授業スライドの一部（フーリエ級数とスペクトルの説明など）

2014/12/2
表現２： cos と sin の和
表現２： cos と sin の和
cos と sin を足すと、どういう波形になるか？
1.5
1.5
sin
1
sin
1
0.5
0.5
時間ｔ
0
-0.5
時間ｔ
0
-0.5
cos
-1
-1.5
cos と sin を足すと、どういう波形になるか？
0
0.5
0
cos
-1
1
1.5
2
2.5
3
-1.5
0
0.5
0
cos+sin
1
1.5
2
2.5
3
cos と sin を足すと、同じ周波数の一つの正弦波
cos と sin の配合比率
ａ･cos + b･sin
1.5
1
b ａ
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1.5
1
b ａ
0.5
0
-0.5
cos と sin の
配合比率
ａ、ｂを変えると
正弦波の
位相と振幅
が変化
正弦波の３つの表現
表現１： A･sin( ωt + θ )
ｔ
表現２： a cos( ωt ) + b sin( ωt )
Ａ･sinθ
Ａ･cosθ
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
表現３：Ｆ･ｅｊωｔ＋Ｆ*･ｅ - ｊωｔ
1.5
1
b ａ
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
複素正弦波ｅｊωｔの定義
オイラーの公式
ｅ
ｊωｔ
虚数単位（数学ではｉ）
＝ｃｏｓ(ωｔ) ＋ｊｓｉｎ(ωｔ)
複素平面上のｅｊωｔ
I （虚数）
－１
実数部
ｊ
実数部がｃｏｓ（ωｔ）
虚数部がｓｉｎ（ωｔ）
虚数部
ｅｊωｔ
ωｔ
ｓｉｎωｔ
0
１
R（実数）
ｃｏｓωｔ
原点からの距離が１
角度が ωｔ
単位円
－ｊ
1
2014/12/2
ｅｊωｔの複素共役ｅ－ｊωｔ
オイラーの公式
ｅ
ｊωｔ
＝ｃｏｓ(ωｔ) ＋ｊｓｉｎ(ωｔ)
ｅ -ｊωｔ＝ｃｏｓ(ωｔ) －ｊｓｉｎ(ωｔ)
ｃｏｓ・ｓｉｎと複素正弦波


1 j t
e  e  j t
2
1 j t
sin( t ) 
e  e  j t
j2
cos( t ) 

ｃｏｓ・ｓｉｎと複素正弦波




＋
ｃｏｓ・ｓｉｎは，ｅｊωｔによって作られる
でも良い
（周波数スペクトル）
ｔ
時間
＝
1 j t
e  e  j t
2
1 j t
e  e  j t
sin( t ) 
j2
2j
「周波数分析」
（時間波形）
cos( t ) 

＋
＋
周波数
分析
小
大
低
高
全ての信号は
正弦波の和により
合成される
ｆ
周波数
その
配合比率
＋
周波数分析の例
前回の復習（１）：フーリエ級数
すべての周期信号ｆ (t) は、
1
f0 
基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0
周期
および、
その2倍、3倍･･･（2ω0 、3ω0 ･･･）の周波数の
正弦波の和として表すことができる。
（表したもの → フーリエ級数）
f (t )  a0  ( a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )
周波数分析ソフト（free）
WaveSpectra
2
2014/12/2
正弦波の「表現２」が使われている
周期信号
f (t )  a0  a1 cos(2 f 0t )  a2 cos(2 2 f 0t )  a3 cos(2 3 f 0t )  
すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる
→ フーリエ級数
 b1 sin( 2 f 0t )  b2 sin( 2 2 f 0t )  b3 sin( 2 3 f 0t )  
＋
表現２
周波数ｆ0 の
正弦波
＋
周波数 2･ｆ0 の
正弦波
＋
方形波
＋
周波数 3･ｆ0 の
正弦波
のこぎり波
＋
＋
方形波は正弦波の和として合成できる
信号の加算
ｃｏｓ( 2πｆｔ) ＋sin( 2πｆｔ)
ｘ(t) ＝ｓｉｎ(ωt) ＋1/3･ｓｉｎ(3ωt)
＋1/5･ｓｉｎ(5ωt) ＋1/7･ｓｉｎ(7ωt)
＋・・・・・
sin( 2πｆｔ)
時間
ｔ
0
＋
ｃｏｓ( 2πｆｔ)
＋
＋
＋
正弦波の「表現２」が使われている
周期信号
f (t )  a0  a1 cos(2 f 0t )  a2 cos(2 2 f 0t )  a3 cos(2 3 f 0t )  
 b1 sin( 2 f 0t )  b2 sin( 2 2 f 0t )  b3 sin( 2 3 f 0t )  
表現２
周波数ｆ0 の
正弦波
＋
周波数 2･ｆ0 の
正弦波
＋
周波数 3･ｆ0 の
正弦波
すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる
→ フーリエ級数
方形波
＋
＋
のこぎり波
＋
＋
3
2014/12/2
方形波は正弦波の和として合成できる
信号の加算
ｃｏｓ( 2πｆｔ) ＋sin( 2πｆｔ)
ｘ(t) ＝ｓｉｎ(ωt) ＋1/3･ｓｉｎ(3ωt)
＋1/5･ｓｉｎ(5ωt) ＋1/7･ｓｉｎ(7ωt)
＋・・・・・
sin( 2πｆｔ)
時間
ｔ
0
＋
ｃｏｓ( 2πｆｔ)
＋
＋
＋
２つの正弦波の和
２つの正弦波の和
振幅
振幅
ｆ＝ 100 Hz （基本波）
1
ｆ＝ 100 Hz （基本波）
1
ｆ＝ 300 Hz （３倍波）
1/3
ｆ＝ 300 Hz （３倍波）
1/3
時間
0
時間
0
-1
-1
２つの正弦波の和
振幅
１，３，５倍周波数の正弦波の和
振幅
1
ｆ＝ 100 Hz
1
ｆ＝ 300 Hz
500 Hz
時間
1/3
-1
時間
1/5
0
100 Hz＋300Hz
00
青＋緑 → 赤
-1
4
2014/12/2
2
１，３，５倍周波数の正弦波の和
振幅
1
2
ω0 ＝１
sin t
1
1
0
0
-1
-1
sin t
1
sin t  sin 3t
3
100 Hz＋300Hz
-2
-2
0
500 Hz
1
sin 3t
3
20
40
60
80
0
20
40
60
80
時間
1/5
2
2
1
sin t  sin 3t
3
00
1
-1
青＋緑 → 赤
1
sin 5t
5
0
0
-1
-1
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
-2
0
20
40
60
80
0
ω0 ＝１
1
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
0
50
100
150
-2
0
50
100
150
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
0
50
100
150
-2
0
50
100
150
0
-0.5
-0.5
-1
0
2
50
100
-1
-1.5
-2
0
150
50
100
1
sin t  sin 2t
2
2
1.5
0
2
50
100
1
1
0
0
0
-1
50
100
150
-2
0.5
150
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-1
0
50
100
150
-2
-1.5
-2
0
50
100
-2
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t
2
3
150
50
100
1
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t  sin 4t
2
3
4
150
0
2
のこぎり波の合成
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-2
-1
0
50
100
150
-2
50
100
150
-2
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
0
50
100
150
0
50
100
150
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
0
50
100
150
50
1
0
50
100
150
0
50
100
150
sin t
1
0
0
-1
-1
-2
2
20
40
100
60
80
150
100
150
-1
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
-2
0
20
40
-2
60
80
20
40
60
80
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
1
sin 7t
7
0
-1
50
0
1
1
sin 5t
5
0
0
1
sin 3t
3
1
sin t  sin 3t
3
2
1
sin t  sin 3t
3
1
50
150
-2
0
0
100
2
方形波
sin t
-1
0
1
 sin 4t
4
1
0
0
150
2
1
-2
100
2
-0.5
-1
50
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t
1
2
3
sin 3t
3
0.5
0
1
sin t  sin 2t
2
1.5
1
-2
150
0
2
80
0.5
0
-2
-2
2
60
1
 sin 2t
2
1
-1.5
2
40
sin t
1.5
0.5
2
20
2
sin t
1.5
2
1
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t
3
5
7
-2
2
方形波の合成
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
1
sin 7t
7
1
1
1
1
1sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t
3
5
7
0
20
40
60
80
5
2014/12/2
2
1
 sin 2t
2
2
sin t
のこぎり波
sin t
1.5
1.5
1
1
0.5
信号の「（パワー）スペクトル」とは
0.5
0
0
-0.5
横軸は、信号に含まれる正弦波の周波数
縦軸は、その正弦波の大きさ（パワー）を表す図
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
0
50
100
1
sin t  sin 2t
2
2
1.5
1
150
0
1
sin 3t
3
0.5
1
sin t  sin 2t
2
50
100
パワー
150
1
 sin 4t
4
2
1.5
1
0.5
0
周波数
ｆ
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t
2
3
0
50
100
-2
150
1 sin t 
1
1
1
sin 2t  sin 3t  sin 4t
2
3
4
0
50
100
150
その信号に、どういう周波数の信号が、
どの位の大きさで含まれているか？を表す図
先週の演習の問４
ア）
先週の演習の問４（直感的な解法）
ｆ(t) ＝ 2・sin(2π100 ｔ)
ｆ(t) ＝ 2・sin(2π100 ｔ)
ア）
この講義では、
数式の意味を理解する習慣をつけてください。
（今までの数学と違って、工学における数式は
無意味な記号の羅列ではありません）
周波数が
100Hzで
信号ｆ(t) は、
振幅が2の
正弦波で
できている
では、スペクトルは？
振
幅
ｆ(t) に含まれている
正弦波は、
意味が分かれば、その式を言葉で説明できます。
この式が何を表しているか？
を、言葉で説明してみてください。
周波数が
100Hzで
2
振幅が
2
100
周波数ｆ (Hz)
ただし、これは、振幅スペクトル
先週の演習の問４（直感的な解法）
ア）
ｆ(t) ＝ 2・sin(2π100 ｔ)
周波数が
100Hzで
信号ｆ(t) は、
では、パワースペクトルは？
イ）
振幅が2の
正弦波で
できている
ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2・cos(2π200 ｔ)
信号ｆ(t) は、
パワー
（正弦波の）
パワー＝
先週の演習の問４（直感的な解法）
（振幅）2
２
周波数が200Hzで
振幅が2の正弦波の和
パワー 0.5
パワー 2
パワー
周波数が
100Hzで
2
パワーが
2
周波数が100Hzで
振幅が１の正弦波と、
100
周波数ｆ (Hz)
パワー＝
（振幅）2
２
2
0.5
スペクトルとは、
信号が、どのような
正弦波からできているかを表すもの
100
200
周波数ｆ (Hz)
6
2014/12/2
問４のより数学的な解法
問４のより数学的な解法
フーリエ級数と対比する
フーリエ級数と対比する
100Hz
100Hz
200Hz
f (t )  a0  a1 cos(2 f 0t )  a2 cos(2 2 f 0t )  a3 cos(2 3 f 0t )  
 b1 sin( 2 f 0t )  b2 sin( 2 2 f 0t )  b3 sin( 2 3 f 0t )  
200Hz
f (t )  a00  0
a1 cos(2 f 0t )  a2・cos(2π200
a3 cos(2 3 f 0t )  
2 cos( 2 2 f ｔ)
0t ) 0
ｔ) 02 sin( 2 2 f 0t ) 0
 b1・sin(2π100
b3 sin( 2 3 f 0t )  
1 sin( 2 f 0 t )  b
ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)
ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)
f 0  100 , b1  1, a 2  2, その他の ai , bi  0
パワーは、
a
2
n

 bn2 / 2
パワースペクトルは、
問４のより数学的な解法
分析の方法は？
フーリエ級数と対比する
信号ｆ(t)
100Hz
200Hz
f (t )  a00  0
a1 cos(2 f 0t )  a2・cos(2π200
a3 cos(2 3 f 0t )  
2 cos( 2 2 f ｔ)
0t ) 0
ｔ) 02 sin( 2 2 f 0t ) 0
 b1・sin(2π100
b3 sin( 2 3 f 0t )  
1 sin( 2 f 0 t )  b
ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)
a
2
n
分析
2
1
・周波数 100Hz
の sin （振幅が）１
0
時間
-1
f 0  100 , b1  1, a 2  2, その他の ai , bi  0
パワーは、
成分
3
・周波数 200Hz
の cos （振幅が） 2
-2
-3
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
パワー

ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)
 bn2 / 2
2
パワースペクトルは、
0.5
100
200
周波数ｆ (Hz)
ａn、ｂn の求め方（＝分析方法）
分析の方法は？
信号ｆ(t)
成分
3
分析
2
f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )
1
0
時間
-1
「フーリエ係数」 a0, a1 , ･･･，ｂ1 , ｂ2 , ･･･は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔをかけて積分すれば得られる。
-2
-3
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
実際に利用できるのは、
この波形ｆ(t) だけ
信号ｆ(t)：録音した音、受信した電波
ただし、ディジタル信号として記録されている（携帯の音楽と同じ）
bn 
2 T
f t sin n 0t dt
T 0
100Hz の sin の大きさ（成分）
2 T
f t  sin( 2 100t) dt  1
T 0
200Hz の cos の大きさ（成分）
2 T
f t  cos( 2 200t) dt  2
T 0
7
2014/12/2
ａn、ｂn の求め方（＝分析方法）
複素正弦波を用いたフーリエ級数
f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
任意の周期信号ｆ(t) は、複素正弦波ｅｊnω0ｔの和として、
次式で表される。
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )

 F
f (t )  F0  F1  e j0 t  F2  e j 20 t
「フーリエ係数」 a0, a1 , ･･･，ｂ1 , ｂ2 , ･･･は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔをかけて積分すれば得られる。
1
2 T
bn   f t sin n 0t dt
T 0
100Hz の sin の大きさ（成分）


F
n
n  
 F 2  e
 e jn0 t
2 T
f t  cos( 2 200t) dt  2
T 0
 j 2 0 t
 F3  e
 j 3 0 t

 
Fn ：係数（複素数）
F  n は F n の複素共役
教科書式(2.21)
200Hz の cos の大きさ（成分）
2 T
f t sin( 2 100t) dt  1
T 0
e
 j 0 t
 F3  e j 30 t  
表現３表現がシンプル
実は、実際の計算はコンピュータがやってくれる
フーリエ係数Ｆn の求め方

f (t )  F0  F1  e

 F1  e
e jn 0 t
j 0 t
 j 0 t
 F2  e
j 2 0 t
 F 2  e
 F3  e
 j 2 0 t
フーリエ係数Ｆn の求め方の証明
j 3 0 t
 F 3  e

 j 3 0 t


このｆ(t) に、複素共役
Fn 
1
T

T
0
e  jn 0 t
を乗じて積分
f ( t )  e  jn  0 t dt
e
j 0 t
T
0
すべての周期波形は正弦波の和
◇ 各正弦波成分の大きさを分析
ａn、ｂn （スペクトル）が信号の特徴を表す。
・音声認識
合成できる
周波数操作
・フィルタ
周波数で見る・考える
情報圧縮（mp3、jpeg、mpeg）

1
T 
1

T 
 F2


f ( t )  e  j 2  0 t dt
T
0
T
0
  F
  F
1
1
 e  j  0 t  F 0  F1  e j  0 t  F 2  e
e
jn  0 t
の周期
フーリエ級数（変換）の意義
◇
◇

e
Tは
◇
◇


 F1  e  j 0 t  F 2  e  j 20 t  F3  e  j 3 0 t  
1
T
の係数Ｆn を求めるには、

f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 3 0 t  
 j 3 0 t
 F0  e
 j 2 0t
 F1  e
e
 e  jm  0 t  

j 2 0 t
 j 0 t

 F 3  e  j 3  0 t    e  j 2  0 t dt
 F 2  F3  e
j  n  m  0 t
1
j 0 t

  dt
n  m
n  m
前々回： cos, sin を用いたフーリエ級数
任意の周期信号ｆ(t) は、cos, sin の和として表される。
f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )
「フーリエ係数」 a0, a1 , ･･･，ｂ1 , ｂ2 , ･･･は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔをかけて積分すれば得られる。
an 
2 T
f t  cos n0t dt
T 0
8
2014/12/2
前回：複素正弦波を用いたフーリエ級数
フーリエ係数Ｆn の求め方
任意の周期信号ｆ(t) は、複素正弦波ｅｊω0ｔの和として、
次式で表される。
f (t )  F0  F1  e
 F1  e


F
n  
n
j 0 t
 j 0 t
 F2  e
j 2 0 t
 F 2  e
 F3  e
 j 2 0 t
j 3 0 t
 F 3  e

 j 3 0 t


f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 3 0 t  

 F1  e
 e jn 0 t
Fn 
表現１：
A  sin  t   
表現１：
表現２：
a  cos( t )  b  sin( t )
表現２：
表現３：
F  e j  t  F *  e  j t
表現３：
f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )

 F
表現３
1
e
 j 0 t
 F 2  e
 j 2 0 t
 F3  e
 j 3 0 t



表現３
1
e
 j 0 t
 F 2  e
 j 2 0 t
 F3  e
0
f ( t )  e  jn  0 t dt
【問題点】ａ，ｂや、Ｆと違って、
パラメータＡ，θを求める式が無い、
ので、使われない
A  sin  t   
a  cos( t )  b  sin( t )
F  e j  t  F *  e  j t
表現３：
 j 3 0 t
T
F  e j  t  F *  e  j t
表現２：
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )

 F

A  sin  t   
a  cos( t )  b  sin( t )
表現１：
f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 3 0 t  
1
T
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
表現２

 A3 sin 30t   3   
表現１
F  e j  t  F *  e  j t
表現３：

f (t )  A0  A1 sin 0t  1   A2 sin 20t   2 
A  sin  t   
a  cos( t )  b  sin( t )
表現２：

書くことは出来るが
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
表現１：
 F 3  e
 j 3 0 t
表現１は？
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 3 0 t  
 F 2  e
 j 2 0 t
ｅｊｎω0ｔの係数Ｆn を求めるには、
このｆ(t) に、複素共役ｅ - ｊｎω0ｔを乗じて積分
表現がシンプル
表現２
 j 0 t



f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
表現２
f (t ) 
表現３
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )

F
n  
n
 e jn0 t
9
2014/12/2
フーリエの理論
信号とスペクトル
信号とは，
大きい
すべての信号は、正弦波の和で出来ている
量の時間的変化の様子
（電圧や音圧）
初等関数では
大きい
表せないので
（文字式）
大きい
信号
正弦波（成分）
am , bm
分析（分解）
f (t )
500Hz の正弦波 1
＋
f (t )
0
1000Hzの正弦波 0.5
時間
ｔ
0.5
an 
1秒
＋
1500Hzの正弦波 0.3
＋
小さい
小さい
2 T
f t  cos n0t dt
T 0
2000Hzの正弦波 0.25
小さい
ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )
＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)
と表される．
「スペクトル」は、成分のグラフ化
パワースペクトル
大きさ（振幅）
am , bm
1
(1)2/2
a
2
n

 bn2 / 2
500Hz の正弦波 1
0.5
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
0
0.3
(0.5)2/2
(0.3)2/2
(0.25)2/2
1000Hzの正弦波 0.5
0.25
500 1000 1500 2000 ｆ
周波数（Hz）
ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )
＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
0
500 1000 1500 2000 ｆ
周波数（Hz）
ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )
＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)
時間信号（波形） → 周波数スペクトル
信号：ｆ (t)
正弦波（成分）
am , bm
500Hz の正弦波 1
2000Hzの正弦波 0.25
パワー　パワー
スペクトル
正弦波（成分）
フーリエ変換の重要性（用途例）
式では表せない！
音声
音声＋雑音
時間ｔ
スペクトル：F(ω)
雑音
波形（音圧・電圧）では、
わからない
フーリエ変換

f ( t )  e  j  t dt
計算はコンピュータがしてくれる
周波数ｆ
bakuon0.wav
LP250noise.wav
Gold-wave
baknLPN.wav
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2014/12/2
スペクトル
周波数領域で見るとよくわかる
音声＋雑音
0.8
振幅
低周波雑音
フーリエ級数の係数
ｂ2
0.6
0.4
ｂ3
ａj=0
ｂ4
0.2
0
0
振幅
0.8
1500
2000
周波数
2500
3000
3500
4000
1
周期
0.2
1
振幅
0.6
フィルタ
0
スペクトル
略
0.6
1000
0.4
周波数
0.8
500
ｂn+1
ｂn+2
ｂn+3
略
1
0
500
1000
1500
2000
周波数
2500
3000
3500
4000
前々回の復習 (フーリエ変換対)
ｂn+1
ｂn+2
ｂn+3
（時間信号）
（周波数スペクトル）
フーリエ
変換対
f (t )
F ( )
0.4
0.2
0
0
500
1000
1500
2000
周波数
2500
3000
3500
4000
ｆ
フーリエ変換の結果
1
Ｆ（ｆ）または（Ｆ（ω））すべての周波数で
成分を持つ
0.8
振幅
各
周
波
数
成
分
の
大
き
さ
・
パ
ワ
｜
ｂ1
1
低周波成分を
カットすれば良い！
略
0.6
0.4
0
ゲート関数
（方形パルス）
0
500
1000
1500
2000
周波数
2500
3000
3500
4000
ｆ, ω

0
標本化関数
（sinc 関数）
F ( )  
フーリエ逆変換：
f (t )   F ( ) e j t dt

ω
f (t ) e  j t dt


前回の復習
前回の復習
2.1.2 フーリエ変換の性質
(b) 対称性
ｆ(t)
Ｆ（ω）なら
F(t)
2πｆ（-ω）
1
フーリエ変換：
0.2
0
t
（時間信号）
0
ゲート関数
（方形パルス）
（周波数スペクトル）
フーリエ
変換対
t
1
0
標本化関数
（sinc 関数）
ω
対称性
X(ω)
ｘ(t)
t
1
標本化関数
-ωc 0
ωc ω
ゲート関数
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2014/12/2
前回の復習
前回の復習（デルタ関数）
δ(t)：変数が 0 の時のみ、無限大の値を持つ
2.1.2 フーリエ変換の性質
(ｃ) 線形性
ｆ(t)
Ｆ（ω）
g(t)
G（ω）
ならば、
c･ｆ(t)
c･Ｆ（ω）
ｆ(t) + g(t)
Ｆ（ω）＋G(ω)
ある関数にかけて積分すれば
その関数のｔ＝0 の値が取り出せる



 t   e  j t dt  e 0  1
δ(t)
先週の復習（時間・周波数推移）
F(ω)＝1
δ(t)
時間推移
1
f (t  t0 ) F ( )e  jt0
ω
t
0
周波数推移
f (t )e j0t F (  0 ) 対称性
ｆ(t)＝1 （直流）
2πδ(ω)
1
周波数 0
ｔ
ω
0
先週の復習（ｅｊω0ｔのフーリエ変換）
2πδ(ω-ω0)
j0t
1　1 e
j 0 t
2   ( ) 2   (  0 ) 微分（差分）の効果：音声
1 e j0t 2   (  0 ) e
ω
t
0
先週の復習（デルタ関数）
1
d
f t 　j F ( )
dt
◇ 原音
◇ １回微分
◇ ２回微分
0
e  j0t ω0
ω
◇ ３回微分
2πδ(ω+ω0)
-ω0
0
ω
12
2014/12/2
積分（平均化）の効果：音声
f t 　0.2
0.1
0
F ( )
-0.1
-0.2

t

0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
50
100
150
200
250
300
350
400
f  d 1
F ( )
j
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
13

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