数量マクロ経済分析第 3 章宿題解答 . 新居理有京都大学経済学研究科博士後期課程 [email protected] 2009 年 5 月 19 日 . Exercise 3.5 方程式 [ ] f1 (x) f (x) = =0 f2 (x) (1) を数値的に解く．ただし， f1 (x) = 200x1 (x2 − x21 ) − x1 + 1 (2) f2 (x) = 100(x21 − x2 ) (3) とする． ※解は x1 = x2 = 1 のみであることが解析的に分かる． Exercise 3.5 (cont.) 解法: . . 1 関数 f の値を fval, (偏) 微分係数 fjac を返す関数 m ファイルを作成． 2 newton 法，broyden 法によって数値解を求める． ※ MATLAB コード ex35 main.m を参照． Exercise 3.6 累積密度関数 (Cumularive Distribution Function; CDF) F : R → [0, 1] が与えられる． F (x) = P rob(X ≤ x) を表す．確率 p ∈ (0, 1) をこちらで定めたときに， F (x) = p を満たす x を newton 法を用いて求めるアルゴリズムを作る． Exercise 3.6 (cont.) Figure: Exercise 3.6 Exercise 3.6 (cont.) アルゴリズムの本体は，invcdf.m ファイルを参照．上のアルゴリズムが働くかをチェックするために，CDF を与えてみる．与えるのは平均 µ, 分散 σ 2 の正規分布の CDF．関数 m ファイルは ex36 normal.m を参照． Exercise 3.10(a) 各国間の貿易ができないので，国内の需要と供給が一致するように価格が決定する．例えば country 1 であれば， p = 42 − 2q p=9+q を解けばよい． → MATLAB で数値的に解いてみる．ex310.m を参照． [ ][ ] [ ] 1 2 p 42 = . 1 −1 q 9 country 2, 3 も同様． Exercise 3.10(b) 手順: . 1 各国の超過需要関数，(超過) 機会利潤を導出． 2 均衡における，機会利潤についての complementarity problem を解く． ※次のように記号を約束する． . xij : country i から j へ輸出され，取引される財の量． pi : country i で生産される財の価格． cij : country i から j へ財を輸出するときの輸送コスト． fij : country i から j へ財を輸出するときの機会利潤． Exercise 3.10(b) 超過需要関数 country 1 の超過需要関数を E1 (p) と表せば， E1 (p) = [x21 − x12 ] [x31 − x13 ] + country 2 からの純輸入 . (4) country 3 からの純輸入が成り立つ．(market clearing condition) また，country 1 の超過需要関数 E1 (p) は， E1 (p) = q1d − q1s = −(3/2)p1 + 30. (5) 以上より，次の関係を得る． p1 = 20 − (2/3) 3 ∑ [xi1 − x1i ]. i=2 ※ country 2, 3 も同様． (6) Exercise 3.10(b) (超過) 機会利潤各国の生産者が直面する機会利潤 fij は次の通り． fij = pj − cij − pi . 機会利潤に関して， fij ≥ 0 ならば，xij を増やそうとする． fij ≤ 0 ならば，xij を減らそうとする．ただし，xij ≥ 0 の制約を課す．よって，競争均衡において， xij > 0 ならば，fij ≥ 0． xij = 0 ならば，fij ≤ 0. (7) Exercise 3.10(b) 競争均衡以上から，本問題の競争均衡は，CP (f, 0, +∞) として定義される．ここで，f = [f11 , f12 , f13 , · · · , f32 , f33 ]′ ． → CP を数値的に解く．以下，MATLAB コードを参照． Appendix: 機会利潤の立式 fij は，下記の通りになるはず．  f12 (x) =  117 5 −  f13 (x) =  69 2 −  6 ∑ 5 i=1,3 1 ∑ 3 ∑ 69 2 −  ∑ 1 2 i=1,2 f31 (x) = 20 − (2/3) f32 (x) =  117 5 − 6   3 ∑ ∑ 5 i=1,3   [xi1 − x1i ] − c12 3 ∑  [xi1 − x1i ] − c13 i=2  117 5 −  117 5 −  [xi1 − x1i ] −   3 ∑ i=2  [xi3 − x3i ] −  i=2   [xi1 − x1i ] −  i=2   [xi3 − x3i ] − 20 − (2/3) 2 i=1,2 f21 (x) = 20 − (2/3) f23 (x) =   [xi2 − x2i ] − 20 − (2/3) 69 2 −  [xi2 − x2i ] −  69 2 また，任意の i に対して，fii = 0 となるのは，定義より明らか． − 6 ∑  [xi2 − x2i ] − c21 5 i=1,3 6 ∑ 5 i=1,3 1 ∑ ∑  [xi3 − x3i ] − c31 2 i=1,2 1  [xi2 − x2i ] − c23  [xi3 − x3i ] − c32 2 i=1,2