制御工学 12 8. フィードバック制御系の設計法 第 8 章 :フィードバック制御系の設計法 8.1 設計手順と性能評価 8.1 設計手順と性能評価 キーワード : 設計手順,性能評価 制御系の設計手順 8.2 PID 補償による制御系設計 キーワード : P(比例),I(積分),D(微分) レギュレータ問題(定置制御) :一定の値に保持 (制) 8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計 キーワード : 位相遅れ補償,位相進み補償 人工衛星の姿勢制御など 学習目標 : 一般的な制御系設計における手順と制御系 の性能評価について学ぶ.ループ整形の考 え方を用いて, 位相遅れ補償,位相進み補償 による制御系設計を習得する. 制御系の設計手順 [ステップ1] 制御対象の数学的 モデルを求める. 制御対象 航空機の自動操縦など 実現 http://spaceinfo.jaxa.jp/gallery/ gallery-j/movie_alflex_j.html 1 • センサ・アクチュエータの選択・配置 • 制御量・操作量の決定 • 動作環境・拘束条件の分析… など コントローラ 光センサ 紙の上の世界 現実の世界 2 ( 広い意味では ) 設計 コントローラ [ステップ3] :目標値に良好に追従 (御) 数学的 モデル モデリング 実装 [ステップ2] 制御目的から, 性能仕様を決める. サーボ問題(追従制御) 性能仕様 制御目的 http://edu.jaxa.jp/materialDB/list.php? category=theme&node_id=10000000 性能仕様を満たすように, コントローラを設計する. [ステップ4] シミュレーションにより, 設計された制御系を評価する. 必要なら ば以上のステップを繰り返し設計をやり直す. LEGO [ステップ5] コントローラを実装し, ハードウェアを用いてテストする. タッチセンサ 3 制御系の性能評価 制御系の性能評価 定常特性 定常特性 過渡特性 過渡特性 定常特性(§4.2 ) L( s) = P( s) K ( s) d =0 u + r + e P(s) K (s ) 1 es = 1 + L ( 0) y 1 1+ K p ∞ ∞ 1型 0 1 Kv ∞ 0 0 遅れ時間 Td 1 Ka 行過ぎ時間 T p 1 y(t ) 0型 2型 過渡特性 時間応答に基づく性能評価(§3.4 ) Tp 1.5 r (t ) = t 2 / 2 0 オーバーシュート Amax es 0.5 5 t 10 図4.4 定常位置偏差 Amax 15 5 ± 2% 1 0. 9 0.5 整定時間 Ts 減衰比 0 速応性 減衰特性 に基づく性能評価 立上り時間 Tr 表4.1 制御系の型と定常偏差 r (t ) = t 周波数応答 − K p : 位置偏差定数 K p = L(0) 制御系の型 r (t ) = 1 時間応答 y (t ) es : 定常位置偏差 4 Td Ts 0.1 t Tr 図3.10 過渡応答と諸特性値 1 6 制御工学 12 制御系の性能評価 定常特性 制御系の性能評価 時間応答 過渡特性 周波数応答 過渡特性 時間応答に基づく性能評価(§3.3 ) ω n :自然角周波数 ωn2 2次系 P = 2 s + 2ζω n s + ωn2 ζ :減衰係数(2次系) y(t) × ζ = 0. 1 1 .5 − ωn 1 過渡特性 Im ωn ωn 1 − ζ 2 Re 図3.8 2次系の極の位置 × × × × × × × × × × × 7 制御系の性能評価 定常特性 過渡特性 Re K (s ) 時間応答 閉ループ 周波数応答 開ループ 定常特性 過渡特性 伝達関数に基づく性能評価 (速応性):ゲイン交差周波数 ω gc 3dB 速応性 ピークゲイン M r : M r = 1.1 ~ 1.5 ( M r = 1.3) 減衰特性 共振周波数 ω r ω bw (減衰特性):位相余裕 ωr 感度関数 S についても: M r (< 2) PM Im ω gc ≤ ω bw (PM ≤ 90°) −1 PM ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ PM ≥ 2 sin −1 ⎜⎜ ⎝ 2M r ⎠ P G O Re 経験的指針 追従制御 : PM = 40 ~ 60°, GM = 10dB ~ 20dB 図8.1 閉ループゲイン特性 定置制御 : PM ≥ 20°, GM = 3dB ~ 10dB 9 制御系の性能評価 LTIview ボード線図 1 GM [ゲイン/位相]交差周波数 1 1 倍 2 閉ループ 開ループ 伝達関数に基づく性能評価 安定余裕 [ゲイン余裕 / 位相余裕] | T ( jω ) | y P (s ) 時間応答 周波数応答 開ループ伝達関数に基づく性能評価(p.148) Mr バンド幅 ω bw : − 3dB 8 図3.9 極の位置とインパルス応答 制御系の性能評価 閉ループ伝達関数に基づく性能評価(p.147) | T (0) |= 0 の場合 − × × 0 15 5 ω t 10 n 図3.7 2次系のステップ応答 + 速応性 減衰特性 に基づく性能評価 Im 0 0 r 時間応答 周波数応答 過渡特性 時間応答に基づく性能評価(続き) (§3.4 ) θ − ζω n ζ =1 0 .5 定常特性 速応性 減衰特性 に基づく性能評価 2次系の場合 : PM ≈ 100 × ζ 10 PID制御の歴史 1922年 Minorsky : P,I,D 3項動作の着想 ナイキスト線図(ベクトル軌跡) 1936年 Callender : PIDの原型 1942年 Ziegler and Nichols : PID制御の調整法の提案 その後のPID制御の調整法 ステップ応答 閉ループゲイン特性 1949年 高橋 極・零点配置 荒木 光彦, システム/制御/情報, Vol. 50, No. 12, pp. 441-446, 2006 1950年 Hezebroek and Waerden 1951年 Wolfe 1952年 Chien, Hrones and Reswick 1953年 Cohen and Coon 11 1967年 Lopez, Miller, Smith and Murrill 12 2 制御工学 12 PI 補償 8.2 PID補償による制御系設計 (偏差の) 比例(Proportional) e r +u 積分 +− 積分(Integral) 微分(Derivative) y 制御対象 + + 微分 PID制御 図8.2 PID 補償 − 20dB/dec, KI s ⎛ 1 ⎞ ⎟⎟ = K P ⎜⎜1 + T Is⎠ ⎝ K TI = P (積分時間) KI 20 log K P 位相 ∠K PI ( jω ) − 90 低周波: − 20dB/dec, ・定常位置偏差を(必ずしも) 0 にできない ( 積分器が必要 :型 ) 不安定になり得る 13 PD 補償 [ 例 8.1 ] K P = 10, PI P 0 ω gc = 1.0 − 20 −2 100 ( s + 1)( s + 10) PI 補償 PID 補償 コントローラ KI + KDs s ⎛ ⎞ 1 = K P ⎜⎜1 + + TD s ⎟⎟ ⎝ TI s ⎠ KP (積分時間) KI K TD = D (微分時間) KP 2 PI 0.2 0 1 2 3 t [s] 4 図8.4 開ループゲイン とステップ応答 5 15 K ' PD = [ 例 8.2 ] 20 log | K PID ( jω ) | [dB] 制御対象 10 P( s) = ( s + 1)( s + 10) コントローラ K K PID ( s ) = K P + I + K D s s 1 ( s + 1)( s + 10) = s 4 K P = 2.75, K I = 2.5, K D = 0.25 2.5 LPID = PK PID = s 定常特性: L(0) = ∞ 位相 1 TD N TD ω [ rad / s] ∠K PID ( jω ) + 90 0 o o o ω [ rad / s] 図8.6 PID 補償のボード線図 定常特性と過渡特性を改善 17 + 20dB/dec K′PD 位相 ∠K PD ( jω ) + 90 N T D ω [ rad / s] 1 TD K PD o K′PD 0o ω [ rad / s] 図8.5 PD 補償のボード線図 K P (1 + TD s ) 1 + (TD / N ) s ( −3 ≤ N ≤ 20) ゲイン − 20dB/dec + 20dB/dec K PD 20 log K P [注] 理想的な微分器は実現困難 0 − 90 20 log NK P “ 偏差が増加(減少)しつつ あるとき, その先を見越して 操作量を大きく(小さく)する ” es 0.8 0.4 K PD ( s) = K P + K D s = K P (1 + TD s ) K TD = D (微分時間) KP 20 log | K PD ( jω ) | [dB] 過渡特性の改善 0.6 K PID ( s ) = K P + TI = 10 10 ω [rad / s] P 1 y (t ) s +1 1 = 1+ KI = 1 s s 10 = PK PI = s ( s + 10) 定常偏差 = 0 低周波ゲインが大きい ( しかし応答は遅い) 交差周波数が低い K PI = 0 10 KP = 1 ゲイン コントローラ 20 ω [ rad / s] 14 16 40 ゲイン [ dB ] P 補償 LP = PK P = 40 ゲイン [ dB ] 10 制御対象 P( s ) = ( s + 1)( s + 10) 1 TI o “偏差が残っている限り, これが 積分されて操作量に反映される” PI 20 PID P 0 − 20 ω gc = 2.5 − 40 − 60 −2 10 0 10 10 ω [rad / s] 2 PID P 1 0.8 y (t ) ・ゲインの増大 ω [ rad / s] 図8.3 PI 補償のボード線図 ゲイン大,ω → 0 で ∞ K P ( s ) = K P 比例ゲイン ( 定数 ) コントローラ 1 TI o 0 定常特性の改善 P 補償 LPI 20 log | K PI ( jω ) | [dB] K PI ( s ) = K P + PID 補償 比例 ゲイン コントローラ 0.6 0.4 低周波ゲインが大きい 0.2 過渡特性(速応性): ゲイン交差周波数 ω gc PI 補償と比べて高い 0 PI 0 1 2 3 t [s] 4 図8.7 開ループゲインと ステップ応答 5 18 3 制御工学 12 [ 例 8.2 ](続き) PID チューニング (調整) 定常特性: 低周波ゲインが大きい 過渡特性(速応性): 位相余裕 PM PM を十分に確保する ~ P (s) = (1) 限界感度法 P 限界ゲイン K u , − 20 0 10 10 ω [rad / s] 0 − 90 コントローラ KP P 0. 5 K u PI 0.45 K u Pu 1.2 0 10 ω [rad / s] 10 TD TI 0. 6 K u PID − 180 −2 10 0.5 Pu K = 17 4 3 限界ゲイン : K u 表 8.1 限界感度法 2 1 4 ⋅ 5s + 1 s 2 + 2 s + 4 限界周期 Pu − 40 90 位相 [° ] 減衰特性: 0 ω gc = 2.5 − 60 −2 10 ゲイン交差周波数 ω gc ω gc を大きくする 20 Ziegler and Nichols (1942) PID 2 1 0 y (t ) L ( 0) = ∞ ゲイン [ dB ] 40 PI K = 11 K =1 −1 −2 0 Pu 8 2 Pu 2 6 4 t 8 図 7.2 (b) 閉ループ系のステップ応答 19 (2) ステップ応答法 傾き K R = K T y (t ) プロセス応答曲線 [ 例 ] 限界感度法 減衰比: L R − Ls e s (無定位プロセス) 1 4 (ひとつの性能仕様) システム同定, 適応制御へ 限界周期 P( jω u ) K u = −1 ⇔ K u = −( jωu + 1) t [s ] T 表 8.2 ステップ応答法 KP P 1 RL PI 0.9 RL L 0.3 PID 限界ゲイン 2L 限界周期 Pu = KP P 0.5 K u PI 0.45 K u Pu 1.2 0.6 K u K P = 0.6 × K u = 4.8 2π ≈ 3.63 ωu TI 定常特性: TD L(0) = ∞ 0.5Pu 低周波ゲインが大きい Pu 8 過渡特性(速応性): TI = 0.5 × Pu ≈ 1.81 ゲイン交差周波数 ω gc TD = Pu / 8 ≈ 0.45 ω gc を大きくする 1 減衰特性: 位相余裕 PM PM を十分に確保する 0 0 5 10 t [s] 0 15 0 5 15 10 t [s] 20 22 [step3]性能評価 表 8.1 限界感度法 PID 1 0.5L 21 コントローラ −1 K u = 8, ωu = 3 1.2 RL Re Pu TD TI コントローラ Pu ≈ 3.63 K K PID ( s) = K P + I + K D s s ⎛ ⎞ 1 = K P ⎜⎜1 + + TD s ⎟⎟ ⎝ TI s ⎠ O K u = (3ωu2 − 1) − jωu (3 − ωu2 ) 図 8.8 プロセス反応曲線 [step2]PIDゲインの設定 限界ゲイン K u = 8 −1 3 20 23 50 ゲイン [ dB ] cf : P ( s ) = 1 安定限界のとき, (−1,0) を通過 0 y P (s ) K (s) [step1]限界ゲイン K u の設定 K − Ls P(s) = e 1 + Ts (定位プロセス) − 1 P( s) = ( s + 1) 3 T K + r ω gc = 1.4 0 − 50 − 100 −2 10 − 90 位相 [° ] “1次遅れ+むだ時間” で近似 20 0 10 ω [rad / s] 10 2 10 2 − 135 − 180 −2 10 PM = 30.3o 0 10 ω [rad / s] 24 4 制御工学 12 8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計 d + y P (s) + + + n u r + e K ( s) − 感度関数 S (s ) ⇒ 同時に 0 に近づける ことは出来ない 周波数帯を分ける 低周波数帯: S を小さくする • 低感度特性(パラメータ変動) : Δ y = SΔ P • 外乱抑制 : y = Sd ⇒ S (s) + T (s) = 1 拘束 高周波数帯: T を小さくする S ( s) = • 目標値追従: e = Sr 1 1 + P( s) K ( s) T ( jω ) | S ( jω ) | 相補感度関数 T ( s ) ω 0 [dB] ω 0 [dB] • 目標値追従 : y = Tr 26 【Key Points】 1 より, 低周波域で | L | を大きく (| L |>> 1) 1+ L ⇒S:小 T= 低周波ゲイン L(0) を大きくとる • 速応性: ⇒T : 小 • 減衰特性: 位相余裕 PM を確保する 20 log | L( jω ) | [dB] | L |<< 1 | L |<< 1 [o ] PM − 180 −1 ω [rad / s] − 180o ゲイン ゲインの傾きが急( − 40dB / dec 以下) ω gc 0 PM 位相 27 [dB] PM ω pc ω 28 【Key Points】 ω gc 2 型 − 40dB / dec 1 型 − 20dB / dec 0型 (低周波域) 開ループゲイン | L | を大きく • ゲインと位相の関係 (§5.4) • 最小位相系 偏差定数 K P , K v が大 位相 ω [rad / s] O ω GM 図8.9 ループ整形 好ましくない位相遅れ o − 20dB / dec → − 90 o 不安定 → − 180 − 40dB / dec ゲインω gc 0 dB ω gc (交差周波数付近) ω gc 0 [復習] 位相余裕 20 log | L( jω ) | 【Key Points】 L(0) | L |>> 1 ゲイン交差周波数 ω gc を高くする (閉ループ伝達関数から, 開ループ伝達関数へ) | L |>> 1 [dB] • 定常特性: L より, 高周波域で | L | を小さく (| L |<< 1) 1+ L 0 [dB] 相補感度関数 感度関数 ゲイン S= y = −Tn P(s) K ( s) 1 + P ( s ) K ( s )25 [o ] 1 PM 安定 − 180 1 定常偏差 : 小 1 + K , K v P 目標値 不安定 ゲイン • 雑音除去 : T (s) = 位相 • ロバスト安定性 : | W2T |< 1 位相 ⇒ 0 ω gc [o ] − 180 ステップ状 → 1型( 1 s を含む) ω [rad / s] 緩やかなゲインの傾き( − 20dB / dec ) − 20dB / dec ω [rad / s] ランプ状 → 2型( 1 s 2 を含む) 29 − 40dB / dec 30 5 制御工学 12 【Key Points】 ループ整形 ゲイン [dB] (高周波域) ω gc 0 • 定常特性: 低周波ゲイン L(0) を大きくとる • 速応性: ロール・オフ特性 : − 40 ~ −60dB/dec 以下 位相 ゲインω gc ω [rad / s ] − 180o 20 log K ( jω ) [dB] K (0) = αK , K (∞) = K PM − 180 −1 ω [rad / s] O PM 位相 ゲイン − 20dB / dec 20 log αK + 20 log α [dB] [o ] PM ω pc ω 32 位相遅れ補償とPI補償の比較 ゲイン 定常特性の改善 | L |<< 1 ω GM 31 (α > 1) ω gc 0 [復習] 位相余裕 0 dB コントローラ α (Ts + 1) K ( s) = K αTs + 1 位相 ゲイン交差周波数 ω gc を高くする [o ] L(0) | L |>> 1 • 減衰特性: 位相余裕 PM を確保する − 180 位相遅れ補償 [dB] ゲイン 【Key Points】 20 logα 1 αT 位相 1T ω [ rad / s] ∠K ( jω ) − 20dB / dec 20 log α 20 log K 20 log K 1 αT 位相 0o 1T ω o − 90 ω 位相遅れ補償器 K ( s) = K 折点角周波数 1 T を適切に 33 ω 0 o 図8.10 位相遅れ補償のボード線図 [注] 位相遅れ:(安定性の劣化の原因) 1T ∠K PI ( jω ) 0o ω [ rad / s] 1 αT 位相 ∠K ( jω ) o − 90 20 log K PI ( jω ) − 20dB / dec 20 log αK 20 log K ゲイン 20 log K ( jω ) α (Ts + 1) αTs + 1 − 90 o ω PI補償器 α → ∞ K ( s ) → K (1 + 1 ) = K PI ( s ) Ts 34 位相遅れ補償の設計手順 ゲイン [dB] 0 [ステップ1] 位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい 過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 K を決める. ω gc [ステップ2] [ステップ1]の K を用いて開ループ伝達関数のボード 線図を描き, その低周波ゲインを評価する. [ステップ3] 低周波ゲインが + 20 log α [dB] 上がることを考慮し, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ α の値を定める. o 位相 [] [ステップ4] 位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数 ω = 1 T をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように 選ぶ. もうひとつの折点角周波数を ω = 1 /(αT ) と定める. [ステップ5] 以上で設計パラメータ K ,α , T が定められたので, 位相 − 180 ω [rad / s] 35 遅れ補償を構成する. 36 6 制御工学 12 [ 例 8.3 ] [ステップ2] [ステップ1]の K を用いて開ループ伝達関数のボード 線図を描き, その低周波ゲインを評価する. 制御対象 性能仕様 10 速度偏差定数(定常特性) K v ≥ 10 P( s ) = s ( s + 1)( s + 10) 位相余裕(減衰特性) PM ≥ 40° 開ループ伝達関数 PM = 47° o PM ≥ 40° を満たす OK K =1 P 40 20 ω gc = 0.8 K v ' = lim sL' ( s ) 0 − 20 − 90 s →0 − 120 − 150 PM = 47 − 180 性能仕様は K v ≥ 10 o 10 10 10 ω [rad / s] 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性37 [ステップ3] 低周波ゲインが + 20 log α [dB] 上がることを考慮し, 定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ α の値を定める. 20 log α 20 log K 1 αT 位相 1T ω [rad / s] ∠K ( jω ) 0o o − 90 o 40 20 ω gc = 0.8 P − 90 PM = 47 o 10 10 10 ゲイン交差周波数 ω gc = 0.8 位相余裕 PM ≥ 40o 位相 [ ] ゲイン [dB] 1 / αT o − 90 − 150 10 10 o s →0 ω [rad / s] 10 41 10 1040 ω [rad / s] 1.5 K v = lim sL( s ) = PM ≥ 40° 10 10 10 1 = 10 0.1 ω gc ≈ 0.8 1 0.5 0 10( s + 0.1) = s ( s + 0.01)( s + 1)( s + 10) PM = 40.7o PM = 47 PM = 47 o − 180 L( s ) = P ( s ) K ( s ) − 90 − 180 10 ω gc = 0.8 P L' 性能仕様 ω gc = 0.8 P − 120 − 150 10 ω [rad / s] − 120 [CHECK] 1/ T L L' 10 0 − 20 1039 ω [rad / s] 位相余裕(減衰特性) PM ≥ 40 40 20 0 − 20 PM = 47 o − 180 40 20 速度偏差定数(定常特性) K v ≥ 10 α (Ts + 1) αTs + 1 10(10 s + 1) 10 ⋅10s + 1 s + 0 .1 = s + 0.01 o ω [ rad / s ] 位相遅れ補償 K ( s) = 1⋅ 1/ T − 180 [ステップ5] 以上で設計パラメータ K ,α , T が定められたので, 位相 遅れ補償を構成する. K = 1, α = 10, T = 10 1 / αT [o ] − 120 ω [rad / s] K ( s) = K ω gc 0 0 − 20 − 180 − 150 T = 10 (ω = 0.1) と選べば,ゲイン交差周波数 ω gc より十分に小さい. 1 1 = 0 .1 折点角周波数 = 0.01, T αT 1/ T 1 / αT [dB] L' − 150 − 90 − 120 図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性 38 位相 − 20dB / dec 20 log αK ω gc = 0.8 P 10 低周波ゲイン10倍以上必要 ゲイン L' [ステップ4] 位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数 ω = 1 T をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように 選ぶ. もうひとつの折点角周波数を ω = 1 /(αT ) と定める. 20 log α [dB] 位相 [ ] ゲイン [dB] α = 10 ゲイン 20 log K ( jω ) [dB] o 10 = lim =1 s → 0 ( s + 1)( s + 10) 10 低周波ゲイン10倍で 速度偏差定数 K v = 10 速度偏差定数 40 20 0 − 20 y(t ) 位相余裕 ( K = 1) OK 0 10 20 t [s] ステップ応答 30 20 y(t ) ω gc ≈ 0.8 [rad/sec] 10 s ( s + 1)( s + 10) 位相 [ ] ゲイン [dB] 位相 [ ] ゲイン [dB] ゲイン交差周波数 L′ = PK = 位相 [ ] ゲイン [dB] [ステップ1] 位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい 過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 K を決める. 10 OK ステップ応答, ランプ応答 OK 0 0 10 t [s] ランプ応答 20 42 7 制御工学 12 位相進み補償 コントローラ K (s) = K ゲイン 20 log K ( jω ) [dB] Ts + 1 (α < 1) αTs + 1 過渡特性の改善, 安定化 + 20dB / dec 制御対象 P(s ) 20 log( K / α ) Lˆ = PK , 20 log K 位相 ∠K ( jω ) 1 1 <ω < T αT 位相進み 20 log(K / α ) ベクトル軌跡で見る位相進み補償 1T ω max 1 αT 位相進み補償 Im −1 o 90 [注] 高周波ゲイン→大 0o ノイズ増幅 ロバスト安定性の劣化 位相進みの最大値 sin φmax ω [ rad / s] 1 図8.13 位相進み補償 αT のボード線図 1 − sin φmax 1−α ⇒α = = 1 + sin φmax 1+α 8章演習問題[4] 位相が最も進む角周波数 ω max = K =3 −1 Re ゲイン補償のみ K→大 K =2 Im Re Lˆ K = 10 φmax 位相余裕を増加させる K : ゲイン補償 位相進み補償 K =1 K =1 43 44 位相進み補償の設計手順 ゲイン [dB] [ステップ1] 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ω gc ω gc ゲイン補償 Kの値を決める. 0 〈 [ステップ2] [ステップ1]の K を用いて開ループ伝達関数 Lˆ ( s ) = KP( s ) のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する. 〈 〈 与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 φˆ = PM − PM が, 必要な位相進み量となる. o [] 位相 PM これに適当な(例えば 5° 以上の)余裕を考慮し, (φ max = φˆ + 5° 以上)と定める. − 180 [ステップ3] α = ω [rad / s] 1 − sin φmax から, パラメータ α の値を決める. 1 + sin φmax 45 [ 例 8.4 ] [ステップ4] 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが 1 α 倍に上がる. 制御対象 10 P( s) = s ( s + 1)( s + 10) [dB] )である角周波 そこで Lˆ ( jω ) が α ( = 20 log α 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数 ω max とおく. αT [ステップ1] 速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように, ゲイン補償 K の値を決める. から, パラメータ T の値を決める. ゲイン補償 K = 5 このとき位相進み補償の折点角周波数は, 1 / T = ω max 性能仕様 ゲイン交差周波数(速応性) ω gc ≥ 2 位相余裕(減衰特性) PM ≈ 40° 1 /(αT ) = ω max / α となる. α , 開ループ伝達関数 Lˆ ( s ) = [ステップ6] 以上で設計パラメータ K , α , T が定められたので, Ts + 1 K ( s) = K から, 位相進み補償を構成する. αTs + 1 50 s ( s + 1)( s + 10) ゲイン交差周波数 ωˆ gc = 2.1 > 2 47 ω gc ≥ 2 を満たす OK 位相 [ ] ゲイン [dB] [ステップ5] ω max = 1 46 o 40 Lˆ 20 0 − 20 ωˆ gc = 2.1 P − 40 − 90 − 120 − 150 − 180 10 PM = 13.6o 10 ω [rad / s] 図8.14 開ループ特性 10 48 8 制御工学 12 〈 φˆ = PM − PM = 40 − 13.6 = 26.4° o (必要な位相進み量) φmax = φˆ + 10° = 36.4° Lˆ 20 0 1 − sin φmax 1 + sin φmax ωˆ gc = 2.1 φmax = 36.4° P − 20 α = 0.255 − 40 − 90 o − 120 − 150 PM = 13.6o − 180 10 10 (マージン) ω [rad / s] 図8.14 開ループ特性 10 [ステップ5] ω max = 1 αT ω gc 0 位相 [ ] ゲイン [dB] ω max = 3.0 [dB] ゲイン 0 [dB] o [o ] 位相 PM Lˆ 20 0 − 20 − 40 − 90 ωˆ gc = 2.1 ωmax = 1 αT ⇒T = − 180 10 T = 0.660 ω [rad / s ] PM = 13.6o 10 ω [rad / s] 図8.14 開ループ特性 10 o 折点角周波数 1 1 = 1.52, = 5.94 T αT 0.66 s + 1 K ( s) = 5 ⋅ 0.255 ⋅ 0.66s + 1 19.6( s + 1.52) = s + 5.94 ゲイン交差周波数 ω gc = 3.0 位相余裕 PM = 38o 位相 [ ] ゲイン [dB] K = 5,α = 0.255, T = 0.660 40 o ωˆ gc = 2.1 L Lˆ 20 0 − 20 ωmax = 3.0 P − 90 − 150 − 180 10 10 50 1/ T 40 Lˆ 20 0 PM = 38o PM = 13.6o 10 1 / T 1 / αT 10 ω [rad / s] 図8.14 開ループ特性 53 1 / αT ωˆ gc = 2.1 P − 20 20 log α − 40 − 90 − 120 − 150 PM = 13.6o − 180 10 10 ω [rad / s] 図8.14 開ループ特性 10 52 ゲイン交差周波数(速応性) 位相余裕(減衰特性) PM ≈ 40° ω gc = 3.0 (= ω max ) OK − 40 − 120 10 ω [rad / s] 図8.14 開ループ特性 1.5 性能仕様 ω gc ≥ 2 Ts + 1 PM = 13.6o − 180 [CHECK] 位相進み補償 αTs + 1 − 150 51 [ステップ6] 以上で設計パラメータ K , α , T が定められたので, Ts + 1 K ( s) = K から, 位相進み補償を構成する. αTs + 1 K (s) = K − 40 − 90 − 120 1 α ωmax − 120 − 180 − 20 から, パラメータ T の値を決める. ωmax = 3.0, α = 0.255 P 20 log α − 150 ωˆ gc = 2.1 P 1 / T = ω max α , 1 /(αT ) = ω max / α となる. ωmax = 3.0 40 0 このとき位相進み補償の折点角周波数は, ωˆ gc = 2.1 20 log α [dB] Lˆ 20 10 [dB] )である角周波 そこで Lˆ ( jω ) が α ( = 20 log α 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数 ω max とおく. Lˆ ( jω max ) = α = 0.505 40 49 [ステップ4] 位相進み補償では最も位相が進む角周波数で, ゲインが 1 α 倍に上がる. に下がっている. (後で 0dB に上がる. ) Ts + 1 αTs + 1 位相 [ ] ゲイン [dB] 位相 [ ] ゲイン [dB] 性能仕様は PM ≈ 40° 40 α= 1 − sin φmax から, パラメータ α の値を決める. 1 + sin φmax PM ≅ 38° OK ステップ応答 OK y(t ) 〈 K (s) = K が, 必要な位相進み量となる. これに適当な(例えば 5° 以上の)余裕を考慮し, (φ max = φˆ + 5° 以上)と定める. 位相余裕 PM = 13.6o [ステップ3] α = 位相 [ ] ゲイン [dB] 〈 [ステップ2] [ステップ1]の K を用いて開ループ伝達関数 Lˆ ( s ) = KP( s ) のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する. 与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 φˆ = PM − PM 1 0.5 0 0 2 t [s] 4 54 9 制御工学 12 第 8 章 :フィードバック制御系の設計法 8.1 設計手順と性能評価 キーワード : 設計手順,性能評価 8.2 PID 補償による制御系設計 キーワード : P(比例),I(積分),D(微分) 第 8 章 :フィードバック制御系の設計法 次回 8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計 キーワード : ループ整形 8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計 キーワード : 位相遅れ補償,位相進み補償 学習目標 : 一般的な制御系設計における手順と制御系 の性能評価について学ぶ.ループ整形の考 え方を用いて, 位相遅れ補償,位相進み補償 による制御系設計を習得する. 55 学習目標 : ループ整形の考え方を理解する. 56 10
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