演習問題 3.6 解答例

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演習問題 3.6 解答例
(2)
rot(gradφ) = ∇ × ∇φ
]
[
∂φ ∂φ ∂φ
=∇×
,
,
∂x ∂y ∂z
[
]
∂ ∂φ
∂ ∂φ ∂ ∂φ
∂ ∂φ ∂ ∂φ
∂ ∂φ
=
−
,
−
,
−
∂y ∂z
∂z ∂y ∂z ∂x
∂x ∂z ∂x ∂y
∂y ∂x
= [0, 0, 0]
= 0.
(3)
div(rotA) = ∇ · (∇ × A)
(
)
(
)
(
)
∂ ∂az ∂ay
∂ ∂ax ∂az
∂ ∂ay ∂ax
=
−
+
−
+
−
∂x ∂y
∂z
∂y ∂z
∂x
∂z ∂x
∂y
(
)
(
)
(
)
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
=
−
ax +
−
ay +
−
az
∂y ∂z
∂z ∂y
∂z ∂x ∂x ∂z
∂x ∂y
∂y ∂x
= 0.
(4)
x 成分についてのみ考える
∂
∂
(φaz ) −
(φay )
∂y
∂z
(
)
∂φ
∂az
∂φ
∂ay
=
az + φ
−
ay + φ
∂y
∂y
∂z
∂z
∂φ
∂az
∂ay
∂φ
az −
ay + φ
−φ
=
∂y
∂z
∂y
∂z
= [∇φ × A]x + [φ∇ × A]x
[rot(φA)]x =
地球惑星科学のための物理数学 II
2014 年 10 月 28 日
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y, z 成分についても同様に考えられるので,
[rot(φA)]x = ∇φ × A + φ∇ × A
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2014 年 10 月 28 日

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