t

Synchrotron Radiation
ver 1.0
Yuji Chinone
1 座標・表記
Particle position at t
β (t’)
β (t’)
Particle position at t’
Oberver
R(t’)
n(t’)
r0 (t’)
r
O
図 1 Geometry for caluculation of the radiation field at R (r, t) from the position of the radiating
particle at the retarted time (t = tret ).
座標、表記は以下の通り：
(1)
t = tret
R(t ) = r − r0 (t )
(2)
R(t ) = R(t )
(3)
R(t )
t =t−
c
R(t )
n(t ) =
R(t )
v(t )
β(t ) =
c
1
γ=
1 − β2
κ(t ) = 1 − n(t ) · β(t )
1
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
∂ f (t )
≡ f˙(t ),
∂t
∂f(t ) ˙
≡ f(t ).
∂t
(9)
又、
R(t ) = R(t ) · n(t ) = r − r0 (t ) · n(t ) = n(t ) · r − n(t ) · r0 (t )
˙ ),
˙ ) = n(t ) · R(t
R2 (t ) = R(t ) · R(t ) −→ R(t
∴ dt = dt −
1 dR(t )
˙ )dt
dt = dt − n · R(t
c dt
であるから、以下を得る：
R(t ) = n(t ) · r − n(t ) · r0 (t ),
∴
dt = κ(t )dt ;
t=
r·n
n · r0 (t )
+t −
.
c
c
(10)
2 Fourier Spectrum
位置 r に居る観測者が時刻 t に観測する加速荷電粒子からの輻射場のフーリエスペクトルを求める。これは
以下の積分を実行すればよい：
ˆ ω) = 1 q
E(r,
2π c
T2
˙ )
n(t ) × (n(t ) − β(t )) × β(t
R(t )κ3 (t )
T1
e−iωt dt.
(11)
ここで R(t ) = |r − r0 (t )| は遅延時間 t = t − R(t )/c に r0 (t ) にいた荷電粒子と観測者との相対距離である。
又、T 1 < t < T 2 はスペクトルを得る為の観測が行われた期間である。但しこの間に荷電粒子の加速度が有限
の値を持つとした。
荷電粒子と観測者は十分離れている為、R(t ) の時間内のでの変化は無視できるとし、R(t ) = R = Const と
する。又、同様の理由で n(t ) も時間に依存しないとする。これらの近似を用いて積分変数を t から t に変換
すると、
ˆ ω) =
E(r,
=
q −iωn·r/c
e
2πcR
q −iωn·r/c
e
2πcR
T 2 −R(T 2 )/c
˙ )
n(t ) × (n(t ) − β(t )) × β(t
R(t )κ2 (t )
T 1 −R(T 1 )/c
T2
T1
˙ )
n × (n − β(t )) × β(t
κ2 (t )
e−iω(t −n·r0 (t )/c) dt
e−iω(t −n·r0 (t )/c) dt ;
Ti = Ti −
R
, i = 1, 2
c
を得る。被積分関数は
˙ ) = −β(t
˙ ) + n · β(t ) β(t
˙ ) + n · β(t
˙ ) n − β(t )
n × n − β(t ) × β(t
n × n × β(t ) = −β(t ) + n · β(t ) n
であり、又、
d
dt
˙ ) κ(t ) − κ˙ (t ) {n × (n × β(t ))}
n × n × β(t
n × (n × β(t ))
=
κ(t )
κ2 (t )
˙ ) (1 − n · β(t )) + n · β(t
˙ ) {n × (n × β(t ))}
n × n × β(t
=
κ2 (t )
˙ ) + n · β(t
˙ ) n + (n · β(t )) β(t
˙ ) − n · β(t
˙ ) β(t )
−β(t
=
κ2 (t )
˙ ) + (n · β(t )) β(t
˙ ) + n · β(t
˙ ) (n − β(t )) n × (n − β(t )) × β(t
˙ )
−β(t
=
=
κ3 (t )
κ2 (t )
2
(12)
であるから、以下のように書ける：
ˆ ω) =
E(r,
=
=
T1
d
dt
n × (n × β(t ))
κ(t )
e−iω(t −n·r0 (t )/c) dt
q −iωn·r/c n × (n × β(t )) −iω(t −n·r0 (t )/c)
e
e
2πcR
κ(t )
T2
q −iωn·r/c n × (n × β(t )) −iω(t −n·r0 (t )/c)
e
e
2πcR
κ(t )
T2
−
=
T2
q −iωn·r/c
e
2πcR
q −iωn·r/c
e
2πcR
T2
T1
T1
−
q −iωn·r/c
e
2πcR
T2
T1
n × (n × β(t )) d −iω(t −n·r0 (t )/c)
e
dt
κ(t )
dt
T1
n × (n × β(t )) −iω(t −n·r0 (t )/c) d
e
−iω t − n · r0 (t )/c dt
κ(t )
dt
q −iωn·r/c n × (n × β(t )) −iω(t −n·r0 (t )/c)
e
e
2πcR
κ(t )
T2
+
T1
iqω −iωn·r/c
e
2πcR
T2
T1
n × n × β(t ) e−iω(t −n·r0 (t )/c) dt .
(13)
以下の計算では、長時間平均を行うものとする。つまり部分積分を行ったとき、積分の外に出た項の寄与は
無視できるので、始めから無視することにする。よって Eq.(13) は以下のように書ける：
ˆ ω) = iqω e−iωn·r/c
E(r,
2πcR
T2
T1
n × n × β(t ) e−iω(t −n·r0 (t )/c) dt .
(14)
3 Synchrotron Radiation
一様磁場 B の中を運動する相対論的電子からの放射の周波数分布の厳密な形を導く。電場が存在しない状
況を考える。
3.1 電場
電荷 q を持つ荷電粒子の運動方程式は
d
q
(γmβ) = β × B
dt
c
である。これから以下の式を得る：
β˙ = −ωB × β ;
ωB =
qB 1
.
mc γ
(15)
(16)
磁場に平行な成分を、垂直な成分を ⊥ と書くと、
β˙ = 0,
β˙ ⊥ = −ωB × β⊥
(17)
と書ける。そこで右手系の座標 xˆ , yˆ , zˆ をとり、この z 軸と磁場 B の方向を一致させる。
今は単一の電子だけを考えて q = −e とすると、
ωB = |ωB | =
eB 1 ωce
=
= ωse .
me c γ
γ
(18)
この時の方程式の解は、
r0 (t )
β
=
xˆ cos(ωse t ) + yˆ sin(ωse t )
c
ωse
β(t ) = β −ˆx sin(ωse t ) + yˆ cos(ωse t )
3
(19)
(20)
となる。
以上のような座標の取り方で電子の運動を考えることで、一般性を失うことなく視線方向を yz 平面内に限
定することが出来る。視線方向と z 軸との成す角を θ とし、n = (0, sin θ, cos θ) と書く。
以上から、
n × n × β(t ) = n · β(t ) n − β(t ) = β sin θ cos(ωse t ) (ˆy sin θ + zˆ cos θ) − β −ˆx sin(ωse t ) + yˆ cos(ωse t )
= xˆ β sin(ωse t ) − yˆ β cos2 θ cos(ωse t ) + zˆ β sin θ cos(ωse t )
(21)
と書ける。この式を Eq.(14) に代入する。
始めに x 成分について考える。
ieωβ iφ
Eˆ x (r, ω) = −
e
2πcR
T2
sin(ωse t )e−i[ωt −λ sin(ωse t )] dt ;
φ = −ω
T1
Eq.(42)
eiλ sin(ωse t ) =
∞
Jn (λ)ein(ωse t ) ;
n·r
,
c
λ=
ω
sin θ
ωse
(22)
Jn (λ) :Bessel Function
n=−∞
の両辺を λ で微分すると、
∞
∂ iλ sin(ωse t )
e
=
Jn (λ)ein(ωse t ) ;
∂λ
n=−∞
∂
Jn (λ) ≡ Jn (λ)
∂λ
であるから、
∞
∂ −i[ωt −λ sin(ωse t )]
e
= i sin(ωse t )e−i[ωt −λ sin(ωse t )] =
Jn (λ)e−i(ω−nωse )t
∂λ
n=−∞
=⇒
sin(ωse t )e−i[ωt −λ sin(ωse t )] = −i
∞
Jn (λ)e−i(ω−nωse )t
n=−∞
を得る。この式を Eq.(22) に代入すると、
∞
eωβ iφ
e
J (λ)
Eˆ x (r, ω) = −
2πcR n=−∞ n
T2
e−i(ω−nωse )t dt
(23)
T1
となる。残された積分は T 1 = T 0 − T /2, T 2 = T 0 + T /2 と置くことで実行でき、
T2
−i(ω−nωse )t
e
T1
e−i(ω−nωse )t
dt =
−i(ω − nωse )
= T eiψ sinc
T 0 + T2
= T e−i(ω−nωse )T0 sinc
T 0 − T2
(ω − nωse )T
2
;
(ω − nωse )T
2
ψ = −(ω − nωse )T 0
(24)
となる。以上から、
∞
eωβ iϕ
(ω − nωse )T
Eˆ x (r, ω) = −
e
J (λ)T sinc
2πcR n=−∞ n
2
;
ϕ = φ + ψ = −ω
n·r
− (ω − nωse )T 0
c
(25)
を得る。
次に y 成分について考える。y 成分は
ieω
cos2 θeiφ
Eˆ y (r, ω) =
2πcR
T2
β cos(ωse t )e−i[ωt −λ sin(ωse t )] dt
(26)
T1
と書けるが、e−i[ωt −λ sin(ωse t )] を t で微分すると
∂ −i[ωt −λ sin(ωse t )]
e
= −i ω − λωse cos(ωse t ) e−i[ωt −λ sin(ωse t )] = −iω 1 − β sin θ cos(ωse t ) e−i[ωt −λ sin(ωse t )]
∂t
4
=⇒
β cos(ωse t )e−i[ωt −λ sin(ωse t )] =
1
∂ −i[ωt −λ sin(ωse t )]
1 −i[ωt −λ sin(ωse t )]
e
+
e
iω sin θ ∂t
sin θ
であるから。この関係を使い、また積分の第一項目を無視することで以下を得る：
ieω
Eˆ y (r, ω) =
cos2 θeiφ
2πcR
T2
T1
∂ −i[ωt −λ sin(ωse t )]
1
1 −i[ωt −λ sin(ωse t )]
e
+
e
dt
iω sin θ ∂t
sin θ



ieω
1
2
iφ 
=
cos θe 
e−i[ωt −λ sin(ωse t )]

 iω sin θ
2πcR
2
=
=
ieω cos θ iφ
e
2πcR sin θ
T2
T1
T2
+
T1
T2
e−i[ωt −λ sin(ωse t )] dt =
T1
1 −i[ωt −λ sin(ωse t )]
e
dt
sin θ
∞
ieω cos2 θ iφ
e
Jn (λ)
2πcR sin θ
n=−∞
∞
ieω cos2 θ iϕ
(ω − nωse )T
e
Jn (λ)T sinc
2πcR sin θ
2
n=−∞
T2







e−(ω−nωse )t dt ;
∵ Eq.(42)
T1
(27)
.
最後に z 成分について考える。z 成分は、
T2
ieω
Eˆ y (r, ω) =
sin θ cos θeiφ
2πcR
β cos(ωse t )e−i[ωt −λ sin(ωse t )] dt
(28)
T1
であり、y 成分の − cos2 θ が sin θ cos θ に変わっただけである。よって以下を得る：
∞
ieω
(ω − nωse )T
Eˆ z (r, ω) = −
cos θeiϕ
Jn (λ)T sinc
2πcR
2
n=−∞
(29)
.
4 Energy Spectrum (前半)
4.1 放射強度
各成分の単位時間あたり、単位周波数あたり、単位立体角あたりのエネルギーを求める。x 成分は
2
∞
c Eˆ x R2
(ω − n ωse )T
dW x
e2 β2
ω2 Jn (λ)Jn (λ)sinc
=
= 2
dωdΩdt
T
2
4π c n,n =−∞
sinc
(ω − nωse )T
2
(30)
であるが、sinc function の性質から異なる次数 n が掛け合わさった項を零とすると以下を得る：
∞
dW x
e2 β2
(ω − nωse )T
= 2
ω2 Jn2 (λ)T sinc 2
dωdΩdt 4π c n=−∞
2
(31)
.
同様に y,z 成分につても計算すると以下を得る：
d(Wy + Wz )
e2 cos2 θ
= 2
dωdΩdt
4π c sin2 θ
∞
ω2 Jn2 (λ)T sinc 2
n=−∞
(ω − nωse )T
v .
2
(32)
4.2 周波数積分
sinc function の二乗の [−∞, +∞] 積分は、
+∞
sinc 2 XdX = π
−∞
である。これより、
T
T sinc 2
lim
T →∞
−T
(ω − nωse )T
2
dω = 2π ⇐⇒
lim T sinc 2
T →∞
5
(ω − nωse )T
2
= 2πδ(ω − nωse )
(33)
となる。よって Eq.(31),(32) の周波数積分は以下のように書ける：
dW x
=
dΩdt
dω
d(Wy + Wz )
=
dΩdt
dω
dW x
e2 β2
=
dωdΩdt
2πc
∞
ω2n Jn2 (λn )
(34)
n=−∞
d(Wy + Wz )
e2 cos2 θ
=
dωdΩdt
2πc sin2 θ
∞
ω2n Jn2 (λn ).
(35)
n=−∞
ここで、ωn = nωse , λn = nβ sin θ である。
5 Bessel Function
Jn (z) =
1
π
π
0
cos (nϕ − z sin ϕ) dϕ
(36)
で定義される Bessel Function について考える。
5.1 漸化式
Bessel Function について以下の関係式が成り立つ：
2n
Jn (z) = Jn−1 (z) + Jn+1 (z)
z
d
2 Jn (z) = Jn−1 (z) − Jn+1 (z).
dz
(37)
(38)
■証明
2 π
cos (nϕ − z sin ϕ) cos ϕ dϕ
π 0
0
−dξ + ndϕ
ϕ 0 → π
nϕ−z sin ϕ = ξ → dξ = ndϕ − z cos ϕ dϕ; ∴ cos ϕ dϕ =
;
ξ 0 → nπ
z
nπ
2 π
2n 1 π
2
=
cos (nϕ − z sin ϕ) cos ϕ dϕ =
cos (nϕ − z sin ϕ) dϕ −
cos ξ dξ
π 0
z π 0
zπ 0
2n
=
Jn (z) + 0 = LHS of Eq.(37)
z
RHS of Eq.(37) =
1
π
π
{cos ([n − 1] ϕ − z sin ϕ) + cos ([n + 1] ϕ − z sin ϕ)} =
2 π
{− sin (nϕ − z sin ϕ)} (− sin ϕ) dϕ
π 0
1 π
=
{cos ([n − 1] ϕ − z sin ϕ) − cos ([n + 1] ϕ − z sin ϕ)} dϕ = Jn−1 (z) − Jn+1 (z)
π 0
= RHS of Eq.(38)
LHS of Eq.(38) =
cos A + cos B = 2 cos
A+B
A−B
cos
;
2
2
cos A − cos B = −2 sin
A+B
A−B
sin
2
2
5.2 Bessel 微分方程式
Bessel Function: Jn (z) は以下の微分方程式の解である：
n2
d2
1 d
y
(z)
+
1
−
yn (z) = 0.
y
(z)
+
n
n
z dz
dz2
z2
6
(39)
■証明
2
d
2n
2n
Jn (z) = Jn−1 (z) − Jn+1 (z) =
Jn (z) − Jn+1 (z) − Jn+1 (z) =
Jn (z) − 2Jn (z)
dz
z
z
−
=⇒
n
d
+
Jn (z) = Jn+1 (z) ：上昇演算子
dz z
d
2n
2n
Jn (z) = Jn−1 (z) − Jn+1 (z) = Jn−1 (z) −
Jn (z) + Jn−1 (z) = − Jn (z) + 2Jn+1 (z)
dz
z
z
2
d
n
+
Jn (z) = Jn−1 (z) ：下降演算子
dz z
=⇒
d
n+1
+
dz
z
∴
−
d
n
+
Jn (z) = Jn (z) −→ Eq.(39)
dz z
5.3 Bessel Function の exponential の積分形での定義
Bessel Function は exponential の積分で以下のように書ける。
2π
1
2π
i−n
=
2π
Jn (z) =
eiz sin ϕ−inϕ dϕ
(40)
eiz cos ϕ+inϕ dϕ
(41)
0
2π
0
■証明
1
π
1
=
2π
π
cos (nϕ − z sin ϕ) dϕ =
Jn (z) =
1
2π
1
=
2π
π
eiz sin ϕ−inϕ dϕ +
0
π
eiz sin ϕ−inϕ dϕ +
=
Jn (z) =
1
2π
0
0
e+iz sin ξ−inξ dξ;
ζ = ξ + 2π,
−π
2π
1
2π
ξ
ζ
1
2π
π
eiz sin ϕ−inϕ dϕ +
0
−π →
π →
0
2π
1
2π
0
e+iz sin ξ−inξ dξ
−π
e+iz sin ζ−inζ dζ
iz sin ϕ−inϕ
π
e
dϕ
0
2π
eiz sin ϕ−inϕ dϕ =
0
−3/2π
1
2π
π/2
{−3/2π}π/2 eiz cos ξ+inξ dξ =
eiz cos ξ+inξ · i−n (−dξ) ;
i−n
2π
2π
0
−3/2π
2π
π/2
π/2
+
0
2π
2π
2π
π/2
2π
eiz cos ξ+inξ dξ
2π
eiz cos ϕ+inϕ dϕ
0
7
π
− ξ,
2
ϕ 0
ξ π/2
−3/2π
eiz cos ϕ+inϕ dϕ;
π/2
−
ϕ=
→
2π
→ −3/2π
eiz cos ξ+inξ dξ
+
eiz cos ϕ+inϕ dϕ = −
;
0
π/2
+
2π
eiz cos ξ+inξ dξ =
i−n
2π
eiz sin ϕ−inϕ + e−iz sin ϕ+inϕ dϕ =
0
1
2π
0
=
π
2π
i−n
=
2π
i−n
=
2π
1
2π
ξ + 2π = ϕ,
ξ −3/2π
ϕ
π/2
→ 0
→ 2π
5.4 Bessel Function の Fourier 級数表示
Bessel Function は以下のような複素 Fourier 級数表示出来る：
+∞
eiz sin ϕ =
Jn (z)e+inϕ .
(42)
n=−∞
■証明
複素 Fourier 級数：
+∞
cn e+in(2π/λ)x ;
f (x) = f (x + nλ) =
cn =
n=−∞
λ
1
λ
+∞
f (ϕ) = eiz sin ϕ = eiz sin(ϕ+2π) = f (ϕ + 2π) =
=⇒
cn e+inϕ ;
f (x)e−in(2π/λ)x dx.
0
1
2π
cn =
n=−∞
2π
eiz sin ϕ−inϕ dϕ = Jn (z),
∵ Eq.(40)
0
+∞
∴ eiz sin ϕ =
Jn (z)e+inϕ
n=−∞
6 Modified Bessel Function
以下の式で定義される関数を Modified Bessel function( or Macdonald function) と呼ぶ：
∞
Kν (z) =
e−z cosh(t) cosh (νt) dt;
here
(43)
z > 0.
0
6.1 漸化式
Modified Bessel function: Kν (z) 配下の関係式を満たす：
2ν
Kν (z) = −Kν−1 (z) + Kν+1 (z)
z
2Kν (z) = −Kν−1 (z) − Kν+1 (z) ;
(44)
Kν (z) ≡
d
Kν (z)
dz
(45)
(46)
K−ν (z) = Kν (z).
■証明
∞
RHS of Eq.(44) =
0
=
∞
∞
e−z cosh(t) cosh(νt)dt =
0
e−z cosh(t) (− cosh [(ν − 1)t] + cosh [(ν + 1)t]) dt
e−z cosh(t) 2 sinh(νt) sinh(t)dt ;
0
∵ cosh(x) − cosh(y) = 2 sinh
x−y
x+y
sinh
2
2
2 ∞ d −z cosh(t)
e
sinh(νt)dt ; ∵ (sinh x) = cosh x, (cosh x) = sinh x,
z 0 dt
∞
2 −z cosh(t) ∞
2 ∞ −z cosh(t)
=−
e
−
e
cosh(νt)dt
e−z cosh(t) cosh(νt)dt =
0
z
z 0
0
= LHS of Eq.(44)
=−
8
LHS of Eq.(45) = 2
∞
d
dz
0
∞
RHS of Eq.(45) = − (Kν−1 (z) + Kν+1 (z)) = −
= −2
∞
∞
e−z cosh(t) cosh(νt)dt = −2
0
e−z cosh(t) cosh(t) cosh(νt)dt
0
e−z cosh(t) (cosh [(ν − 1) t] + cosh [(ν + 1) t])
e−z cosh(t) cosh(νt) cosh(t)dt ;
∵ cosh x + cosh y = 2 cosh
0
x+y
x−y
cosh
, cosh(−x) = cosh x
2
2
6.2
Modified Bessel Function は以下の微分方程式を満たす：
1
ν2
Kν (z) + Kν (z) − 1 + 2 = 0.
z
z
■証明
(47)
Eq.(44),(45) より、
−
2ν
Kν (z) + 2K (z)ν = 2Kν−1 (z)
z
2ν
Kν (z) − 2K (z)ν = 2Kν+1 (z)
z
d
ν−1
−
dz
z
∴
−
=⇒
d
ν
− Kν (z) = Kν+1 (z) : 上昇演算子
dz z
−
=⇒
d
ν
+ Kν (z) = Kν−1 (z) : 下降演算子
dz z
d
ν
+ Kν (z) = Kν (z) −→ Eq.(47)
dz z
7 Airy Function
以下の式で定義される関数をエアリー関数 (Airy function) と呼ぶ：
1
Φ(z) = √
π
∞
cos
0
ξ3
+ ξz dξ
3
(48)
7.1 微分方程式
Airy Function は以下の微分方程式を満たす。但し lim x→∞ sin x → 0：
(49)
Φ (z) = zΦ(z).
■証明
1
d
Φ(z) = √
dz
π
d2
1
Φ(z) = − √
2
dz
π
1
=−√
π
= zΦ(z)
∞
cos
0
∞
0
∞
0
ξ3
1
d
cos
+ ξz dξ = − √
dz
3
π
ξ3
+ ξz ξ2 dξ;
3
cos ξdξ − z
∞
0
cos
∞
sin
0
ξ3
+ ξz ξdξ
3
ξ3
+ ξz = ζ → ξ2 dξ = dζ − zdξ,
3
1
ξ3
+ ξz dξ = − √ sin ξ
3
π
9
∞
0
ξ
ζ
∞
+z
0
0 → ∞
0 → ∞
cos
ξ3
+ ξz dξ
3
7.2
Airy Function と Modified Bessel Function の間には以下の関係が成り立つ：
z
2
K1/3 z3/2
3π
3
Φ(z) =
(50)
■証明
∞
2 3/2
z1/2
t
e− 3 z cosh(t) cosh
RHS of Eq.(50) = √
dt = y(z)
3
3z 0
z−1/2 1 ∞ − 2 z3/2 cosh(t)
z 1
dy(z)
t
= √
dt − √
e 3
cosh
dz
π
3
0
2 3π
3π π
z−1/2
= √ K1/3
2 3π
d2 y(z)
1
= − √ K2/3
2
dz
3π
z
=z
K1/3
3π
2 3/2
z
z
− √
K−2/3
3
2 3π
2 3/2
z3/2
z
K−1/3
+ √
3
2 3π
∞
2 2/3
e− 3 z
cosh(t)
cosh
0
2 3/2
2
z
+ K4/3 z3/2
3
3
t
cosh(t)dt
3
z
2
= − √ K2/3 z3/2
3
3π
3/2
2
z
= √ K1/3 z3/2
3
3π
2 3/2
2
z
+ K5/3 z3/2
3
3
(51)
2 3/2
z
= zΦ(z)
3
(52)
これで、Eq.(50) の右辺が Eq.(49) の解であることは示せた。更に、２つの境界 z = 0, z = ∞ での両辺の値が
lim Φ(z) = 0
z→∞
lim
z→∞
z
2
K1/3 z3/2 = 0
3π
3
√
∞
ξ3
31/3 3 ∞ t3
1
cos dξ =
e dt
lim Φ(z) = √
√
z→0
3
π 0
2 π 0
∞
31/3
1 dx
= √
x−2/3 e−x dx ; x = t3 → dt =
3
x2/3
2 3π 0
31/3
1
= √ Γ
2 3π 3
5
lim
z→0
Γ 6
z
2
1
2
K1/3 z3/2 = lim √ z1/2 √
2 · z3/2
z→0
3π
3
3
π
3π
∞
1/3
dt
4
t 2 + z3
9
0
5/6
ここでは、
Kν (z) =
Γ ν + 12 (2z)ν
√
π
∞
0
cos t
t2
+ z2
ν+1/2
dt
の関係式を使った。更に、
5
6
Γ
1
2
2 · z3/2
√ z1/2 √
3
π
3π
5
6
4
3π 3
1/3
21/3 3
= √
3π 2
1/3
Γ
= √
2/3
(2/3)5/3
∞
1/3
0
∞
0
5
6
dt
t2
4
+ z3
9
dx
1 + x2
5/6
=
5/6
Γ
4
= √
3π 3
z
0
21/3 Γ 56 (2/3)1/3 (2/3) Γ
√
(2/3)5/3
3π
1 1
1
31/3
1
Γ
Γ
= √ Γ
2 3
2
2 3π 3
10
4 3
z
9
∞
1/3



t



 4z3 /9
5
6
−
2Γ
1
2
Γ
5
6
1/2
d
t
[4z3 /9]1/2
5/6
2
4z3 /9






+
1


1/2 

1
2
5/6
となる。よって２つの境界での両辺の値が等しいことが分かる。二階の微分方程式の解の一意性から、２つの
境界条件を与えれば、解が一意に決まることにより、Eq.(50) が正しいことが証明された。
7.3 n
n
1 の場合の Bessel Function
1 の時
Jn (n ) =
が、以下の式で書ける：


1




π
Jn (n ) = 



0
∞
1
π
0
cos n
0
π cos n (ξ − sin ξ) dξ
1−
2
2
ξ+
ξ3
6
dξ
(53)
for
∼1
for
1
(54)
.
この積分には小さい角度 ξ のみが影響を与え、上限の値には殆ど依存しないので上限を ξ → ∞ とした。小さ
い角度 ξ では 1 −
2
∼ o(ξ2 ) なので三次まで残した。
■証明
for
∼ 1:
for
1:
∞
1
π
1
=
π
1
Jn (n ) ∼
π
Jn (n ) ∼
0
π
cos n ξ −
1−
cos
2
ξ−
ξ3
+ o(ξ3 )
6
dξ =
1
π
π
0
cos n ξ (1 − ) +
ξ3
6
2
ξ3
1+
ξ+
; ∵ ξ ∼ o(1) → ξ ∼
6
2
0
π
1
cos(nξ)dξ =
sin(nξ) π0 = 0
nπ
0
8 Energy Spectrum (後半)
8.1 立体角積分
Eq.(31),(32) の立体角積分、
dW
=
dt
Ω
d(W x + Wy + Wz ) e2
=
dΩdt
c
π
∞
ω2n β2 Jn2 (λn ) +
0 n=−∞
cos2 θ 2
Jn (λn ) sin θdθ
sin2 θ
を行う。この角括弧の中は (Bessel Function の引数 λn は省略する)、
β2 Jn2 +
2
2
1
n2 β2 2
cos2 θ 2
2 Jn−1 − Jn+1
2
2
2 Jn−1 − Jn+1
J
=
β
J
−
J
=
β
+
+
J − Jn2 ;
n
n
n
2
2
λ2n n
sin2 θ
sin2 θ
Jn−1 − Jn+1 2
β2 2
Jn−1 + Jn+1 2
2
− Jn2 =
J + Jn+1
− Jn2
= β2
+
2
2
2 n−1
1 2 2
2
=
β Jn−1 − 2Jn2 + Jn+1
− 1 − β2 Jn2
2
λn = nβ sin θ
と書ける。これより立体角積分は、
π
β2 Jn2 (λn ) +
0
cos2 θ 2
β2
J
(λ
)
sin
θdθ
=
n
n
2
sin2 θ
π/2
π
+
0
π/2
π/2
2
2
sin θJn−1
− 2 sin θJn2 + sin θJn−1
dθ − 1 − β2
0
であるが、今
0
π
sin θJn2 (nβ sin θ)dθ =
π/2
sin θ Jn2 (nβ sin θ )(−dθ ) ;
π/2
π/2
sin θJn2 (λn )dθ
=
0
11
θ = π − θ, dθ = −dθ,
θ
θ
π/2 →
π/2 →
π
sin θJn2 dθ
+
π
0
π/2
であることから、
π
0
= β2
π/2
cos2 θ 2
Jn (λn ) sin θdθ = β2
sin2 θ
β2 Jn2 (λn ) +
π/2
2
2
sin θJn−1
− 2 sin θJn2 + sin θJn−1
dθ − 2 1 − β2
0
2nβ
1
2nβ
J(2n−1)−1 (t) − 2J(2n−1)+1 (t) + J(2n+1)+1 (t) dt −
0
2 1 − β2
2nβ
2nβ
J2n (t)dt
0
π/2
Jn2 (z sin θ) sin θ dθ =
∵
0
=
2nβ
β
n
J2n−1 (t) − J2n+1 (t) dt −
0
β
1 − β2
2n
nβ
J2n (2nξ)dξ ;
t = 2mξ, dt = 2ndξ,
0
β
β
1 − β2
= [J2n−1 (t) − J2n+1 (t)]2nβ
−
2
0
n
β
2β
1 − β2
J2n (2nβ) − 2
n
β
J2n (2nξ)dξ =
0
sin θJn2 dθ
0
1
2π
t
ξ
β
2z
J2n (t)dt
0
0 →
0 →
2nβ
β
J2n (2nξ)dξ
0
を得る。以上より立体角積分をした結果は以下のようになる：
dW
2e2 ωse
=
dt
cβ
8.2 n
n
∞
β
nβ2 J2n (2nβ) − n2 1 − β2
n=−∞
(55)
J2n (2nξ)dξ .
0
1 の時の J2n (2nξ) の振る舞い
1 の時以下の式が成り立つ：
J2n (2nξ) ∼
■証明
1
√ Φ n2/3 1 − ξ2 .
n1/3 π
(56)
1, , ξ ∼ 1
n
∞
1
π
J2n (2nξ) =
cos 2n
0
−1/3
∞
n
=
π
cos
0
1 − ξ2
ζ3
ζ+
2
6
dζ =
1
π
∞
nζ 3
+ n 1 − ξ2 ζ dζ ;
3
cos
0
nζ 3 = η3 , dζ = n−1/3 dη
η3
1
+ n2/3 1 − ξ2 η dη = 1/3 √ Φ n2/3 1 − ξ2
3
n
π
Eq.(56) の両辺を 2nξ で微分すると以下を得る：
d
1
J2n (2nξ) = J2n (2nξ) = 1/3 √ Φ n2/3 1 − ξ2
d(2nξ)
n
π
8.3 γ
γ
d n2/3 1 − ξ2
d(2nξ)
=−
1
√ ξΦ n2/3 1 − ξ2 .
n2/3 π
(57)
1 のときの Energy Spectrum
1 の時、Eq.(55) は n
1 が主に寄与する。[ω, ω + dω] の間には、dω/ωse 個のモードが存在する。
従って Eq.(55) を ωse で割ることで、連続的に分布した周波数あたりの強度に変換することが出来る。今
u = n2/3 1 − ξ2 , u0 = n2/3 1 − β2 → du = −2n2/3 ξdξ とおくと、
2e2 ωse
dW
=
dωdt
c
∞
n=−∞
n −
1
√ Φ (u0 ) − n2 1 − β2
n2/3 π
2e2 ωse
−n1/3 Φ (u0 ) − n5/3 1 − β2
= √
c π
u0
2e B √
u0 −Φ (u0 ) −
= √
2
2
π mc
3
∞
∞
u0
β
0
1
√ Φ n2/3 1 − ξ2 dξ
n2/3 π
du
Φ(u) 2/3
2n ξ
Φ(u)du
here ξ ∼ β ∼ 1, but 1 − β2
;
u0
を得る。更に、
z
2
Φ (z) = − √ K2/3 z3/2 ,
3
3π
12
Φ(z) =
z
2
K1/3 z3/2
3π
3
0, n =
u0
1 − β2
3/2
(58)
であるから、
∞
u3/2 ∞
u3/2
u3/2
√
2
u
2
0
− u0 Φ (u0 ) − 0
Φ(u)du = √0 K2/3 u3/2
−
K1/3 u3/2 du
0
2 u0
3
2 u0
3π
3
3π
∞
3 χ0
3
2 3/2
2
= √ K2/3 (χ0 ) − √ χ0
K1/3 (χ)dχ ; here χ = u χ0 = u3/2
→ dχ = u1/2 du
2 3π
3
3 0
χ0
4 3
3
3 χ0
√ K2/3 (χ0 ) − √ χ0
2 3π
4 3
∞
3χ0
= √
−
K2/3 (χ)dχ −
χ0
2 3π
∞
3χ0
K5/3 (χ)dχ
= √
4 3π χ0
=
を得る。よって、
∞
3χ0
1 ∞
K2/3 (χ0 ) −
K1/3 (χ)dχ
√
2 χ0
χ0
2 3π
∞
∞
3χ0
1
K1/3 (χ)dχ = √
K−1 (χ) + K5/3 (χ) − K1/3 (χ) dχ
χ0
2 3π χ0 2
K1/3 (χ)dχ =
√ 3
dW
3e B
=
F(χ0 )
dωdt
2π mc2
here
F(χ0 ) = χ0
∞
K5/3 (χ)dχ,
χ0
χ0 ≡
ω
,
ωc
(59)
ωc =
3 3
3
γ ωse = γ2 ωce
2
2
(60)
を得る。
F(x)
0.92
o
0.29
1
図2
3
2
4
x
F(χ) の概形。χ = 0.29 で最大値 0.92 をとる。
8.4 電子のエネルギー分布が与えられた場合
電子のエネルギー分布が power law:
N(γ)dγ = Cγ−p dγ
(61)
で与えられるとき、輻射の周波数分布を計算する。Eq.(60) より、
χ0 =
2ωme c −2
2ωme c
γ
→ γ=
3eB
3eB
1/2
χ−1/2
, dχ0 = −
0
13
3eB 3
γ dχ0 ;
4ωme c
γ
χ0
0 → ∞
∞ → 0
であるから、
∞
P(ω) =
0
√
dW
N(γ)dγ =
dωdt
∞
0
√ 3
3 e B
3eB 3
F(χ0 )Cγ−p
γ dχ0
2π me c2
4ωme c
∞
3 e3 B 3eB
2ωme c
=
C
χ(p−3)/2
F(χ0 )dχ0
0
2π mc2 4ωmc
3eB
0
√ 3
p 19
3 e CB 3eB me cω −(p−1)/2 me cω (3−p)/2
2
p
1
2
· 2 · 2(p−3)/2
Γ
+
−
=
Γ
3eB
p + 1 4 12
4 12
2πme c2 4ωme c 3eB
√ 3
p
1 mcω −(p−1)/2
3 e CB
p 19
+
Γ
−
=
Γ
2
4 12 3eB
2πmc (p + 1) 4 12
(3−p)/2
(62)
を得る。ここで Γ は Gamma function で、以下の関係式を用いた：
∞
0
xµ F(x)dx =
2µ+1
µ 7
µ 2
Γ
+
Γ
+
.
µ+2 2 3
2 3
14
(63)

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