第2章補足条件つき確率とベイズの定理統計学 2006年度 ※ 条件つき確率と乗法定理 • P(E)>0のとき、事象Eの起こることを条件として、事象Fが起こることを、 (Eを条件とする)Fの条件つき確率といい、P(F|E)であらわす。（例） 5本中2本の当たりのあるくじを、5人で順番に引く。2番目に引く人があたりくじを引く確率は？ ⇒ この問題に答えるときに、条件つき確率と乗法定理が用いられている。（解） 1番目の人当たり A1 はずれ A2 2番目の人当たり B1 はずれ B2 とする。 1番目の人が当たりとわかったあとで、2番目の人も当たりくじを引く確率は ○○××× P( B1 | A1 )  1 4 1番目の人がはずれとわかったあとで、2番目の人が当たりくじを引く確率は ○○××× P( B1 | A2 )  2 1  4 2 よって、2番目の人が当たりくじを引く周辺確率は P(B1 )  P(A1  B1 )  P(A2  B1 )  P(A1 )  P( B1 | A1 )  P(A2 )  P( B1 | A2 ) 2 1 3 1 1 3 2        5 4 5 2 10 10 5 B1 B2 計 A1 A2 計 P(A 1∩Ｂ1) P(A 2∩Ｂ1) P(Ｂ1) となる。（これは1番目の人がくじを引く前の確率と考えられる）さらに、次のようなことを考える。（例） 2番目に引く人があたりくじを引いたとき、1番目に引いた人があたりを引いた確率は？（解） 2番目に引く人があたりを引いたという条件のもとで、1番目の人があたりを引く条件つき確率なので P( A1 | B1 ) を求めればよい。この条件つき確率は P(A1 | B1 )  として求めることができる。 P(A1  B1 ) P(B1 ) これはさらに P(A1  B1 ) P(A1 )  P( B1 | A1 )  P(B1 ) P(A1 )  P( B1 | A1 )  P(A2 )  P( B1 | A2 ) と変形することによって、 2 1 1  1 5 4 P(A1 | B1 )   10  2 1 3 1 2 4    5 4 5 2 5 と計算できる。 ※ ベイズの定理 • 条件つき確率P(A1|B1)は、周辺確率P(A1)と条件つき確率P(B1|A1)を用いて次のように求めることが可能であった。 P(A1 | B1 )  P(A1 )  P( B1 | A1 ) P(A1 )  P( B1 | A1 )  P(A2 )  P( B1 | A2 ) この定理をベイズの定理という。ベイズの定理は、A1についての事前確率P(A1)が事象B1がおこったことによって、事後確率P(A1|B1)に更新されたと解釈することができる。（ここでは、1番目の人が当たりを引いた確率が、2番目の人が当たりくじを引いたことがわかることによって更新される）この考え方は、迷惑メールのフィルタなどにも応用されている。次のような例を考えてみよう（森田優三(1993)『新統計概論』p.361より引用）（例）ある銀行で貸出金が貸倒れ（返済されないこと）になる確率は5%である。あるとき、この銀行が新しい審査基準を設けた。この審査基準を過去の借り手に適用すると、貸倒れにおわった借り手の20%はこの審査に合格、順当に返済した借り手は90%が合格であった。この審査に合格した新しい借り手が貸倒れにおわる確率はいくらか。（解）貸出金が審査にとする。貸倒れ A1 合格 B1 完済 A2 不合格 B2 求める確率はP(A1|B1)である。例の設定から次のようなことがわかる P(A1)=0.05、 P(A2)=0.95 P(B1|A1)=0.2、 P(B1|A2)=0.9 ベイズの定理を用いてP(A1|B1)を求めると P (A1 | B1 )   P (A1 )  P( B1 | A1 ) P (A1 )  P( B1 | A1 )  P (A2 )  P( B1 | A2 ) 0.05 0.2 0.01   0.01156 0.05 0.2  0.95 0.9 0.01 0.855 となる。貸倒れの事前確率P(A1)= 0.05が審査という追加情報によって、 P(A1|B1)＝0.012という事後確率に更新されたと解釈できる。