ り,技 術 進 歩 も含 ま れ る イ ノベ ー シ ョン 効 果 も扱 う こ とが で き る.技 術 進 歩 率 を確 率 過 程(た と え ば 幾 何 ブ ラ ウ ン運 動)に した が っ て 変 動 して い る と仮 定 す る こ と でimpulse部 分の定 式 化 を して い る.お そ ら く こ の よ うな道 具 だ て を用 意 す れ ば,propagationとimpulse 問 題 を 動 学 的 な 価 格 方 程 式 か らで も十 分 に満 足 の い く よ うに表 現 で き る の で は な い か と考 え て い る.た だ し,そ れ を 解 説 す る た め に は 準 備 が 必 要 で ,そ の た め に ラ ン ダ ム 要 因 の 扱 い につ い て の 展 望 と偏 微 分 方 程 式 の解 法 に つ い て の 展 望 を加 え る こ とに した . 管 見 で は,た しか に 確 率 微 分 方 程 式 の 解 説 は 非 常 に 多 い が,筆 者 と 同 じよ うな 視 点 か ら これ ま で 系 統 的 に 解 説 が な され て い な か っ た の で は な い か と思 っ て い る .そ の た め あ え て こ こ に解 説 的 記 述 を 費 や して い る. 4Wicksel1の1907年 の 講 演, Akermanの 波 」),数 学 的 な 定 式 化 と して は,Slutzky, 季 節 変 動 と長 期 変 動(「 川 底 の 不 規 則 性 か ら く る川 面 の Yule, H。tellingお よ びWienerを あ げ て い る . Yule[1927】 は ウ ォ ル フ(Johann Rudolph な っ て い る.Yuleの 方 法 で は 周 期 の 推 定 を 改 善 す る こ と は で き な か っ た とい う否 定 的 な 結 論 を 得 て い る . Wolf(1816-1893))太 陽黒 点数 の周 期 の 自己相 関過程 を用 い た推 定 をお こ 太 陽 黒 点 の 周 期 は11.1年 た が っ て,Yuleの て か らAR(2)を で あ る が,極 小 か ら極 大 ま で は4 .8年 か か り,極 大 か ら極 小 が6.2年 か か る.し 推 定 して,さ らに 残 差 に つ い て 周 期 性 を も とめ た り ,移 動 平 均 を とっ あ て は め る とい う方 法 で は 無 理 が あ ろ う. Slutzky[1937]は ,移 動 平 均 過 程 とFourier よ うなAR(2)で 級 数 を 主 に 利 用 して 誤 差 過 程 か ら周 期 を 作 ろ う と した,時 もpropagationの 分 析 が 欠 け て い た.ち 系 列 解 析 の 古 典 と は な っ た が ,い ず れ の 方 法 なみ に太 陽黒 点 の周 期 は原 因 が黒 点が 磁場 の流 束 に よる こ とか ら太 陽 磁 場 の 変 動 で あ る こ と は わ か っ て い る が,電 る し(太 陽 中 心 近 く),ま Neutrino い はNASA Unit)と た 表 面 付 近 に は1000以 弱 統 一 場 の 介 在 す る太 陽 ニ ュ ー ト リ ノ に も振 動 が あ 上 の 圧 カ モ ー ドの 振 動 が 見 つ か っ て い る ,SNU(Solaz 太 陽 黒 点 との 逆 相 関 が あ る と い わ れ た が 解 決 して い な い . J. N, Bahcall[1989] ,あ る Data Analysis CenterのWebsite http://umbra .nascom.nasa,govか らた ど る と のSolar 最 新 情 報 が あ る. 2 2 ラ ン ダ 厶 要 因 の 扱 い に つ い て:簡 単 な 導 入 は じめ に ラ ン ダ ム 要 因 を ど の よ うに 扱 うか と い う こ と に つ い て 簡 単 な 展 望 を して お き た い 。 こ れ に よ っ て ラ ン ダ ム 要 因 を 扱 う場 合 の 限 界 や 一 般 化 に つ い て の 見 通 し を 与 え る こ とが で き る は ず で あ る.と い の も,数 学 者 に よ る 確 率 過 程 の 解 説 で は 数 学 的 な 条 件 は 明 らか に され て い る が,現 象 論 と し て 経 済 変 数 や デ ー タ と どの よ うな 対 応 が つ く の か 必 ず し も明 らか で は な い か ら で あ る5.こ やvan Kampen[1992]に Uhlenbeck[1945]に の 節 の 記 述 は ,Reich1[1980] よ る と こ ろ が 大 き い が,基 本 的 に は 古 典 的 な 文 献Wang and 依 存 して い る.た だ し,こ こ で は対 象 を 当 面 の 関 心 で あ る経 済 変 数 の 変 動 に 即 して 記 述 した い. た と え ば,こ こ で は あ る 確 率 過 程 に した が う変 数 は,全 要 素 生 産 性(TFP)の 変 化率 で あ る とす る.TFPの 変 化 率 は,技 術 進 歩 率 の よ うな 成 功 ・失 敗 の 無 数 の 繰 り返 しに よ っ て加 速 した り減 速 した り して 動 き は ラ ン ダ ム で あ る とす る .こ の よ うな 設 定 は し ば しば行 われ る が,結 局 の と こ ろ 作 業 仮 説 で あ る に す ぎ な い .そ れ で も,個 々 の 技 術 の 改 善 は 非 常 に 小 さ い が,そ れ が 集 積 してTFPの 上昇 にな る と考 え る と ,中 心 極 限 定 理 が 利 用 で き る.つ ま り,TFPの 上 昇 率 の 分 布 にGauss分 布 を 仮 定 す る こ とが で き る.し か し,技 術 の 変 化 の メ カ ニ ズ ム につ い て は,外 か ら与 え られ て お り,経 済 分 析 で は ブ ラ ック ボ ッ クス と して扱 う こ とが 普 通 で あ る.現 在,流 布 して い る技 術 に つ い て は,そ れ が 経 済 競 争 の 結 果,残 っ た もの で あ り,過 去 と比 較 して 進 ん で い る か あ る い は遅 れ て い る か ど うか は経 済 分 析 で は 問 題 に して い な い . この よ うな 定 式 化 は 生 物 学 で も行 われ て い る.進 化 の プ ロセ ス に 確 率 過 程 を導 入 す る 場 合 に は,遺 伝 子 頻 度 が 確 率 過 程 に した が っ て 変 動 す る と仮 定 して い る .あ る 形 質 を 発 現 す る 遺 伝 子 とそ の対 立 形 質 を発 現 す る遺 伝 子 が 互 い に 背 反 事 象 で あ る よ うに 設 定 して い る.交 配 は無 作 為 に 行 わ れ る と して,あ る 形 質 が 有 利 に働 くか ど うか な どの 環 境 要 因 をパ ラ メ タ ー と して モ デ ル に 取 りこ ん で い る(Kimura[1964]) .こ の場 合,遺 伝 子 レベ ル で は 自然 淘 汰 の 影 響 を 受 け ず,発 現 した 形 質 が 自然 淘 汰 され る か ど うか を 左 右 す る.過 去 に 起 こ っ た 環 境 変 化 に つ い て は 淘 汰 が か か っ た た め そ の 形 質 が 残 っ て い る と考 え られ るが,そ れ が 進 化 で あ る か ど うか は わ か らな い .ま た 過 去 と 同 じ環 境 変 化 が 将 来 再 び あ っ た 場 合,も う一 度 同 じそ の 形 質 が 残 るか ど うか も わ か ら な い だ ろ う.生 命 の 遺 伝 子 頻 度 以 外 の 部 分 は ブ ラ ック ボ ッ ク ス に な っ て い る の で あ る.こ こ で は 遺 伝 モ デ ル の よ うな複 数 の 対 立 形 質 を 取 り入 れ た モ デ ル で は な い が ,経 済 競 争 の 生 き 残 りに は,TFPの 水 準 が,各 時 点 で の 経 済 環 境 に 対 す る適 合 度 を もれ な く表 現 して い る と仮 定 して い る. 形 式 的 に は,Xを 確 率 変 数 と し た と き 確 率 過 程Yx(t)=f(X, 値Yx〔t)一yを と る 確 率 は, Xの 確 率 密 度 関 数Px(X)とDiracの t)に つ い て,時 点tで δ関 数 を用 い て 表 さ れ る. P1(y,t)一 ∫δ(y-YX(t))Px(X)繭 =〈 るいは δ(y`YX(t))〉 ・ 5数 学 者 の 解 説 で は 予 備 知 識 を 別 とす れ ばLC . G. Rogers[1997]の 3 (1) も の が 簡 潔 で わ か りや す い. こ こ で,YX(t)=f〔x, Yx(t)が, t)で 確 率 過 程 の 見 本 関 数 で あ る . n個 U 1,y2,_,ynの の 時 点t1,t2,...,toで 値 を と る 結 合 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 は つ ぎ の よ うに 書 け る . Pn〔(yl,tl),(y2,t2),...,(yn>tn)) =JS(U1-Yx(t1))δ(y2-Yx(t2))… δ(U孔焔))px(X)dx(2) 確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関.,Pnが つ ぎ の4つ の 整 合 性 条 件 を 満 た す 場 合 で,平 均 値 の 計 算 が 可 能 な 場 合 に,Pnは 確 率 過 程 を 完 全 に 構 成 で き る(Kolmogorovの 存 在 定理 証明は , Billingsley[1995]な ど 参 照). 1.Pn>0 2.Pnは,〔yipti)と(Ul,t;)を 入 れ 替 え て も 値 は 変 わ らな い . 3. JPn((U1,t1),(y2,t2),…,〔U祠)dyn =Pn-1((U1,t1),(y2,t2),…,(U箕 一1,t孔一1)) (3) 4・∫P1(y,t)dy=1 具 体 的 な 問 題 を 分 析 す る 際 に は,さ ら に 定 常 性,Markov性 Gauss分 布 を 導 入 す る こ と が 行 わ れ て い る. 2.1 の 仮 定 や 分 布 形 と して 定 常 過 程 の 扱 い 方 と限 界 も し定 常 過 程 で あ れ ば,確 て も分 布 形 は 変 わ らな い. 率 密 度 ヒエ ラル キ ー 関 pnは,時 間 に つ い て τず ら し Jpn((U1,t1),(U2,t2),…,(U祠) =Pn-1((U1,t1+τ),(y2>t2+τ),…,〔yn>to+τ)) 定 常 過 程 の 場 合 は,Wiener-Khinchinの 己 相 関 関 数 のFourier変 時 間 の 差 τ=t2-tlの 換 で 与 え ら れ る.自 = <(Y(t1)一 ニ <〔Y(0)一 φ(τ)一 関数 で あ りFourier変 定 理 が 成 立 し て パ ワ ー ス ペ ク トル1(ω)は 己 相 関 関 数 φ(t1 ,t2)は,定 自 常 過 程 の 場 合, み の 関 数 と し て 表 さ れ る. φ(t1,t2) 一 定 の 時 間0<t<丁 (4) 〈Y(t1)〉)(Y(t2)一 〈Y(0)〉)(Y(τ)一 く 〔Y(0)一 〈Y(0)〉)(Y〔 〈Y(t2)〉)〉 〈Y(τ)〉)〉 τ)《Y(τ)〉)〉 の あ い だ で確 率 過 程 の 見 本 関 数 は どれ もtに 換 で き る.振 動 数 をwn=2響 4 (5) つ い ての 通 常の と記 す と, Yxが 実 数 で あ れ ば Fourier係 数0.nに は, Q -n=0.*nな ど の 制 約 が か か る が, YX(t)一 Σane'ω ・t n=一 〇〇 Qn一÷TYXO(t)e一 瞬dt と 表 さ れ る.振 動 数 の わ ず か な 範 囲 の な か のFourier係 数Qnの 強 度1αn l2の 平 均 を ス ペ ク トル 密 度 あ る い は パ ワ ー ス ペ ク トル と 定 義 して い る .こ の と き,Wiener-Khinchin の 定 理 は,パ ワ ー ス ペ ク トル1(ω)が 自 己 相 関 関 数 φ(t)を 用 い て 1(ω)一 荒 と 記 され る.こ φ(t)e一'ω ・dt こ で 係 数 盞 は 逆 変 換 の 係 数 と ペ ア に な っ て い る .Wiener-Khinchinの 定 理 に よ り,定 常 過 程 の 場 合 は,自 己 相 関 関 数 を 観 察 す る こ と に よ っ て パ ワー ス ペ ク トル が 得 られ る が,あ る特 定 の分 布 に した が う場 合,パ な る の で 分 析 上 都 合 が よい.た る場 合 は,ラ と え ば,パ ワー ス ペ ク トル は 単 純 な 形 に ワー ス ペ ク トル が 振 動 数 に よ らず 一 定 に な ン ダ ム な 影 響 は,白 い スペ ク トル,白 色雑 音 とよんで い る. 定 常 過 程 は 分 析 上 限 られ た も の に しか 適 用 で き な い が,Wiener過 程 の よ うに増 分 が 定 常 過 程 に な る場 合 に は,も と の過 程 を 変 換 して 分 析 す る こ とに な る . しか し,定 常 過 程 に は な ら な い 例 と して,つ ぎ の よ うな も の が 考 え られ る.tを0 か らTま で の な か にn個 の 点 を と っ て 順 に ラ ベ ル をつ け る とす る . O=to <t1 <t2 この 時 間 の 経 過 指 標 が 増 え る と生 産 性y(た < ・。 ・< tη」<T と え ば 労 働 生 産 性 と訓 練 コス トの 関係)も 変 化 す る が,急 速 な 変 動 は コ ス トが か か る の で そ れ ぞ れ の 階 層 の 二 乗 和 を 最 小 にす る よ うに決 め る とす る.yo=0, yn+1=0と して お く.生 産 性 の 上 昇 は 確 率 変 数 で あ る 独 立 で あ る とす る .労 働 生 産 性 が 急 激 に 変 化 す る と調 整 の コ ス トが か か る とい う状 況 だ け を と りだ して 考 え て1時 間 単 位 あ た りの 生 産 性 の 変 動 か ら が,増 分yi+1-Uiは 発 生 す る コ ス トは 訓 練 の ス テ ー ジ1に 無 関 係 に一 定 で あ る とす る . 窖+惚 ギ+…+讐 こ鵯)1+yn2T-tn 生 産 性 の 変 動 の 分 布 を 以 下 の よ う に す る と,先 ほ どの 整 合 性 条 件 を満 た して い る . Pn((yl>tl),(92,t2),...,(yn,to)) 一(2πTa)1/2H渇1(a_)1/2・xp(一 辮 響) しか し,こ れ は つ ぎ の 自 己相 関 係 数 を み れ ば わ か る よ うに 定 常 過 程 で は な い . 〈Y(t,)Y(t2)〉 一評 ㌃ 塑 5 (6) 2.2 遷 移 確 率 とChapman-Kolmogorov方 程 式 定 常 過 程 で扱 え る モ デ ル は 限 られ て い る の で,つ ぎ にMarkov性 を確 率 密 度 ヒエ ラ ル キ ー 関 Pnに 導 入 し よ う. Markov過 程 の 性 質 を利 用 した モ デ ル は た く さん あ る が , 非Markov過 程 の 分 析 は い か に も少 な い.非Markov過 程 は,記 憶 の あ る プ ロセ ス な ど と も呼 ば れ て い る が,記 憶 項 は 「 粗 視 化 」 に よ っ てMarkov性 を もた らす よ うに 消 去 す る手 続 きが と られ て い る た め で あ る(鈴 木[1994]) .Markov過 程 で は,つ ぎの関 係 が 成 立 して い る. Pllτt_1(〔yn,to)1(U1,t1),(U2,t2),… ,(yn-1,tτt_1)) ニ・ PII1(yn,to卜Un_1,to-1) ≡ P1匝_1は, n-1組 P(fi n,to卜Uτt-1>to-1) (7) の 条 件 付 き 確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 で, P(U孔 ,t孔1蜘_1,t孔_1)は, 遷 移 確 率 密 度 で あ る. Markov過 程 で は 確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 は,遷 移 確 率 密 度 と初 期 値P1(U 1,t1)だ け で 表 す こ と が で き る.た と え ば,時 点t1にU1で あ っ た も の が,時 点t2にU2に なっ て,時 点t3にy3に な っ た と し よ う.こ 確 率 密 度 を 使 う とU1か らy2を の と き の 確 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー は ,条 経 由 す る 確 率 とU1とU2を 確 率 を か け た も の に な る.Markov過 程 の 場 合,後 条 件 と し てU3が 者 の 確 率 はy2を 件付 き 発 生す る 条 件 と し てy3が 発 生 す る 遷 移 確 率 に な る. P3(〔U1,t1),(U2,t2),(y3>t3))一P2((U1,t1),(y2,t2))Pll2(U3 == 第 二 行 目の 式 を,u2で ,t31(U1,t1),(y2,t2)〕 P(U3,t3卜U2,t2)P(y2>t2卜UIt,)P1(U1,t1) (8) 積 分す る と P2((yl,tl),(y3>t3))一P1(U1,t1)∫P〔y3>t31tJ2,t2)P(U2,t21U1,t1)dye 条 件 付 確 率 の 定義 か ら,時 点t1にU1で あ る こ と を条 件 と した とき,時 点t3にy3に な る確 率 は, P(y3>t31tiJ1,t1)一 こ れ がChapman-Kolmogorovの ∫P(U3,t31U2,t2)P(y2,t21U1,t1)dye 方 程 式 で あ る.実 際, Markov過 率 密 度 ヒ エ ラ ル キ ー 関 数 が 遷 移 確 率 か ら 決 め られ る の で,つ ば,Chapman-Kolmogorovの 方 程 式 でMarkov過 P1(U2,t2)一 程 で は ,す べ て の 確 ぎの整合性 条 件 を満 たせ 程 は 決 定 され る . ∫P(U2,t21U1,t1)P1(yt,t1)dye 6 (9) (io) 2.3 Master方 程 式 こ こ で は,遷 移 確 率 をTaylor展 開 し て 時 間 に 関 す る 微 分 形 の 遷 移 確 率 を も と め, Chapman-Kolmogorovの 微 分 形 で あ るmaster方 程 式 を 導 く .遷 移 確 率 の 時 間 に 関 す る 偏 微 分 の 定 義 は, aP(yz,t21y>>t,)一鵠!璽 で あ り,こ ≧±τ厘喫 れ を 評 価 す る た め にP(yz,t2+τIU ゴ(堕 1 ,t1)をTに 區 瓰 つ い てTaylor展 (11) 開 す る が, そ の 際 に 規 格 化 条 件, 1P(y2,t2トリ1,t1))dye=1 (12) が 成 立 す る よ うに定 義 しな け れ ば な らな い.そ の よ うな展 開 の 仕 方 と して ,や や 天 下 り的 で あ る が,つ ぎ の よ うな も の が あ る. P〔yz,t+Tayt>t)一P(U2,tlU1,t)+TWt(U21U1)一TQ・P(U2,tlU1,t)+・(T)(13) こ こ で,Wt(U21U 1)=血 ≒ 虫bΩ,α0は 規 格 化 条 件 か らつ ぎ の よ う に 得 られ る . (14) Clp(u1)一fW(ulu1)dy ま た,P(y2,tlU 1,t)は 定 義 よ りDiracのdelta関 数 と な る. P(U2,tly,,t)ニ=δ(y2-U1) o(τ)は,limT→o o(τ)/τ=0と な る 項 で あ る. 式(13)をChapman-Kolmogorovの て は め る.す な わ ち,t2=t, 方 程 式(9)の t3=t+τ 被 積 分 関 数 のP(y3 ,t31U2,t2)に 当 な ど とす る と, P(y3,t31tJ1>tl)=fbJ(y3-y2)(1一 一Ta・)P(U2,t2iU1,t1)dye +TWt・(U31U2)P〔y2,t2rU1,t1)dye P(y3,t2+τIU1,t1)p(U3,t21U1,t1)+T iT t2→t3と Wt・(U31U2)P(y2,t21U1,t1)dye Wt・(ulU3)P(U3,t21U1,t1)dy して,右 辺 の 最 後 の積 分 変 数 をyか らy2に 書 きか え る と ∂P(U3,t31U1,t1) at3 {Wt3(y31y2)P(y2,t31tJl,t1)一wt3(y21y3)p(y3,t31yl,tl)}dye 7 (15) と な る.こ れ がmaster方 程 式 で あ る.簡 禦 2.4 一∫(欄)P(U',t)一WU)P(y,t))dy' Fokker-Planck方 Master方 単 に つ ぎ の よ う に 書 き な お せ る. (16) 程 式 程 式 は,微 分 と 積 分 が 混 合 し た 方 程 式 で あ る の で, Chapman-Kolmogorov の 方 程 式 よ りは 分 析 しや す い が,さ ら に扱 い や す い 方 程 式 に 変 換 した い .そ の た め に 導 入 され る の が,時 間 はyに 飛 躍 が 発 生 し な い ほ ど短 時 間 を と る が ,Markov性 はそ こ な わ な い,と い う仮 定 で あ る.こ れ に よ り微 分 方 程 式 で あ るFokker -Planck方 程 式 が 導 か れ る6. い まmaster方 程 式 をUの 飛 躍 ξ を も ち い て 表 現 す る と,具 体 的 に はy'=・U一 ξを 代 入 す る と,つ ぎ の よ うに な る. aP(y,t)at一 ∫MulU一 こ こ でWt(u卜U一 ξ)P(y一 ξt)一 恥 ξ)P(り 一 ξ,t)をy=y一 ξIU)P(y,t))dξ ξ , y'ョyで ξ に つ い てTaylor展 開 す る と 次 式 を 得 る. Wt(ulU一 ξ)P(y一 ちt)=Wt(U一 ξIU)一a;(Wtay〔U一 ξIU)P(y,t))ξ a2 +ay'2(Wt(U一 これ を も と のmaster方 ξIU)P(y,t))ξ2+・(ξ2)・ 程 式 に 代 入 して,積 分 記 号 下 の微 分 の順 序 を 入 れ 替 え る と ,つ ぎ の 展 開 が 得 られ る. aP(y,t) at-aay(∫ こ こ で,以 照U一 下 の3条 ξIU)ξdξP(y,t))+1券(∫ 件 を 成 り 立 た せ る よ う な δ>0が W(ulU')斜0, W〔uIU'十 P(y十 y'=U一 数藹 膿 嬲 照 鑾 ξIU)ξ2dξP(y,t))+… 存 在 す る と仮 定 す る . ξ, iii>δ △y)舘W(uIU'),1△ul<δ △y,t)駕P(y,t), 1△ul<δ こ の と き 先 の 展 開 は 高 次 の オ ー ダ ー を 無 視 す る と ,つ ∂P黔tL轟(∫ 恥 ぎ の よ う に 書 け る. U一 ξIU)ξdξP〔y,t))+轟(fW( 殊形 を もちい,Plan・k(1917)は 8 ξIU)ξ2dξP(y,t)) 一t・ ・方程 式か5導 き, K・1m・9…v(・93・)が さ ら に 飛 躍 の モ ー メ ン トQnで 書 き か え る とFokker-Planck方 程 式 が 得 られ る .す な わ ち, aP(y,t)at_.一aay(α1(U)P(y,t))+1譜(α2〔y)P(y,t)) ここで も し 高 次 のTaylor展 咐 一∫酬u一 ξlu)dξ 開 を す べ て 考 慮 す る とKramers-Moya1展 式 に な る.Fokker-Planck方 る も の で あ る が,偏 程 式 は,と (17) 開 と呼 ば れ て い る方 程 く に 無 限 小 の 飛 躍 と い う条 件 の も と で 導 か れ 微 分 方 程 式 の 形 を し て い る た め 扱 い が 簡 単 に な る7 . フ ァ イ ナ ン ス で 多 く利 用 さ れ て い る 確 率 微 分 方 程 式 も:Fokker-Planck方 程 式 の一部 の 応 用 例 で あ り,上 記 の 仮 定 が 前 提 と な る .そ の 仮 定 の う ちMarkov性 につ い て は, 粗視 化 に よ っ てMarkov過 程 で は な い 場 合 に もMarkov過 程 で 近 似 す る こ とが で き る . しか し,無 限 小 の 飛 躍 に つ い て の 仮 定 は い か に も制 約 が 強 い の で ,よ く行 わ れ て い る 0-U過 程 の 定 式 化 に加 え て,2次 関 数 の 分 布 に 従 う飛 躍 を導 入 す る こ と も あ る8 . こ こ で は,全 要 素 生 産 性 に つ い て の 確 率 過 程 も無 限 小 の 飛 躍 に した が っ て い る と仮 定 す る.こ の よ うな 考 え は,技 術 進 歩 は漸 進 的 で あ る と い う見解 に通 じる も の が あ る . 時 代 を 超 越 した 技 術 が 発 見 ・発 明 され た 場 合 に は,長 い こ と社 会 か ら無 視 され て い る こ とか ら も わ か る よ うに,経 済 で 技 術 進 歩 と して 実 現 す る に は あ る程 度 の 連 続 性 が な けれ ば な らな い で あ ろ う. Fokker-Planck方 Fokker-Planck方 程 式 は, Pに つ い て 線 型 で あ る.し 程 式 と よ ば れ る 場 合 に は ,α1(y)がyに が 定 数 で あ る 場 合 を 示 し て い る.都 ま で の 飛 躍 の モ ー メ ン トal(u)(ド た が っ て,し ば しば線 型 の つ い て の 一 次 関 数,α2(U) 合 の よ い こ と に ,Fokker-Planck方 程 式 は,2次 リ フ ト項),α2(y)(拡 散 項)が 観 察 さ れ れ ばす べ て 決 定 さ れ て 解 を 求 め る こ と が で き る.し か も これ らの 値 は 時 間 に 依 存 しな い の で モ ー メ ン トの 全 歴 史 に つ い て 知 る 必 要 は な い .こ で み る よ う に,よ あ る.た の よ うな 利 用 上 の 利 点 に 加 え て ,つ ぎ の 節 り 簡 単 に ラ ン ダ ム な 要 因 を 導 入 で き るLangevin方 程 式 との関連 も だ し,:Langevin方 程 式 の 解 釈 に は や や 複 雑 な 問 題 が あ る .線 型 の 場 合 に は, マ ク ロ の 観 察 デ ー タ に よ っ て 得 ら れ た も の と ,Fokker-Planck方 程 式 は矛 盾 な く成 立 し て い る が,非 線 型 に な る と 拡 散 項 が 無 視 で き ず ,α1(y)の 識 別 が で き な くな る か ら で あ る.こ の よ う な 場 合 に は,master方 平 衡 状 態 が 不 安 定 の 場 合 に は,master方 程 式 の Ω 展 開 の 方 法 が 適 用 さ れ る9 .さ ら に 程 式 の Ω 展 開 が 利 用 で き ず ,秩 序 形 成 の ス ケ ー リ ン グ 理 論 を 適 用 す る 方 法 が あ る10. 73節 で 鰍 Babbs ケ ー スに っい モ あ解 麗 and Webber[1997], El-Jahel 蘊 介 す るが ,厳 密 解 が 求 め られ て い る の は 数 例 に す ぎ な い. $ et al.[1997]で は,資 産 価 格 の 変 動 分 布 がleptokurticで ある こ と も 解 消 で き る と し て い る. 9Ω は 典 型 的 に は 系 の サ イ ズ を あ ら わ す パ ラ メ タ ー で あ る. lovan Kampen[1992] , p.96,鈴 木[1994], p.243. 9 2.5 :Langevin方 程 式の利 用可能 性 こ こで は ラ ン ダ ム要 因 を扱 う方 法 と して 広 く利 用 され て い るLangevin方 て 解 説 し た い.ラ Planck方 ン ダ ム 要 因 にGauss分 程 式 は , Fokker済 学 で は 伊 藤 の 確 率 微 分 方 程 式 が 多 用 され て い る が , 程 式 と 同 値 に な る.経 Langevin方 程 式 につ い 布 を 仮 定 す れ ばLangevin方 程 式 に 含 ま れ る ラ ン ダ ム 要 因 の 係 数(拡 散 項)を 伊 藤iの 解 釈 とStratonovich の 解 釈 の ど ち ら を 選 ぶ か で,結 果 と し て 得 ら れ るFokker-Planck方 程 式 は 異 な る .こ 述 し た い シ ス テ ム が ど の よ うな も の で あ る か に 依 存 し の い ず れ の 解 釈 が 適 当 か は,記 て い る.し た が っ て,不 用 意 に 解 釈 して モ デ ル す る と誤 っ た 解 を得 る こ とに な る. Langevin方 程 式 は,シ ス テ ム の マ ク ロ 的(す られ て い る 場 合 で,そ れ に 加 わ る 揺 動(Langevin き に 特 に 有 効 で あ る.た な わ ち 決 定 論 的)な 方 程 式 が す で に 知 force, L(t))の 効 果 を 叙 述 し た い と と え ば,Frisch[1933]に した が っ て 調 和 振 動 子 の 運 動 方 程 式 で マ ク ロ の 経 済 シ ス テ ム が 叙 述 で き た と す る.こ 気 象 な ど ラ ン ダ ム な 要 因L(t)に ば 価 格 水 準 の 対 数 をpと の と き に 経 済 の 外 的 要 因 ,た と え ば う した 場 合 に た と え よ っ て 撹 乱 を 受 け る と し よ う.こ し て,ラ ン ダ ム なLangevin force L(t)が 加 わ る とす る と, 2dp+ydp+w2p=t(t) と 定 式 化 で き る.こ こ で,t(t)に (lg)dt dt つ い て つ ぎ の 仮 定 を 置 く. t(t)> r 〈L(t)L(t')〉=「 o δ〔t-t') (19) こ こで 重 要 な こ とは,L(t)の 確 率 的 特 徴 はPに は 関 係 な い こ と, t(t)の 衝 撃 は 瞬 間 的 な も の で そ の 広 が りは δ関数 で 近 似 で き る も の とす る.正 確 に は 衝 撃 の継 続 時 間 は 無 限 小 で,大 き さは 無 限 大 とい う こ とに な るが,実 際 に は 近 似 で あ る .後 に 述 べ る よ う に,衝 撃 が 広 が りを 持 つ 場 合 に は 近 似 と して 伊 藤 解 釈 を利 用 す る こ と は で き な い . Langevin方 程 式(18)を 解 く た め に は,ま ず 斉 次 方 程 式 の解 を 求 め て か ら定 数 変 化 方 で 一 般 解 の係 数 を 求 め る手 続 き が 必 要 で あ る.特 性 方 程 式 の 解 を 円 ,オ2と す る と, 一般解 は p(t)一c1〔t)eオ't+c2(t〕eオ・t,μi一 と書 け る.よ 一 γ/2土VY一/4-w2, i=1,2 く知 られ て い る よ うに 重 根 の場 合 に は, p(t)=〔C1(t)十C2(t)t)to-Yt/2 と な る.定 き る.こ 数 変 化 法 で 解 く 場 合 に は,c1(t), c2(t)の 間 に適 当 な 条 件 を 選 ぶ こ と が で こ で は, 些!eμ1t+dc2オ一 一 一e・t-O dt 10 dt と選 ん で,dc1/dt, C10, dc2/dtに つ い て の 連 立 方 程 式 を 積 分 し て, p(t)の 一 般 解 を 得 る. C20を 積 分 定 数 と す る と, p(t)一eオ' オt一!ttLオ20(s)e一オ'Sds+諾f£L(s)e一オ2・ds+c1・eオ't+c2・eオz・ と な る.初 期 条 件p(0)=po, dp(0)/dt=poを 使 う と, p(t)一(1/D)p・e-yt/2・inh(Dt)+σ/2)p。e-yt/2{…h(Dt)+γ/2・inh(Dt)} +te-Y(0・ と な る.た だ し,D=>y/4-w2で 〈p(t)〉 2次 一S)/2{…h(D(t-s))一 あ る. γ/(2D)・inh(D(トs))t(s)d・} p〔t)の 平 均 〈p(t)〉 一(1/D)p・e-Yt/2・inh(Dt)+(1/2)p。e-Yt/2{・ の モ ー メ ン ト<p(t)2>は,つ 分 析 で は,均 。sh(Dt)+Y/2、inh(Dt)} ぎ の よ う に な る. <p(t)2>一{〈p(t)〉}2+聶 一 分 散<p(t)2> は, 一 譲{誌G…h(2Dt)一 一{〈p(t)〉}2はt→ ∞ の極 限で は ・inh(2Dt))} ,r/(2w2y)と 衡 で の 価 格 の 分 散 と い う意 味 し か も た な い.し に し た 場 合 に 実 現 す る か ど うか も わ か ら な い.た な る.こ か も,均 の 値 は経 済 衡 が 時 間 を無 限 と え 均 衡 が 長 期 に 実 現 す る と し て も, 価 格 の 分 散 の 観 察 値 が経 済 現 象 と して マ ク ロ の ほ か の 変 数 と 関 連 づ け られ る こ と は な い.し か し,物 理 現 象 で は,平 衡 状 態 の 統 計 力 学 の 結 果(エ ネ ル ギ ー 等 分 配 法 則)か ら, こ の 値 はkτ/ω2に 一 致 す る こ と が 知 ら れ て い る11 .そ の 結 果,「oykTと い う等 式, つ ま り ミ ク ロ の パ ラ メ タ ー を マ ク ロ の 変 数 で あ る 温 度Tで 結 び 付 け て い る 関 係,が 得 られ る.こ の 等 式 こ そEinstein(1905)の 論 文 の 核 心 部 分 で あ り,揺 動 「 と減 衰(散 逸)'γ を結 び つ け る 法 則 と し て 知 られ て い る 揺 動 散 逸 定 理(且uctuation-dissipation theorem) の 最 も 単 純 な 場 合 で あ る12.Langevinの い る の は,よ ア プ ロ ー チ が き わ め て 有 効 で 多 く利 用 さ れ て り… 般 的 な 場 合 に も 揺 動 散 逸 関 係 を 導 け る た め で あ る.残 分 析 で は,Einsteinの 関 係 式 は 見 つ か っ て い な い.そ に つ い て も 核 心 部 分 が 欠 け て い る こ と に な る. こ れ ま で は,Langevin項t(t)に の 議 論 で 進 め て き た.し の た め,こ 分 布 を 与 え る こ と な く,2次 た が っ て,上 記 のp〔t)の モ ー メ ン トま で だ け 分 布 を 与 え る こ と は で き な い.と ろ が 当 然 の こ と な が ら偏 微 分 方 程 式 の 解 を も た ら すFokker-Planck方 の 形 が 決 定 さ れ る.そ (Gauss分 布),い こ でL(t)の2次 い か え る とLangevin方 念 な が ら経 済 う した 分 析 の 有 効 性 程 式 で は,分 こ 布 モ ー メ ン トま で で 分 布 の 型 が 決 定 さ れ る 場 合 程 式 に, W(t)=∫t L〔s)ds, W(t)はWiener llkは ボル ツマ ン定 数,丁 は絶対 温度,式(18)で 調 和振 動 子 の質 量 は1に 規 格 化 され て い る ia Einsteinは 熱力 学 の等 式,平 衡状 態 に成 立 す る単位 時 間 当 り単位 断 面積 を通 る粒 子 の個 数 のバ ラン ス式(揺 動力 と散逸 力 のバ ラ ンス)か らそ の 関係 式 を導 いて い る. 11 過 程 に 従 う,と い う仮 定 を 加 え る と,Langevin方 程 式 とFokker-Planck方 程式 は同値 に な る 可 能 性 が で る. これ を 示 す に は,van とFokker-Planck方 Kampen[1992]に し た が っ て,ま ず 問 題 な くLangevin方 程式 程 式 が 一 致 す る 場 合 に つ い て解 説 しよ う.一 階 の微 分 方 程 式 で あ らわ され て 減 衰 項 だ け が 非 線 型 の 場 合 で あ る.す な わ ち, dx/dtLA(x)十t(t) ま ず,初 期 値X(0)とt(t)の 見 本 関 数 が 与 え ら れ れ ば,X(t)は 点 が 異 な る と 統 計 的 に 独 立 で あ り,X(t)はMarkov過 式 に し た が う の で,Kramers-Moyal展 が △t→0の 程 に な る .そ 開 す る こ と が で き る.そ 極 限 で 消 え れ ば,2次 決 定 さ れ る . L(t)は の た めmaster方 こ で,3次 以 下 の 展 開 の 係 数 とPokker-Planckの す れ ば よ い.△X(t)=X(t+△t)ーX(t)と 時 程 以上 の展 開 係 数 を比較 す る と, t+ot t+otOx(t)`A(x(s))ds+L(s)dst t とな る.こ の 平 均 を と る と, 〈 △X(t)〉=A〔X(t))△t+0(△t)2 2次 の モ ー メ ン トは, <Ox(t)2>一<{t+otA t〔X(s))ds}2>+t+ot t+ott+ot+ds と な り,右 辺 第1項 t+ot2 ds dst t'<A(x(s))L(s')> ds'<t(s)t(s')>t t は △t2で 小 さ く な り,第2項 は A(x(t+fit))=A(x(t))+A'(x(t))(x(t+Ot)一x(t))Ot+ を代 入 す る と 2A(X(t))△t+ott ds t〈t(s)〉+2A'(x(t))t+ot と な り,第1項 目 は 消 え,第2項 最 後 の 項 は,r△tと な る.こ t+otds 目 はo(△t)に れ ら か ら1次 ン トと し て 「が の こ り,Fokker-Planck方 禦 で は,つ な り,よ dst t<〔X(s)一X(t))L〔s')>ds'+... り 高 次 の 項 もo(△t)で の モ ー メ ン ト と し てA(x(t)),2次 あ る. のモー メ 程 式 と して は 次 の形 の も の に な る . 一一坐(x)PaX(X,t))+黙製 (2・) ぎに dx/dt=A(x)十C(x)t(t) 12 (21) の 場 合 を 考 え て み る.こ の 場 合 に は,当 然 だ がC(X)≠0と して 両 辺 を 割 る と , 1/C(x)dx/dt=A(x)/C(x)十t(t) と な り,こ れ をX=∫x1/C(X)dx, A(X)=A(X)/C(X)と dX/dtニ と な る.こ お い て 変 形 す る と, ・A(X)十t(t) の と き 類 推 で, ∂P(Xat,生L一 塑 袈 准 り+野1劉 が 成 立 す る.こ こ で 戸〔X,t)=P(X ,t)C(X)と お く13.こ れ を も と の 変 数Xに 変 換 しな お す た め に, aPax-axax(PacaX+c慕) 護 一C(X)(C'(X)2+C(x)C〃(X))P(X,t)+C(X)23C'(X)雫+C(x)3聖 を代入する.畿=C(x)を 用いると, 雫L轟(A(X)P(茂t))+razaX{C(x鯉1(X,t))}(22) が 成 立 す る.P(X,t)で 禦 と な る.こ 整 理 す る と, 一一{(A(X)+IC(x)C'(X))P(茂t)}+興 のFokker-Planck方 黔 程 式 は 明 ら か にLangevin方 程 式(19)の 切(23) 単 純 な 置 き換 え に は な っ て い な い.(20)式 分 す る.そ の 際 に,右 を 導 い た 際 と 同 様 に し て ,(19)式 を 区 間(t,t+△t)で 辺 第 二 項 の 解 釈 と し て,つ ぎ の もの を 採 用 す る . X(t+△t)一X(t)一t+ t△tA(X(s))ds+C幽 こ の と き1次 押)tt+△tt(s)ds(24) の モ,___.メン ト は, 〈X(t+△t)一X(t)〉 13艇 砥 の1モ 一A(X(t))△t+〈C(興)遮1)t ーメン而 部雰穐 帰するための条件は , aP t+△tL(s)d・> P で あ る.積 分 定数 がxの 関数 で もっ と も素 直 に2次 のモ ー メ ン トが得 られ る関数 はC(X)で 13 ある. 積 と な り,第2項 目 の 展 開 はC((x(t+△t)+x(t))/2)=・C(X(t))+C'(X〔t))(X〔t+△t)一 X(t))/2+o(△t)を 用 い て お こ な う が,そ の 際 にX(t+△t)一X(t)に(24)式 を代入 し , つ ぎ の 関 係 式 を 用 い る. 〈CCx(t+At)アx(t)2)ftt+△tL〔s)ds>一c'(x2(t))〈(X〔t+△t)一ーX〔t))ftt+△ ・L(s)ds> :墨 締 謎 二 繼 繼!瑠 澄1瓢訟 津㌦)ds> _c'(x(t)夢(X(t))r△t+・ 〔△t) し た が っ て, 〈X〔t+△t)一X(t)〉=A(X(t))△t+⊆ 墜 醐 △t+・(△t) 2次 の モ ー メ ン トは,同 様 の 手 続 き を 注 意 深 く行 う と, 〈(X(t+△t)一x(t))2>一C(X(t))2「 を 得 る.こ れ ら 二 つ の モ ー メ ン トか ら 対 応 す るFokker-Planck方 と が わ か る.1、angevin方 で あ る.こ △t+。(△t) 程 式(19)に 対 す る(24)式 程 式 は(23)で の 解 釈 はStratonovichに あるこ よ るもの れ に 対 し て, (25) t+ot t+otx(t+Ot)一x(t)=A(x(s))ds+C(x(t))t(s)dst t とす る の が 伊 藤 解 釈 で あ る。 こ の場 合 は 対 応 す るFokker-Planck方 程 式 は, (26) 聖L轟(A(x)P(X,t))+弊C(X)2P(x,t)) とな る が,こ の 場 合 はLangevin方 程 式 に 関 係 す る変 数 変 換 の 規 則 を 変 更 しな け れ ば な らな い.周 知 の よ うに この 変 換 の 規 則 が 伊 藤 の1emmaで 程 式 の 解 釈 に よ っ てFokker-Planck方 あ る .問 題 はLangevin方 程 式 が 変 わ っ て しま い,そ の 結 果 も変 わ っ て し ま う とい う こ と で あ る.つ ま り,非 線 型 のLangevin方 程 式 のC(x)L(t)項 で , C(X)の 値 を決 め る場 合 にXに 飛 躍 の 直 前 の 拡 散 係 数 を 使 うの か,飛 躍 の 前 後 の 平 均 の 拡 散 係 数 を 使 うの か と い うこ と で あ る.数 学 的 に は,伊 藤 解 釈 に した が っ て飛 躍 直 前 の 拡 散 係 数 を利 用 す る と,こ の 項 はmartingaleと 用 で き る の で便 利 で あ る.た だ,よ な り, martingaleに 対 す る数 学 的 帰 結 が 応 く知 られ て い る よ うに 物 理 現 象 で は 必 ず しも そ の 前 提 が 成 立 す る よ うな モ デ ル で は な く,Stratonovich解 釈 の方 が妥 当なモデル を導 く こ とが あ る.た と え ば,Brown運 動 粒 子 の飛 躍 は 非 弾 性 的 に 生 じる 場 合 が ほ とん どで 衝突 , の 瞬 間 に 飛 躍 が 起 こ る とい うの は 極 度 の抽 象 化 で あ ろ う.た だ しEinsteinが 考 察 した よ うに,Brown運 動 の 場 合,拡 散 係 数 は 絶 対 温 度 ,液 体 の粘 性 と粒 子 の 大 き さで 決 ま り,Xに 依 存 して 勾 配 を もつ 場 合 は 実 験 条 件 を 統 御 す る こ と で避 け る こ と が で き 14 る だ ろ う.問 題 な の は,ど ち らか を識 別 す る こ とが 難 し く,計 測 され た ドリ フ トと拡 散 項 か らは ど ち らが 妥 当 か の 区 別 が で き な い 状 況 で あ る.Langevin項L(t)が 混入 し て く る源 を カ ッ トす る こ とが で きれ ば,識 別 可 能 に な る.経 済 モ デ ル で も 同 様 で あ る が,特 に経 済 の 場 合,ノ イ ズL(t)の 源 を遮 断 す る こ と は難 しい .ま た,実 験 的 に 条 件 を統 御 して拡 散 係 数 に 勾 配 が で な い よ うに す る こ と も難 しい.経 済 モ デ ル で は ,非 線 型 のLangevin方 程 式 を扱 う場 合 に は ノ イ ズ の 源 が 何 で あ る か を確 定 して ,ど ち ら の 解 釈 が よ り正 しい か を判 断 して お く必 要 が あ る(Mori[1975]参 照). 3 Fokker-Planck方 程 式 の 解 法:簡 単 な 展 望 :Langevin方 程 式 が そ の 解 釈 ま で 含 め て 定 式 化 で き た と す れ ば,あ と はFokker-Planck 方 程 式 を 解 く だ け で あ る.た し か に,Fokker-Planck方 程 式 は,そ の 基 本 と な るmaster 方 程 式 よ り も 偏 微 分 方 程 式 な の で 扱 い が 簡 単 で あ る が,実 の は 数 例 で あ る と い わ れ て い る14.こ て も 全 く 同 様 で あ る.し Bluman and の 状 況 は ,対 応 す るLangevin方 程 式 の解 につ い 程 式 の 解 法 に つ い て は , Bluman[1971], か し,Fokker-Plank方 Kumei[1989], Nariboli[1977]な Cukier et al.[1973], Dresner[1983] ど 多 く の 貢 献 が あ る.な で き る 方 法 が,One 際 に 厳 密 解 が 求 め られ て い る parameter , Feller[1950], Hill[1982], か で も最 も一 般 的 で シ ス テ マ テ ィック に適 用 Lie groupに よ る 方 法 で あ る15 . まず そ の 考 え 方 を 示 す と,偏 微 分 方 程 式 を不 変 に 保 つ よ うな:Lie変 換 群 と,不 変 な 曲 面 を 導 く.そ して 曲 面 を利 用 して 偏 微 分 方 程 式 の 独 立 変 数 を 減 ら し,常 微 分 方 程 式 を解 き,そ の の ち に 変 数 を も とに も どす,と い う方 法 で あ る.similarity変 数法 とい う も の が あ る が,こ の方 法 に よれ ばす べ て の 可 能 なsimilarity変 数 を 見 つ け る と い うア プ ロ ー チ で あ る.う ま く変 数 分 離 形 に な らな い 場 合 で も,近 似 解 を 求 め て い く際 に 変 数 分 離 に 近 い 形 に して お け ば,効 率 よ く近 似 で き る(Dresner[1983], Chapter 7参 照) . す べ て を解 説 す る こ とは 一つ の 論 文 の な か で は 困 難 で あ る し,ま た応 用 数 学 の 文 献 を参 考 す べ き で あ ろ う.こ こ で は,Fokker-Planck方 程 式 の タイ プ(放 物 型 偏 微 分 方 程 式)に つ い て扱 う こ とに す る.先 に導 い た 方 程 式(23)あ る い は(26)に して も ,一 般 に 次 の よ うに書 き か え る こ とが で き る. α(X)喚 製+b(X)ap(X,t)aX+c(X)p(X,t)一 禦 (27) 14R。9・・s[・997]に は , G・uss笳 す るB一 運 動,・.U過 程,そ れ にBessel過 程 が 示 され て お り, こ れ で 解 の ほ と ん ど が で そ ろ っ て い る と述 べ て い る .van Kampen[1992]に も 同 様 の 叙 述 が み られ る . isBluman[1971], berg[1977]は Bluman and Kumei【1989】, Hill[1982], Nariboli[1977]が こ の 方 法 に よ る. Steiロ ー よ り一 般 の 偏 微 分 方 程 式 に つ い て も 解 説 し て い る . Bluman[1971]は,拡 散 項 が 一 定 の場 合 に つ い て 行 っ て い る.Nariboli[1977]はFokker-Planck方 程 式 の 解 を か な りシ ス テ マ テ ィッ ク に 分 類 して 解 法 を 示 した.Hill【1982]はNariboliの Kumei[1989]は,よ り一 般 的 にmulti-parameter 貢 献 を も と に さ ら に 詳 細 に 分 析 して い る . Bluman and Lie groupへ の拡 張や 常微 分 方 程式 の 解 法な ども含 む も の で あ る.こ の 方 法 で は 式 の 展 開 が煩 雑 に な る た め コ ン ビZ`"タ つ か 開 発 され て い る(Zwillinger[1997]参 照) . 15 で数 式 を処 理す るプ ログ ラム もい く :Lie群 を 構 成 す る に は,微 小 な パ ラ メ タ ー εを 導 入 し て つ ぎ の よ うな 変 数 変 換 を 行 う. X=X+εX(p,x,t)+0(ε2) t-t+εT(p,X,t)+0〔 p こ こ で,0(ε2)は = p十 ε2) εP(p,x,t)十 ε2と 同 位 の 微 小 数 で あ る .独 (28) 〇(ε2) 立 変 数X,tとX, tの 間 に は, Jacobian を 計 算 し て つ ぎ の よ う な 関 係 が 計 算 で き る. aXaX司 一ε(axaX+ax apapaX)+・(ε2) 霎 一 一ε(axat+axap/ay acJ+・(ε2) at一 一EaX (aTaX+飄+・(ε2) atat-1-e(arat+aT (29) apapat)+・(ε2) (30) さ ら に この 関 係 を も ち い る と,変 換 され た 方 程 式 に 現 れ る微 分 演 算 規 則 を書 き 下 す こ とが で き る. ap aX-aX aX+at aX apaX ap apaXapatat oaxat+atat こ れ ら の 式 を ε の オ ー ダ ー で 評 価 す る と,つ ap aX-apaX+ε{aP ap at-apat+ε{窪 ax ap ぎ の よ うに な る . aT apaX-aXaX-aXat+(i竃 一噐 袈 一器 窪)ap 一警 袈 一慕 髪+(器 2階 の 微 分 規 則 に つ い て もや や 複 雑 に な る が,つ 一{jx apjp, aX-ar laxj+・(ε2) apap at)apat}+・ 〔 ε2) ぎ の 関係 に 代 入 と演 算 を ほ ど こ す . a2paX2-aX aaXaX(apaX)+at aaXat(apaX) a2p axa ap ata apaXat-ataX aX+atat aX a2p aXa ap ata apate-at aX at+atat at 16 eの1次 a2p aX2 ま で を評 価 す る と,2次 c の 微 係 数 は 以 下 の よ うに与 え られ る . a2p aX2+ε{apaX2+(2器 +(a2P 一a2xaX2)apaX a2TapaX2at _a2x茄 Σ一2諏 δ£)(apaX)2-2継 +(aPap-taxax-3繖 実 際 にFokker-Plank方 緯(apaX)3-a2Tapapeat(apaX)2 繖)a2paX2-2(aTaX+arapapaX)謝+・(ε2) 程 式 の 場 合 は つ ぎ の2次 の 項 は 現 れ な い が ,計 算 す る とつ ぎ の よ う に な る. a2p aXat-a2paXaX+ε{aPaXat+(a2p a2xapatョaXat)apaX+(認 一 驀)apat 一轟(apaX)2+a2Pape一 a2Xap 轟 一 轟)鰭 ap2_82Tap 8p2 +aP_ax_ar_taxap_2aTap a2p ate a2p ate+ε{aPate+(2 +(a2P aX8Xapa2p8p28t ax 8p2axat at+8p8taxe a2p_ar+aTap a2p-a2Tapat ate)窪 _a2Tape-2a pat)(窪)2-2轟 +(aP_2ar_3ar p ∂t 一器(apat)2 a2p+o(EZ)ap aX at apaX apat aXat aX apaX at2 隷 鰭 一 籌(apat)3一 讖(窪)2 ap_ax ap∂ ap∂t ∂p∂X)a2pate-2(警+axapapat)謝+・(ε2) こ れ ら の 変 換 に よ っ て 不 変 に 保 た れ る 曲 面 を も と め る に は,解pの 不変 性 か ら p(p,x,t;ε)=P(父,{) と な り,ε の1次 の オ.___.ダ ー で展 開 す る と P(p,X>t)oapx(p>x,t)+apT(P,x,t)aX at が え られ る.こ の 方 程 式 の 解 が 独 立 変 数 の 数 を 減 らすsimilarity変 数 と な る .特 性 方 程 式 は,つ ぎ の よ うに な る. dP dX P=X=〒 17 dT (31) つ ぎ に 具 体 的 に これ らの 微 分 規 則 に した が っ て,Fokker-Plank方 程 式 を不変 に保つ 変換の間に成立する関係 を求める.す なわち, 禦 一α(X)∂ ≒製 一b(X)∂plこtLC(X)p(x,t) 一ap(X,t)at一 一α㈹ 鏨 こ こ で,微 分 演 算 とX,t, Pの a(x)=a(x)+a'(x)EX, 'はXに す る に は,各 数 に つい て はつ ぎの式 を代入 す る. b(x)=b(x)+b'(x)eX, つ い て の 微 分d/dxで に つ い て 整 理 す る.以 定 義(29),係 型 一b〔X)茆1蕊 至Lc(X)p(x,t) 下,式 ある c(x)=c(x)+c'(x)eX .ε の 係 数 は ゼ ロ に 等 し く な る の で さ ら に 偏 微 係 数 の 量 が 膨 大 に な る の で 詳 細 は省 略 す る が 変 微 係 数 の 項 が ゼ ロ に な ら な け れ ば な ら な い .順 〔a2p/∂X2)(∂p/∂X),(a2p/∂taX),〔ap/ax)2の 難 と な る.∂2p/∂X2の ,恒 等 的 に 成 立 に 調 べ る と,(∂p/∂t)2, 項 か ら, ・よりx=x(x,t)T=T(t)P=p(x,t)f(x,t)+g(x,t) 係 数 か らは, 一a'(x)X(x,t)一a(x)f(x,t)+2a(x)aX(x,t)=oaX と な る.こ れ を 積 分 す る とX(X,t)が 求 め られ る. x(X,t)一X・(t)而+辯 と な る.Xoはxに 呵 α一1/2dx 依 存 し な い 積 分 定 数 で あ る.∂p/∂Xの 項 か ら は ,つ ぎの式 が得 ら れ る. 2afaX-a2xaX2+暮(aX dTaXodt)一Xba'(X)一 き警 こ の 式 も 積 分 す る こ と が で き てf(X ,t)が 得 られ る. 2dxl(x)Xo'(t)_IZ(x)T"(t)/2)+T'(t)4(d〔1(望仔LI晒) 2 こ こ で,1(X)=fa-1/2dxで s あ る. 18 (32) 最 後 に 残 る項 は,つ ぎ の 方 程 式 を も た らす. 器cg- 2bag-QagaX aX・ 裏 一cT'(t) z_baf_Qa2aX aX-X畿 一・ gの 偏 微 分 方 程 式 はpのFokker-Planck方 程 式 と全 く同 じな の で,一 般 にg-0と 考 え る こ とが で き る.fに つ い て の 式 は 先 に得 られ た(32)を 代 入 す る .さ らに 式 の 変 形 を つ づ け る と,究 極 的 に つ ぎ の 式 が 得 られ る . dfo T"(t)1(x)Xo"(t)12(x)T"'(x) dt d 2 g Xo2{d2adx2+dbdx)(d疂 野 一謬b)+Za'/2doaX} (33) +T'(t)44{d2adX2+bd.dx)(dx/2bl(x))+4c+21喋} こ こ ま で が,一 般 的 に ど の よ う なFokker-Planck方 れ 以 降 の 展 開 は,特 (33)に 現 れ るXの 程 式 で も 成 立 す る 関 係 で あ る .こ 殊 ケ ー ス に つ い て そ れ ぞ れ α(X) ,b(X), べ き 乗 の 係 数 に つ い て 比 較 す る.そ 数 形 が 求 め ら れ る.そ の 結 果,変 換 群X,T, Pの c(X)に 関 数 形 を 代 入 し, の 結 果 と し て,fo, Xo, Tの 関 関 数 形 が 決 ま る .ス ペ ー ス の 関 係 上, た く さ ん の 例 を 載 せ ら れ な い が 一 般 的 な も の と し てBluman[1971]とHill[1982]に よ る も の を 紹 介 す る. 82p(x,t) axZ+ab(x)p(x,t)iap(x,t)ax-atの 場 合 ・6 初 期 条 件 と し て, p(x,0)=S(x-xo), x(0)=xo>0 と す る. (33)式 Xの2次 に,α(X)=1,c(X)ニb'(X)を 代 入 す る.そ 式 とな る.つ ま り,両 辺 を3回Xで の 結 果1(x)=Xと な り,左 辺 は 微 分 す れ ば ゼ ロ とな る.右 辺 を み る とb に か ん す る つ ぎ の 微 分 方 程 式 が 得 られ る. 2Xo(t)(b"一b'b)'"十dT(t)/dt(xt)"十2b'一bb'X-b2)"'=・O b(X)は ド リ フ ト項 な の で 奇 関 数b(X)一 一b←X)が 成 立 し て い る .し た が っ て,dT(t)/dt≠O の と き は, (xb"十2b'一bb'X-b2)"'==0 上 浮撫 嬲11]で は じめ て 与 え られ た ・ そ の 後,Bluman 19 andKum・i[・989](PP・226-232)に も取 り が成立 しなけれ ばな らない.こ れ を積分す るとつ ぎの式を得る. 2b'(x)一b2(x)一4(32-y一}一(16v2-1)/X2 β,Y, vは 積 分 定 数 で あ と の 計 算 が 便 利 な よ う に 選 ん で あ る.こ の 微 分 方 程 式 で,b(X)=一2V'(X)/V(X)と 変換 す る と d2Vav2+va-x2(3216v2ョ14_4x2)v一 と な る.こ の 常 微 分 方 程 式 の 解 は,Kummerの れ はRiccatiタ イプ ・ 第 一 種 合 流 型 超 幾 何 関 数F(λ ,μ;z)を も ち い て 表 す こ と が で き る. V〔X)一(解)1/4+ve慨(λ,μ;警㍉ こ こ で,オ=2v+1,λ=ti+1/2一 γ/(8β)と な る17 .こ し て 方 程 式 が 不 変 に な る た め の,bに れ は,無 限 小 変 換(29)に 対 つ い て の 制 約 式 で あ る. つ ぎ にT,X, fに つ い て の 方 程 式 を 求 め る.式(33)に1〔X)=xを 係 数 を 比 較 す る と, 代 入 し て, x2の T"'(t)=4β2T' Xを 含 ま な い 項 は, fo'〔t)十T"〔t)/2=γT'〔t)/4 Xo=0と な る18.初 る の で,T(O)=0, 期 条 件 の 制 約 に よ っ て, Xに fo(0)oxo2T"(0)/8が つ い て は, 得 ら れ る. Tに Tに つ い て は , t=0の り, X(xo ,0)=・0, つ い て 解 く と, X(O)=Xpよ と きt=0と f(xo,0)=0よ す り T(t)=4sinh2(3t Xに つ い て 解 く と, X(x,t)=2(3xsinh2(3t 17合 流 型 超 幾 何 微 分 芳 程 式 は,ろ 蛎 形 を し て い る. zdZy/dz2十(オ一z)dy/dz一 先 の 方 程 式 は,合 λU=0 流 型 超 幾 何 微 分 方 程 式 にz=(3xZ/2, を施 した 基 準 形 と同 じ形 を し て い る こ と が わ か る.し y=vexp{一1/2fz{(2'γ た が っ て,変 V(x)=X2v+1/2e-Rxz/aF(T,オ;(3x2/2)と 18T'(t)=0の 場 合 に相 当す る. 場 合 は,(b"一b'b)'"=Oと な る が,こ 20 れ はbに 一1)/s一(3sd}s}の 変換 換 前 に戻す と, な る. つ い て の 方 程 式 で'v2=1/4と した fに つ い て は, f(x,t)=Ysinh2(3tョ(1-1-bx)(3 sink2/3t-x2(32 cosh2(3t+xO2(32 と な る. こ こ で 不 変 曲 面 の 方 程 式(31)を も ち い てsimilarity変 数 を 求 め る.丁'(t)≠0の 場合 に は ・d17T=dX/xを 解 い て, similarity変 数 ξ=x/∼/〒 を 得 る . fに つ い て の 方 程 式 を も と め て,dp/p=fdT/Tを 解 く と, pの 関 数 型 が つ ぎ の よ う に 与 え られ る . p(茂t)一 ・xp[穿 一寧 ・・thβt一(察 η(ξ)は ξ の 関 数 で あ る.η(ξ)の 代 入 す る19.か ・・thβt+,fZ 関 数 型 を 決 め る に は,も な り の 計 算 に な る が,そ b(s)ds)]T(t)1/4η(ξ) と のFokker-Planck方 の 結 果 η に つ い て の2階 程式 に の常微 分方 程式 が得 ら れ る. η"(ξ)一(鱗 X>0の 場 合,modi丘ed(変 述+X・2β2)η 形 さ れ た)Besse1関 数12v(z)を 一・ も ち い て η を表 す こ とが で き る. η(ξ)=ξ1/2{Ail2v(βxoξ)十A21_2v(βxoξ)} A1とA2は 積 分 定 数 で あ る が, ti≠1/4でX>0, t>0の 場 合 に は , A2=O A1-2x・ 一2v(β/2)3/4-v(F(λ,μ;X22))一1 と な る.Fは b(X)=Bx, 先 に 現 れ たKummerの c(X)ョB(Bは 関 数 で あ る.こ 定 数)の α(X)∂2p(X,t)aX2+(α'(X)+b(X))8p(x,t)aX-+b'〔X)p〔X 拡 散 係 数 α(X)が 彎 合 璽 α(x)=QX, ispは 方 程 式(27)は 数 を用 い る と ,一 程 とな る. ,t)8p(x,t)一_at_の 一 般 的 な 場 合 はc(X)=0の b(X)=box+boで ・imilarity変 の タイ プ の特 殊 ケー ス と して, 場 合 がOrnstein-Uhlenbeck過 場 合2・ 場 合 に 解 が 得 ら れ て い る.こ あ る が,こ れ はFeller[1951]に 般 にp(・,t)一D(ξ(X,t),t)η(ξ)と の 単 純 な よ っ て 計 算 され か け る.一 般 のF。kk,,一Plan、k つ ぎ の よ う に 変 換 さ れ る. α(δ 乙aX)2η"+{α1躑 絮 聯 一。 (34) 20Hill[1982]のP P・109-115お よ び 演 習 問 題15-17(PP.131-133)に 補 っ て い る. 21 あ る.こ こ で は,途 中 の展 開 を た も の で あ る.基 本 的 に は,先 の 例 と 同 じ 方 針 で 求 め て い く が ,f(X,t)の 表 現 は次 の よ う に な る. f(X,t)一f・(t)+纏 一∼ 要L差 慕II一 圭砦L誓 J一 等 黔+b(X)α 一1/2〔X) ここで, dfo(t)/dtに つ い て も 同 様 の 手 続 き に よ っ て, _dfo l d2T l d2Xo -1dT4dt{畔 φ〔X)=2α ld3Tdt 4dt2+2dt21(x)+8dt31(x)2 φ'(X)1(X)+φ(x)}+弊 ユ姻1/2φ鴇 〔X)1/ZJ'(X)十1(X)2-4b'(X) 先 と 同 様 に,Xo(t)=0の 合 に は,tの 墓 場 合 に つ い て 考 え る(Xo≠0の 関 数 を 係 数 と し た1(X)の2次 数(変 数 分 離 型)と な る.こ 場 合 は 省 略) . Xo(t)ニ ・0の 場 式 と な っ て,1に の 関 係 か らdI/dx=a-1/2を つ い て2回 も ち い て,φ 微 分 す る と定 の1に 関す る微 分 方 程 式 を 得 る. 1響1(x)+φ(X)一2k11(X)2+k2 k1, k2は 積 分 定 数 で あ る.こ れ を 積 分 す る と φ が 得 られ る . k3も 積 分 定 数 で あ る21. φ(X)=klI(X)2十k2十k31(X)一2 これ を も と のdfo/dtの 式 に代 入 して1の 係 数 を 比 較 す る と . d3T dT at3-4k1盃'=0 (35) dfoat+1籌+k2dT_4 dt・ (36) 微分 これ 方程 らの式 式 を積 分 してT,X, fの 関 数 型 を求 め る 前 に,先 の 例 と同 様 に φ に 関 す る が1の 関 数 型 に 制 約 を与 え る こ とを 示 す.つ ま り,こ の 無 限 小 変 換(29)に 対 して 不 変 に保 たれ る方 程 式 で あ る に は,係 数 α とbの 間 に 一 定 の 関係 が 成 立 して い な け れ ば な らな い.1を 独 立 変 数 と考 え て,φ(1)=φ(X)と 2dTdl+1(1)2一 ・・X 。(t)≠0の 譯 ・ 唱1!一 φ(1) 場 合 に1ま, fi(x)=ktl(x)2+kzl(x)+ka と な る. 22 表 す と,dx=α1/2dIよ り 1の 定 義 を 代 入 して 整理 す る と, zddl{d1薯 馴+{ギ と な る.こ れ はRiccati型 裂}2一 φ(1) の 微 分 方 程 式 だ か ら, 群 鴨 呈1豊 一雜+2裂 と お く と, 竺 」 型Pv=o dV とな る.先 の 例 と 同様 に,φ 4 の 関 数 型 か ら こ の 解 はKummerの 合 流型 超 幾何 関数 に な る こ と が わ か る22. つ ぎ に,方 程 式 の 初 期 条 件 と し て 先 の 例 と 同 様 に, /P(x,0)=1Poδ(X-Xp), を 与 え る.Io=1(Xp)と お く. T(0)=0よ 和 が ゼ ロ と い う制 約 が 加 わ る.さ と な る.最 X(0)ニ:Xp>0 り(35)の3つ あ る積 分 定 数 の 関 係 式 に そ の ら にXo(t)=0の 場 合 を 扱 っ て い る の で , T'(0)ニ0 後 に 残 っ た 定 数 は 任 意 で あ る か らT〔t)の 係 数 が1に な る よ う に 選 べ る .そ の結 果 T(t)osinh2/3t が 得 られ る.こ こ で β2=k1で あ る.こ れ より X(t)=1(x)(3sinh (36)式 と初 期 条 件 よ り f(茂 ト 22廠 2(3t はX 鬟 『 …h2βt一 響 ・inh2βト 髪 ・inh2(3t-k2 4・inh2(3t+孥 。=0の 場 合,F(a,y;・)をKumm。,の 舗 型超 幾 觸 数 とす る と,つ れ る. φ(1) = klI2+k2+k3/12 Y-1f2>廓 1 a= z k2 Σγ一 粛 「77Σ ニ= k11/212/2 V(1)=ZY/2-1/4e一 23 垂F(α,γ;・) ぎ の よ うに 与 え ら と な る.不 変 曲 面 の 方 程 式 か ら,similarity変 数 ξ=1(X)/sinhβtと , pの 関数型 が 求 め られ る. P(x,t)一 而 こ こ で η(ξ)の 関 数 型 は,も 讖 確 ・xp[÷ と のFokker-Planck方 網 こ の 解 は,よ 身(1・2+12)…hβt]η(ξ) 程 式 に 代 入 し て 求 め ら れ る23 . 一(孥+轟)η(ξ) く知 られ て い る よ うに 第 一 種modi丘ed Z=βIoξ/2, Besse1関 数 と な る . η(ξ)=ξ1/2y(Z) と変 換 す る と標 準 形 が 与 え られ る.α=(1+k3)1/2/2と す る と, = η0ξ1/2 2 η(ξ) ・(1α(Z)+Lα(Z)) と な る. 4 価 格 変 動Fokker-Planck方 程 式:単 純 ケー ス これ まで,ラ ンダム要因の導入 とその解法について解説 してきたが,こ の節 では最 も単 純 な1部 門 の 場 合 に そ れ を応 用 して み よ う.成 長 会 計 か ら得 られ る価 格 方 程 式 に 全 要 素 生 産 性 を ラ ン ダ ム 要 因 と して 与 え た 場 合 の価 格 の 変 動 を分 析 す る が ,マ ク ロ の 決 定 論 的 な 関 係 は 理 論 的 にH:ayami[1993]で 得 られ て い る .一 般 的 なn部 門 の 場 合 に つ い て も 与 え られ て い る が,こ れ ま で 述 べ て き た 分 析 をn部 門 に拡 張 す る作 業 が 残 さ れ て い る の で,こ こ で は 単 純 ケ ー ス に つ い て 考 え る. は じめ に 変数 の 定 義 を述 べ てお か な けれ ば な ら な い.価 格Pの 変 化 率dlnP/dt,α 分 配 率 の 比 率(1-Wr Wb)/Wb, WQ=Px/Cは は 投 資 財 コ ス トシ ェ ア で あ る.ρ=P(r+dep-dln 利,depは 減 価 償 却 率 で あ る.簡 P/dt)は 資 本 の ユ ー一ザ コ ス ト, rは 金 素価格 の変動 単 の た め シ ェ ア は 一 定 率 で あ る と し,要 も 一 定 と す る と,価 格 の 変 動 要 因 は そ れ 以 外 の 生 産 性 変 化 率L(t)=・dln と な る 。dln が,こ ITP/dtに も 本 来 ド リ フ ト項Driftが あ っ て ,一 TFP/dt-Drift 定 の 技 術 進 歩 は して い る こ で は 簡 単 の た め ド リ フ トは 無 視 し て 考 え る . こ の と き 成 長 会 計 の 価 格 方 程 式 のLangevinに d21n 23注19に P/dt2-a(dlnP/dt)2+(aRョ1/WbL〔t))dln あ る式(34)を を 中 間 投 入 コ ス トシ ェ ア, Wb=ρK/C 用 い る こ と蔘 で き る よる表現 は P/dt一 , 24 一R/WbL(t) と な る.R=r+depで あ る.価 格Pの 号 と紛 ら わ し い の でUニdlnP/dtを 記 号 が こ れ ま で 利 用 し て き た 確 率 分 布pの も ち い て 書 き か え る と,つ 記 ぎ の よ う に な る. g'_一Q(R-y)U一{(Rョy)/Wb}L(t) ユ ー ザ コ ス ト ρ/P=R-y≧0の 場 合 が ,経 済 で 許 さ れ て い る 領 域 で あ る.pに つい て2次 の ド リ フ ト項 と,1次 の 拡 散 項 が あ る.こ の よ う に 単 純 にR ,Wbを 一 定 と考 え た 後 で も,こ れ ま で の 議 論 か ら こ の 方 程 式 の 扱 い は 予 想 に 反 し て 複 雑 で あ る こ と が わ か る. 1、angevin項 の 仮 定 と し て, 〈 1一(t)〉=o, 〈 L(t)L(t') 〉= 「δ(t-t') と す る. さ き に 示 した よ うに,こ 解 が 導 か れ る. こ で 拡 散 項(R-y)/Wbの 解 釈 の しか た に よ っ て,異 なる た だ し,ミ ク ロで の 無 数 の 技 術 進 歩 がLの 本 質 的 部 分 で あ る と考 え る と,マ ク ロの 価 格 変 動pが 飛 躍 す る タイ ミン グ と は 異 な っ て い る と仮 定 して も 差 し支 え な か ろ う. この 価 格 が も し株 価 の よ うな 常 に 変 動 して い る も の で あ る とす る と,技 術 の 進 歩 か ら も た ら され る撹 乱 と の 同 時 性 が 生 まれ て く る で あ ろ う.そ れ で も近 年 の よ うに パ ソ コ ン な どの 価 格 が 頻 繁 に 変 動 す る よ う に な る と ,技 術 進 歩 が 蓄 積 され て 価 格 が 変 動 し, 現 状 の 価 格 水 準 を前 提 に して,製 品 開 発 の 試 行 錯 誤 が な され る と考 え る こ とに 問 題 が 起 こっ て く る か も しれ な い.つ ま り,Stratonovich解 い 状 況 が あ る か も しれ な い.こ さ ら にL(t)がGauss過 値 に な る. 釈 で 定 式 化 した ほ うが 都 合 が よ こで は,伊 藤 解 釈 で 考 え る こ と にす る . 程 に した が う とす る と,つ ぎ のFokker-Planck方 樂L∂(α(u二 禺U劃+1∂2{(墜 程 式 と同 豐2哩 こ こ で, α(y)一1(R-yWb)2, b(y)一(一 論 Σ)(R-y) とお く と,前 節 の 二 番 目の 例 に あ て は め られ る.つ ぎ の 式 が 成 立 し て い る . 囎 ぞtL戦(y,t)}+璽 し た が っ て,も し1,1を 計 算 して,α に 合 流 型 超 幾 何 関 数 とmodified 芻u魍 とbに Bessel関 … 定 の 関 係 が 成 立 す れ ば ,解 数 で あ ら わ す こ と が で き る .実 て み る と, 1(y)=一(2/「)1/2Wb In(R一 25 一 一y) は 先 と同 様 際 に計算 し と な り, k1-rk22Wb2一 擘,k3一 聖謂 と選 べ ば よい こ とが わ か る. 完 全 な 解p(y,t)を あ らわ す た め に つ ぎ の 関 係 を 定 義 す る. p(X,0)= 'Poδ(y-yo), yo>0はyの 初期値 γ 一1+2∼ 碍 手イ>o l α=Σ β= Z k2 γ一藻1i万 (「/2)1/2/Wb = k11/212/2 V(1)一ZY/2-1/4e-2F(a,γ;Z) F(α,'γ;z)はKummerの 第一 一種 合 流 型 超 幾 何 関 数 で あ る . v=〔1+k3)1/2/2と す る と, η(ξ)一 嚀2(lv(Z)+1_v(z)) Iv(z)は 第 一 種modi丘ed Besse1関 数 で あ る .記 号 は 多 少 紛 ら わ しい が,こ のIv(Z)は, 1〔y)と は 別 の 関 数 で あ る. 価 格 変 動Fokker-Planck方 p(y,t)一 程 式 の 解p(y,t)は 諡1転 つ ぎ の よ う に な る. ・k2(3xp-4-4(1(y・)2+1(y)2)…hβt]η(ξ) 価 格 変 動 のLangevin方 程 式 は,価 格 の 瞬 間 的 分 散(拡 散 係 数)が 実 質 金 利 と資 本 コ ス トシ ェ ア の 比 率 に比 例 し,ド リフ ト項 は 技 術 進 歩 の 分 散 「が 大 き くな る と小 さ くな る こ とが 係 数 か ら見 て 取 れ る.し か も,こ れ ら の経 済 変 数 の 間 に は 一 定 の 関 係 ,合 流 型 超 幾 何 分 布V(1(y))で 示 され る 関数 関 係 が 存 在 して い て ,解 が 計 算 で き る.第 一 の 関 係 は 価 格 の 瞬 間 的 分 散,実 質 金 利 と資 本 コ ス トシ ェア を 計 測 す れ ば,TFP変 化率の 分 散 「が 計 測 で き る.し か し,定 常 状 態 で はR=yに な り価 格 の 瞬 間 的 分 散 は ,た と えTFPが 変 動 して い た と して も ゼ ロ と な る .価 格 上 昇 が ゼ ロy=0と い う点 は,不 安 定 で わ ず か に マ イ ナ ス に ず れ る と一 層 マ イ ナ ス に な る傾 向 に あ る .揺 動 効 果 が な け れ ば ゼ ロで とま る の だ が,:Langevin項 が あ る た め に ,価 格 上 昇 ゼ ロの 点 に と ど ま る こ とは で き な い.価 格 が マ イ ナ ス 成 長 の領 域 で は,ミ ク ロ のTFPの 振 動 よ り もマ ク ロ の 動 き の 方 が 現 れ る こ と に な る.よ り一 般 的 に 分 配 率 が 一 定 で は な い 状 態 に は 求 め られ る か ど うか は わ か っ て い な い.ま ,解 が た,多 部 門 の 場 合 に は どの よ うに 拡 張 され るか も,残 され た課 題 で あ る. 26 5 お わ りに こ の 分 析 の 目的 は,Frischが な シ ョッ ク,イ impulse問 経 済 メ カ ニ ズ ム に よ るpropagationの ノ ベ ー シ ョ ン と い う3つ 題 を,統 一 的 に と ら え る こ と で あ っ た.経 ク ロ の ダ イ ナ ミ ッ ク な 価 格 方 程 式 を 利 用 し,こ 本 コ ス トへ の 影 響 が 含 ま れ て お り,ラ 構 造,ラ ンダ ム の タ イ プ に わ け て 考 え て い たpropagationと 済 メ カ ニ ズ ム の 構 造 と して は ,マ れ に は 資 本 財 の 価 格 の 変 化 が 与 え る資 ン ダ ム 要 因 と し て はTFPの 動 き をLangevin方 程 式 で 定 式 化 し た. そ の た め に必 要 な道 具 だ て とそ の解 法 に つ い て解 説 す る こ と も,こ こ で の 目的 の ひ とつ で あ っ た と い え る.な ぜ な ら ば,岩 田[1989]が 展 望 して い る よ うに ,こ れ ま で 多 くの 文 献 で確 率 微 分 方 程 式 は利 用 され て き た が,あ る 種 の 制 約 の も と に解 が 求 め られ て い る こ と に 詳 し く言 及 して い る もの は な か っ た よ うに思 わ れ る .あ る い は そ れ が 述 べ られ て い て も抽 象 的 な表 現 で ,具 体 的 に どの よ うな 条 件 な の か,た と え ば 経 済 現 象 と して は ど の よ うな 変 数 間 の 制 約 な の か,明 らか に され て い な か っ た . こ こ で は,マ ク ロ の 関 係 式 を 与 え て,そ れ にLangevin項 で 示 され る ラ ン ダ ム 要 因 を 取 り込 ん だ.個 々 の 技 術 進 歩 が ど の よ う な も の で あ る か は,観 察 で き な い こ と が 多 く,さ ら に価 格 に 反 映 され る ま で に も撹 乱 効 果 が あ る で あ ろ う と い うの が そ の 根 拠 で あ る.こ の よ うな ラ ン ダ ム 要 因 の 定 式 化 に つ い て,そ のimpluseをpropagateす るシ ス テ ム が ど の よ う な 状 況 で あ れ ば ,ど のFokker-Planck方 程 式 を設定 す るのが適 当で あ る の か と い う こ と に つ い て の 考 察 も,こ こ で は 行 っ て い る .し か し,Fokker-Planck 方 程 式 の 解 を 求 め る た め に は,分 配 率 が 一 定 な ど の 仮 定 が 必 要 に な っ た . こ う した 簡 単 化 の 仮 定 の も と で も,方 程 式 は 十 分 複 雑 に な る が,実 質 金 利 が ゼ ロ に な る物 価 上 昇 点 は 安 定 で あ る が,物 価 上 昇 ゼ ロの 点 は ラ ン ダ ム要 因 の た め に無 視 で き な い 不 安 定 な 平衡 点 な る.も し ラ ン ダ ム 要 因 が な け れ ば,一 つ の解 と して の 経 路 を も つ が,ラ ン ダ ム要 因 の た め に,そ の 経 路 に と ど ま る こ とが で き ず ,必 ず デ フ レ ・ス パ イ ラル に 陥 る か あ る い は 実 質 金 利 ゼ ロの 点 に 向 か う と い う関係 が 導 か れ た .デ フ レ ・ ス パ イ ラ ル の 状 況 下 で は ,価 格 変 動 に 与 え るTFPの 揺 動 の 影 響 は 小 さ く急 速 に マ ク ロの 効 果 が 現 れ る こ と に な る .ま た,実 質 金 利 ゼ ロの 点 で は,価 格 変 動 の 分 散 は ゼ ロ とな り,こ こ で もTFPの 揺 動 の効 果 が 観 察 され る こ と は な い .い ず れ に して も, TFP の 揺 動 効 果 が 観 察 され る状 況 に は な い が ,デ フ レ ・ス パ イ ラル 現 象 が 起 こ る た め に は, TFPの 揺 動 効 果(:Langevin項)が な け れ ば, propagation mechanismと して シ ス テ ム が そ う した 状 況 に 陥 る こ とは な くな っ て しま う. Frischの 考 え たpropagati◎n 因 を 考 慮 し た と き,ミ propagation mechanismに よ り 一 般 的 に は,単 and impulse ク ロ のimpulseと problemに 即 し て 考 え る と,ラ し て の:Langevin項 ン ダ ム 要 の存 在 に よっ てマ ク ロの 大 き な 違 い を も た ら す こ と が 明 ら か に な っ た. 純 にLangevin方 程 式 を 当 て は め る と い う作 業 よ り も, master 方 程 式 の展 開 とい っ た 方 法 や,安 定 点 の ま わ りに な い 場 合 に 行 わ れ る ス ケ ー リン グ理 論 と い っ た 方 法 が 開 発 され て い る.そ の よ うな 理 論 を応 用 す る 場 合 に ,な に よ り も重 要 な も の は経 済 分 析 に お い て もEinsteinの 関係 の よ うな 実 験 ・実 証 結 果 と理 論 を結 び 付 け る 法 則 あ る い は公 式 で あ る.こ う した 関 係 が 観 察 され な い か ぎ り,つ ね に 可 能 性 27 の 議 論 と して の み 終 始 して,決 定 打 を 欠 く理 論 が 築 か れ る こ と に な る . 参考文献 [1]Aftalion, A.,"'t'he theory ofeconomic cycles basedonthecapitalistic technique ofproduction,"Review of Economicsand Statistics, Vol.9,No.4,1927, pp.165-70. [2]Babbs, S. official H. and Webber, regimes,"in derivative M. A. securities, [3】Bah・al1, G. ・quati・ H. structure Dempster Cambridge J・N・,瓶 [4]Bluman, N.J.,"Term and オ擁 π・ α伽P幡c5, W.,"Similarity 叫"lnt・rnational R. 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This instability is essential and intrinsic because of the Langevin force (TFP fluctuation) , while the deterministic model requires an exogenous shock which triggers the system into unstable region. The instability from the propagation mechanism, however, dominates the impulse, the fluctuation effect of TFP . Key words: propagation, impulse, Langevin equation, fluctuation-dissipation theorem, Fokker-Planck equation, dynamic price equation, total factor productivity(TFP), technical progress, one parameter Lie group , instability of price fluctuation, deflation spiral 31
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