ジャンプリスクと再建型倒産を考慮した最適資本構成モデル
5208C049-4 中林貢
指導教員
大野髙裕
プロフィットデザイン研究
NAKABAYASHI Mitsugu
1. 研究目的
然の清算を表現するため，資産価値と EBIT をジャンプ
企業の資金調達方法は間接金融から直接金融へと移行
拡散過程で表現し，再建型倒産を考慮した，最適資本構
が進んでいる．従来の間接金融においては，銀行との関
成モデルを構築する．これにより，資産価値の突発的変
係性が重視されてきたが，直接金融においては，投資家
動や再建型倒産、突然の清算型倒産が最適資本構成に及
が企業価値を一つの指標として投資先を選択しているた
ぼす影響を分析することを目的とする．
め，経営者は今まで以上に企業価値を意識した経営が求
められてきている．それに伴い，企業価値に大きな影響
を及ぼす要因である資本構成が大きな注目を集めている．
株主資本に対し負債を増加させると，金利支払による節
税効果を多く享受することができ，企業価値は増加する．
一方，負債の増加は企業が倒産する可能性を高めるため，
倒産コストが大きくなり，企業価値を下げる要因ともな
2. 従来研究
2.1. Leland [1]
Leland [1] は，コンソル債を発行する企業を仮定し，そ
の企業の時刻 t における資産価値 Vt が，
dVt
= µdt + σdWt
Vt
(1)
る．そこで，経営者はこのトレードオフの関係を考慮し，
なる幾何ブラウン運動に従うとし，この資産価値 Vt が清
企業価値最大化を達成する最適資本構成を決定する必要
算型倒産境界を下回ると企業は清算するいう，清算型倒
がある．
産の構造をモデル化している．これにより，株式価値，負
最適資本構成の決定には，倒産コストの導出が不可欠
債価値，総企業価値を資産価値の派生商品として解析的
なため，将来の企業の倒産を構造的に捉える必要がある．
に算出し，さらには最適レバレッジを導出している．こ
代表的な最適資本構成の研究である Leland [1] では，確率
こで，清算型倒産境界 VL は株式価値 E を最大化するよ
過程で表現された資産価値が清算型倒産境界を下回ると，
う，スムース・ペースティング条件
¯
∂E(Vt ; VL ) ¯¯
=0
¯
∂Vt
Vt =VL
企業は即時に清算すると仮定している．しかし，倒産に
は清算型倒産に加え，倒産後も企業を継続させ，企業の
再建を図るという再建型倒産が存在する．近年倒産を申
請した上場企業において，再建型倒産を申請した企業は 8
(2)
より，内生的に決定される．ただし，µ は期待収益率，σ
割以上にのぼるため，適切な倒産コストを導出するため
はボラティリティ，Wt は標準ウィナー過程である．
には再建型倒産を考慮する必要がある．また，Leland [1]
2.2. Broadie et al. [2]
では資産価値のみを原資産としているが，これでは企業
Broadie et al. [2] は，コンソル債を発行する企業を仮定
のキャッシュフローを捉えることができず，節税効果を適
し，その企業の時刻 t における資産価値 Vt が，リスク中
切に表現することができない．そのため，EBIT1 と資産
立確率測度 Q の下で，
価値の関係式を用い，EBIT と資産価値の両方を原資産と
する必要がある．さらに，市場から推定される資産価値
には突発的な変動が存在する．しかし，従来の研究では
この特徴を捉えていないため，倒産コストを過小評価し
ている可能性がある．また，資産価値の突発的変動を導
入しない場合，再建型倒産を考慮した際に，企業が突然
清算型倒産を申請するという事象を表現することができ
ない．
そこで本研究では，資産価値の突発的変動と企業の突
dVt
˜t
= (r − q)dt + σdW
Vt
(3)
なる幾何ブラウン運動に従うとし，再建型倒産境界 VB と
清算型倒産境界 VL (≤ VB ) を導入することで，再建型倒
産と清算型倒産の構造をモデル化している．それぞれの
境界は共に株式価値が最大化するよう，内生的に決定さ
れる．ただし，r は無リスク金利，q は株主と債権者への
˜ t は Q 下の標準ウィナー過程である．
支払率，W
Broadie et al. [2] では，原資産を連続である幾何ブラ
ウン運動に従うと仮定しており，企業が清算型倒産を申
1 Earnings
before interests and taxes の略で，税引前当期利益
に支払利息を加算したものを示す．
請するためには，それ以前の時刻において必ず再建型倒
産を申請していなければならない．したがって，企業が
本研究では，Broadie et al. [2] と同様に再建型倒産境
突然，清算型倒産を申請するという事象をモデル化でき
界 VB と清算型倒産境界 VL を導入する．資産価値 Vt が
ていない．
VB を下回ると，企業は再建型倒産を申請する．再建中は，
このモデルでは経路依存性が強いため，株主にとって
クーポン支払と配当は先送りされ，それぞれ At , St に蓄
最適な再建型倒産境界，清算型倒産境界を解析的に導出
積される．また，再建中には再建のための費用が，資産価
することはできない．したがって，Broadie and Kaya [3]
値に対する割合 ω だけかかる．Vt ≥ VB となり企業の再建
で提案されている 4 次元 2 項格子モデルを用いることで，
数値解を導出している．
が達成された場合，クーポン支払の一定割合 θ (0 ≤ θ ≤ 1)
が免除され，(1 − θ)At が St より債権者に支払われる．た
だし，St < (1 − θ)At の場合は，新株発行により資金調
3. 提案モデル
本研究では，原資産にジャンプ拡散過程を導入し，資
産価値の突発的変動を考慮する．また，Broadie et al. [2]
と同様に，再建型倒産境界，清算型倒産境界の 2 種類の
倒産境界を設定することで，再建型倒産と清算型倒産を
区別する．本研究では Broadie et al. [2] とは異なり，原
資産にジャンプ拡散過程を用いることで原資産が不連続
となるため，以前に再建型倒産を申請していない企業が，
突然清算型倒産を申請することを表現することも可能と
なる．これにより，倒産コストが過小評価されてしまう
従来の最適資本構成モデルを拡張する．
クーポン C のコンソル債を発行する企業を仮定する．
この企業の時刻 t における資産価値 Vt は，リスク中立確
率測度 Q の下で，ジャンプ拡散過程
(4)
に従うとする．ただし，Nt はジャンプ強度 λ を持つポア
ソン過程であり，確率変数 Y は，
³
ln Y ∼ N µJ , σJ2
´
に従う．また，ジャンプ幅の平均 K は，
¶
µ
1
K ≡ E[Y − 1] = exp µJ + σJ2 − 1
2
(5)
在し，猶予期間 G を過ぎても再建が達成されない場合，
企業は清算される．また，猶予期間内においても，資産
価値 Vt が VL を下回った場合には，企業は清算型倒産を
申請する．本研究においては，資産価値 Vt がジャンプ拡
散過程に従っているため，資産価値が下方に大きくジャ
ンプした場合は，資産価値 Vt が再建型倒産境界 VB と清
算型倒産境界 VL を下回り，企業が突然清算される．企業
が清算されると，債権者には回収率 (1 − α) (0 ≤ α ≤ 1)
3.2. 定式化
上記の設定より At ，St は，
rAt dt + Cdt
dAt = −At−
0
rSt dt + δt dt
dSt = −St−
0
Vt > VB
VL < Vt < VB
(10)
Vt = VB
Vt > VB
D(t, δt )，総企業価値 F (t, δt ) はそれぞれ，
E(t, δt ) = E
Q
(7)
"Z
τtL
t
h
e−r(s−t) (1 − κ)(δs − C)1{Vs ≥VB }
− (1 − κ)ωVs 1{VL <Vs <VB }
D
+ (1 − κ)(Ss− − θAs− )δ (s −
EBIT δt は，リスク中立確率測度 Q の下で，
τtB )
#
i
ds
(11)
(8)
に従う．
クーポン支払後の EBIT, δt − C は全て株主に配当さ
れる．ただし，δt < C の場合は，新株発行により資金を
調達し，クーポン支払を行なう．また，実効税率は κ と
する．
(9)
Vt = VB
これより，時刻 t における株式価値 E(t, δt )，負債価値
なる関係式が成り立つ．したがって，時刻 t における
dδt
˜ t + (Y − 1)dNt
= (r − q − λK)dt + σdW
δt
VL < Vt < VB
と表すことができる．
(6)
となる．ここで，将来に渡る EBIT δt の総和の現在価値
が資産価値 Vt となるので，
·Z ∞
¸
δt
Vt = E
e−r(s−t) δs ds =
q
t
一方，再建には裁判所より定められた猶予期間 G が存
だけ弁済される．
3.1. 設定
dVt
˜ t + (Y − 1)dNt
= (r − q − λK)dt + σdW
Vt
達を行ない，(1 − θ)At を支払う．
D(t, δt ) = EQ
"Z
τtL
t
h
e−r(s−t) C1{Vs ≥VB }
i
+ θAs− δ D (s − τtB ) ds
−r(τtL −t)
+e
(1 − α)(Vτ L + Sτ L )
t
t
#
(12)
F (t, δt ) = E(t, δt ) + D(t, δt )
"Z L
h
τt
Q
e−r(s−t) (δs − κδs + κC)1{Vs ≥VB }
=E
t
− (1 − κ)ωVs 1{VL <Vs <VB }
+ (Ss− − κSs− + κθAs− )δ
L
+ e−r(τt
−t)
D
(s − τtB )
(1 − α)(Vτ L + Sτ L )
t
t
#
表 1. 基本パラメータ
パラメータ
値
パラメータ
値
V0
100
ω
0
r
0.05
q
σ
κ
0.04
0.2
0.15
λ
µJ
σJ
0.03
0
0.5
θ
0.5
T
G
50
2
i
ds
(13)
と表すことができる．ここで，企業が再建型倒産を申請
する時刻 τtB ，清算型倒産を申請する時刻 τtL はそれぞれ，
τtB = sup {s ≤ t : Vs = VB }
τtL = τtd ∧ τtVL ∧ ∞
(14)
(15)
n
o
= inf s ≥ t : s − τsB ≥ G, Vs ≤ VB
τtVL
= inf {s ≥ t : Vs = VL }
Broadie and Kaya [3] と同様に 4 次元格子モデルを用い
る．また，本研究では原資産にジャンプ拡散過程を用い
ているため，2 項格子モデルではなく，Amin [4] の提案
する多項格子モデルを用いる必要がある．ここで，本研
で表される．ただし，(15) 式における τtd ，τtVL は
τtd
C は一定であり，At = gC という等式が成り立つため，
(16)
(17)
である．また，δ D (・) は Dirac のデルタ関数である．
企業は，発行した新株を株主に引き受けてもらうこと
究の多項格子モデルにおいては，リスク中立確率を，
h
p i 1
(22)
P Vt+4t − Vt = α 4 t ± σ 4t = (1 − λ 4 t)
2
h
i
p
P Vt+4t − Vt = α 4 t + xσ 4t; x 6= ±1 = λ 4 tdN(x)
(23)
と設定する．ただし，
で新たに資金を調達することができ，その資金でクーポ
α = (r − q) −
ンを支払うことができる限り，倒産は行なわない．つま
り，企業の倒産の意思決定は株主が行なう．したがって，
最適な再建型倒産境界 VB∗ と清算型倒産境界 VL∗ は，株主
価値を最大化するように決定されるため，
VB∗ = arg max E (t, δt , VB )
¡
¢
VL∗ = arg max E t, δt , VB∗ , VL
(18)
(19)
と表現することができる．
最適資本構成を導出するため，企業にとって最適とな
るクーポン C ∗ を求める．C ∗ は総企業価値を最大化する
ように決定されるため，
∗
C = arg max F
¡
¢
t, δt , VB∗ , VL∗ , C
(20)
となる．
D (t, δt , VB∗ , VL∗ , C ∗ )
¡
¢
F t, δt , VB∗ , VL∗ , C ∗
であり，また，
0
¡
¡
¢ √ ¢
N α 4 t + 1 + 12 σ 4t
¡
¡
¢ √ ¢
dN(x) =
− N α 4 t − 1 + 12 σ 4t
¡
¡
¢ √ ¢
N α 4 t + x + 12 σ 4t
¡
¡
¢ √ ¢
− N α 4 t + x − 12 σ 4t
(24)
x = ±1
x=0
x 6= 0, ±1
(25)
である．ジャンプ幅が ±3σJ の外側の格子に関しては，推
移する確率が極めて低いため，Amin [4] と同様に ±3σJ
内の最端の格子で近似する．詳細は本論を参照されたい．
4. 数値実験
となる．したがって，最適レバレッジ L∗ は，
L∗ =
1 2
σ − λK
2
4.1. パラメータ
(21)
3.3. 解析
本研究では経路依存性が強く，解析的に解を導出する
ことができないため，格子モデルにより数値解を導出す
数値実験で用いる基本パラメータは，Broadie et al. [2]
にならい，表 1 のように設定する．ここで，本研究では
企業がコンソル債を発行していると設定し，無限満期を
仮定しているが，解析において多項モデルを使用するた
め，満期 T を便宜的に設定する必要がある．そのため本
項では，計算精度が落ちない，十分大きな値として満期
る．まず，資産価値が再建型倒産境界未満の部分に関し
T = 50 を設定する．
ては，時刻 t と資産価値 Vt に加え，再建にかかっている
4.2. 実験方法
時間 g ，再建中に累積されたクーポン At ，再建中に累積
された配当 St が状態変数となる．ここで，常にクーポン
まず，基本パラメータを用い，Leland [1] のモデル，
Broadie et al. [2] のモデル，本研究のモデルの比較を行な
表 2. 実証
λ
L∗
LA
東証 大型株（キャノン）
0.05
62.4%
0.3%
東証 中型株（明電舎）
東証第二部（日本精機）
0.06
0.08
0.12
60.9%
56.9%
50.9%
39.2%
13.3%
23.0%
東証マザーズ（シコー）
0.15
41.2%
81.4%
対象企業
東証 小型株（理研計器）
図 1. 従来研究との比較
最適資本構成に大きな影響を及ぼすということがわかる．
表 2 より，ジャンプリスクが低く安定している大型企
業ほど実際のレバレッジは最適値よりも低く，一方，ジャ
ンプリスクが高く不安定な小型企業ほど実際のレバレッ
ジは最適値よりも高くなるということがわかる．これは，
安定な企業は内部留保を貯める力があり，ファイナンシ
ング・コストを削減するために内部留保を厚くする傾向
図 2. λ による最適資本構成の変化
う．ここで，本研究のパラメータ σ に関しては，Broadie
et al. [2] のモデルと 2 次モーメントを一致させるように
設定している．比較結果は図 1 である．次に，最適資本
構成に対するジャンプリスクのみの影響を分析するため，
資産価値 Vt の 2 次モーメントを一定としたまま λ を変化
させ，感度分析を行なう．結果は図 2 である．
さらに，ジャンプリスクが異なる実際の企業からパラ
メータを推定し，実際のレバレッジ LA と最適なレバレッ
があるからであり，一方，不安定な企業は投資不適格と
格付けされ，公募増資が困難である場合が多く，資金調
達の多くを負債でまかなわざるを得ないからであると考
えられる．
6. 結論
本研究では，資産価値と EBIT を原資産とし，ジャン
プリスクと再建型倒産を考慮した最適資本構成モデルを
構築した．これにより，従来研究では考慮されていなかっ
た，資産価値の突発的変動と企業の突然の清算を考慮し，
ジ L がどの程度異なるのかを分析する．ジャンプリス
適切に倒産コストと節税効果を織り込んだ最適なレバレッ
クと企業の規模には大きな相関があるため，対象企業は，
ジを導出することができた．その結果，ジャンプリスク
東証規模別株式指数の大型株，中型株，小型株，東証第
導入による影響の中でも，企業が突然清算型倒産を申請
二部株式指数，東証マザーズ指数の構成銘柄より選択す
するという事象を考慮することが，最適なレバレッジを
る．ただし，業界によりジャンプリスクが異なるため，す
大幅に下げるということがわかった．
べて製造業に属する企業を選択する．結果は表 2 である．
7. 今後の課題
∗
5. 考察
図 1 より，本研究ではジャンプリスクを考慮すること
• エージェンシーコストの導入
• 両側指数ジャンプ拡散過程導入による原資産の改良
で，従来研究と比較し，より低いレバレッジが最適となっ
参考文献
ていることがわかる．これには 2 つの要因が考えられる．
[1] Leland, H. E.:
第一に，株式価値はコールオプションの買い型のペイオ
Covenants, and Optimal Capital Structure,” Journal of
“Corporate Debt Value, Bond
フ，負債価値はプットオプションの売り型のペイオフを
Finance, Vol.49, No.4, pp.1213-1252 (1994)
持つため，資産価値の突発的変動を考慮することで，株
[2] Broadie, M., Chernov, M., Sundaresan, S.: “Optimal
式価値は大きくなり，負債価値は小さくなる．そのため，
Debt and Equity Values in the Presence of Chapter 7 and
レバレッジ L = D/(E + D) は低くなる．第二に，本研究
Chapter 11,” Journal of Finance, Vol.62, No.3, pp.1341-
ではジャンプリスクを考慮することで，突然の清算を考
1377 (2007)
慮している．そのため，倒産コストが増加し，低いレバ
[3] Broadie, M. and Kaya, O.:
レッジが最適となる．また，図 2 より，ジャンプリスクを
Method for Pricing Corporate Debt and Modeling Chap-
考慮していない λ = 0 と比較し，僅かでもジャンプリス
ter 11 Proceedings,” Journal of Finance and Quantitative
“A Binomial Lattice
クを考慮している λ = 0.01 は最適レバレッジが大幅に低
Analysis, Vol.42, No.2, pp.279-312 (2007)
いことが見てとれる．これは，ジャンプリスクを考慮す
[4] Amin, K. I.: “Jump diffusion option valuation in dis-
ることで，突然の清算が織り込まれたためであると考え
crete time,” Journal of Finance, Vol.48, No.5, pp.1833-
られる．したがって，企業の突然の清算型倒産の申請は
1863 (1993)
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