制御工学 12 1

制御工学 12
8. フィードバック制御系の設計法
第 8 章：フィードバック制御系の設計法
8.1 設計手順と性能評価
8.1 設計手順と性能評価
キーワード：設計手順，性能評価
制御系の設計手順
8.2 PID 補償による制御系設計
キーワード： P（比例），I（積分），D（微分）
レギュレータ問題（定置制御）
：一定の値に保持（制）
8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計
キーワード：位相遅れ補償，位相進み補償
人工衛星の姿勢制御など
学習目標：一般的な制御系設計における手順と制御系
の性能評価について学ぶ．ループ整形の考
え方を用いて, 位相遅れ補償，位相進み補償
による制御系設計を習得する．
制御系の設計手順
［ステップ１］
制御対象の数学的
モデルを求める.
制御対象
航空機の自動操縦など
実現
http://spaceinfo.jaxa.jp/gallery/
gallery-j/movie_alflex_j.html
1
• センサ・アクチュエータの選択・配置
• 制御量・操作量の決定
• 動作環境・拘束条件の分析… など
コントローラ
光センサ
紙の上の世界
現実の世界
2
（広い意味では）
設計
コントローラ
［ステップ３］
：目標値に良好に追従（御）
数学的
モデル
モデリング
実装
［ステップ２］
制御目的から,
性能仕様を決める.
サーボ問題（追従制御）
性能仕様
制御目的
http://edu.jaxa.jp/materialDB/list.php?
category=theme&node_id=10000000
性能仕様を満たすように, コントローラを設計する.
［ステップ４］
シミュレーションにより, 設計された制御系を評価する. 必要なら
ば以上のステップを繰り返し設計をやり直す.
ＬＥＧＯ
［ステップ５］
コントローラを実装し, ハードウェアを用いてテストする.
タッチセンサ
3
制御系の性能評価
制御系の性能評価
定常特性
定常特性
過渡特性
過渡特性
定常特性（§4.2 ）
L( s) = P( s) K ( s)
d =0
u +
r + e
P(s)
K (s )
1
es =
1 + L ( 0)
y
1
1+ K p
∞
∞
1型
0
1
Kv
∞
0
0
遅れ時間 Td
1
Ka
行過ぎ時間 T p
1
y(t )
0型
2型
過渡特性
時間応答に基づく性能評価（§3.4 ）
Tp
1.5
r (t ) = t 2 / 2
0
オーバーシュート Amax
es
0.5
5
t
10
図4.4 定常位置偏差
Amax
15
5
± 2%
1
0. 9
0.5
整定時間 Ts
減衰比
0
速応性
減衰特性
に基づく性能評価
立上り時間 Tr
表4.1 制御系の型と定常偏差
r (t ) = t
周波数応答
−
K p : 位置偏差定数 K p = L(0)
制御系の型 r (t ) = 1
時間応答
y (t )
es : 定常位置偏差
4
Td
Ts
0.1
t
Tr
図3.10 過渡応答と諸特性値
1
6
制御工学 12
制御系の性能評価
定常特性
制御系の性能評価
時間応答
過渡特性
周波数応答
過渡特性
時間応答に基づく性能評価（§3.3 ）
ω n ：自然角周波数
ωn2
2次系 P = 2
s + 2ζω n s + ωn2 ζ ：減衰係数（2次系）
y(t)
×
ζ = 0. 1
1 .5
− ωn
1
過渡特性
Im
ωn
ωn 1 − ζ 2
Re
図3.8 2次系の極の位置
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
7
制御系の性能評価
定常特性
過渡特性
Re
K (s )
時間応答
閉ループ
周波数応答
開ループ
定常特性
過渡特性
伝達関数に基づく性能評価
（速応性）：ゲイン交差周波数 ω gc
3dB
速応性
ピークゲイン
M r : M r = 1.1 ~ 1.5 ( M r = 1.3)
減衰特性
共振周波数 ω r
ω bw
（減衰特性）：位相余裕
ωr
感度関数 S についても： M r (< 2)
PM
Im
ω gc ≤ ω bw
(PM ≤ 90°)
−1
PM
⎛ 1 ⎞
⎟⎟
PM ≥ 2 sin −1 ⎜⎜
⎝ 2M r ⎠
P
G
O
Re
経験的指針
追従制御： PM = 40 ~ 60°, GM = 10dB ~ 20dB
図8.1 閉ループゲイン特性
定置制御： PM ≥ 20°, GM = 3dB ~ 10dB
9
制御系の性能評価 LTIview
ボード線図
1
GM
［ゲイン/位相］交差周波数
1
1
倍
2
閉ループ
開ループ伝達関数に基づく性能評価
安定余裕［ゲイン余裕 / 位相余裕］
| T ( jω ) |
y
P (s )
時間応答
周波数応答
開ループ伝達関数に基づく性能評価（p.148）
Mr
バンド幅
ω bw : − 3dB
8
図3.9 極の位置とインパルス応答
制御系の性能評価
閉ループ伝達関数に基づく性能評価（p.147） | T (0) |= 0 の場合
−
×
×
0
15
5 ω t 10
n
図3.7 2次系のステップ応答
+
速応性
減衰特性
に基づく性能評価
Im
0
0
r
時間応答
周波数応答
過渡特性
時間応答に基づく性能評価（続き）（§3.4 ）
θ
− ζω n
ζ =1
0 .5
定常特性
速応性
減衰特性
に基づく性能評価
2次系の場合： PM ≈ 100 × ζ
10
PID制御の歴史
1922年 Minorsky ： P，I，D 3項動作の着想
ナイキスト線図（ベクトル軌跡）
1936年 Callender ： PIDの原型
1942年 Ziegler and Nichols ： PID制御の調整法の提案
その後のPID制御の調整法
ステップ応答
閉ループゲイン特性
1949年高橋
極・零点配置
荒木光彦, システム/制御/情報,
Vol. 50, No. 12, pp. 441-446, 2006
1950年 Hezebroek and Waerden
1951年 Wolfe
1952年 Chien, Hrones and Reswick
1953年 Cohen and Coon
11
1967年 Lopez, Miller, Smith and Murrill
12
2
制御工学 12
PI 補償
8.2 PID補償による制御系設計
（偏差の）
比例（Proportional）
e
r
+u
積分
+−
積分（Integral）
微分（Derivative）
y
制御対象
+ +
微分
PID制御
図8.2 PID 補償
− 20dB/dec,
KI
s
⎛
1 ⎞
⎟⎟
= K P ⎜⎜1 +
T
Is⎠
⎝
K
TI = P （積分時間）
KI
20 log K P
位相
∠K PI ( jω )
− 90
低周波： − 20dB/dec,
・定常位置偏差を（必ずしも） 0 にできない（積分器が必要：型）
不安定になり得る
13
PD 補償
［例 8.1 ］
K P = 10,
PI
P
0
ω gc = 1.0
− 20
−2
100
( s + 1)( s + 10)
PI 補償
PID 補償
コントローラ
KI
+ KDs
s
⎛
⎞
1
= K P ⎜⎜1 +
+ TD s ⎟⎟
⎝ TI s
⎠
KP
（積分時間）
KI
K
TD = D （微分時間）
KP
2
PI
0.2
0
1
2
3
t [s]
4
図8.4 開ループゲイン
とステップ応答
5
15
K ' PD =
［例 8.2 ］
20 log | K PID ( jω ) | [dB]
制御対象
10
P( s) =
( s + 1)( s + 10)
コントローラ
K
K PID ( s ) = K P + I + K D s
s
1 ( s + 1)( s + 10)
=
s
4
K P = 2.75, K I = 2.5, K D = 0.25
2.5
LPID = PK PID =
s
定常特性： L(0) = ∞
位相
1 TD
N TD
ω [ rad / s]
∠K PID ( jω )
+ 90
0
o
o
o
ω [ rad / s]
図8.6 PID 補償のボード線図
定常特性と過渡特性を改善
17
+ 20dB/dec
K′PD
位相
∠K PD ( jω )
+ 90
N T D ω [ rad / s]
1 TD
K PD
o
K′PD
0o
ω [ rad / s]
図8.5 PD 補償のボード線図
K P (1 + TD s )
1 + (TD / N ) s
( −3 ≤ N ≤ 20)
ゲイン
− 20dB/dec + 20dB/dec
K PD
20 log K P
［注］理想的な微分器は実現困難
0
− 90
20 log NK P
“ 偏差が増加（減少）しつつ
あるとき, その先を見越して
操作量を大きく（小さく）する ”
es
0.8
0.4
K PD ( s) = K P + K D s
= K P (1 + TD s )
K
TD = D （微分時間）
KP
20 log | K PD ( jω ) | [dB]
過渡特性の改善
0.6
K PID ( s ) = K P +
TI =
10
10
ω [rad / s]
P
1
y (t )
s +1
1
= 1+
KI = 1
s
s
10
= PK PI =
s ( s + 10)
定常偏差＝ 0
低周波ゲインが大きい
（しかし応答は遅い）
交差周波数が低い
K PI =
0
10
KP = 1
ゲイン
コントローラ
20
ω [ rad / s]
14
16
40
ゲイン［ dB ］
P 補償
LP = PK P =
40
ゲイン［ dB ］
10
制御対象 P( s ) =
( s + 1)( s + 10)
1 TI
o
“偏差が残っている限り, これが
積分されて操作量に反映される”
PI
20
PID
P
0
− 20
ω gc = 2.5
− 40
− 60
−2
10
0
10
10
ω [rad / s]
2
PID
P
1
0.8
y (t )
・ゲインの増大
ω [ rad / s]
図8.3 PI 補償のボード線図
ゲイン大,ω → 0 で ∞
K P ( s ) = K P 比例ゲイン（定数）
コントローラ
1 TI
o
0
定常特性の改善
P 補償
LPI
20 log | K PI ( jω ) | [dB]
K PI ( s ) = K P +
PID 補償
比例
ゲイン
コントローラ
0.6
0.4
低周波ゲインが大きい
0.2
過渡特性（速応性）：
ゲイン交差周波数 ω gc
PI 補償と比べて高い
0
PI
0
1
2
3
t [s]
4
図8.7 開ループゲインと
ステップ応答
5
18
3
制御工学 12
［例 8.2 ］（続き）
PID チューニング（調整）
定常特性：
低周波ゲインが大きい
過渡特性（速応性）：
位相余裕 PM
PM を十分に確保する
~
P (s) =
（1）限界感度法
P
限界ゲイン K u ,
− 20
0
10
10
ω [rad / s]
0
− 90
コントローラ
KP
P
0. 5 K u
PI
0.45 K u Pu 1.2
0
10
ω [rad / s]
10
TD
TI
0. 6 K u
PID
− 180
−2
10
0.5 Pu
K = 17
4
3 限界ゲイン : K u
表 8.1 限界感度法
2
1
4
⋅
5s + 1 s 2 + 2 s + 4
限界周期 Pu
− 40
90
位相［° ］
減衰特性：
0
ω gc = 2.5
− 60
−2
10
ゲイン交差周波数 ω gc
ω gc を大きくする
20
Ziegler and Nichols （1942）
PID
2
1
0
y (t )
L ( 0) = ∞
ゲイン［ dB ］
40
PI
K = 11
K =1
−1
−2
0
Pu 8
2
Pu
2
6
4
t
8
図 7.2 （b）閉ループ系のステップ応答
19
（2）ステップ応答法
傾き
K
R =
K
T
y (t )
プロセス応答曲線
［例］限界感度法
減衰比：
L
R − Ls
e
s
（無定位プロセス）
1
4
（ひとつの性能仕様）
システム同定, 適応制御へ
限界周期
P( jω u ) K u = −1 ⇔ K u = −( jωu + 1)
t [s ]
T
表 8.2 ステップ応答法
KP
P
1 RL
PI
0.9 RL L 0.3
PID
限界ゲイン
2L
限界周期 Pu =
KP
P
0.5 K u
PI
0.45 K u Pu 1.2
0.6 K u
K P = 0.6 × K u = 4.8
2π
≈ 3.63
ωu
TI
定常特性：
TD
L(0) = ∞
0.5Pu
低周波ゲインが大きい
Pu 8
過渡特性（速応性）：
TI = 0.5 × Pu ≈ 1.81
ゲイン交差周波数 ω gc
TD = Pu / 8 ≈ 0.45
ω gc を大きくする
1
減衰特性：
位相余裕 PM
PM を十分に確保する
0 0
5
10
t [s]
0
15
0
5
15
10
t [s]
20 22
［step3］性能評価
表 8.1 限界感度法
PID
1
0.5L 21
コントローラ
−1
K u = 8,
ωu = 3
1.2 RL
Re
Pu
TD
TI
コントローラ
Pu ≈ 3.63
K
K PID ( s) = K P + I + K D s
s
⎛
⎞
1
= K P ⎜⎜1 +
+ TD s ⎟⎟
⎝ TI s
⎠
O
K u = (3ωu2 − 1) − jωu (3 − ωu2 )
図 8.8 プロセス反応曲線
［step2］PIDゲインの設定
限界ゲイン K u = 8
−1
3
20
23
50
ゲイン［ dB ］
cf : P ( s ) =
1
安定限界のとき， (−1,0) を通過
0
y
P (s )
K (s)
［step1］限界ゲイン K u の設定
K − Ls
P(s) =
e
1 + Ts
（定位プロセス）
−
1
P( s) =
( s + 1) 3
T
K
+
r
ω gc = 1.4
0
− 50
− 100
−2
10
− 90
位相［° ］
“1次遅れ+むだ時間” で近似
20
0
10
ω [rad / s]
10
2
10
2
− 135
− 180
−2
10
PM = 30.3o
0
10
ω [rad / s]
24
4
制御工学 12
8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計
d
+ y
P (s) +
+ +
n
u
r + e
K ( s)
−
感度関数 S (s )
⇒
同時に 0 に近づける
ことは出来ない
周波数帯を分ける
低周波数帯： S を小さくする
• 低感度特性（パラメータ変動）： Δ y = SΔ P
• 外乱抑制： y = Sd
⇒
S (s) + T (s) = 1
拘束
高周波数帯： T を小さくする
S ( s) =
• 目標値追従： e = Sr
1
1 + P( s) K ( s)
T ( jω )
| S ( jω ) |
相補感度関数 T ( s )
ω
0 [dB]
ω
0 [dB]
• 目標値追従： y = Tr
26
【Key Points】
1
より, 低周波域で | L | を大きく (| L |>> 1)
1+ L
⇒S:小
T=
低周波ゲイン L(0) を大きくとる
• 速応性：
⇒T : 小
• 減衰特性：
位相余裕 PM を確保する
20 log | L( jω ) | [dB]
| L |<< 1
| L |<< 1
[o ]
PM
− 180
−1
ω [rad / s]
− 180o
ゲイン
ゲインの傾きが急（ − 40dB / dec 以下）
ω gc
0
PM
位相
27
[dB]
PM
ω pc ω
28
【Key Points】
ω gc
2 型 − 40dB / dec
1 型 − 20dB / dec
0型
（低周波域）
開ループゲイン | L | を大きく
• ゲインと位相の関係（§5.4）
• 最小位相系
偏差定数 K P , K v が大
位相
ω [rad / s]
O
ω
GM
図8.9 ループ整形
好ましくない位相遅れ
o
− 20dB / dec → − 90
o 不安定
→
− 180
− 40dB / dec
ゲインω
gc
0 dB
ω gc
（交差周波数付近）
ω gc
0
［復習］位相余裕
20 log | L( jω ) |
【Key Points】
L(0)
| L |>> 1
ゲイン交差周波数 ω gc を高くする
（閉ループ伝達関数から, 開ループ伝達関数へ)
| L |>> 1
[dB]
• 定常特性：
L
より, 高周波域で | L | を小さく (| L |<< 1)
1+ L
0 [dB]
相補感度関数
感度関数
ゲイン
S=
y = −Tn
P(s) K ( s)
1 + P ( s ) K ( s )25
[o ]
1
PM
安定
− 180
1
定常偏差：小 1 + K , K
v
P
目標値
不安定
ゲイン
• 雑音除去：
T (s) =
位相
• ロバスト安定性： | W2T |< 1
位相
⇒
0
ω gc
[o ]
− 180
ステップ状 → 1型（ 1 s を含む）
ω [rad / s]
緩やかなゲインの傾き（ − 20dB / dec ）
− 20dB / dec
ω [rad / s]
ランプ状 → 2型（ 1 s 2 を含む）
29
− 40dB / dec
30
5
制御工学 12
【Key Points】ループ整形
ゲイン
[dB]
（高周波域）
ω gc
0
• 定常特性：
低周波ゲイン L(0) を大きくとる
• 速応性：
ロール・オフ特性：
− 40 ~ −60dB/dec 以下
位相
ゲインω
gc
ω [rad / s ]
− 180o
20 log K ( jω ) [dB]
K (0) = αK , K (∞) = K
PM
− 180
−1
ω [rad / s]
O
PM
位相
ゲイン
− 20dB / dec
20 log αK
+ 20 log α [dB]
[o ]
PM
ω pc ω
32
位相遅れ補償とPI補償の比較
ゲイン
定常特性の改善
| L |<< 1
ω
GM
31
(α > 1)
ω gc
0
［復習］位相余裕
0 dB
コントローラ
α (Ts + 1)
K ( s) = K
αTs + 1
位相
ゲイン交差周波数 ω gc を高くする
[o ]
L(0)
| L |>> 1
• 減衰特性：
位相余裕 PM を確保する
− 180
位相遅れ補償
[dB]
ゲイン
【Key Points】
20 logα
1 αT
位相
1T
ω [ rad / s]
∠K ( jω )
− 20dB / dec
20 log α
20 log K
20 log K
1 αT
位相
0o
1T
ω
o
− 90
ω
位相遅れ補償器
K ( s) = K
折点角周波数 1 T を適切に
33
ω
0 o
図8.10 位相遅れ補償のボード線図
［注］位相遅れ：（安定性の劣化の原因）
1T
∠K PI ( jω )
0o
ω [ rad / s]
1 αT
位相
∠K ( jω )
o
− 90
20 log K PI ( jω )
− 20dB / dec
20 log αK
20 log K
ゲイン
20 log K ( jω )
α (Ts + 1)
αTs + 1
− 90
o
ω
PI補償器
α → ∞ K ( s ) → K (1 +
1
) = K PI ( s )
Ts
34
位相遅れ補償の設計手順
ゲイン
[dB]
0
［ステップ1］位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい
過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 K を決める.
ω gc
［ステップ2］［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数のボード
線図を描き, その低周波ゲインを評価する.
［ステップ3］低周波ゲインが + 20 log α [dB] 上がることを考慮し,
定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ α
の値を定める.
o
位相
[]
［ステップ4］位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数
ω = 1 T をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように
選ぶ. もうひとつの折点角周波数を ω = 1 /(αT ) と定める.
［ステップ5］以上で設計パラメータ K ,α , T が定められたので, 位相
− 180
ω [rad / s]
35
遅れ補償を構成する.
36
6
制御工学 12
［例 8.3 ］
［ステップ2］［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数のボード
線図を描き, その低周波ゲインを評価する.
制御対象
性能仕様
10
速度偏差定数（定常特性） K v ≥ 10
P( s ) =
s ( s + 1)( s + 10)
位相余裕（減衰特性） PM ≥ 40°
開ループ伝達関数
PM = 47°
o
PM ≥ 40° を満たす
OK
K =1
P
40
20
ω gc = 0.8
K v ' = lim sL' ( s )
0
− 20
− 90
s →0
− 120
− 150
PM = 47
− 180
性能仕様は K v ≥ 10
o
10
10
10
ω [rad / s]
図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性37
［ステップ3］低周波ゲインが + 20 log α [dB] 上がることを考慮し,
定常特性に関する仕様を満たすようにパラメータ α
の値を定める.
20 log α
20 log K
1 αT
位相
1T
ω [rad / s]
∠K ( jω )
0o
o
− 90
o
40
20
ω gc = 0.8
P
− 90
PM = 47 o
10
10
10
ゲイン交差周波数 ω gc = 0.8
位相余裕 PM ≥ 40o
位相［］ゲイン［dB］
1 / αT
o
− 90
− 150
10
10
o
s →0
ω [rad / s]
10
41
10
1040
ω [rad / s]
1.5
K v = lim sL( s ) =
PM ≥ 40°
10
10
10
1
= 10
0.1
ω gc ≈ 0.8
1
0.5
0
10( s + 0.1)
=
s ( s + 0.01)( s + 1)( s + 10)
PM = 40.7o
PM = 47
PM = 47 o
− 180
L( s ) = P ( s ) K ( s )
− 90
− 180
10
ω gc = 0.8
P
L'
性能仕様
ω gc = 0.8
P
− 120
− 150
10
ω [rad / s]
− 120
［CHECK］
1/ T
L
L'
10
0
− 20
1039
ω [rad / s]
位相余裕（減衰特性） PM ≥ 40
40
20
0
− 20
PM = 47 o
− 180
40
20
速度偏差定数（定常特性） K v ≥ 10
α (Ts + 1)
αTs + 1
10(10 s + 1)
10 ⋅10s + 1
s + 0 .1
=
s + 0.01
o
ω [ rad / s ]
位相遅れ補償
K ( s) = 1⋅
1/ T
− 180
［ステップ5］以上で設計パラメータ K ,α , T が定められたので, 位相
遅れ補償を構成する.
K = 1, α = 10, T = 10
1 / αT
[o ]
− 120
ω [rad / s]
K ( s) = K
ω gc
0
0
− 20
− 180
− 150
T = 10 (ω = 0.1) と選べば，ゲイン交差周波数 ω gc より十分に小さい．
1
1
= 0 .1
折点角周波数
= 0.01,
T
αT
1/ T
1 / αT
[dB]
L'
− 150
− 90
− 120
図8.11 位相遅れ補償と開ループ特性
38
位相
− 20dB / dec
20 log αK
ω gc = 0.8
P
10
低周波ゲイン10倍以上必要
ゲイン
L'
［ステップ4］位相遅れにより安定性が劣化しないように, 折点角周波数
ω = 1 T をゲイン交差周波数より 1dec 程度下になるように
選ぶ. もうひとつの折点角周波数を ω = 1 /(αT ) と定める.
20 log α
[dB]
位相［］ゲイン［dB］
α = 10
ゲイン
20 log K ( jω ) [dB]
o
10
= lim
=1
s → 0 ( s + 1)( s + 10)
10
低周波ゲイン10倍で
速度偏差定数 K v = 10
速度偏差定数
40
20
0
− 20
y(t )
位相余裕
( K = 1)
OK
0
10
20
t [s]
ステップ応答
30
20
y(t )
ω gc ≈ 0.8 [rad/sec]
10
s ( s + 1)( s + 10)
位相［］ゲイン［dB］
位相［］ゲイン［dB］
ゲイン交差周波数
L′ = PK =
位相［］ゲイン［dB］
［ステップ1］位相余裕やゲイン交差周波数に着目し, 望ましい
過渡応答特性が得られるようにゲイン補償 K を決める.
10
OK
ステップ応答, ランプ応答 OK
0
0
10
t [s]
ランプ応答
20
42
7
制御工学 12
位相進み補償
コントローラ
K (s) = K
ゲイン
20 log K ( jω ) [dB]
Ts + 1
(α < 1)
αTs + 1
過渡特性の改善, 安定化
+ 20dB / dec
制御対象 P(s )
20 log( K / α )
Lˆ = PK ,
20 log K
位相
∠K ( jω )
1
1
<ω <
T
αT
位相進み
20 log(K / α )
ベクトル軌跡で見る位相進み補償
1T
ω max 1 αT
位相進み補償
Im
−1
o
90
［注］高周波ゲイン→大
0o
ノイズ増幅
ロバスト安定性の劣化
位相進みの最大値 sin φmax
ω [ rad / s]
1
図8.13 位相進み補償
αT
のボード線図
1 − sin φmax
1−α
⇒α =
=
1 + sin φmax
1+α
8章演習問題［4］
位相が最も進む角周波数 ω max =
K =3
−1
Re
ゲイン補償のみ
K→大
K =2
Im
Re
Lˆ
K = 10
φmax
位相余裕を増加させる
K : ゲイン補償
位相進み補償
K =1
K =1
43
44
位相進み補償の設計手順
ゲイン
[dB]
［ステップ1］速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように,
ω gc ω gc
ゲイン補償 Kの値を決める.
0
〈
［ステップ2］［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数 Lˆ ( s ) = KP( s )
のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する.
〈
〈
与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 φˆ = PM − PM
が, 必要な位相進み量となる.
o
[]
位相
PM
これに適当な（例えば 5° 以上の）余裕を考慮し,
（φ max = φˆ + 5° 以上）と定める.
− 180
［ステップ3］ α =
ω [rad / s]
1 − sin φmax
から, パラメータ α の値を決める.
1 + sin φmax
45
［例 8.4 ］
［ステップ4］位相進み補償では最も位相が進む角周波数で,
ゲインが 1 α 倍に上がる.
制御対象
10
P( s) =
s ( s + 1)( s + 10)
[dB] ）である角周波
そこで Lˆ ( jω ) が α （ = 20 log α 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数 ω max とおく.
αT
［ステップ1］速応性や定常特性に対する仕様が満たされるように,
ゲイン補償 K の値を決める.
から, パラメータ T の値を決める.
ゲイン補償 K = 5
このとき位相進み補償の折点角周波数は,
1 / T = ω max
性能仕様
ゲイン交差周波数（速応性） ω gc ≥ 2
位相余裕（減衰特性） PM ≈ 40°
1 /(αT ) = ω max / α となる.
α ,　開ループ伝達関数
Lˆ ( s ) =
［ステップ6］以上で設計パラメータ K , α , T が定められたので,
Ts + 1
K ( s) = K
から, 位相進み補償を構成する.
αTs + 1
50
s ( s + 1)( s + 10)
ゲイン交差周波数
ωˆ gc = 2.1 > 2
47
ω gc ≥ 2 を満たす OK
位相［］ゲイン［dB］
［ステップ5］ ω max = 1
46
o
40
Lˆ
20
0
− 20
ωˆ gc = 2.1
P
− 40
− 90
− 120
− 150
− 180
10
PM = 13.6o
10
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
48
8
制御工学 12
〈
φˆ = PM − PM
= 40 − 13.6 = 26.4°
o
（必要な位相進み量）
φmax = φˆ + 10° = 36.4°
Lˆ
20
0
1 − sin φmax
1 + sin φmax
ωˆ gc = 2.1
φmax = 36.4°
P
− 20
α = 0.255
− 40
− 90
o
− 120
− 150
PM = 13.6o
− 180
10
10
（マージン）
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
［ステップ5］ ω max = 1
αT
ω gc
0
位相［］ゲイン［dB］
ω max = 3.0
[dB]
ゲイン
0 [dB]
o
[o ]
位相
PM
Lˆ
20
0
− 20
− 40
− 90
ωˆ gc = 2.1
ωmax =
1
αT
⇒T =
− 180
10
T = 0.660
ω [rad / s ]
PM = 13.6o
10
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
o
折点角周波数
1
1
= 1.52,
= 5.94
T
αT
0.66 s + 1
K ( s) = 5 ⋅
0.255 ⋅ 0.66s + 1
19.6( s + 1.52)
=
s + 5.94
ゲイン交差周波数 ω gc = 3.0
位相余裕 PM = 38o
位相［］ゲイン［dB］
K = 5,α = 0.255, T = 0.660
40
o
ωˆ gc = 2.1
L
Lˆ
20
0
− 20
ωmax = 3.0
P
− 90
− 150
− 180
10
10
50
1/ T
40
Lˆ
20
0
PM = 38o
PM = 13.6o
10 1 / T
1 / αT 10
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性 53
1 / αT
ωˆ gc = 2.1
P
− 20
20 log α
− 40
− 90
− 120
− 150
PM = 13.6o
− 180
10
10
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
10
52
ゲイン交差周波数（速応性）
位相余裕（減衰特性）
PM ≈ 40°
ω gc = 3.0 (= ω max ) OK
− 40
− 120
10
ω [rad / s]
図8.14 開ループ特性
1.5
性能仕様
ω gc ≥ 2
Ts + 1
PM = 13.6o
− 180
［CHECK］
位相進み補償
αTs + 1
− 150
51
［ステップ6］以上で設計パラメータ K , α , T が定められたので,
Ts + 1
K ( s) = K
から, 位相進み補償を構成する.
αTs + 1
K (s) = K
− 40
− 90
− 120
1
α ωmax
− 120
− 180
− 20
から, パラメータ T の値を決める.
ωmax = 3.0, α = 0.255
P
20 log α
− 150
ωˆ gc = 2.1
P
1 / T = ω max α , 1 /(αT ) = ω max / α となる.
ωmax = 3.0
40
0
このとき位相進み補償の折点角周波数は,
ωˆ gc = 2.1
20 log α [dB]
Lˆ
20
10
[dB] ）である角周波
そこで Lˆ ( jω ) が α （ = 20 log α 数を, 補償後の新しいゲイン交差周波数 ω max とおく.
Lˆ ( jω max ) = α = 0.505
40
49
［ステップ4］位相進み補償では最も位相が進む角周波数で,
ゲインが 1 α 倍に上がる.
に下がっている.
（後で 0dB に上がる. ）
Ts + 1
αTs + 1
位相［］ゲイン［dB］
位相［］ゲイン［dB］
性能仕様は PM ≈ 40°
40
α=
1 − sin φmax
から, パラメータ α の値を決める.
1 + sin φmax
PM ≅ 38°
OK
ステップ応答
OK
y(t )
〈
K (s) = K
が, 必要な位相進み量となる.
これに適当な（例えば 5° 以上の）余裕を考慮し,
（φ max = φˆ + 5° 以上）と定める.
位相余裕 PM = 13.6o
［ステップ3］ α =
位相［］ゲイン［dB］
〈
［ステップ2］［ステップ1］の K を用いて開ループ伝達関数 Lˆ ( s ) = KP( s )
のボード線図を描き, その位相余裕 PM を評価する.
与えられた位相余裕 PM とこの PM との差 φˆ = PM − PM
1
0.5
0
0
2
t [s]
4
54
9
制御工学 12
第 8 章：フィードバック制御系の設計法
8.1 設計手順と性能評価
キーワード：設計手順，性能評価
8.2 PID 補償による制御系設計
キーワード： P（比例），I（積分），D（微分）
第 8 章：フィードバック制御系の設計法
次回
8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計
キーワード：ループ整形
8.3 位相進み‐遅れ補償による制御系設計
キーワード：位相遅れ補償，位相進み補償
学習目標：一般的な制御系設計における手順と制御系
の性能評価について学ぶ．ループ整形の考
え方を用いて, 位相遅れ補償，位相進み補償
による制御系設計を習得する．
55
学習目標：ループ整形の考え方を理解する．
56
10

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