3-3 梁とトラスの関連性

3-3 梁とトラスの関連性
2.1節でも述べたように，トラスと梁には非常に密接な類似性がある。図3.3.1
(a)のようなトラスを考えてみよう。斜め材の軸力を描くと，図 3.3.1(b)のよう
に，左側 3 コマで√ 2 の引張，中央 4 コマでゼロ，右側 3 コマで√ 2 の圧縮とな
る。このトラスを単純梁と見て，せん断力を計算すると，図 3.3.1(c)のようにな
り，きわめて類似している。同様に，上弦材と下弦材の軸力を描くと，図 3.3.1
1
10
1
A
B
C
G
H
D
E
F
I
J
10
(a) トラス全体
1
1
引張
0
2
− 2
圧縮
(b) 斜め材の軸力
1
−1
(c) 梁として見たせん断力
−1
圧縮
−2
−1
0
2
1
−2
−3
(d) 上弦材の軸力
3
0
1
2
引張
(e) 下弦材の軸力
30 N.mm
(f) 梁として見た曲げモーメント
図 3.3.1 単純梁に似たトラス
154
(d)(e)のようになる。このトラスを単純梁と見て，曲げモーメントを計算すると，
図3.3.1(f)のようになり，やはり類似性がある *1。
「二次元トラス解析」ソフトで，
解析した結果を図 3.3.2 に示す。変形状態も単純梁（図 3.3.3）と似ていること
がわかると思う。
図 3.3.2 トラスの解析結果
図 3.3.3 単純梁の結果（荷重は 10 とした）
*1 まじめな読者には図3.3.1(d)(e)で上・下弦材の軸力が左右対称でないことが気にな
るかもしれない。これは，斜め材がすべて右下がりのため，トラス自体が左右非対称だ
からである。トラスの左半分の斜め材を右上がりにすれば，軸力は左右対称になる。さ
らに，下図(a)のように×型の斜め材を入れると上・下弦材の軸力は同じ大きさで符号だ
けが逆になる。実はこのトラスが単純梁を最も精密に近似している。下図(a)の破線は対
応する単純梁を表す。
1
1
15
10
(a) より単純梁に近いトラス
−0.5
圧縮
−1.5
−2.5
(b) 上弦材の軸力
155
−1.5
−3
−2.5
−0.5
たとえば，図 3.3.1(a)の GH 間の破線位置で切断すると，図 3.3.4(a)のように
なる。上弦材と下弦材は± 3
N の圧縮・引張力を負担しており，その距離は 10
mm であるから，図 3.3.1(f)の曲げモーメント 30
N.mm と対応することがわか
る。また，斜め材の軸力がゼロであることは，全体を梁として見たときのせん断
力がゼロであることに対応している。
図 3.3.1(a)の AB 間，左端から x の位置で切断すると図 3.3.4(b)のようになる。
斜め材の引張軸力√ 2
鉛直成分 1
N は，水平成分と鉛直成分に分解して示している。この
N は，梁として見たときのせん断力に対応している。また，上弦材
と斜め材との距離は x mm であるから，図 3.3.1(f)の曲げモーメント
x N.mm と
対応している。
図 3.3.1(a)の BC 間で切断すると図 3.3.4(c)のようになる。上弦材と斜め材と
の距離は x−10 mm であるから，上弦材まわりのモーメントを計算すると，
M = 1 × ( x − 10) + 1 × 10 = x
となり，やはり図 3.3.1(f)の曲げモーメントと対応している。下弦材まわりで
モーメントを計算しても答えは同じである。
以上，種々検討したが，
「どこで切断しても，x, y 方向の力の釣合いとモーメ
ントの釣合いが成り立つ」という大原則は，梁でもトラスでも成り立つから，す
べて当たり前とも言える。
変形に関する類似性もある。図 3.3.1(a)の GHIJ 間では，図 3.3.5(a)のように
上弦材が縮み，下弦材が伸びるという，一種の曲げ変形が生じる。図 2.5.2（曲
率の定義）との類似性に注目されたい。トラス材のヤング係数を E,
断面積を
A
とすると，上・下弦材のひずみ度はε =N/(EA) = ± 3/(
EA)である。伸縮量は，e
x
−3
G
x
−1
A
1
10
−2
B
x
1
1
1
3
I
(a) GH 間で切断
A
D
D
(b) AB 間で切断
E
1
(c) BC 間で切断
図 3.3.4 トラスを縦に切断した状態
156
x−10
=
ε
l =±30/(
EA),
したがって曲げ変形
dθは，伸縮量を上下弦材の距離10
mm
で割って，
dθ =
1
30
6
×2×
=
10
EA EA
となる。よって，曲率φは，d θを幅 dx = 10 で割って，
φ=
dθ
6
=
dx 10 EA
である。ABDE 間でも同様であり，上・下弦材の伸縮による曲率は
dθ =
1 10
1
×
=
よって
10 EA EA
φ=
dθ
1
=
dx 10 EA
となる。これは GHIJ 間の 1/6 であり，ABDE 間の平均曲げモーメントが GHIJ
間の 1/6 であることと対応する。ただし，ABDE 間では，図 3.3.5(c)のように，
斜め材 AE が伸びるという変形も生じる。これはせん断力による変形と言える。
BCEF 間でも同様である。実は，現実の梁でも同様の変形が生じ，これをせん断
dθ
dθ
G
−3
H
−3
A
−1
B
−1
5
10
5
3
I
10
J
3
E
D
10
(a) GHIJ の曲げ変形
(b) ABDE の曲げ変形
2
B
A
D
E
2
(c) ABDE のせん断変形
図 3.3.5 トラスの変形
157
変形という。ただし，図 3.3.1 および図 3.3.3 のような細長いトラスや梁ではせ
ん断変形が全体変形に与える影響は小さい。
演習：学籍番号下 2 桁を ij とする。下のようなトラスに関して，図 3.3.1 と同様
の図を描きなさい。数値は，小数点以下 1 桁まで書くこと。また，概略の変形図
も描きなさい。
10
10+i (N)
10
10+j (N)
158

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