有限要素法

単段解法と多段解法
計算流体力学
（第８回資料）
時間の離散化：差分法（テーラー展開）
Euler法
2段階陽解法
Lax-Wendroff法
Taylor-Galerkin法（FEM）
1
ととれば
u
=
u
=
多段解法（2段解法）
=
単段解法
2段階陽解法
2014年11月28日
1
½
Lax-Wendroff法と等価（2次精度）
t
n-1
n
いくつかの組み合わせが考えられる
t
n+1
n-1
n
n+1
2段階陽解法（2段階Lux-Wendroff法）
2段階陽解法（2段階Runge-Kutta法）
を満足する
は
も
移流方程式
を満足する
に適用
移流方程式
に適用
３段階陽解法（３段階Taylor-Galerkin法）
３段階陽解法
を満足する
は
=
1
=
=
ととれば
1/2
1/6
移流方程式
に適用
と等価（3次精度）
いくつかの組み合わせが考えられる
３段階陽解法（３段階Runge-Kutta法）
陽解法の安定化手法（Selective lumping法）
を満足する
も
e：セレクティブランピングパラメータ
混合質量行列
移流方程式
に適用
陽解法の安定化手法（Selective lumping法）
i
陽解法の安定化手法（Selective lumping法）
i+1
j1
j
h
j+1
h
i 要素
i+１要素
人工拡散
セレクティブランピングパラメータにより人工拡散を加える
e=1の場合：人工拡散係数は０となる，しかし不安定
重ね合わせ
陽解法の安定化手法（Selective lumping法）
t=0
t=2
t=4
t=6
1
t=8
1
e=0
e=0.5
0
0
1
2
t=0
4
t=2
6
t=4
8
t=6
10
e=0.7
1
2
t=0
4
6
t=4
t=2
8
t=6
10
t=8
2
4
6
(dx=0.05,C=0.33)
8
10
t=4
t=6
t=8
4
t=2
6
t=4
8
t=6
10
t=8
0
0
(1  e)h 2
6t
0
0
2
dx=0.05
dx=0.025
t=0
人工粘性係数
e=0.7
t=2
0
1
0
dx=0.05
dx=0.025
t=0
0
t=8
e=0.5
0
陽解法の安定化手法（Selective lumping法）
2
4
6
8
10
(C=0.33)
・eが大きくなると人工拡散が小さくなり不安定になる
・hを小さくすると減衰が小さくなる
・∆tを大きくすると減衰が小さくなる
陽解法の安定化手法（Multi-pass法）
陽解法の安定化手法（Multi-pass法）
２）マルチパス法
t=0
t=2
t=4
t=6
1
e=0
r=0
0
0
2
t=0
連立一次方程式は解きたくない⇒反復解法の導入
t=8
4
t=2
6
t=4
8
t=6
1
10
t=8
r=2
0
0
収束解は
2
の解と一致するはず
特徴：
人工拡散のパラメータがない（反復回数という形で導入）
有限要素法における安定化手法
4
6
8
・反復回数が人工拡散を調節する（回数を増やすと発散傾向）
・∆tはセレクティブランピング法に比べて小さくなる
安定化手法（Taylor-Galerkin法）
３）テーラー・ガラーキン法
1)セレクティブランピング（Selective lumping）法
2)マルチパス(Multi-pass)法
等方的な人工拡散
より合理的な方法
3)テーラー･ガラーキン(Taylor-Galerkin)法(BTD法)
4)風上有限要素法と
SUPG(Streamline-Upwind/Petrov-Galerkin)法
10
(C=0.1)
移流方程式
を考えているので
の関係を用いて
安定化項となる
安定化手法（Taylor-Galerkin法）
安定化手法（Taylor-Galerkin法）
未知量を左辺側に既知量を右辺側に移行
L
L
dx 
特徴：
１）高精度である（時間精度２次）
２）安定化項が付加される
dx
安定化手法（Taylor-Galerkin法）
陰解法（Galerkin法）
1 t=0
t=2
t=4
t=6
t=8
0
0
2
4
6
8
10
（C=0.33)
陰解法（Taylor-Galerkin法:BTD法）
1 t=0
t=2
t=4
t=6
t=8
0
0
2
4
（C=0.33)
6
8
10

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