関野 喬先生の 3 つだ け く 覚えて解 数的処理 Mathematics はじめまして。TAC公務員講座で数的処理を 問題を読んだら、いきなり計算をしようとせ 担当しています、関野と申します。 『無敵の公務 ず、まずは求めるものを「言葉で場合分け」して 員』で連載を担当することになりました。これよ みましょう。今回であれば、２本のくじを引いた りしばらくのお付き合い、どうぞよろしくお願い とき、 「２本当たり」、 「１本当たり、１本はずれ」、 「２本はずれ」の場合があります。まず、場合分 します。 数的処理という科目は、公務員試験において、 多くの人が苦手としている科目です。この連載で けをすれば、何を求めればよいかわかりやすくな ります。 は、「苦手な人でも３つのポイントを覚えるだけ 次に求める項目について、問題文に書かれたま で、重要テーマの問題が解ける！」をコンセプト まの方法で「ストレート」に解くか、 「余事象」 にしていきたいと思っています。 で求めるか、楽に解ける方を選びましょう。今 第１回目の今回のテーマは「確率」です。ほと 回、求めるのは、「当たりくじが１本以上ある確 んどの試験で出題されるテーマであり、場合によ 率」ですので、 「２本当たり」 、 「１本当たり、１ っては２～３問出題されることもあります。その 本はずれ」の確率をそれぞれ求めるよりも、すべ ような重要テーマである確率において覚えるべき ての確率である１から「２本はずれ」の確率を引 ３つのポイントは以下の通りです。 く方が楽でしょう。すべての確率は１であること もしっかり覚えておいてください。 ❶すぐに計算しようとせず、まずは求めるもの 「条件を満たす個別の確率×場合の数」を意識し を「言葉で場合分け」する。 ❷ 「ストレート」に解くか、 「余事象」で解く か、最初から検討する。 さっそく実際の本試験を通して、説明をしてい きましょう。 H21国税・労基 20本のくじの中に3本の当たりくじがある。こ の20本の中から同時に2本のくじを引くとき、当 たりくじが1本以上ある確率はいくらか。 94 33 190 2. 39 190 無敵の公務員 3. 49 190 て、確率を求めましょう。「条件を満たす個別の 確率」 、これは「はずれ→はずれ」となる確率です。 ❸ 「条件を満たす個別の確率×場合の数」 で解く。 1. これで求めるものははっきりしました。あとは 4. 25 96 5. 27 95 まずは最初にはずれを引く確率ですが、これは全 部で20本のくじがあり、当たりが３本、つまり、 17 はずれは20−３＝17本ですので、 になりますね。 20 続けて２本目もはずれを引く確率ですが、これも 17 でしょうか？ 確率の問題では「くじを戻す」 20 と書いていない限り引いたくじは戻しませんので、 本数は１本減って全部で19本、はずれも１本減っ 16 て16本ですので、２本目もはずれの確率は です 19 ね。よって、 「はずれ→はずれ」となる確率は、 17 16 68 × ＝ になります。 20 19 95 教養科目 ココ が面白い！ 当たり 1 本以上 当 ２本 当 １本、 は １本 は ２本 ⇒ 4 3 2 4 × × ＝ ですね。 7 6 5 35 場合の数は「奇数→奇数→奇数」の１通りですの 4 4 で、 ×１＝ となります。 「奇数２個、偶数１ 35 35 個」の確率は、まず「条件を満たす個別の確率」 「奇数３個」の確率は 当 ２本 当 １本、 は １本 は ２本 ⇒ ※全体から引く （余事象） 17 16 68 × ＝ 20 19 95 を考えてみましょう。たとえば、「奇数→奇数→ 単にこれで終わりにするのではなく、他の場合 偶数」なら条件を満たします。この順で出る確率 4 3 3 6 は、 × × ＝ になります。場合の数につい 7 6 5 35 て考えると、今度は１通りではありませんね。 があるか考えてみると、今回は「はずれ→はず 68 68 れ」の１通りですので、 ×１＝ のままです。 95 95 、 「奇数→偶数→奇数」 、 「偶 もし「１本当たり、１本はずれ」の場合であれ 「奇数→奇数→偶数」 ば、 「当たり→はずれ」と「はずれ→当たり」の 数→奇数→奇数」の３通りがあります。３個中１ ２通りですので、「×２」をする必要が出てくる 個が偶数なので、3C1＝３通りと考えても良いで 6 18 しょう。よって、求める確率は ×３＝ となり 35 35 ます。 奇数 ２個以上 奇 ３個 ⇒ 奇 ２個、 偶 １個 奇 １個、 偶 ２個 奇 １個、 偶 ２個 偶 ３個 偶 ３個 それでは、この３つのポイントを意識して、次 ⇒ 奇 ２個、 偶 １個 奇 ３個 ⇒ 点に注意しましょう。よって、１本以上当たりに 68 なる確率は、すべての確率である１から を引 95 68 27 けばよいので、１− ＝ となり、正解は５と 95 95 なります。 4 3 2 4 × × ×1＝ 7 6 5 35 4 3 3 18 × × ×3＝ 7 6 5 35 の問題を解いてみてください。 H22東京都Ⅰ類B 袋の中に7個の玉が入っており、それぞれの玉に は1から7までの異なる1つの数字が書かれている。 この袋の中から無作為に3個の玉を同時に取り出す とき、取り出した玉の中に、奇数が書かれた玉が2 個以上含まれる確率として、正しいのはどれか。 1. 15 28 2. 22 35 3. 25 42 4. 33 53 5. 36 65 奇数が書かれた玉が２個以上の確率は、それぞ 4 18 22 れを足せば求められますので、 ＋ ＝ とな 35 35 35 り、正解は２となります。 ぜひ、最初のH21国税・労基の問題と、今の H22都ⅠBの問題をあらためて見比べてみてくだ さい。余事象を使うかどうかは別として、基本的 には同じ形で問題が解けます。確率の問題は過去 に多くの問題が出題されていますが、最も多いの 求めるのは「奇数が書かれた玉が２個以上含ま れる確率」です。これを一度に求めようとするの はこのパターンでの出題ですので、しっかり解け るようにしておきましょう。 ではなく、求めるものを「言葉で場合分け」して みるのでしたね。そして、 「ストレート」に解く か、「余事象」で求めるか考えてみるのでした。 今回は「奇数３個」と「奇数２個、偶数１個」を それでは、次の問題はどうでしょうか。 H22東京消防庁Ⅰ類 袋の中に同じ大きさの15個の玉が入っており、 ストレートに求めるのも、余事象で全体から「奇 その内訳は赤玉3個、白玉12個である。この中か 数１個、偶数２個」と「偶数３個」を引くのも今 ら玉を1個ずつ取りだして左から順に横一列に15 回はどちらも手間は大して変わりません。よっ て、今回は「ストレート」に場合分けをして解い てみたいと思います。 個を並べるとき、赤玉が3個連続して並ぶ確率とし て、最も妥当なのはどれか。 1. 1 45 2. 1 40 3. 1 35 4. 1 30 5. 1 25 教養科目ココが面白い！ 95 4 玉を15個も並べるや、３個連続など、あまり見 かけない問題ですが、まずは求めるものを「言葉 で場合分け」してみましょう。なぜ、最初に言葉 で場合分けをすることにこだわるかと言います と、数的処理という科目は「いかに物事を整理す るか」がカギになるからです。 「求めるものを認 識する」ことと「計算」というのは、別の要素で すよね。これを一度にまとめてやろうとすれば、 当然、ミスも増えることになりますし、状況は複 雑になります。確率の問題に限らず、この点を意 識してみてください。 それでは、３個連続して赤玉が並ぶ場合とは、 どのような場合があるか、書き出して考えてみま しょう。赤玉が３個連続して並ぶ場合は、１～３ 個目が赤、２～４個目が赤、３～５個目が赤、 ……、12～14個目が赤、13～15個目が赤の全部で 13通りだということがわかります。 具体的に何を求めるのかがわかったところで、 「条件を満たす個別の確率」として、 「１個目、２ 個目、３個目で赤玉を取り出し、残りはすべて白 玉を取り出す確率」を求めてみましょう。そうす 3 2 1 12 11 2 1 × × × × ×……× × 15 14 13 12 11 2 1 1 1 ＝ になります。全部で13通りですので、 × 455 455 1 13＝ として、正解３で終わりですが、心配で 35 したら、他のケースも計算してみましょう。 「１ ると、 今度はさらに難しいとされる国家総合職（旧国 家公務員Ⅰ種） 試験の問題にも挑戦してみましょう。 H18国家Ⅰ種 企業に対して、その信用度に応じてA、B２種類 の格付けがされている。それぞれの格付けがされ た企業の1年後の格付けの推移は表Ⅰの確率で示さ れるとする。 1年後 現在 表Ⅰ A B ランク外 A 90％ 10％ 0％ B 0％ 80％ 20％ すなわち、Ａに格付けされている企業は、１年 後にはＢの格付けに移行するが、ランク外になる 企業はない。また、Ｂに格付けされている企業が その後Ａに格付けされることはなく、１年以内に ランク外になる確率は20％である。 ランク外になった企業については、その後の格 付けは行わずランク外として固定するものとして 計算すると、それぞれに格付けされている企業の ５年後の格付けの推移は表Ⅱの確率で示される。 表Ⅱ 5年後 A B ランク外 現在 A 59％ 26％ 15％ B 0％ 33％ 67％ このとき、現在Ａに格付けされている企業が７ 年以内にランク外になる確率として最も近いのは、 次のうちではどれか。 1. 19.5％ 2. 21.5％ 4. 25.5％ 5. 27.5％ 3. 23.5％ 個目は白球、２個目、３個目、４個目で赤玉を取 り出し、残りはすべて白玉を取り出す確率」は、 12 3 2 1 11 2 1 1 × × × × ×……× × ＝ 15 14 13 12 11 2 1 455 ですし、 「１個目と２個目は白球、３個目、４個 目、５個目で赤玉を取り出し、残りはすべて白玉 12 11 3 2 × × × 15 14 13 12 1 10 2 1 1 × × ……× × ＝ になります。ここ 11 10 2 1 455 1 1 ×13＝ となり、 までわかれば安心して、 455 35 を取り出す確率」は、同様に 正解３といえますね。 96 無敵の公務員 今まで以上にどのように求めればよいか考えが ちな問題ですが、どうでしょうか。まずは……求 めるものを「言葉で場合分け」ですよね。何をど うすればよいか分からないまま計算をしても仕方 ありません。まずは求めるべきものをはっきりと させましょう。 本問では、現在Ａに格付けされている企業の５ 年後の状況が問題で与えられているので、ここか ら場合分けをして７年後（さらに２年後）にラン ク外になるものを考えてみましょう。Ａだった企 教養科目 ココ が面白い！ 業が翌年にランク外になることは、表Ⅰからあり 15.0＝25.6社ですので、最も近い確率は選択肢４ 得ませんね。そうすると、⑴５年後にＡだった企 の25.5％となり、正解は４に決まります。 業が６年後にＢになって７年後にランク外になる 最後の１問は国家Ⅰ種（現：国家総合職）の応 場合、⑵５年後にＢだった企業が６年後にそのま 用問題でしたが、実は他の問題と考え方は基本的 まＢで７年後にランク外になる場合、⑶５年後に に同じです。場合分けの丁寧さが要求されたり、 Ｂだった企業が６年後にランク外になる場合、あ 問題を読み取る力が求められますが、見比べてみ とは⑷５年後の時点ですでにランク外の場合、全 ると本質は同じであることがわかります。 部でこの４つの場合がありますね。求めることが いきなり難しい問題から解く必要はありません はっきりしましたので、あとはそれぞれの場合に ので、手元にある参考書や問題集でぜひ今回と同 おいて計算をしていきましょう。 じような解き方をしてみてください。 現在 ５年後 ６年後 ７年後 A A A 外× Ｂ 外⑴ 外× Ｂ Ｂ 外⑵ 外⑶ 外⑷ 現在の企業数を仮に100社として、⑴～⑷がそ れぞれ何社になるか考えてみましょう。もちろ ん、現在の企業数を確率１としても問題はありま せん。 ⑴ 現在Ａで５年後もＡの確率は59％ですので、 ５年後は59社がＡになります。表ⅠよりＡの企 業が翌年Ｂになる確率は10％、Bの企業が翌年 ランク外になる確率は20％ですので、59×0.1 ×0.2≒1.2社になります。 ⑵ 現在Ａで５年後はＢの確率は26％ですので、 ５年後は26社がＢになります。表ⅠよりＢの企 業が翌年Ｂになる確率は80％、Ｂの企業が翌年 ランク外になる確率は20％ですので、26×0.8 ×0.2≒4.2社になります。 ⑶ ５年後にＢになる企業の数は⑵と同様26社で す。表ⅠよりBの企業が翌年ランク外になる確 率は20％ですので、26×0.2＝5.2社となります。 ⑷ 表Ⅱより15社になります。 合計すると、現在Aの企業が100社だとすると、 ７年以内にランク外になるのは、1.2＋5.2＋4.2＋ 教養科目ココが面白い！ 97 4
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