(1 + n)-Body Problem with Small Arbitrary Masses

Invariant n-gon Relative Equilibria of
Discrete-time (1 + n)-Body Problem
with Small Arbitrary Masses
Yukitaka MINESAKI (Tokushima Bunri University)
Annual Workshop on Modeling and Simulation in Applied Mathematics in Josai University
Tokyo, Japan, December. 20. 2015
概要
1
N 体問題
1
2
3
2
N 体問題向け新数値積分法
1
2
3
4
3
保存量
平衡解と周期解
変数変換と d’Alembert 型拘束系
d’Alembert 型拘束系の離散化 (離散 N 体問題)
回転変換
1 + n 体問題・離散 1 + n 体問題の平衡解
周期解の再現性
まとめ
1
(2 次元) N 体問題 (1)
互い万有引力を及ぼし合う N ≥ 3 質点間の相互運動
運動方程式 (相空間の次元 4N )
! i−1
#
N
′
′
′
′
" mk (q − q )
" mk (q − q )
d ′
1 ′
d ′
i
i
k
k
qi =
pi ,
pi = mi
−
, 1 ≤ i ≤ N.
′
′
′
′
dt
mi
dt
|qk − qi |3
|qi − qk |3
k=1
k=i+1
質点 mi の位置 q i := (qi[1] , qi[2])，運動量 pi := (pi[1] , pi[2])
(既知の) 独立な保存量 (6 個)
N −1 N
N
1 ! |p′i |2 ! ! mi mj
エネルギー (1 個) : E :=
−
2 i=1 mi
|q′i −q′j |
i=1 j=i+1
線形運動量 (2 個) : ℓ :=
重心の位置 (2 個) : c :=
角運動量 (1 個) : hz :=
N
!
k=1
N
!
k=1
N
!
k=1
pk
mk q k
"
#
qk[1] pk[2] − qk[2] pk[1]
2
(2 次元) N 体問題 (2)
N ≥ 3 体問題において，
(軌道の自由度)
1
<
互い万有引力を及ぼし合う N ≥ 3 質点間の相互運動
(相空間の次元)
4N
−
−
((独立な) 既知の保存量の数)
6
が成り立つので，一般に既知の保存量の全てを保つ数値積分法ですら，N 体問題の軌道を
再現できない．
N = 3 の場合
厳密解
既知の全保存量を保つ数値積分法 (Greenspan)
3
(2 次元) N 体問題 (2)
N ≥ 3 体問題において，
(軌道の自由度)
1
<
互い万有引力を及ぼし合う N ≥ 3 質点間の相互運動
(相空間の次元)
4N
−
−
((独立な) 既知の保存量の数)
6
が成り立つので，一般に既知の保存量の全てを保つ数値積分法ですら，N 体問題の軌道を
再現できない．
=⇒ N 体問題の数値積分法がもつ精度を見る基準として，平衡解・周期軌道の再現性も重要．
4
(2 次元) N 体問題がもつ安定な平衡解
解析的に，N 体問題がもつ安定な平衡解が与えられる．
一般化
=⇒
Lagrange の正三角形解
[N = 3 の場合]
(Lagrange 1772)
N = (1+n) 体問題がもつ n 角形解
[n ≥ 2 (N ≥ 3) の場合]
(Maxwell 1859, Salo & Yonder 1988, ...)
5
(2 次元) N 体問題がもつ安定な周期解
数値的に，様々な N 体問題がもつ平衡解以外の周期解が与えられている．
1
3 体問題の周期解 [N = 3 の場合 ]
(Tsouroplis & Zagouras (1984))
1
6
4 体問題の周期解 [N = 4 の場合 ]
(Yan & Ouyang 2014)
本研究の目的
1
N 体問題向け新数値積分法の構造を示す．
新数値積分法が，
1
2
3
角運動量以外の全ての保存量を正確に保つことを示す．
(N = 1 + n とするとき) 正，不等辺 n 角形解 (平衡解) を正確に再現することを
(解析的に) 証明する．
(平衡解以外の) 周期解を高精度で再現することを
数値的に示す．
7
N 体問題と変数変換 (1)
慣性重心座標系上での N 体問題 :
! i−1
#
N
′
′
′
′
"
"
d ′
1 ′
d ′
mk (qk − qi )
mk (qi − qk )
qi =
pi ,
p i = mi
−
, 0≤i≤n=N −1
dt
mi
dt
|q′k − q′i |3
|q′i − q′k |3
k=1
⇓
qij =
q′i
−
q′j ,
k=i+1
n
"
mj p′i − mi p′j
pij =
, 0 ≤ i < j ≤ n = N − 1; M =
mk
M
k=0
相対座標系上での N 体問題
⇓
⇓
⇓
LC 変換
qij = Qij L(Qij )⊤ , pij =
ただし，L(Qij ) :=
$
Qij[1]
Qij[2]
1
⊤
P
L(Q
)
, 0 ≤ i < j ≤ n = N − 1 の逆変換
ij
ij
2|Qij |2
%
−Qij[2]
Qij[1]
8
N 体問題と変数変換 (2)
相対 LC 座標系上での N 体問題 (Lagrange 型拘束系)
⎧
F = 0, 0 ≤ i ≤ n = N − 1,
⎪
⎨ ij j−1
n
"
"
λkj +
λjk = 0, 1 ≤ n ≤ n = N − 1; Gij +λij = 0, 1 ≤ i < j ≤ n = N − 1
⎪
⎩ G0j −
k=1
ただし，
k=j+1
d
M
Pij
⇐= Kepler 運動の (左辺) − (右辺)
Qij −
,
⇓
dt
4mi mj |Qij |2
*
*
+
+
1
d
M
Qij
2
Gij :=
P
−
|P
|
−2m
m
L⊤ (Qij ),
ij
ij
i
j
2
4
2|Qij | dt
4mi mj
|Qij |
Fij :=
λij
"
#
i−1
!
Qkj ⊤
mi mj mk
Qij ⊤
Qki ⊤
:= −
L (Qki )+
L (Qij )−
L (Qkj )
6
6
6
M
|Q
|
|Q
|
|Q
|
ij
ki
kj
k=0
+
j−1
!
k=i+1
mi mj m k
M
"
#
Qkj ⊤
Qij ⊤
Qik ⊤
L (Qik )+
L (Qkj )−
L (Qij )
|Qik |6
|Qkj |6
|Qij |6
"
#
n
!
Qjk ⊤
mi mj mk
Qij ⊤
Qik ⊤
−
L (Qij )+
L (Qjk )−
l (Qik )
6
6
6
M
|Q
|
|Q
|
|Q
|
ij
jk
ik
k=j+1
9
N 体問題と変数変換 (3)
⇓ 未定定数 λij を消去
N 体問題 ( d’Alembert 型拘束系)
⎧
Fij = 0, 0 ≤ i ≤ n = N − 1,
⎪
⎪
⎪
j−1
n
⎪
"
"
⎪
⎪
⎨
Gij −
Gji = 0, 1 ≤ j ≤ n − 2,
←−
i=0
i=j+1
⎪
⎪
n−1
⎪
"
⎪
⎪
⎪
Gin = 0
⎩
i=0
10
Kepler 運動の (左辺) − (右辺)
を用いて，N 体問題を記述できる．
N 体問題向け新数値積分法 (1)
離散 N 体問題 ( d’Alembert 型拘束系)
⎧ (k,k+1)
Fij
= 0, 0 ≤ i ≤ n = N − 1,
⎪
⎪
⎪
j−1
n
⎪
!
!
⎪
⎪
(k,k+1)
(k,k+1)
⎨
Gij
−
Gji
= 0, 1 ≤ j ≤ n − 2,
i=0
i=j+1
⎪
⎪
n−1
⎪
! (k,k+1)
⎪
⎪
⎪
Gin
=0
⎩
離散 Kepler 運動の (左辺) − (右辺)
←− を用いて，離散 N 体問題を記述で
きる．
i=0
(k+1)
(k+1)
Gij
(k)
(k+1)
(k)
− Qij
|2 + |Qij |2 (k+1/2)
m |Qij
−
Pij
,
2 |Q(k) |2
∆t
8mi mj |Q(k+1)
|
ij
ij
( (k+1)
(k)
⇑
Pij −Pij
1
離散 Kepler 運動の (左辺) − (右辺)
≡
(k+1/2) 2
∆t
2|Qij
|
⇓
)
,
*
+
*
+
1
m
(k+1) 2
(k) 2
(k+1/2)
(k+1/2) ⊤
− (k+1)
|Pij | +|Pij | −2mi mj Qij
L Qij
(k) 2 8m m
2
i j
|Qij | |Qij |
(k+1)
Fij
≡
Qij
ただし， ∆t := t
(k+1)
−t
(k)
, k=0,1,.. ;
(•)
(k+1/2)
+
1 * (k)
(k+1)
=
(•) + (•)
2
11
N 体問題向け新数値積分法 (2)
1
N 体問題の保存量 (6 個)
離散 N 体問題の保存量 (5 個)
エネルギー (1 個)
)
,
n−1
n
! !
M |Pij |2
mi mj
E :=
−
←− 離散変分法が保存する保存量
2
2
8m
|Q
i mj |Qij |
ij |
i=0 j=i+1
線形運動量 (2 個) ℓ =
重心の位置 (2 個) c =
n
!
i=0
n
!
i=0
角運動量 (1 個) h =
n−1
"
p′i
≡ 0 ←−
p′i
=
n
!
j=i+1
mi q′i ≡ 0 ←− q′i =
1
M
pij −
(
12
pji
j=0
n
!
j=i+1
n
"
,
Qij[1] Pij[2] − Qij[2] Pij[1]
i=0 j=i+1
i−1
!
mj qij −
i−1
!
j=0
mj qji
-
N 体問題向け新数値積分法 (3)
N = 1 + n ≥ 3 体問題において，
(軌道の自由度)
1
<
(相空間の次元)
4(1 + n)
−
−
((独立な) 既知の保存量の数)
6
が成り立つので，一般に既知の保存量の全てを保つ数値積分法ですら，1 + n 体問題の軌道を
再現できない．
ましてや，離散 1 + n 体問題では，
(軌道の自由度)
1
<
(相空間の次元)
4(1 + n)
−
−
((独立な) 既知の保存量の数)
5
であるので，なおさら，1 + n 体問題の軌道を再現できないように見える．
13
1 + n 体問題と回転変換 (1)
慣性重心座標系
⎧
d ′
⎪
qi = vi′
⎪
⎪
⎪
dt
⎪
i−1
⎪
⎪
⎨ d ′ ! mk (q′k − q′i )
vi =
dt
|q′k − q′i |3
⎪
k=0
⎪
n
⎪
!
⎪
mk (q′i − q′k )
⎪
⎪
−
⎪
⎩
|q′i − q′k |3
k=i+1
回転変換
(等速)
回転重心座標系
⎧
d ′
⎪
xi = Ωwi′ J + wi′
⎪
⎪
⎪
dt
⎪
i−1
⎪
⎪
!
⎨ d ′
mk (x′k − x′i )
′
wi = Ωxi J +
dt
|x′k − x′i |3
⎪
k=0
⎪
n
⎪
!
⎪
mk (x′i − x′k )
⎪
⎪
−
⎪
⎩
|x′ − x′ |3
x′i = q′i R(Ωt)
wi′ = vi′ R(Ωt)
=⇒
k=i+1
′
′
位置ベクトル : q′i = (qi[1]
, qi[2]
), x′i = (x′i[1] , x′i[2] ),
′
′
′
′
速度ベクトル : vi′ = (vi[1]
, vi[2]
), wi′ = (wi[1]
, wi[2]
);
$
%
cos θ − sin θ
角速度 (定数) : Ω ; 回転行列 : R(θ) :=
;
sin θ
cos θ
14
J :=
i
k
$
0 −1
1 0
%
1 + n 体問題と回転変換 (2)
↓ qij = q′i − q′j , vij =
慣性相対座標系
1 ′
(vi − vj′ )
M
⎧
d
⎪
⎪
qij = M vij
⎪
⎪
dt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
j−1
n
⎪
!
!
⎪
d
d
⎪
⎪
m
v
−
m
vji
i
ij
i
⎪
⎪
dt
dt
⎪
⎨ i=0
i=j+1
j−1
n
!
!
q
qji
ij
⎪
⎪
=
−
m
+
m
i
i
⎪
⎪
|qij |3 i=j+1
|qji |3
⎪
⎪
i=0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
n−1
n−1
⎪
!
!
⎪
d
qin
⎪
⎪
⎪
m
v
=
−
m
i
in
i
⎩
dt
|qin |3
i=0
i=0
↓ xij = x′i − x′j , wij =
回転相対座標系
1
(wi′ − wj′ )
M
⎧
d
⎪
⎪
xij = Ωwij J + M wij
⎪
⎪
dt
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ !
j−1
n
!
⎪
回転変換 ⎪
d
d
⎪
⎪
m
w
−
m
wji
⎪
i
ij
i
⎪
(等速)
dt
dt
⎪
⎪
i=0
i=j+1
⎪
⎪
⎪
(
⎪
j−1
n
⎪
!
!
⎨
xij = qij R(Ωt)
= Ω
mi xij −
mi xji J
wij = vij R(Ωt)⎪
i=0
i=j+1
⎪
⎪
⎪
⎪
j−1
n
⎪
!
!
=⇒
⎪
x
xji
⎪
ij
⎪
−
m
+
m
⎪
i
i
⎪
⎪
|xij |3 i=j+1
|xji |3
⎪
i=0
⎪
⎪
⎪
(n−1
⎪
n−1
n−1
⎪
!
!
!
⎪
d
xin
⎪
⎪
m
w
=
Ω
m
x
J
−
m
⎪
i
in
i
in
i
⎪
⎩ i=0
dt
|xin |3
i=0
i=0
15
1 + n 体問題と回転変換 (3)
↓ qij = Qij L(Qij )⊤ , vij =
1
Vij L(Qij )⊤
2
2|Qij |
↓ xij = Xij L(Xij )⊤ , wij =
慣性相対 LC 座標系
回転相対 LC 座標系
⎧
d
M Vij
⎪
⎪
Qij =
⎪
⎪
dt
4 |Qij |2
⎪
⎪
⎪
j−1
⎪
!
⎪
⎪
⎪
Gij (Vij , Qij )
⎪
⎪
⎨ i=0
n
!
⎪
⎪
−
Gji (Vij , Qij ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
i=j+1
⎪
⎪
n−1
⎪
!
⎪
⎪
⎪
Gin = 0
⎪
⎩
1
Wij L(Xij )⊤
2
2|Xij |
⎧
⎪
L(•)
⎪ d X = ΩX J + M 1 W
ij
ij
ij
⎪
.
/ ⎪
2
⎪
dt
2
4
|X
|
⎪
ij
• −•[2] ⎪
⎪
:= [1]
⎪
⎪
•[2] •[1]
⎪
⎪
j−1
⎪
n
⎪
!
!
⎪
⎪
⎪
Gij (Wij , Xij ) −
Gji (Wji , Xji )
⎪
⎪
⎪
⎪
i=0
i=j+1
⎪
⎪
⎨
回転変換
(j−1
(等速)
n
⎪
!
!
) , ⎪
Ω
⊤
⊤
⎪
⎪
Ω
+
W
W
ij JL(Xij ) −
ji JL(Xji )
⎪
Xij = Qij R
t ⎪
2 i=0
i=0
⎪
⎪
i=j+1
2
)
⎪
⎪
) ,⎪
mi mj d
⎪
⎪
Gij (Vij , Qij ) :=
V
Ω
⎪
ij
2
Wij = Vij R
t ⎪
2|Qij | dt
⎪ n−1
n−1
⎪
2 ⎪
)
, ,
!
!
⎪
Ω
⎪
⎪
1
M
2
⊤
Gij (Win , Xin ) =
Win JL(Xin )⊤
=⇒
⎪
⎪
−
|V
|
−
2
Q
L(Q
)
ij
ij
ij
2 i=0
⎩ i=0
|Q |4 4
ij
16
1 + n 体問題がもつ平衡解
質量を m0 = 1, m1 = ϵµ1 , m2 = ϵµ2 , · · · , mn = ϵµn とする．
d
d
平衡解となる条件 :
Xij = Wij = 0
dt , dt
)
θ0j
θ0j
X0j = κ − sin
, cos
, 1≤j≤n
2
2
)
,
√
θij
θij
Xij = κ rij − sin
, cos
, 1≤i<j≤n
2
2
)
,
2ωκ3
θ0j
θ0j
W0j =
− cos
, − sin
, 1≤j ≤n
n
!
2
2
1+ϵ
µk
代入
=⇒ 回転相対 LC 座標系上での (1 + n) 体問題
↓
角度 θ0i (i = 1, .., n) が満たす関係式 :
k=1
3√
)
,
2ωκ rij
θij
θij
Wij =
− cos
, − sin
, 1≤i<j ≤n
n
!
2
2
1+ϵ
µk
k=1
(
θ0j −θ0i
ただし，rij = 2 sin
, κ = ω 1/3 1+ϵ
2
n
!
k=1
-
µk
1/6
17
j−1
0=
!
µi 1−
i=1
−
(
n
!
(
1
θ −θ
8 sin3 0j 2 0i
µi 1−
i=j+1
-
1
sin(θ0j −θ0i )
-
θ −θ
8 sin3 0i 2 0j
sin(θ0i −θ0j ),
1≤j≤n
離散 1 + n 体問題と回転変換 (1)
慣性相対 LC 座標系上での離散 1 + n 体問題
j−1
n
"
"
(k,k+1)
(k,k+1)
(k,k+1)
Fij
= 0, 0 ≤ i ≤ n;
Gij
−
Gji
= 0, 1 ≤ j ≤ n−2;
i=0
⇓
⇓
i=j+1
*
n−1
"
(k,k+1)
Gin
=0
i=0
+
*
+
Ω
Ω
(ℓ)
(ℓ)
(ℓ)
(ℓ)
回転変換 (等速) : Xij = Qij R
ℓ∆t , Wij = Vij R
ℓ∆t , ℓ = k, k + 1;
2
2
$
%
cos θ − sin θ
R(θ) :=
sin θ
cos θ
18
離散 1 + n 体問題と回転変換 (2)
回転相対 LC 座標系上での離散 1 + n 体問題
/ M |X(k+1) |2 + |X(k) |2 .
/
1 − s2 . (k+1)
ij
ij
(k)
(k+1)
(k)
Xij
− Xij +
Wij
− Wij J
∆t
8 |X(k+1) |2 |X(k) |2
ij
ij
(k+1)
(k)
|Xij
|2 + |Xij |2 (k+ 12 )
4s (k+ 12 )
2 M
=
X
J + (1 − s )
Wij
,
∆t ij
8 |X(k+1) |2 |X(k) |2
ij
ij
j−1
"
i=0
(k,k+1)
Hij
−
n
"
i=j+1
(k,k+1)
Hji
=
j−1
"
(k,k+1)
Iij
i=0
19
−
n
"
i=j+1
0 ≤ i < j ≤ n,
(k,k+1)
Iji
,
1≤j≤n
離散 1 + n 体問題と回転変換 (3)
.
/
(k+ 12 )
(k+1)
(k)
*
+
$
%
2
(1 − s )Xij
−s Xij
−Xij J
Ω∆t
0 −1
(k+ 12 )
0
ただし，s := tan
, J :=
, Qij
:=
,
1 0
8
1 + s2
*
/
m
m
1−s2 . (k+1)
i j
(k,k+1)
(k)
Hij
:=
Wij
−Wij
1
(k+
)
∆t
2
2
0
2|Q
|
ij
#
*
+.
/
.
/⊤
1
2s
M
(k+
)
(k+1) 2
(k) 2
(k+1)
(k)
2
0
+ (k+1)
(|Wij
| +|Wij | )−2 Xij
−Xij J L Q
,
ij
(k)
2
2
8
|Xij
| |Xij |
*
mi mj
4s (k+ 12 )
(k,k+1)
Iij
:=
Wij
J
(k+ 12 ) 2 ∆t
0
2|Qij
|
#
*
+
.
/⊤
2
1
1−s
M
(k+
)
(k+1) 2
(k) 2
(k+1/2)
2
0
+ (k+1)
(|Wij
| +|Wij | )−2 Xij
L Q
,
ij
(k)
2
2
8
|Xij
| |Xij |
0 ≤ i < j ≤ n.
20
離散 1 + n 体問題がもつ平衡解 (1)
平衡解となる条件 :
(k)
(k+1)
Xij = Xij
= X ij
(k)
(k+1)
Wij = Wij
代入
=⇒
回転相対 LC 座標系上での離散 1 + n 体問題
= W ij
↓
離散 1 + n 体問題の平衡解が満たす条件 :
/ M |X(k+1) |2 + |X(k) |2 .
/
1 − s2 . (k+1)
ij
ij
(k)
(k+1)
(k)
Xij
− Xij +
Wij
− Wij J
∆t
8 |X(k+1) |2 |X(k) |2
ij
ij
(k+1)
(k)
|Xij
|2 + |Xij |2 (k+ 12 )
4s (k+ 12 )
2 M
=
X
J + (1 − s )
Wij
,
∆t ij
8 |X(k+1) |2 |X(k) |2
ij
ij
j−1
"
(k,k+1)
Hij
i=0
−
n
"
i=j+1
(k,k+1)
Hji
=
j−1
"
(k,k+1)
Iij
i=0
ピンクの部分が 0
21
−
n
"
i=j+1
0 ≤ i < j ≤ n,
(k,k+1)
Iji
,
1≤j≤n
離散 1 + n 体問題がもつ平衡解 (2)
離散 1 + n 体問題の平衡解が満たす条件 :
0=
0=
4s
M W ij
X ij J + (1 − s2 )
,
∆t
4 |X ij |2
j−1
"
i=0
(k,k+1)
I ij
−
n
"
i=j+1
(k,k+1)
I ji
,
0 ≤ i < j ≤ n,
1≤j≤n
*
+
$
%
Ω∆t
0 −1
ただし，s := tan
, J :=
,
1 0
8
*
*
+
+
2
2
1 − s mi mj 4s
1−s
M
⊤
2
I ij =
W
J
+
|W
|
−
2
X
L
(X
)
, 0 ≤ i < j ≤ n.
ij
ij
ij
ij
2(1 + s2 ) |X ij |2 ∆t
|X ij |4 4
↓ 代入
↓ ⇐= (仮定) m0 = 1, m1 = ϵµ1 , m2 = ϵµ2 , · · · , mn = ϵµn
22
離散 1 + n 体問題がもつ平衡解 (1)
質量を m0 = 1, m1 = ϵµ1 , m2 = ϵµ2 , · · · , mn = ϵµn とする．
(k)
(k)
平衡解の条件 : Xij = X ij , Wij = W ij , k = 0, 1..
)
,
θ0j
θ0j
X 0j = K − sin
, cos
, 1≤j≤n
2
2
)
,
√
θij
θij
X ij = K rij − sin
, cos
, 1≤i<j≤n
2
2
)
,
2ΩK 3
θ0j
θ0j
W 0j =
− cos
, − sin
, 1≤j ≤n
n
!
2
2
1+ϵ
µk
k=1
3√
)
,
2ΩK rij
θij
θij
W ij =
− cos
, − sin
, 1≤i<j ≤n
n
!
2
2
1+ϵ
µk
k=1
)
,
θ0j −θ0i
Ω∆t
ただし，rij = 2 sin
, s = tan
,
2
8
(
-1
1
n
6
2 1
!
3
3
(1 − s ) (∆t)
K=
1+ϵ
µk
1
2s 3
k=1
23
代入
=⇒ 回転相対 LC 座標系上での離散 (1 + n) 体問題
↓
角度 θ0i (i = 1, .., n) が満たす関係式 :
j−1
0=
!
µi 1−
i=1
−
(
n
!
(
1
θ −θ
8 sin3 0j 2 0i
µi 1−
i=j+1
-
1
sin(θ0j −θ0i )
-
θ −θ
8 sin3 0i 2 0j
sin(θ0i −θ0j ),
1≤j≤n
離散 1 + n 体問題がもつ平衡解 (2)
1
2
質量が m0 = 1, m1 = ϵµ1 , m2 = ϵµ2 , · · · , mn = ϵµn
離散 1 + n 体問題の角速度 Ω と 1 + n 体問題の角速度 ω との間の関係:
ω=
3
双方の初期値が同じ
8s
, ただし, s = tan
(1 − s2 )∆t
)
Ω∆t
8
,
)
,
)
,
√
θ0j
θ0j
θij
θij
X0j = κ − sin
, cos
, 1 ≤ j ≤ n; Xij = κ rij − sin
, cos
, 1≤i<j≤n
2
2
2
2
)
,
2ωκ3
θ0j
θ0j
W0j =
− cos
, − sin
, 1 ≤ j ≤ n;
n
!
2
2
1+ϵ
µk
k=1
3√
2ωκ rij
Wij =
n
!
1+ϵ
µk
)
,
θij
θij
− cos
, − sin
, 1 ≤ i < j ≤ n;
2
2
ただし, κ = ω
k=1
=⇒ 離散 1 + n 体問題と 1 + n 体問題は全く同じ n 角形を持つ．
24
1
3
(
1+ϵ
n
!
k=1
-1
6
µk
平衡解の例 (1)
1
m0 = 1, m1 = · · · = mn = 10−8 (µ1 = · · · µn = 1) の場合
1
n = 2 の場合 (Lagrange の正三角形平衡解)
(
j−1
!
1
0
=
µ
1−
sin(θ0j −θ0i )
i
#
2E − 1
3 θ0j −θ0i
8 sin
i=1
2
(
θ01
60
n
!
1
θ02
360
−
µi 1−
sin(θ0i −θ0j ), 1 ≤ j ≤ n
3 θ0i −θ0j
8 sin
i=j+1
2
2
n = 3 の場合
#
θ01
θ02
θ03
3E − 1
47.3608595705276757
94.7217191410553653
360
3E − 2
82.4690381114333712
221.2345190557166856
360
3
n = 4 の場合
#
θ01
θ02
θ03
θ04
4E − 1
59.9999999999999883
119.9999999999999906
239.9999999999999953
360
4E − 2
239.6486503921392379
281.1463711332769163
318.5022792588623216
360
25
平衡解の例 (2)
1
平衡解 4E − 2 の再現
SI2 : 2 次のシンプレクティック数値積分法
d-(1 + n)-BP : 新数値積分法 (離散 1 + n 体問題)
26
平衡解の例 (3)
1
m0 = 1, m1 = · · · = mn−1 = 10−8 , mn = 10−10
(µ1 = · · · µn−1 = 1, µn = 10−2 ) の場合
1
2
n = 3 の場合
#
θ01
θ02
θ03
3A − 1
54.8390577888207782
66.7497713048119662
360
3A − 2
59.8222243848607571
300.1777756151392288
360
#
θ01
θ02
θ03
θ04
4A − 1
51.4629379775934644
61.2876368829233543
71.9068305993430059
360
4A − 2
54.6747821275699012
66.5585870433995897
300.3496112735630209
360
n = 4 の場合
27
平衡解の例 (4)
1
平衡解 3A − 1 の再現
SI2 : 2 次のシンプレクティック数値積分法
d-(1 + n)-BP : 新数値積分法 (離散 1 + n 体問題)
28
周期解の例 (1)
1
3 体問題の周期解 (Tsouroplis & Zagouras (1984))
leapfrog = SI2 : 2 次のシンプレクティック数値積分法
d-CRGN BP : 新数値積分法 (離散 N 体問題)
29
周期解の例 (2)
1
4 体問題の周期解 (Yan & Ouyang 2014)
SI8 : 8 次のシンプレクティック数値積分法
d-CRGN BP : 新数値積分法 (離散 N 体問題)
30
まとめ
1
2
3
角運動量以外の全ての保存量を保つ N 体問題の新数値積分法 (離散 N 体問題) を提案
した．
解析的 (離散 N 体問題の特殊例である) 離散 1 + n 体問題と 1 + n 体問題は全く
同じ n 角形を持つことが，証明される．
数値的長時間にわたって，(symplectic 数値積分法，エネルギー保存型差分等の)
汎用的な数値積分法では再現できない周期軌道を，離散 N 体問題は再現できる．
31

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