電気回路入門Ⅱ
大豆生田利章　著
c 大豆生田利章 2011
まえがき
本書は『電気回路入門 I』に引き続き，電気回路に関する諸事項のうち微積分の知識を
必要とするものを扱う．本書も『電気回路入門 I』と同じく群馬工業高等専門学校電子情
報工学科における電気回路の講義をもとにしている．本書で前提としている微積分に関す
る知識は基本的に一変数に関するもの（微分方程式を含む）であるが，第 6 章および第 7
章では偏微分に関する知識を用いている．級数の収束あるいは積分の存在に関しては数学
的に厳密な議論は行なっていない．これは，厳密な議論をするために必要な数学の知識の
修得が高等専門学校では不十分であることと，電気回路ではほとんどの場合は厳密な議論
を行なわなくても十分であることによる．なお，本書では正弦波定常状態の電気回路は簡
単に取り扱い，詳細は『電気回路入門 I』に譲る．
『電気回路入門 I』と同様に，本書においても記号等はおおむね JIS に従って以下のよ
うに表記する．
(1) 量記号は V ，i のようにイタリック体を用い，単位記号は V， A のようにローマン体
を用いる．
(2) ベクトルは V のようにイタリック体太字を用い，行列は Z のようにサンセリフ体を
用いる．
(3) 単位を持つ数値は 1.5 V のように表すが，量記号に単位記号を付けるときは I [A] の
ように角括弧を用いる．
(4) 点，線，素子，物等を表す記号は，点 A のようにローマン体を用いる．ただし，量記
号で素子を表すときは抵抗 R のようにする．
(5) 自然対数は ln，常用対数は log で表す．
(6) 自然対数の底（ネイピア数）および虚数単位はローマン体を用いて e および j で表す．
(7) 指数関数は ex および exp x 両方の表記を適宜使用する．
(8) 逆三角関数は arctan ではなく∫tan−1 という表現を用いる．
df
(9) 微分および積分は
および
f (t) dt のように表す．
dt
本書および『電気回路入門 I』で扱わなかった電気回路に関する主要な事項には，(1) グ
ラフ理論と回路方程式，(2) 三相交流の対称座標法，(3) イミタンス関数と回路の合成，(4)
z 変換，(5) スミスチャート，(6) 電磁気学と電気回路の関係がある．これらの事項に関し
i
ii
c 大豆生田利章 2011
ては他の書籍を参考に学んでほしい．
まえがき
c 大豆生田利章 2011
iii
目次
i
まえがき
第1章
微積分を用いた電気回路の解析
1
1.1
電気回路の基本式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
実効値と平均値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3
電力と電力量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.4
電気回路のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
フーリエ級数とフーリエ変換
17
2.1
フーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2
複素フーリエ級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3
フーリエ級数と電気回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.4
フーリエ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.5
標本化定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
過渡現象
47
第2章
第3章
3.1
RC 回路および RL 回路の過渡現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2
過渡現象の初期値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
LCR 回路の過渡現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4
変成器を含む回路の過渡現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
ラプラス変換
71
4.1
回路の応答と畳み込み積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.2
ラプラス変換の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.3
逆ラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.4
電気回路への応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4.5
過渡現象の初期値：再論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
4.6
回路の安定性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
第4章
56
c 大豆生田利章 2011
iv
第5章
動作パラメータフィルタ
目次
105
5.1
伝達関数と周波数特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2
正規化特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3
フィルタの周波数変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.4
フィルタの設計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5
2 次伝達関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
第6章
分布定数回路
119
6.1
電信方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.2
正弦波定常状態の電圧・電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3
無損失有限長線路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4
伝送線路の接続とインピーダンス挿入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.5
S 行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
第7章
分布定数回路の過渡現象
163
7.1
波動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2
無損失線路における波の伝搬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3
無損失有限長線路の過渡現象 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4
格子図による過渡現象の解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5
ラプラス変換による過渡現象の解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
付録 A
数学公式集
180
付録 B
周期関数の定積分
183
付録 C
ステップ関数のフーリエ変換
184
付録 D
ラプラス変換表
187
付録 E
ラプラス変換とフーリエ変換の関係
188
付録 F
不定積分のラプラス変換
190
付録 G
部分分数展開の係数
191
付録 H
デルタ関数のラプラス変換
193
付録 I
低域原型フィルタの素子値
194
付録 J
複素数に関する不等式の証明
196
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目次
v
付録 K
二端子対網の行列表示
198
付録 L
Z 行列と S 行列の関係
199
付録 M
F 行列と S 行列の関係
201
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1
第1章
微積分を用いた電気回路の解析
本章では微分および積分を使った電気回路の解析を述べる．
1.1
電気回路の基本式
1.1.1 基本素子の満たす微分方程式
電気回路の基本素子は以下の関係を満たす．この関係はどのような場合でも成立する．
v = Ri
(1.1)
φ = Li
q = Cv
(1.2)
(1.3)
ここで，v は素子両端の電圧，i は素子を流れる電流，R は抵抗，L はインダクタンス，C
は静電容量，φ はコイルの鎖交磁束，q はコンデンサに蓄えられている電荷である．厳密
には電圧および電流は時間 t の関数であるので，v(t) および i(t) と書くべきであるが，変
数が t であることが明らかなときは省略する．
図 1.1
電気回路の基本素子
各素子の電圧電流の関係式を導き出してみる．式 (1.1) はそのままオームの法則である．
次に，式 (1.2) の両辺を時間 t で微分し，電磁誘導の法則
v=
dφ
dt
(1.4)
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2
第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
を用いると
v=L
di
dt
(1.5)
となる．次に，式 (1.3) の両辺を微分し，電流 i の定義式
i=
dq
dt
(1.6)
を用いると
i=C
dv
dt
(1.7)
となる．以上をまとめると基本素子の満たす微分方程式は
v = Ri
(1.8)
di
dt
dv
i=C
dt
v=L
(1.9)
(1.10)
となる．
例として電流 i が最大値 Im ，角周波数 ω の正弦波
i = Im sin ωt
(1.11)
であるとする．このときの各素子の満たす式は
v = RIm sin ωt
v = ωLIm cos ωt = ωLIm sin(ωt +
v=−
(1.12)
π
)
2
Im
Im
π
cos ωt =
sin(ωt − )
ωC
ωC
2
(1.13)
(1.14)
である．これが正弦波交流に対する電圧電流の関係式になる．
変圧器に関しては，L1 および L2 を自己インダクタンス，M を相互インダクタンスと
して，図 1.2 のように電圧と電流を定めると，電圧と電流の関係式は，

di1
di2


v1 = L1
+M
dt
dt


v2 = M di1 + L2 di2
dt
dt
となる．
(1.15)
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1.1 電気回路の基本式
図 1.2
3
変成器の電圧・電流の関係式
【例題 1.1】
コイル L に流れる電流 i が時刻 t に対して以下のように変化する．このときのコイル両
端の電圧 v を求めよ．k および T は定数とする．

0



kt2
i=

−2kT t + 3kT 2



−3kT 2
t<0
0≤t<T
T ≤ t < 3T
3T ≤ t
(1.16)

0




2ktL
di
v=L =
dt 
−2kT
L



0
t<0
0≤t<T
T ≤ t < 3T
3T ≤ t
(1.17)
〔解答 1.1〕
1.1.2 正弦波の複素数表示とフェーザ
ある時刻 t における正弦波電流の瞬時値 i は，最大値 Im ，角周波数 ω および初期位相
θI を用いて
i = Im sin(ωt + θI )
(1.18)
e jθ = cos θ + j sin θ
(1.19)
と書ける．これはオイラーの公式
を用いると，変数が複素数である指数関数を用いて
]
[
i = Im Im e j(ωt+θI )
(1.20)
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4
第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
と書いたものと等価になる．ここで Im [z] は複素数 z の虚部を示す．
角周波数 ω が同じである 2 つの正弦波電流
i1 = Im1 sin(ωt + θI1 )
(1.21)
i2 = Im2 sin(ωt + θI2 )
(1.22)
i1 + i2 = Im1 sin(ωt + θI1 ) + Im2 sin(ωt + θI2 )
(1.23)
の和は
である．一方で 2 つの指数関数
I1 = Im1 e j(ωt+θI1 )
(1.24)
j(ωt+θI2 )
(1.25)
I2 = Im2 e
の和の虚部は
[
]
Im [I1 + I2 ] = Im Im1 e j(ωt+θI1 ) + Im2 e j(ωt+θI2 )
= Im1 sin(ωt + θI1 ) + Im2 sin(ωt + θI2 )
(1.26)
である．よって
i1 + i2 = Im [I1 + I2 ]
(1.27)
である．
また，Im e j(ωt+θI ) を微分すると
d
Im e j(ωt+θI ) = jωIm e j(ωt+θI ) = −ωIm sin(ωt + θI ) + j ωIm cos(ωt + θI )
dt
(1.28)
となる ∗1 ．一方で
di
= ωIm cos(ωt + θI )
dt
(1.29)
であるので
[
]
d
di
= Im
Im e j(ωt+θI )
dt
dt
(1.30)
となる．次に，Im e j(ωt+θI ) を積分すると
∗1
数学の複素関数論より変数が複素数である指数関数の微積分は実数が変数である指数関数の微積分と同様
に計算してよいことが知られている．
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1.1 電気回路の基本式
∫
Im e j(ωt+θI ) dt =
Im j(ωt+θI )
Im
Im
e
=
sin(ωt + θI ) − j
cos(ωt + θI )
jω
ω
ω
5
(1.31)
となる．一方で
∫
i dt = −
Im
cos(ωt + θI )
ω
(1.32)
であるので
[∫
∫
i dt = Im
]
Im e
j(ωt+θI )
dt
(1.33)
となる．電圧に対しても同様の関係
v1 + v2 = Im [V1 + V2 ]
[
]
d
dv
= Im
Vm e j(ωt+θV )
dt
dt
[∫
]
∫
Vm e j(ωt+θV ) dt
v dt = Im
(1.34)
(1.35)
(1.36)
が成立する．これより，以下の結果が得られる ∗2 ．
角周波数が同じであるときに，変数が複素数である指数関数に対する加減微積分
の計算結果の虚部と，三角関数に対する加減微積分の計算結果は等価である．
以上で述べたことから，正弦波関数 sin(ωt + θ) と指数関数 exp (j(ωt + θ)) を同じものと
みなして取り扱うことが多い．つまり，電圧・電流を変数が複素数の指数関数を用いて
v = Vm e j(ωt+θV )
(1.37)
i = Im e j(ωt+θI )
(1.38)
のように表し，具体的な瞬時値を求めるときには虚部のみを考えることにするのである．
式 (1.37) や式 (1.38) を正弦波の複素数表示と呼ぶ．
［補足］
式 (1.18) では正弦波交流の瞬時値を三角関数の正弦（サイン）を用いて表したが，瞬時値を余弦
（コサイン）で表す流儀もある．このときは，正弦波の複素数表示の実部を瞬時値とする．
複素数表示した電流を，以下の式のように，時間変化する部分 exp(jωt) と時間変化し
ない部分 I に分ける．
Im e j(ωt+θI ) = Im e jθI · e jωt = I · e jωt
このとき，以下の式で表される時間変化の無い部分 I をフェーザと呼ぶ．
∗2
乗除算に対しては成立しない．
(1.39)
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6
第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
I = Im e jθI
［補足］
さが
√
(1.40)
ここでのフェーザの定義は『電気回路入門 I』で扱った正弦波交流に対するフェーザの定義と大き
2 倍異なるが，これは大きさとして実効値を考えるかあるいは最大値を考えるかの違いである．この違い
は本質的な問題ではないので，必要に応じて使い分ければよい．
電圧に対しても同様に
V = Vm e jθV
(1.41)
をフェーザと呼ぶ．電圧のフェーザ V と電流のフェーザ I の比をインピーダンス Z と定
義する．
Z=
Vm j(θV −θI )
V
=
e
I
Im
(1.42)
フェーザ V ，フェーザ I と時間変化する項 e jωt を用いると，電圧・電流の瞬時値 v ，i
は以下のように表される．
v = V e jωt
i=Ie
(1.43)
jωt
(1.44)
この電圧・電流を各基本素子の満たす微分方程式
v = Ri
(1.45)
di
dt
dv
i=C
dt
v=L
(1.46)
(1.47)
に代入すると以下の結果が得られる．
V e jωt = RI e jωt
Ve
jωt
Ie
jωt
= jωLI e
(1.48)
jωt
= jωCV e
jωt
(1.49)
(1.50)
となる．この結果から，両辺に共通な e jωt を省略することで以下の正弦波交流回路の基
本式が得られる．
V = RI
V = jωLI
1
I
V =
jωC
(1.51)
(1.52)
(1.53)
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1.2 実効値と平均値
7
また，各素子のインピーダンスは以下の式で与えられる．
Z=R
Z = jωL
1
Z=
jωC
1.2
(1.54)
(1.55)
(1.56)
実効値と平均値
ここでは，周期が T である一般の交流電圧 v(t) について考える．
交流電圧 v(t) に対する平均値 Va ，実効値 Ve ，およびピークピーク値 Vpp を以下の式で
定義する．
Va =
Ve =
1
T
√
∫
T
|v(t)| dt
0
1
T
∫
T
2
v(t) dt
(1.57)
(1.58)
0
Vpp = max v(t) − min v(t)
(1.59)
交流が正弦波からどのくらいずれているかを示す目安として波形率 Ff および 波高率 Fp
と呼ばれる量を以下の式で定義する．
Ve
Va
Vm
Fp =
Ve
Ff =
(1.60)
(1.61)
ここで，Vm は最大値である．交流電流に対しても，平均値，実効値，ピークピーク値，波
形率，波高率が同じように定義される．
例として正弦波交流電圧
v = Vm sin
2πt
T
に対して各量を求めてみると，以下のようになる．
(1.62)
8
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第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
[
]T /2
∫
∫
1 T
2πt
Vm
2πt
2πt
2Vm T /2
Vm sin
dt =
sin
dt =
− cos
T 0
T
T
T
π
T 0
0
2Vm
=
0.637Vm
(1.63)
√π
√
)
∫
∫ (
1 T
Vm 2 T
4πt
2
2 2πt
Ve =
Vm sin
dt =
1 − cos
dt
T 0
T
2T 0
T
√
√
[
]T
4πt
Vm
Vm 2
Vm 2
T
sin
=
=√
=
t−
0.707Vm
(1.64)
2T
4π
T 0
2
2
Va =
(
)
(
)
2πt
2πt
Vpp = max Vm sin
− min Vm sin
= Vm − (−Vm ) = 2Vm
T
T
Ve
π
Ff =
= √
1.11
Va
2 2
√
Vm
Fp =
= 2 1.41
Ve
(1.65)
(1.66)
(1.67)
【例題 1.2】
以下の式および図 1.3 で示される周期 T の半波整流波形の波形率および波高率を求めよ．


Vm sin 2πt
T
v=

0
図 1.3
T
0<t<
2
T
<t<T
2
(1.68)
半波整流波形
〔解答 1.2〕
平均値 Va は
Va =
1
T
∫
T /2
Vm sin
0
[
]T /2
2πt
Vm
2πt
Vm
dt =
− cos
=
T
2π
T 0
π
(1.69)
c 大豆生田利章 2011
1.3 電力と電力量
9
実効値 Ve は
√
√
(
)
∫
2πt
Vm 2 T /2
4πt
Ve =
Vm sin
dt =
1 − cos
dt
T
2T 0
T
0
√
√
[
]T /2
Vm 2
T
4πt
Vm 2
Vm
t−
sin
=
=
=
2T
4π
T 0
4
2
1
T
∫
T /2
2
2
(1.70)
である．これより，波形率 Ff は
Ff =
π
Vm /2
=
Vm /π
2
(1.71)
Fp =
Vm
=2
Vm /2
(1.72)
波高率 Fp は
となる．
1.3
電力と電力量
周期が T である一般の交流電圧 v ，交流電流 i に対して瞬時電力 p，平均電力（有効電
力）P ，皮相電力 Pa および力率 λ を以下の式で定義する．ただし，電圧・電流の実効値
を Ve ，Ie とする．
p = vi
∫
1 T
1
p dt =
T 0
T
Pa = Ve Ie
P
λ=
Pa
(1.73)
∫
T
P =
vi dt
(1.74)
0
(1.75)
(1.76)
以上の定義は一般の交流に対するものであるが，特に正弦波交流の場合は複素電力 Pc
を以下のようにして定義することができる．正弦波電圧・正弦波電流の複素数表示は，最
大値を Vm ，Im として，
V = Vm e jθV e jωt
(1.77)
I = Im e jθI e jωt
(1.78)
c 大豆生田利章 2011
10
第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
である．この V と I より時間変化しない量を作り出すと，以下のようにインピーダンス
Z と複素電力 Pc が得られる．
V
Vm j(θV −θI )
=
e
(1.79)
I
Im
VI
Vm Im j(θI −θV )
Pc =
=
e
= Ve Ie e j(θI −θV )
(1.80)
2
2
√
ここで，正弦波の最大値は実効値の 2 倍であることを用いた．有効電力 P と複素電力
Z=
Pc の関係は
[ ]
Re V I
P = Ve Ie cos(θI − θV ) = Re [Pc ] =
2
(1.81)
となる．ここで Re [z] は複素数 z の実部を示す．
【例題 1.3】
複素数表示した正弦波交流に対して，以下の式が成立することを示せ．
P =
VI +VI
4
(1.82)
〔解答 1.3〕
V I = Vm Im e j(θI −θV ) = Vm Im cos(θI − θV ) + jVm Im sin(θI − θV )
(1.83)
V I = Vm Im e j(θV −θI ) = Vm Im cos(θI − θV ) − jVm Im sin(θI − θV )
(1.84)
より
VI +VI
Vm Im cos(θI − θV )
=
= Ve Ie cos(θI − θV ) = P
4
2
(1.85)
時刻 0 から T までの間の 電力量 W は，微小時間 dt の間の電力量が瞬時電力 p を用い
て p dt となることから，積分を用いて
∫
T
W =
p dt
(1.86)
0
と表せる．瞬時電力はある時点において電源から負荷へ移動する単位時間当たりの電気エ
ネルギーであるので，電力量はある時間の範囲に電源から負荷へ移動した電気エネルギー
の総量になる．
c 大豆生田利章 2011
1.4 電気回路のエネルギー
11
【例題 1.4】
ある電気回路において負荷の端子間電圧 v および負荷を流れる電流 i が以下の式で表され
るとする．このとき時刻 0 から T までの間に負荷で消費されるエネルギー W を求めよ．
(
)
v = V0 e−t + e−2t
(
)
i = I0 e−t − e−2t
(1.87)
(1.88)
〔解答 1.4〕
電力量が負荷の消費するエネルギーになるので，
∫
W =
∫
T
0
0
V0 I0 [
=
−2 e−2T
4
1.4
]T
[ −2t
(
)
e−4t
e
+
V0 I0 e−2t − e−4t dt = V0 I0 −
2
4 0
]
+ e−4T + 1
T
vi dt =
(1.89)
電気回路のエネルギー
1.4.1 コンデンサ・コイルの蓄積エネルギー
静電容量 C のコンデンサの端子間電圧 v と電流 i の関係は，
i=C
dv
dt
(1.90)
であるので，コンデンサの瞬時電力 p は
p = vi = Cv
dv
dt
(1.91)
となる．コンデンサに移動したエネルギーの総量 WC は，瞬時電力 p の時間 t に関する
積分で与えられる．
∫
WC =
∫
p dt =
dv
Cv
dt =
dt
∫
Cv dv =
Cv 2
2
(1.92)
これより端子間電圧 v が 0 の時刻では，コンデンサに移動した全エネルギー WC が 0 に
なる．これは，電源からコンデンサへのエネルギーの移動がコンデンサから電源へのエネ
ルギーの移動により打ち消されていることを意味している．つまり，コンデンサはエネル
ギーを消費せず，蓄積しているだけであり，コンデンサに蓄積されたエネルギーは WC で
与えられることになる．
c 大豆生田利章 2011
12
第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
インダクタンスが L であるコイルの端子間電圧 v と電流 i の関係は
v=L
di
dt
(1.93)
であるので，コンデンサの場合と同様にして，コイルに蓄積されるエネルギ WL は以下の
式で与えられることになる．
∫
WL =
∫
p dt =
∫
vi dt =
Li
di
dt =
dt
∫
Lidi =
Li2
2
(1.94)
【例題 1.5】
コイルに流れる電流 i が実効値 Ie の正弦波交流のときにコイルに蓄積される平均エネル
ギーは
WL =
LIe 2
2
(1.95)
であることを示せ．
〔解答 1.5〕
正弦波交流の周期を T として，電流の瞬時値を
i=
√
2Ie sin
2πt
T
(1.96)
とおくと，
WL
1
=
T
∫
0
2
T
LIe 2
Li2
dt =
2
T
∫
T
LIe 2
2πt
dt =
sin
T
2T
∫
T
2
0
[
]T
LIe
T
4πt
LIe 2
=
t−
sin
=
2T
4π
T 0
2
0
)
(
4πt
dt
1 − cos
T
(1.97)
となる．
例題 1.5 と同様にして，コンデンサの端子間に実効値 Ve の正弦波交流電圧が加わってい
るときのコンデンサに蓄積される平均エネルギーは
WC =
となる．
CVe 2
2
(1.98)
c 大豆生田利章 2011
1.4 電気回路のエネルギー
13
1.4.2 変成器の蓄積エネルギー
変成器の基本式は 2 ページの式 (1.15) に示したように，
di1
di2
+ L12
dt
dt
di2
di1
+ L22
v2 = L21
dt
dt
v1 = L11
(1.99)
(1.100)
である．ただし，ここでは自己インダクタンスを L11 および L22 と表し，2 つの相互イン
ダクタンスを区別して L12 および L21 で表す ∗3 ．変成器の瞬時電力 p は
p = v1 i1 + v2 i2 = L11 i1
di1
di2
di1
di2
+ L12 i1
+ L21 i2
+ L22 i2
dt
dt
dt
dt
(1.101)
となり，変成器に蓄積されるエネルギー WM は瞬時電力 p を用いて，
∫
W =
p dt
(1.102)
で与えられる．ここで，変成器の 1 次側の電流 i1 と 2 次側の電流 i2 を図 1.4 に示すよう
に (i1 , i2 ) = (0, 0) から (i1 , i2 ) まで増加させることにより，変成器に蓄積されるエネル
ギー WM を求めてみる．
図 1.4
変成器を流れる電流の変化
図 1.4 (a) のように，まず，i1 を増加させて，(i1 , i2 ) = (0, 0) から (i1 , i2 ) = (I1 , 0) に
する．このとき，i2 = および di2 /dt = 0 であることに注意すると，蓄積エネルギーの増
加分 ∆W1 は
∫
i1 =I1
∆W1 =
L11 i1
i1 =0
∗3
di1
dt =
dt
∫
I1
L11 i1 di1 =
0
L11 I1 2
2
(1.103)
14 ページの式 (1.108) で示すように，実際には相互インダクタンスはどちらも等しくなり，M とおける．
c 大豆生田利章 2011
14
第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
となる．次に i2 を増加させて (i1 , i2 ) = (I1 , 0) から (i1 , i2 ) = (I1 , I2 ) にする．このとき，
i1 = I1 および di1 /dt = 0 であることに注意すると，蓄積エネルギーの増加分 ∆W2 は
∫
i2 =I2
∆W2 =
i2 =0
[
]
∫ I2
di2
di2
L12 I1
+ L22 i2
dt =
[L12 I1 + L22 i2 ] di2
dt
dt
0
= L12 I1 I2 +
L22 I2 2
2
(1.104)
となるので，変成器の蓄積エネルギー WM は
WM = ∆W1 + ∆W2 =
L11 I1 2
L22 I2 2
+ L12 I1 I2 +
2
2
(1.105)
となる．
ここで，電流の増加の順序を変えて，図 1.4 (b) のように，(0, 0) → (0, I2 ) → (I1 , I2 )
とした場合の変成器の蓄積エネルギー WM を求めると
WM =
L11 I1 2
L22 I2 2
+ L21 I1 I2 +
2
2
(1.106)
となる．どちらの場合も変成器に流れている電流が同じなので，蓄積エネルギーは同じに
なるはずである．したがって，
WM = WM
(1.107)
L12 = L21 = M
(1.108)
である．これより，
となる．また，蓄積エネルギーは負にならないので
W =
L11 I1 2
L22 I2 2
+ M I1 I2 +
≥0
2
2
(1.109)
である．式 (1.109) を I1 あるいは I2 に関する二次不等式と考えて解くと，以下の解を
得る．
L11 > 0,
L22 > 0,
L11 L22 ≥ M 2
(1.110)
これは，変成器の蓄積エネルギーより自己インダクタンス L11 および L22 と相互インダ
クタンス M の実現可能な値の範囲が制限されることを示している．
1.4.3 共振回路のエネルギー
ここでは，図 1.5 の LCR 直列回路が共振しているときの，回路のエネルギーを求めて
みる．
c 大豆生田利章 2011
1.4 電気回路のエネルギー
15
LCR 直列共振回路のエネルギー
図 1.5
共振時の LCR 直列回路を流れる電流 i は，共振時の回路のインピーダンス Z は R に
等しくなることから，共振角周波数を ω0 として，
i=
E
sin ω0 t,
R
ω0 = √
1
LC
(1.111)
とかける．コンデンサ両端の電圧 vC は，2 ページの式 (1.14) より，
E
E
cos ω0 t = −
vC = −
ω0 CR
R
√
L
cos ω0 t
C
(1.112)
である．これより，コイルに蓄積されるエネルギー WL は
WL =
1 2
LE 2
Li =
sin2 ω0 t
2
2R2
(1.113)
となり，コンデンサに蓄積されるエネルギー WC は
WC =
LE 2
1
CvC 2 =
cos2 ω0 t
2
2R2
(1.114)
となる．回路全体に蓄積されるエネルギー W は
W = WL + WC =
LE 2
2R2
(1.115)
となり，時刻によらない一定値になる．また，周期を T とすると，1 周期の間に抵抗 R が
消費するエネルギー WR は，
∫
T
WR =
0
となる．ここで，ω0 =
E2
Ri dt =
R
∫
T
sin2 ω0 t dt =
2
0
E2
T
2R
(1.116)
2π
であることに注意して，回路の Q を計算すると，
T
Q=
ω0 L
2πL
W
=
= 2π ×
R
RT
WR
(1.117)
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16
第 1 章 微積分を用いた電気回路の解析
となる．つまり，回路の Q は 1 周期の間の消費エネルギーに対する蓄積エネルギーの 2π
倍に等しい．
［補足］
電気回路以外の対象 ∗4 に対しても，蓄積エネルギー W と消費エネルギー WR を考えて，式 (1.117)
を適用することで Q を定義することが可能となる．
∗4
機械的な振動，原子や分子の振動など．
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17
第2章
フーリエ級数とフーリエ変換
正弦波でない周期的波形を非正弦波あるいはひずみ波と呼ぶ．ここではひずみ波を取り
扱う手法であるフーリエ級数と電気回路への応用，さらに非周期的波形を取り扱う手法で
あるフーリエ変換を学ぶ．
2.1
フーリエ級数
時間 t の関数 f (t) が n を整数，T を正の実数として
f (t) = f (t + nT )
(2.1)
を満たすとする．ここで，式 (2.1) を満たす T のうち最小のものを周期と呼ぶ．例えば，
正弦波関数
f (t) = sin
2πt
T
(2.2)
は周期 T の関数の一例である．
ところで，周期 T に関して 最小の正数という条件を除くと n を整数として
f (t) = a0
2nπt
T
2nπt
f (t) = bn sin
T
f (t) = an cos
(2.3)
(2.4)
(2.5)
といった関数も
f (t + nT ) = f (t)
を満たす．これより，直感的に
(2.6)
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18
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
f (t + T ) = f (t)
(2.7)
となる関数（周期関数）は式 (2.3)，式 (2.4) および式 (2.5) を組み合わせて
)
∞ (
∑
2nπt
2nπt
an cos
+ bn sin
T
T
n=1
f (t) = a0 +
と書けることが予想される
∗1
．この級数をフーリエ級数と呼び，各係数 an および bn を
フーリエ係数と呼ぶ．フーリエ級数の各項のうち，a0 を直流分，a1 cos
を基本波，an cos
(2.8)
2nπt
2nπt
+ bn sin
T
T
2πt
2πt
+ b1 sin
T
T
(n ≥ 2) を第 n 高調波と呼ぶ．
ここで問題になるのは，本当にフーリエ級数で周期関数 f (t) が表現できるかであるが，
df (t)
が “区分的に連続” ならば f (t) をフーリエ
dt
∗2
級数で表すことができることが分かっている ．ここで，“区分的に連続” とは “有限なあ
数学では周期関数 f (t) およびその微分
る区間内での不連続点が有限個である” ということである．関数 f (t) が t = a で不連続で
あるときは，不連続点における値 f (a) を
f (a) = lim
→0
f (a − ) + f (a + )
2
(2.9)
と定義する．電気回路の問題に現れる周期関数はフーリエ級数に展開できる条件を満たし
ているとしてよい．
次に，周期関数 f (t) からフーリエ係数 an および bn を求める式を導き出してみる．
フーリエ係数の導出には n と m が 0 でない整数であるときの三角関数の積分に関する
公式
∫
∫
2π
2π
cos nθ dθ =
0
sin nθ dθ = 0
(2.10)
0
および
∫
2π
cos nθ sin mθ dθ = 0
(2.11)
0
と
∫
∫
2π
2π
cos nθ cos mθ dθ =
0
0
{
π
sin nθ sin mθ dθ =
0
(n = m)
(n = m)
(2.12)
を使う．まず，式 (2.8) の両辺 を t = 0 から t = T まで積分する．式 (2.10) で θ =
とすると，三角関数に関する積分は 0 になるので，
a0
とおく流儀もある．
2
∗1
a0 ではなくて
∗2
証明は数学の知識が必要なので省略する．
2πt
T
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2.1 フーリエ級数
∫
19
T
f (t) dt = a0 T
(2.13)
0
2mπt
をかけて t = 0 から t = T まで積分すると，
T
2mπt
式 (2.10)，式 (2.11) および式 (2.12) より cos2
に関する積分以外は 0 になるので，
T
となる．次に，式 (2.8) の両辺 に cos
∫
T
f (t) cos
0
となる．同様に，式 (2.8) の両辺 に sin
∫
2mπt
am T
dt =
T
2
(2.14)
2mπt
をかけて t = 0 から t = T まで積分すると
T
T
f (t) sin
0
2mπt
bm T
dt =
T
2
(2.15)
となる．以上の結果をまとめると
a0 =
an =
1
T
2
T
2
bn =
T
∫
T
f (t) dt
(2.16)
0
∫
T
f (t) cos
2nπt
dt
T
(n ≥ 1)
(2.17)
f (t) sin
2nπt
dt
T
(n ≥ 1)
(2.18)
0
∫
T
0
となる ∗3 ．これらの式の中に現れる定積分では被積分関数が周期 T の関数であり，積分
範囲は下限と上限の差が T であれば任意なので ∗4 ，
a0 =
an =
1
T
2
T
2
bn =
T
∫
−T /2
f (t) dt
∫
∫
(2.19)
T /2
−T /2
f (t) cos
2nπt
dt
T
(n ≥ 1)
(2.20)
f (t) sin
2nπt
dt
T
(n ≥ 1)
(2.21)
T /2
−T /2
T /2
として計算してもよい．
また，三角関数の合成を使うと以下のように正弦波のみの級数でフーリエ級数を表すこ
とができる．
∗3
∗4
a0 の場合のみ，積分の前の分数の値が異なることに注意する．
証明は付録 B 参照．
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20
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
f (t) = A0 +
∞
∑
(
An sin
n=1
2nπt
+ θn
T
)
{
a0
(n = 0)
An = √ 2
2
an + bn (n ≥ 1)
an
tan θn =
(n ≥ 1)
bn
(
)
(
)
2πt
2nπt
+ θ1 を基本波，An sin
+ θn
このときは A0 を直流分，A1 sin
T
T
を第 n 高調波と呼ぶ．
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(n ≥ 2)
【例題 2.1】
次の式および図 2.1 で表される矩形波のフーリエ級数を求めよ．


1 nT < t < nT + T
2
f (t) =
T

0 nT + < t < (n + 1)T
2
図 2.1
(2.25)
矩形波
〔解答 2.1〕
1
a0 =
T
∫
T
0
1
f (t) dt =
T
∫
T /2
1 dt =
0
1 [ ]T /2
1
t
=
T
2
0
∫
∫
2 T
2nπt
2 T /2
2nπt
f (t) cos
dt =
cos
dt
T 0
T
T 0
T
]
1 [
2[ T
2nπt ]T /2
=
=
sin
sin nπ − 0 = 0
T 2nπ
T 0
nπ
∫ T
∫
2nπt
2 T /2
2nπt
2
f (t) sin
dt =
sin
dt
bn =
T 0
T
T 0
T
] (−1)n+1 + 1
2[
T
2nπt ]T /2
1 [
=
−
cos
=
− cos nπ + 1 =
T
2nπ
T 0
nπ
nπ
(2.26)
an =
より
(2.27)
(2.28)
c 大豆生田利章 2011
2.2 複素フーリエ級数
21
∞
1 ∑ (−1)n+1 + 1
2nπt
+
sin
2 n=1
nπ
T
f (t) =
(2.29)
となる．
いくつかの波形について，フーリエ級数が収束していく様子を図 2.2 に示す．
図 2.2
フーリエ級数の収束
［補足］
図 2.2 を見るとわかるように，フーリエ級数は不連続点近傍においては収束しにくい．フーリエ
級数の第 N 項までの和を fN (x) とすると，不連続点 x0 の近傍において
lim fN (x0 ± ) = f (x0 ± )
N →∞
(2.30)
にはならず，不連続幅 lim |f (x + ) − f (x − )| の 9 % 程度の誤差が生じる．この現象をギブスの現象と呼
→0
ぶ．ギブスの現象における誤差は正確には
1
π
∫
π
0
sin x
dt − 0.5
x
0.08948987 · · ·
(2.31)
となる ∗5 ．このように，式 (2.8) の両辺が厳密に等しくなるかどうかは簡単にいえないため，等号の代わりに “
ほとんどの場所では等しくなる” という意味で ∼ を用いることがある．ただし，本書では簡単のため等号を使
用する．
2.2
複素フーリエ級数
電気回路の解析では複素数を用いたほうが扱いやすいことが多い．本節では，フーリエ
級数を複素数を使って表す方法を学ぶ．
∗5
詳しくは他の書籍，例えば『フーリエ級数』（猪狩惺著，岩波書店，1975 年）の 4.3 節を参照．
c 大豆生田利章 2011
22
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
フーリエ級数
f (t) = a0 +
∞
∑
(an cos nω0 t + bn sin nω0 t)
(2.32)
n=1
ただし
ω0 =
2π
T
(2.33)
に対して，複素変数の指数関数と三角関数の関係式 ∗6
e jnω0 t + e−jnω0 t
2
e jnω0 t − e jnω0 t
sin nω0 t =
2j
cos nω0 t =
(2.34)
(2.35)
を代入すると，
)
∞ (
∑
e jω0 t + e−jω0 t
e jω0 t − e jω0 t
f (t) = a0 +
an
+ bn
2
2j
n=1
)
(
∞
∑
an − jbn jnω0 t an + jbn −jnω0 t
= a0 +
e
+
e
2
2
n=1
(2.36)
となる．式 (2.36) において

an − j bn




2
cn = a0



 a−n + j b−n
2
n>0
n=0
(2.37)
n<0
と置き換えると，以下の複素フーリエ級数が得られる．
f (t) =
∞
∑
cn e jnω0 t
(2.38)
n=−∞
式 (2.38) 中の cn を複素フーリエ係数と呼ぶ．複素フーリエ係数は n が負の場合も含まれ
ている．これは複素フーリエ級数では 角周波数の範囲を負の値まで拡張 して取り扱うこ
とを意味している．なお，フーリエ係数 an と bn は実数なので式 (2.37) から
c−n = cn
√
an 2 + bn 2
|cn | =
2
であることが分かる．複素フーリエ係数 cn は積分
∗6
付録 A の式 (A.3) および式 (A.4) を参照．
(2.39)
(2.40)
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2.2 複素フーリエ級数
∫
T
e
j(n−m)ω0 t
0
{
0
dt =
T
n=m
n=m
23
(2.41)
を用いて
∫
1
T
cn =
T
f (t) e−jnω0 t dt
(2.42)
0
として求められる ∗7 ．あるいは積分範囲を変更して ∗8 ，
1
cn =
T
∫
T /2
f (t) e−jnω0 t dt
(2.43)
−T /2
としてもよい．
【例題 2.2】
式 (2.25) の矩形波の複素フーリエ係数 cn を求めよ．
〔解答 2.2〕
n = 0 のとき
c0 =
1
T
∫
T
f (t) dt =
0
1
2
(2.44)
n = 0 のとき
∫
2nπt
1 T /2
2nπt
) dt =
exp(−j
) dt
T
T 0
T
0
[
]T /2
) 1 − (−1)n
1
T
2nπt
1 (
=
exp(−j
)
=
1 − e−jnπ =
T −j2nπ
T
j2nπ
j2nπ
0
cn =
1
T
∫
T
f (t) exp(−j
(2.45)
図 2.3 に矩形波とその複素フーリエ係数の大きさ |cn | をグラフで表した．点線は包絡線を
示している．
【例題 2.3】
次の式および図 2.4 で表されるのこぎり波を複素フーリエ級数を用いて表せ．
f (t) = t − nT
nT ≤ t ≤ (n + 1)T
〔解答 2.3〕
まず，複素フーリエ係数 cn を求める．n = 0 のときは
∗7
∗8
19 ページの実数のフーリエ係数とは異なり，積分の前の分数は n が 0 でも同じになる．
付録 B 参照．
(2.46)
c 大豆生田利章 2011
24
図 2.3
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
矩形波の複素フーリエ係数
図 2.4
c0 =
1
T
∫
のこぎり波
[
T
f (t) dt =
0
t2
2T
]T
=
0
T
2
(2.47)
n = 0 のときは
∫
1 T
2nπt
2nπt
) dt =
) dt
t exp(−j
T
T 0
T
0
]T
∫ T
t
2nπt
1
2nπt
=
exp(−j
) +
) dt
exp(−j
−j2nπ
T
j2nπ
T
0
0
T
=
−j2nπ
cn =
1
T
[
∫
T
f (t) exp(−j
(2.48)
である．複素フーリエ級数は，
f (t) =
∑ T
T
2nπt
+
exp(j
)
2
−j2nπ
T
n=0
となる．
2.3
フーリエ級数と電気回路
この節ではフーリエ級数を電気回路の解析に応用してみる．
(2.49)
c 大豆生田利章 2011
2.3 フーリエ級数と電気回路
25
2.3.1 フーリエ級数を用いた電圧電流の計算
まず次の例題を解いてみる．
【例題 2.4】
図 2.5 の RL 直列回路に電圧
v=
∞
∑
bn sin nω0 t
(2.50)
n=1
を加えたときに回路に流れる電流 i を求めよ．
図 2.5
例題 2.4 図
〔解答 2.4〕
電流のフーリエ級数を
i=
∞
∑
(an cos nω0 t + bn sin nω0 t)
(2.51)
n=1
と仮定して
v = Ri + L
di
dt
(2.52)
に代入すると
∞
∑
bn sin nω0 t =
n=1
∞
∑
[(an R + nω0 Lbn ) cos nω0 t + (bn R − nω0 Lan ) sin nω0 t] (2.53)
n=1
となる．両辺のフーリエ係数を比較して以下の連立方程式を得る．
これを解いて
0 = an R + nω0 Lbn
(2.54)
bn = bn R − nω0 Lan
(2.55)
c 大豆生田利章 2011
26
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
nω0 Lbn
R2 + (nω0 L)2
Rbn
bn = 2
R + (nω0 L)2
an = −
(2.56)
(2.57)
よって
i=
=
∞ [
∑
n=1
∞
∑
−nω0 Lbn
Rbn
cos nω0 t + 2
sin nω0 t
R2 + (nω0 L)2
R + (nω0 L)2
bn
√
sin(nω0 t + θn )
2
R + (nω0 L)2
n=1
ただし， θn = − tan−1
nω0 L
R
]
(2.58)
(2.59)
例題 2.4 の解答を検討してみると，式 (2.58) の各項 √
bn
R2
+ (nω0 L)2
sin(nω0 t + θn ) は，
角周波数 nω0 の正弦波交流電圧 bn sin nω0 t を RL 直列回路に加えたときの電流になって
いる．このことは一般に成立して
電気回路ではフーリエ級数の各項をそれぞれ独立した正弦波交流として取り扱
える．
という重要な性質を示している．これは，どのような周期的交流でもフーリエ級数を用い
て各周波数 ∗9 ごとに解析をすればよいということである．
［補足］
ここでの計算で無造作にフーリエ級数の各項を微分したが，厳密にはこれはいつでも可能ではな
い．数学的には “周期関数 f (t) が k 回微分可能で，f (t) の k 階微分 f (k) (t) が有界かつ積分可能なときに，
フーリエ級数において各項を別々に k 回微分したものと f (k) (t) が一致する” ことが分かっている．この条件
は電気回路では満たされるとしてよいので，本書では厳密な議論は行なわない．
次に，複素フーリエ級数について考える．電圧 v と電流 i を複素フーリエ級数を用いて
以下のように表す．
∞
∑
v=
i=
n=−∞
∞
∑
n=−∞
これらの式を時刻 t に関して微分すると
∗9
ここでは直流は周波数 0 の場合として扱う．
vn e jnω0 t
(2.60)
in e jnω0 t
(2.61)
c 大豆生田利章 2011
2.3 フーリエ級数と電気回路
27
∞
∑
dv
jnω0 vn e jnω0 t
=
dt
n=−∞
(2.62)
∞
∑
di
=
jnω0 in e jnω0 t
dt n=−∞
(2.63)
となる．式 (2.60) から式 (2.63) を各基本素子の満たす式，
v = Ri
di
dt
dv
i=C
dt
v=L
(2.64)
(2.65)
(2.66)
に代入して，両辺の各フーリエ係数を比較すると
vn = Rin
vn = jnω0 Lin
in = jnω0 Cvn
(2.67)
(2.68)
(2.69)
となる．つまり，
複素フーリエ級数の各項に対してそれぞれ正弦波交流回路の基本式が成立する．
ということになる．
【例題 2.5】
図 2.5 の RL 直列回路に次の矩形波電圧を加えたときに流れる電流 i を求めよ．


E
v=

0
T
nT ≤ t ≤ nT +
2
T
nT + ≤ t ≤ (n + 1)T
2
(2.70)
〔解答 2.5〕
まず，電圧 v の複素フーリエ級数を求める．
1
T
より，ω0 =
∫
T /2
0
2π
として
T
∫
1 [ ]T /2
1
t
=
T
2
0
0
[
]T /2
n
2nπ
2nπ
T
1 − (−1)
1
e−j T t dt =
e−j T t
=
T −j2nπ
j2nπ
0
1
T
T /2
dt =
(2.71)
(2.72)
c 大豆生田利章 2011
28
v=
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
E ∑ (1 − (−1)n )E jnω0 t
+
e
2
j2nπ
(2.73)
n=0
となる．電流 i の複素フーリエ級数を
i=
∑
in e jnω0 t
(2.74)
n
とすると，
vn = (R + jnω0 L)in
(2.75)
なので
E


2R
in = (1 − (−1)n )E
1


·
j2nπ
R + jnω0 L
(n = 0)
(2.76)
(n = 0)
となる．これより，
i=
∑ (1 − (−1)n )E
1
E
+
·
e jnω0 t
2R
j2nπ
R + jnω0 L
(2.77)
n=0
となる．次に，この級数を実変数のフーリエ級数に変換する．
1
e−jφn
=√
R + jnω0 L
R2 + (nω0 L)2
(2.78)
ただし
φn = tan−1
nω0 L
R
(2.79)
より
i=
∑ (1 − (−1)n )E
E
1
+
·
ejnω0 t
2R
j2nπ
R + jnω0 L
(2.80)
n=0
∑ (1 − (−1)n )E
E
e−jφn
+
·√
e jnω0 t
2 + (nω L)2
2R
j2nπ
R
0
n=0
∑
(1 − (−1)n )E
E
√
=
+
e j(nω0 t−φn )
2 + (nω L)2
2R
j2nπ
R
0
n=0
=
φ−n = −φn に注意すると ∗10 ，求める電流 i は
∗10
tan−1 (−θ) = − tan−1 θ
(2.81)
(2.82)
c 大豆生田利章 2011
2.3 フーリエ級数と電気回路
∑
(1 − (−1)n )E
E
√
+
e j(nω0 t−φn )
2
2
2R
j2nπ R + (nω0 L)
n=0
[
]
∑
E
(1 − (−1)n )E
√
=
+
e j(nω0 t−φn ) − e−j(nω0 t−φn )
2R n>0 j2nπ R2 + (nω0 L)2
∑ (1 − (−1)n )E
E
√
=
+
sin(nω0 t − φn )
2R n>0 nπ R2 + (nω0 L)2
i=
29
(2.83)
(2.84)
(2.85)
となる．
2.3.2 ひずみ波の実効値
以下のフーリエ級数で表されるひずみ波電圧 v の実効値 Ve を求める．
v = V0 +
∞
∑
Vn sin(nω0 t + θn )
(2.86)
n=1
実効値の定義より
√
Ve =
1
T
∫
T
v 2 dt
(2.87)
0
であるので，まず v 2 を計算する．
v 2 = V0 2 + 2V0
∞
∑
Vn sin(nω0 t + θn )
n=1
+
∞ ∑
∞
∑
Vn Vm sin(nω0 t + θn ) sin(mω0 t + θm )
(2.88)
n=1 m=1
であるが，式 (2.88) のうち 1 周期分積分したときに 0 にならないのは直流分である第 1
項と第 3 項のうち n = m となるものだけである．よって，
1
T
∫
T
v 2 dt = V0 2 +
0
∞
∑
Vn 2
2
n=1
(2.89)
√
となる．ここで， 第 n 高調波の実効値を Ven とすると， 2Ven = Vn なので
1
T
∫
T
v 2 dt = V0 2 +
0
∞
∑
n=1
これより式 (2.86) で表されるひずみ波の実効値 Ve は
Ven 2
(2.90)
c 大豆生田利章 2011
30
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
V0 2 +
Ve =
∞
∑
Ven 2
(2.91)
n=1
となる．電流の実効値に関しても同様である．
ひずみ波において基本波の実効値に対する高調波の実効値の割合をひずみ率 k と呼び，
以下の式で定義される．
∞
∑
Ven 2
n=2
k=
(2.92)
Ve1
ひずみ率はひずみ波がどのくらい正弦波からずれているかを示すものである．ひずみ波の
√
各周波数に対して， 2Ven = Vn であるので，ひずみ率は以下のようにも書ける．
∞
∑
k=
Vn 2
n=2
(2.93)
V1
【例題 2.6】
以下の式で表されるひずみ波の実効値 Ve とひずみ率 k を求めよ．
v = 100 sin ωt + 50 sin 3ωt + 20 sin 5ωt
[V]
(2.94)
〔解答 2.6〕
実効値は
√(
Ve =
100
√
2
)2
(
+
50
√
2
)2
(
+
20
√
2
)2
= 80.3 · · · V
80 V
(2.95)
ひずみ率 k は
√
k=
502 + 202
= 0.538 · · ·
100
である．
ここで，式 (2.86) の電圧をフーリエ級数の別の形
0.54
(2.96)
c 大豆生田利章 2011
2.3 フーリエ級数と電気回路
v = a0 +
∞
∑
(an cos nω0 t + bn sin nω0 t)
31
(2.97)
n=1
∞
∑
v=
cn e jnω0 t
(2.98)
n=−∞
で表したときの実効値の表現を考える．式 (2.86) と式 (2.97) および式 (2.98) の各係数間
の関係は，20 ページの式 (2.23) と 22 ページの式 (2.40) より
√
an 2 + bn 2
√
an 2 + bn 2
|cn | =
2
Vn =
(2.99)
(2.100)
となるので ∗11 ，
Ven
Vn
=√ =
2
√
√
an 2 + bn 2
√
= 2 |cn |
2
(2.101)
である．この関係を式 (2.91) に代入すると
Ve 2 = a0 +
∞
∞
∑
∑
an 2 + bn 2
2
2
= |c0 | + 2
|cn |
2
n=1
n=1
(2.102)
となる．さらに 式 (2.39) より c−n = cn なので
|c−n | = |cn | = |cn |
(2.103)
であることに注意すると
Ve 2 = a0 +
∞
∞
∑
∑
an 2 + bn 2
2
=
|cn |
2
n=−∞
n=1
(2.104)
という結果が得られる．この結果は一般のフーリエ級数
f (t) = a0 +
∞
∑
(an cos nω0 t + bn sin nω0 t)
(2.105)
n=0
∞
∑
f (t) =
cn e jnω0 t
(2.106)
n=−∞
に対しても適用できて，
1
T
∗11
b0 = 0 とする．
∫
T
2
|f (t)| dt = a0 2 +
0
∞
∞
∑
∑
an 2 + bn 2
2
|cn |
=
2
n=−∞
n=1
(2.107)
c 大豆生田利章 2011
32
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
という等式が成立する．この等式をパーセバルの等式 ∗12 と呼ぶ ∗13 ．
［補足］
式 (2.104) の左辺は 1 Ω の抵抗に電圧 v を加えたときの抵抗の全消費電力であり，右辺は各周波
数ごとの消費電量の和である．つまり，電気回路においてパーセバルの等式は “全消費電力は各周波数ごとの消
費電力の和になる” ということを意味している．
2.3.3 ひずみ波の電力
本節では，ひずみ波電圧 v とひずみ波電流 i の瞬時値が以下のフーリエ級数で表される
として，電力を考える．
v = V0 +
i = I0 +
∞
∑
n=0
∞
∑
Vn sin(nω0 t + θV n )
(2.108)
In sin(nω0 t + θIn )
(2.109)
n=0
このときの瞬時電力 p は
p = vi =V0 I0
+
+
∞
∑
[V0 In
n=0
∞ ∑
∞
∑
sin(nω0 t + θIn ) + I0 Vn sin(nω0 t + θV n )]
Vn Im sin(nω0 t + θV n ) sin(mω0 t + θIm )
(2.110)
n=0 m=0
となる．ひずみ波の有効電力 P は正弦波の時と同じく瞬時電力の時間平均として
P =
1
T
∫
T
p dt
(2.111)
0
と定義される．式 (2.110) の中で 1 周期分積分したときに 0 にならないのは，式 (2.88) と
同じく，直流分である第 1 項と第 3 項のうち n = m となるものだけであり，
sin(nω0 t + θV n ) sin(nω0 t + θIn )
1
= [cos(θIn − θV n ) − cos(2nω0 t + θIn + θV n )]
2
(2.112)
であるので，
∞
∑
Vn In
P = V0 I0 +
cos(θIn − θV n )
2
n=1
∗12
∗13
パーシバル，パースバルあるいはパーセヴァルと表記することもある．
厳密には数学におけるパーセバルの等式の特殊な場合である．
(2.113)
c 大豆生田利章 2011
2.3 フーリエ級数と電気回路
となる．この式において
33
Vn In
cos(θIn − θV n ) は第 n 高調波の有効電力であるので ∗14 ，
2
ひずみ波の有効電力は各周波数ごとの有効電力の和になることが分かる．
ひずみ波においても皮相電力 Pa は電圧の実効値と電流の実効値の積で定義されるので
Pa = Ve Ie =
V0 2 +
∞
∑
Ven 2 ·
I0 2 +
n=1
∞
∑
Ien 2
(2.114)
n=1
であり，力率 cos θ は
∞
∑
Pn
P
n=0
cos θ =
=
Pa
Ve Ie
(2.115)
ただし，Pn は各周波数ごとの有効電力

V0 I0
n=0
Pn = Ven Ien

cos(θIn − θV n ) n ≥ 1
2
(2.116)
である．
【例題 2.7】
ひずみ波交流回路の電圧 v および電流 i が以下の式で与えられているときの有効電力 P
と力率 cos θ を求めよ．
√
π
π
v = 20 sin ωt + 4 3 sin(2ωt + ) + 3 sin(3ωt + )
2
6
√
π
π
π
i = 5 2 sin(ωt + ) + 4 sin(2ωt + ) + 4 sin(3ωt − )
4
3
6
(2.117)
(2.118)
〔解答 2.7〕
有効電力 P は
√
√
20 × 5 2
π
4 3×4
π π
3×4
π π
× cos(0 − ) +
× cos( − ) +
× cos( + )
2
4√
2
2
3
2
6
6
√
√
1
3
1
+6×
= 50 2 × √ + 8 3 ×
2
2
2
= 50 + 12 + 3 = 65 W
(2.119)
P =
電圧の実効値 Ve と電流の実効値 Ie は
∗14
Vn および In は最大値であるので 2 で割ることに注意する．
c 大豆生田利章 2011
34
(
Ve =
Ie =
20
√
2
)2
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
( √ ) (
)2
4 3
3
+ √
+ √
= 15.01 · · ·
2
2
( √ )2 (
) (
)2
5 2
4
4
√
+ √
+ √
= 6.403 · · ·
2
2
2
15 V
(2.120)
6.4 A
(2.121)
なので皮相電力 Pa は
Pa = Ve Ie = 96.10 · · · = 96 VA
(2.122)
P
= 0.6763 · · · = 0.68
Pa
(2.123)
力率 cos θ は
cos θ =
2.4
フーリエ変換
ここでは周期的でない単一波形を正弦波の合成により表す方法を学ぶ．
2.4.1 フーリエ積分公式とフーリエ変換
周期波形において周期 T が無限大であるとすると，周期的でない単一波形となる．周
期波形は複素フーリエ級数
f (t) =
∞
∑
cn e jn∆ωt
(2.124)
n=−∞
で表される．ここでは後の説明の都合上 ∆ω = 2π/T としている．この複素フーリエ級
数において T → ∞ の極限を求めてみる．式 (2.124) に
cn =
1
T
[
∫
∫
T /2
f (t) e−jn∆ωt dt
(2.125)
−T /2
を代入すると，
f (t) =
∞
∑
n=−∞
[
1
T
]
T /2
f (t) e
−jn∆ωt
dt e jn∆ωt
−T /2
]
∫
∆ω T /2
−jn∆ωt
=
f (t) e
dt ejn∆ωt
2π
−T
/2
n=−∞
[∫
]
∞
T /2
1 ∑
=
f (t) e−jn∆ωt dt e jn∆ωt ∆ω
2π n=−∞ −T /2
∞
∑
(2.126)
c 大豆生田利章 2011
2.4 フーリエ変換
35
ここで T → ∞ (∆ω → 0) の極限を考えると定積分の定義 ∗15 から
f (t) =
1
2π
∫
∞
[∫
−∞
]
f (t)e−jωt dt e jωt dω
∞
(2.127)
−∞
となる．この等式 (2.127) をフーリエ積分公式と呼ぶ．式 (2.127) が成立するための条件，
すなわちフーリエ積分が収束するための十分条件は以下のようになることが数学の知識か
ら得られる ∗16 ．
df (t)
があらゆる有限区間で区分的に連続である．
dt
∫ ∞
(2) f (t) が (−∞, ∞) で絶対可積分である．つまり
|f (t)| dt < ∞ である．
(1) f (t) および
−∞
フーリエ級数と同様に x = a で f (x) が不連続になるときは，
f (a) = lim
→0
f (a − ) + f (a + )
2
(2.128)
とする．現実に電気回路に出てくる波形は上の条件を満たしているとしてよい ∗17 ．
フーリエ積分公式から
∫
∞
f (t) e−jωt dt
F (ω) =
−∞
f (t) =
1
2π
∫
∞
F (ω) e jωt dω
(2.129)
(2.130)
−∞
と表わせることがわかる．このとき，F (ω) を f (t) のフーリエ変換，f (t) を F (ω) の逆
フーリエ変換あるいはフーリエ逆変換と呼ぶ．式 (2.130) は，f (t) が角周波数 ω ，大きさ
F (ω) の正弦波 F (ω) e jωt の重ね合わせからなることを意味している．つまり，F (ω) は
f (t) を構成する正弦波の大きさの周波数分布を表わすものであり，f (t) の周波数スペク
トルと呼ばれる．
［補足］ フーリエ変換と逆フーリエ変換を以下の式で定義することもある．この定義でも式 (2.127) のフー
リエ積分公式は満足される．
∫ ∞
1
F (ω) = √
f (t) e−jωt dt
2π −∞
∫ ∞
1
f (t) = √
F (ω) e jωt dω
2π −∞
(2.131)
(2.132)
【例題 2.8】
次の波形 f (t)（矩形パルス）のフーリエ変換 F (ω) を求めよ．
∗15
付録 A の式 (A.15) 参照．
証明は省略する．
∗17 付録 C において絶対可積分で無いステップ関数に対してフーリエ積分を形式的に拡張する方法を述べる．
∗16
c 大豆生田利章 2011
36
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換

T


1 |t| <
2
f (t) =
T


0 |t| >
2
(2.133)
〔解答 2.8〕
以下の通り
∫
∞
F (ω) =
f (t) e−jωt dt =
−∞
=
∫
T /2
e−jωt dt =
−T /2
e jωT /2 − e jωT /2
jω
[
e−jωt
−jω
ωT
ωT
2 sin
sin
2
2
=
=T ·
ωT
ω
2
]T /2
−T /2
(2.134)
式 (2.134) の中に現れている
sin πx
πx
(2.135)
の形の関数は標本化関数と呼ばれ，sinc(x) あるいは Sa(x) と書かれる．標本化関数は通
信工学において重要な関数である．図 2.6 に上記例題で扱った矩形パルス f (t) とその周
波数スペクトル F (ω) を示す．
図 2.6
矩形パルスと周波数スペクトル
【例題 2.9】
周波数スペクトルが
F (ω) =
√
2π e−
ω2
2
(2.136)
c 大豆生田利章 2011
2.4 フーリエ変換
37
である波形を求めよ．ただし，複素数 x + jy に関する定積分
(
)
√
(x + jy)2
dx = 2π
exp −
2
−∞
∫
∞
(2.137)
を用いてよい．
〔解答 2.9〕
以下の通り．
f (t) =
1
2π
∫
√
∞
2π e−
ω2
2
−∞
1
=√
2π
∫
∞
e−
(ω−jt)2
2
∫
1
e jωt dω = √
2π
2
− t2
−∞
∞
e−
ω2
2
e−
(ω−jt)2
2
+jωt
dω
−∞
∫
t2
e− 2
dω = √
2π
∞
dω
−∞
2
t
t2
e− 2 √
= √ · 2π = e− 2
2π
［補足］
(2.138)
式 (2.138) で表される波形はガウス波と呼ばれ，時間関数と周波数スペクトルが同じ形をしているの
が特徴である．
ある時間関数 f (t) のフーリエ変換を F (ω) とする．このとき，
df (t)
のフーリエ変
dt
換は，
∫
∞
−∞
となる
∗18
[
]∞
df (t) −jωt
e
dt = f (t) e−jωt
+
dt
−∞
= jωF (ω)
∫
∞
−∞
f (t) · jω e−jωt dt
(2.139)
．つまり，時間関数 f (t) を微分することは，周波数スペクトル F (ω) では jω
を掛けることになる．基本素子の関係式
dv(t)
dt
di(t)
v(t) = L
dt
v(t) = R i(t)
i(t) = C
(2.140)
(2.141)
(2.142)
をフーリエ変換し，式 (2.139) を適用すると，
∗18
f (t) は絶対可積分なので lim
t→±∞
I(ω) = jωC V (ω)
(2.143)
V (ω) = jωL I(ω)
(2.144)
V (ω) = R I(ω)
(2.145)
f (t) e−j ωt =
lim |f (t)| = 0 となる．
t→±∞
c 大豆生田利章 2011
38
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
となる ∗19 ．これより，一般の電圧・電流に対しては，フーリエ変換を用いることで正弦
波交流と同じ扱いができることが分かる．また，式 (2.146) に示すフーリエ変換した電圧
と電流の比をインピーダンス Z(ω) と呼ぶ．これは，式 (1.42) で定義した正弦波交流に対
するインピーダンスを角周波数の関数として拡張したものである．
Z(ω) =
V (ω)
I(ω)
(2.146)
2.4.2 フーリエ変換とフーリエ級数の関係
本節では，フーリエ変換で成立する式とフーリエ級数で成立する式との関係をいくつか
記す．まず，時間関数 f (t) が実関数であることから f (t) = f (t) となることに注意すると
∫
∫
∞
F (−ω) =
f (t) e
−∞
∫ ∞
=
jωt
f (t) e−jωt dt =
−∞
∞
dt =
f (t) e−jωt dt
−∞
∫ ∞
f (t) e−jωt dt = F (ω)
(2.147)
−∞
となる．つまり，
F (−ω) = F (ω)
(2.148)
という関係が得られる．これは 22 ページの式 (2.39) に示した複素フーリエ級数における
フーリエ係数間の関係式
c−n = cn
(2.149)
に対応するものである．また，
∫
∞
−∞
∫
2
|f (t)| dt =
∞
f (t)f (t) dt
[
]
∫ ∞
1
jωt
=
f (t)
F (ω) e dω dt
2π −∞
−∞
∫
−∞
∞
(2.150)
である．ここで，ω に関する積分と t に関する積分の順番を入れ換えると
∫
∞
−∞
∗19
2
[∫ ∞
]
∫ ∞
1
F (ω)
f (t) e jωt dt dω
2π −∞
−∞
∫ ∞
1
F (ω)F (−ω) dω
=
2π −∞
|f (t)| dt =
ここでは各関数の変数を明記した．
(2.151)
c 大豆生田利章 2011
2.4 フーリエ変換
39
となる ∗20 ．式 (2.148) より，
2
F (ω)F (−ω) = F (ω)F (ω) = |F (ω)|
(2.152)
であることを利用すると ∗21 ，
∫
∞
−∞
2
|f (t)| dt =
1
2π
∫
∞
−∞
2
|F (ω)| dω
(2.153)
となる．この等式はパーセバルの等式と呼ばれ，31 ページの式 (2.107) に示したフーリエ
級数におけるパーセバルの等式
1
T
∫
T
∞
∑
2
|f (t)| dt =
0
|cn |
2
(2.154)
n=−∞
に対応するものである ∗22 ．
次に，フーリエ変換と複素フーリエ係数の関係を求める．図 2.7 に示すように，f0 (t) を
周期 T の周期関数 f (t) の 1 周期分を取り出した単一パルスとする．
図 2.7
周期関数と単一パルス
f0 (t) と f (t) の関係を式で表すと以下のようになる．



f (t)
f0 (t) =


0
T
2
T
|t| >
2
|t| <
(2.155)
単一パルス f0 (t) のフーリエ変換 F0 (ω) を求めると
∫
F0 (ω) =
∗20
∞
−∞
f0 (t) e
−jωt
∫
T /2
dt =
f (t) e−jωt dt
(2.156)
−T /2
厳密には積分の順序の入れ換えはいつでも可能であるとは限らないが，この場合は積分の順序の入れ換え
は可能である．
∗21 付録 A の式 (A.1) より，複素数 z に対して zz = |z|2 である．
∗22 フーリエ級数と同様に，フーリエ変換におけるパーセバルの等式は，電気回路において “全消費電力は各
周波数ごとの消費電力の積分になる” ということを意味している．
40
c 大豆生田利章 2011
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
となる．この式と f (t) の複素フーリエ係数
1
cn =
T
∫
(
T /2
2nπ
f (t) exp −j
t
T
−T /2
)
dt
(2.157)
を比較することで，フーリエ変換と複素フーリエ係数の関係が以下のように求まる．
cn =
1
F0
T
(
2nπ
T
)
(2.158)
一例として図 2.8 に矩形波と矩形パルスの場合の f (t) と f0 (t) の例を挙げる．
図 2.8
矩形波と矩形パルス
図 2.8 中の矩形パルスのフーリエ変換 F0 (ω) は，振幅が
1
であることに注意して
τ
式 (2.135) の標本化関数を適用すると，
ωτ
sin
F0 (ω) = ωτ2
2
(2.159)
となる．これより f (t) の複素フーリエ級数のフーリエ係数 cn は
nπτ
1 sin T
cn = · nπτ
T
T
(2.160)
となる．図 2.8 において T = 5τ の場合の複素フーリエ級数 cn とフーリエ変換 F0 (ω) の
関係を図で表したものが，図 2.9 である．
さらに，図 2.8 の矩形波において周期 T をパルス幅 τ に対して長くしていくことによ
りフーリエ級数がフーリエ積分に近づく様子を図 2.10 に示す．
【例題 2.10】
図 2.11 (a) の単一パルス f0 (t) のフーリエ変換 F0 (ω) を求め，さらに F0 (ω) をもとにして
図 2.11 (b) ののこぎり波 f (t) のフーリエ級数を求めよ．
c 大豆生田利章 2011
2.4 フーリエ変換
図 2.9
41
複素フーリエ級数とフーリエ変換の関係の例
図 2.10
フーリエ級数のフーリエ変換への漸近
〔解答 2.10〕
単一パルス f0 (t) のフーリエ変換 F0 (ω) は
[
]T
∫ T
t −j ωt
1
t −j ωt
e
dt = −
e
+
e−j ωt dt
F0 (ω) =
j ωT
j ωT 0
0 T
0
[
]T
e−j ωT
1
1 −j ωt
e−j ωT
e−j ωT − 1
=−
+
e
=−
+
jω
j ωT −j ω
jω
ω2 T
0
∫
=
T
(1 + j ωT ) e−j ωT − 1
ω2 T
(2.161)
であるので，のこぎり波 f (t) の複素フーリエ係数 cn は
図 2.11
例題 2.10 図
c 大豆生田利章 2011
42
1
cn = F0
T
(
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
2nπ
T
)
=
(1 + j2nπ) e−j2nπ − 1
2
(2nπ)
=
j
2nπ
(2.162)
となる．このフーリエ係数のままでは，c0 は発散するが，
lim F0 (ω) =
ω→0
T
2
(2.163)
であるので ∗23 ，
c0 =
1
1
F0 (0) =
T
2
(2.164)
よってフーリエ級数は
(
)
[
(
)
(
)]
1 ∑ j
2nπt
1 ∑ j
2nπt
2nπt
f (t) = +
exp j
= +
exp j
+ exp −j
2
2nπ
T
2 n>0 2nπ
T
T
n=0
(
)
∞
2nπt
1 ∑ 1
= −
sin
(2.165)
2 n=1 nπ
T
となる．
2.4.3 エネルギー密度スペクトル
電気回路においては，1 オームの抵抗に電圧 v(t) が加わるとき，抵抗の全消費電力量す
なわち全消費エネルギー W は，10 ページの式 (1.86) より，
∫
∫
∞
W =
∞
2
p dt =
−∞
−∞
|v(t)| dt
(2.166)
である．ここで，39 ページの式 (2.153) において，f (t) を電圧 v(t) として，v(t) のフー
リエ変換を V (ω) とすると，
W =
1
2π
∫
∞
−∞
∫
2
|V (ω)| dω =
∞
−∞
2
|V (ω)| df
(2.167)
となる ∗24 ．つまり，電気回路では
P (ω) = |V (ω)|
∗23
∗24
2
式 (2.161) でロピタルの定理を用いるか，exp(−j ωT )
1 − j ωT + (j ωT )2 /2 と展開する．
最後は ω = 2πf を用いて積分変数を周波数 f に変えた．
(2.168)
c 大豆生田利章 2011
2.4 フーリエ変換
43
で表される P (ω) が 1 オームの抵抗が消費する 1 ヘルツ当たりの電気エネルギーを示
すことになる．この P (ω) をエネルギー密度スペクトルあるいはパワースペクトルと
呼ぶ．電気信号に対するエネルギー密度スペクトルの単位は P (ω) [W/Hz]，あるいは
√
|V (ω)| [V/ Hz ] で表す．電気回路に限らず一般の場合にも，式 (2.153) に示したパーセ
2
バルの等式における右辺の被積分関数 |F (ω)| をパワースペクトルと呼ぶことがある．
フーリエ変換が存在しない信号 f (t) に対しては，以下の式で定義される電力密度スペ
クトルが用いられる．
|FT (ω)|
T →∞
T
S(ω) = lim
(2.169)
ただし，FT (ω) は以下の信号 fT (t) のフーリエ変換である．
{
f (t)
fT (t) =
0
|t| ≤ T /2
|t| ≥ T /2
(2.170)
電力密度スペクトル S(ω) を用いると，平均電力 P は
∫
1 ∞
2
|fT (t)| dt = lim
|fT (t)| dt
T
→∞
T
−T /2
−∞
∫ ∞
∫ ∞
2
1
1
|FT (ω)|
2
= lim
|FT (ω)| dω =
lim
dω
T →∞ 2πT −∞
2π −∞ T →∞
T
∫ ∞
1
=
S(ω) dω
2π −∞
1
P = lim
T →∞ T
∫
T /2
2
(2.171)
と表される．
【例題 2.11】
以下の式で表される指数関数波形 f (t) のエネルギー密度スペクトル P (ω) を求めよ．
{
0
f (t) =
exp(−αt)
t<0
t>0
(2.172)
〔解答 2.11〕
フーリエ変換 F (ω) が
[ −(α+jω)t ]∞
e
1
f (t) e−jωt dt = −
=
α + jω 0
α + jω
−∞
∫
F (ω) =
∞
(2.173)
であるので，エネルギー密度スペクトル P (ω) は
2
P (ω) = |F (ω)| =
である．
1
α + jω
2
=
α2
1
+ ω2
(2.174)
c 大豆生田利章 2011
44
2.5
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
標本化定理
標本化定理（サンプリング定理）とは，以下の定理である．
ある信号の周波数スペクトルにおいて周波数が fmax 以上の成分が存在しないと
する．ここで，T =
1
2fmax
とすると，この信号は時間間隔が T ごとの値だけを
用いて再現することができる．
周波数 2fmax を標本化周波数（サンプリング周波数）と呼ぶ．
標本化定理を式で表すと，以下のようになる．ただし，sync(x) は 36 ページの式 (2.135)
に示した標本化関数である．
f (t) =
=
n=∞
∑
n=−∞
n=∞
∑
f (nT ) sync (2fmax (t − nT ))
f (nT )
n=−∞
sin 2πfmax (t − nT )
2πfmax (t − nT )
(2.175)
m が整数のとき，
sin 2πfmax (mT − nT )
=
2πfmax (mT − nT )
{
1
0
(n = m)
(n = m)
(2.176)
であるので，t = mT ならば，確かに式 (2.175) は成立する．標本化定理は式 (2.175) が，
t = mT のときに限らず，どのような t の値でも成立するということを意味している．
標本化定理を図 2.12 を用いて説明する．図 2.12 (a) に示した原信号に対して，図 2.12 (b)
のように時間間隔 T ごとに信号の大きさを取り出す ∗25 ．図 2.12 (c) のように，各時刻の
信号の大きさが最大値になるような標本化関数を作る．これらの標本化関数を足し合わせ
ると，図 2.12 (d) のように，原信号を復元することができる．
標本化定理を以下で証明する．まず，
ωmax = 2πfmax =
π
T
(2.177)
とする．周波数スペクトル F (ω) を図 2.13 の点線ように ω に関する周期 2ωmax の周期関
数として拡張する．このときの F (ω) は，22 ページの式 (2.38) において，
∗25
この操作を標本化と呼ぶ．
c 大豆生田利章 2011
2.5 標本化定理
図 2.12
45
標本化定理による信号復元
t→ω
(2.178)
T → 2ωmax
2π
2π
π
ω0 =
→
=
T
2ωmax
ωmax
(2.179)
(2.180)
とおきかえることにより，複素フーリエ級数を用いて
∞
∑
F (ω) =
Cn ej2nπω/(2ωmax ) =
n=−∞
∞
∑
Cn ejnT ω
(2.181)
n=−∞
と表される．フーリエ係数 Cn は 23 ページの式 (2.42) を利用して，
Cn =
1
2ωmax
∫
ωmax
F (ω) e−jnT ω dω =
−ωmax
T
2π
∫
ωmax
F (ω) e−jnT ω dω
(2.182)
−ωmax
で与えられる．
図 2.13
周波数スペクトルの拡張
F (ω) に対する逆フーリエ変換より
f (t) =
1
2π
∫
∞
−∞
F (ω) e−jωt dω
(2.183)
c 大豆生田利章 2011
46
第 2 章 フーリエ級数とフーリエ変換
であるが，|ω| > ωmax において F (ω) = 0 なので，
f (t) =
1
2π
∫
ωmax
F (ω) e−jωt dω
(2.184)
−ωmax
である．式 (2.182) の積分は式 (2.184) の積分の t を nT に置き換えたものなので，
Cn = T f (nT )
(2.185)
となる．
ここで，式 (2.181) を式 (2.184) に代入すると，
1
f (t) =
2π
∫
ωmax
[
−ωmax
∞
∑
]
jnT ω
Cn e
e−jωt dω
(2.186)
n=−∞
であり，式 (2.185) を代入して，積分と和の順序を交換すると ∗26 ，
∫ ωmax
∞
T ∑
f (nT ) ·
ejnT ω · e−jωt dω
2π n=−∞
−ωmax
[ j(nT −t)ω ]ωmax
∞
∑
T
e
=
f (nT ) ·
2π n=−∞
j (nT − t) −ωmax
f (t) =
=
=
=
∞
T ∑
2j sin(nT − t)ωmax
f (nT ) ·
2π n=−∞
j (nT − t)
n=∞
∑
n=−∞
n=∞
∑
f (nT )
sin ωmax (t − nT )
ωmax (t − nT )
f (nT )
sin 2πfmax (t − nT )
2πfmax (t − nT )
n=−∞
となるので，標本化定理が証明された．
∗26
積分と和の順序の交換はいつでも可能であるとは限らないが，この場合は可能である．
(2.187)
c 大豆生田利章 2011
47
第3章
過渡現象
電気回路中の電圧や電流が周期的である状態 ∗1 を定常状態と呼ぶ．これに対して，定常
状態になるまでの間，電圧や電流の大きさが時間に対して非周期的に変動する現象を過渡
現象と呼ぶ．ここまで扱ってきたのは定常状態の電気回路であったが，本章では電気回路
の過渡現象を取り扱う．
3.1
RC 回路および RL 回路の過渡現象
ここでは抵抗 R とコンデンサ C または抵抗 R とコイル L からなる回路の過渡現象を
考える．本節で取り扱うコンデンサまたはコイルの片方しか存在しない回路を単エネル
ギー回路と呼ぶ．過渡現象の解析には，初期値すなわちコンデンサに蓄えられている電荷
やコイルに流れている電流を与える必要がある．
3.1.1 直列電源接続時（その 1）
図 3.1 の RC 直列接続回路において t = 0 でスイッチ SW を入れ直流電源 E を接続し
たときのコンデンサ両端の電圧 vC ，抵抗両端の電圧 vR と回路を流れる電流 i の時間変化
∗2
．ただし，t = 0 におけるコンデンサの電荷 q(0) は 0 である，すなわち
q(0)
vC (0) =
= 0 とする．キルヒホッフの電圧則より
C
を求めてみる
E = vR + vC
(3.1)
各素子の基本式より
∗1
∗2
直流の場合も含む
時間の関数なので，正確には vC (t)，vR (t) および i(t) と書くべきであるが，煩雑であるので時間を明示
する場合を除いて変数 t は省略するものとする．
c 大豆生田利章 2011
48
図 3.1
第3章
過渡現象
RC 直列回路の過渡現象
vR = Ri
(3.2)
dvC
i=C
dt
(3.3)
となる．
dvC
dt
(3.4)
dvC
+ vC
dt
(3.5)
vR = Ri = CR
なので，
E = vR + vC = CR
となる．この微分方程式を解けば vC が求まる．式 (3.5) を変形すると
1
dvC
1
=
E − vC dt
CR
(3.6)
となる．両辺を t で積分すると K1 を積分定数として
∫
∫
dvC
1
1
dt =
dvC = − ln |E − vC |
E − vC dt
E − vC
∫
1
t
dt =
+ K1
CR
CR
(3.7)
(3.8)
なので，
− ln |E − vC | =
t
+ K1
CR
(3.9)
となる．これより
(
)
t
E − vC = K2 exp −
CR
(
)
t
vC = E − K2 exp −
CR
(3.10)
(3.11)
となる．ただし，K2 は定数である．このように定数を含む解を一般解と呼ぶ．定数 K2
の値は初期条件，すなわち t = 0 のときの解の値 vC (0) により決定される．vC (0) = 0 な
ので K2 = E となり求める解は
c 大豆生田利章 2011
3.1 RC 回路および RL 回路の過渡現象
(
t
vC = E − E exp −
CR
49
)
(3.12)
である．抵抗両端の電圧 vR および電流 i は
(
)
t
vR = E − vC = E exp −
CR
(
)
dvC
E
t
i=C
= exp −
dt
R
CR
(3.13)
(3.14)
となる．
式 (3.12) に含まれる時間変化しない部分
E は定常状態の解（定常解）を表し，時間変
(
)
t
は過渡現象の解（過渡解）を表す．過渡解の変化の割合は
CR
)
(
t
τ = CR とすると exp −
となる．t が小さいときは
τ
化する部分 −E exp −
e−t/τ
1−
t
τ
(3.15)
1
であることを意味しているので，τ は過渡現象
τ
じ
が起こっている時間の目安となる．このような定数 τ のことを時定数 と呼ぶ ∗4 ．RC 直
と近似できる
∗3
．これは変化の速度が
列回路の時定数 τCR は
τCR = CR
である．図 3.2 に図 3.1 の回路の電圧変化を示す．破線は t
(3.16)
τ であるときの近似解を延
長したものである．
図 3.2
RC 直列回路の過渡現象の波形
時間が十分に経つと
∗3
∗4
付録 A の式 (A.13) を参照．
時定数を “ときていすう” と読む人もいる．
c 大豆生田利章 2011
50
第3章
過渡現象
lim vC = E
(3.17)
lim vR = 0
(3.18)
lim i = 0
(3.19)
t→∞
t→∞
t→∞
となるが，これはコンデンサが充電されて電流が流れなくなった状態を表している．
【例題 3.1】
図 3.1 の RC 直列回路において t = 0 でスイッチを入れて，直流電源 E を接続した．こ
のときのコンデンサ両端の電圧 vC を求めよ．ただし，t = 0 におけるコンデンサ両端の
電圧が v0 であるとする．
〔解答 3.1〕
vC は
(
)
t
vC = E − K2 exp −
CR
(3.20)
であるが，t = 0 で vC (0) = v0 なので
K2 = E − v0
(3.21)
となる．よって，答は
)
(
t
vC = E − (E − v0 ) exp −
CR
(3.22)
となる．
【例題 3.2】
図 3.3 の回路において，時刻 t が 0 のときに，スイッチ SW を電源側から抵抗側に変え
た．抵抗 R が消費する全エネルギー WR 求めよ．
〔解答 3.2〕
回路素子の満たす方程式，
i=C
dv
,
dt
v = Ri
(3.23)
di
dt
(3.24)
より，微分方程式
i = CR
c 大豆生田利章 2011
3.1 RC 回路および RL 回路の過渡現象
図 3.3
51
例題 3.2 図
が得られる．この微分方程式の解は K を定数として
(
)
t
i = K exp −
CR
である．初期条件は t = 0 で v(0) = E であることから，i(0) =
(3.25)
E
となる．これより，電
R
流 i を求めると
(
)
E
t
i = exp −
R
CR
(3.26)
となる．抵抗の消費する全エネルギー WR は
(
)
∫
2t
E2 ∞
exp −
dt
WR =
Ri dt =
R 0
CR
0
[
(
)]
∞
E2
CR
2t
CE 2
=
−
exp −
=
R
2
CR 0
2
∫
∞
2
(3.27)
となる．
［補足］
例題 3.2 の解答は，抵抗の全消費エネルギーが，t = 0 におけるコンデンサの蓄積エネルギーに等
しくなることを示している．これは，物理学のエネルギー保存則を考えれば，明らかである．
3.1.2 直列電源接続時（その 2）
前節では式 (3.5) で表された微分方程式
E = CR
dvC
+ vC
dt
(3.28)
の解が定常解と過渡解からなることが示された．そこで vC をあらかじめ
vC = v0 + v1
(3.29)
c 大豆生田利章 2011
52
第3章
過渡現象
のように時間変化しない定常解 v0 と時間変化する過渡解 v1 に分けて，式 (3.5) を解くこ
ともできる．式 (3.29) を式 (3.5) に代入すると，
E = CR
dv1
+ v0 + v1
dt
(3.30)
となる．これを時間変化する部分と時間変化しない部分に分けると
v0 = E
v1 = −CR
(3.31)
dv1
dt
(3.32)
となる．式 (3.32) を解くと，
(
)
t
v1 = K exp −
CR
(3.33)
となるので，求める解は K を定数として
(
)
t
vC = v0 + v1 = E + K exp −
CR
(3.34)
となる． vC (0) = 0 なので K = −E であり，
(
)
t
vC = E − E exp −
CR
(3.35)
となる．なお，定常解は時間変化しない解であるので，時間に関する微分を 0 とすること
で求められる．
【例題 3.3】
図 3.4 の RL 直列回路において，t = 0 で直流電源 E を接続したときの電流 i および各素
子両端の電圧 vR ，vL を求めよ．ただし，i(0) = 0 とする．
図 3.4
〔解答 3.3〕
回路の方程式
例題 3.3 図
c 大豆生田利章 2011
3.1 RC 回路および RL 回路の過渡現象
E = vR + vL = Ri + L
の定常解は
di
dt
53
(3.36)
di
を 0 として，
dt
i=
E
R
(3.37)
である．過渡解は時間変化しない定数 E を除いた微分方程式
Ri + L
di
=0
dt
(3.38)
を解くと， K を定数として
i = K e− L t
R
(3.39)
となる．これより
i=
(
)
E
R
+ K exp − t
R
L
(3.40)
であるが，t = 0 で i = 0 より
[
(
)]
E
R
i=
· 1 − exp − t
R
L
[
(
)]
R
vR = Ri = E · 1 − exp − t
L
(
)
di
R
vL = L = E exp − t
dt
L
(3.41)
(3.42)
(3.43)
となる．
例題 3.3 の解より RL 直列回路の時定数 τRL は
τRL =
R
L
(3.44)
であることがわかる．
【例題 3.4】
図 3.5 の RL 直列回路において，スイッチを左側にして十分な時間経った後，t = 0 でス
イッチを左から右へ切り替えた．t > 0 でコイル L を流れる電流 i を求めよ．
c 大豆生田利章 2011
54
図 3.5
第3章
過渡現象
例題 3.4 図
〔解答 3.4〕
初期値 i(0) は
E
R
(3.45)
di
=0
dt
(3.46)
i(0) =
である．回路の満たす微分方程式
Ri + L
を解いて，
(
)
R
i = K exp − t
L
積分定数 K は t = 0 で i =
(3.47)
E
E
より K =
となる．よって，
R
R
(
)
E
R
i=
exp − t
R
L
(3.48)
3.1.3 正弦波交流電源接続時
図 3.6 のように RC 直列回路に t = 0 で正弦波交流電源 E sin ωt を接続したときの，電
圧・電流を求める．
回路の満たす微分方程式は
E sin ωt = vR + vC = Ri + vC = CR
dvC
+ vC
dt
である．この微分方程式を電源電圧に複素数表示 Ee jωt を用いた微分方程式
(3.49)
c 大豆生田利章 2011
3.1 RC 回路および RL 回路の過渡現象
図 3.6
55
正弦波交流電源接続時の過渡現象
CR
dvC
+ vC = Ee jωt
dt
(3.50)
の解の虚部を求める方法で解いてみる．
直流電源の場合と異なり電源電圧も時間変化しているので，単純に時間に関する微分を
0 としても定常解は求まらない．そこで，定常状態の時間変化 e−jωt と定常解 v0 および過
渡解 v1 を用いて vC を
vC = (v0 + v1 ) e jωt
(3.51)
と仮定する．v0 の時間に関する微分が 0 になることから，
dvC
dv1 jωt
=
e + jω (v0 + v1 ) e jωt
dt
dt
(3.52)
であるので，式 (3.50) は
[
]
dv1
CR ·
+ jω (v0 + v1 ) · e jωt + (v0 + v1 ) e jωt = E e jωt
dt
(3.53)
となる．すべての項に共通な e jωt を消去して，v0 に関する方程式と v1 に関する方程式に
分けると，
E = (1 + jωCR) v0
0 = CR
dv1
+ (1 + jωCR) v1
dt
(3.54)
(3.55)
を得る．これを解くと，K を定数として，
E
1 + j ωCR
[
]
t
(1 + j ωCR) t
v1 = K exp −
= Ke− CR · e−jωt
CR
v0 =
(3.56)
(3.57)
となる．これより vC は
vC = (v0 + v1 )e jωt =
t
Ee jωt
+ Ke− CR
1 + jωCR
(3.58)
c 大豆生田利章 2011
56
であり， t = 0 で vC = 0 より K = −
第3章
過渡現象
E
となる．これより，求める解は複素数
1 + jωCR
表示で
vC =
[
]
t
E
· e jωt − e− CR
1 + jωCR
(3.59)
となる．時間変化を実数で求めるためには
1
1
e−jφ
=√
=√
1 + jωCR
1 + (ωCR)2 e jφ
1 + (ωCR)2
φ = tan−1 ωCR
(3.60)
(3.61)
を用いて
[
]
t
E
vC = √
· e j(ωt−φ) − e− CR e−jφ
1 + (ωCR)2
(3.62)
と書き換えて，複素数の虚部を取ればよい．その結果は
]
[
t
E
vC = √
· sin(ωt − φ) + sin φ · e− CR
1 + (ωCR)2
(3.63)
]
[
dvC
E
sin φ − t
=√
· e CR
· ωC cos(ωt − φ) −
dt
R
1 + (ωCR)2
(3.64)
となる．電流 i は
i=C
となる．時間が十分に経過したとき（t → ∞ のとき）は
E
vC = √
sin(ωt − φ)
1 + (ωCR)2
ωCE
i= √
cos(ωt − φ)
1 + (ωCR)2
(3.65)
(3.66)
となるが，これは正弦波に対する電圧電流と同じ結果になる．
3.2
過渡現象の初期値
ここまでの例はコンデンサあるいはコイルが 1 個だけの場合であった．コンデンサやコ
イルのどちらかが複数あるときの初期値はどうなるかを考える．
過渡現象においてはスイッチの開閉等により回路の状態に変化が生じる．回路の状態
に変化が生じた時刻を t = 0 とすると，状態が変化する直前の電圧や電流の値 v(−0) や
i(−0) と状態が変化した直後の値 v(+0) や i(+0) は常に同じとは限らない ∗5 ∗6 ．しかし，
∗5
> 0 として， lim v(− ) = v(−0)， lim v( ) = v(+0)，i についても同様．
∗6
t = −0 の値を第 1 種初期値，t = +0 の値を第 2 種初期値と呼ぶことがある．
→0
→0
c 大豆生田利章 2011
3.2 過渡現象の初期値
57
状態変化の前後では，どのような場合でも，常に電荷の保存則および磁束の保存則が成立
する．そこで，
コンデンサやコイルが複数あるときの初期値は電荷の保存則や磁束の保存則を利
用して求める
ことになる．
例として，図 3.7 の回路でコンデンサ C1 を直流電源 E で十分な時間をかけて充電した
後，t = 0 でスイッチ SW を切り替えたときのコンデンサ両端の電圧 vC を求める．
図 3.7
複数のコンデンサを含む回路の初期値（例）
t > 0 における回路素子の電圧電流の関係は
vR = Ri
(3.67)
dvC
−i1 = C1
dt
dvC
−i2 = C2
dt
(3.68)
(3.69)
である ∗7 ．キルヒホッフの法則より
i = i1 + i2
0 = vR − vC
(3.70)
(3.71)
となる．
vR − vC = Ri − vC = R (i1 + i2 ) − vC = −RC1
dvC
dvC
− RC2
− vC = 0
dt
dt
(3.72)
なので，回路の満たす微分方程式は
R (C1 + C2 )
∗7
コンデンサを流れる電流の向きに注意する．
dvC
+ vC = 0
dt
(3.73)
c 大豆生田利章 2011
58
第3章
過渡現象
となる．これを解くと，K を定数として
(
vC = K exp −
t
(C1 + C2 ) R
)
(3.74)
となる．コンデンサ両端の電圧の初期値 vC (+0) は電荷の保存則より
C1 vC (−0) = (C1 + C2 )vC (+0)
C1
C1 E
∴ vC (+0) =
vC (−0) =
C1 + C2
C1 + C2
(3.75)
(3.76)
となる．これより
vC =
(
)
C1 E
t
exp −
C1 + C2
(C1 + C2 ) R
(3.77)
が求める解になる．なお，抵抗 R を流れる電流 i は
(
)
t
vC
C1 E
vR
exp −
=
=
i=
R
R
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
(3.78)
である．
次の例として，図 3.8 の回路でコイル L1 および L2 に十分な時間をかけて電流を流し
た後，t = 0 でスイッチ SW を切ったときの t > 0 における電流 i を求める．
図 3.8
複数のコイルを含む回路の初期値（例）
t > 0 における回路の微分方程式は
(L1 + L2 )
di
+ (R1 + R2 ) i = 0
dt
(3.79)
であり，その一般解は
(
)
R1 + R2
i = K · exp −
t
L1 + L2
(3.80)
c 大豆生田利章 2011
3.3 LCR 回路の過渡現象
59
となる．定数 K は初期条件から決めなければならない．スイッチを開放する直前の各コ
イルを流れる電流は
E
R1
E
i2 (−0) =
R2
i1 (−0) =
(3.81)
(3.82)
であるが，ここで初期値としてスイッチを開放した直後の電流 i(+0) を
i(+0) = i2 (−0) − i1 (−0) （誤り）
(3.83)
としてはいけない．正しい初期値は，スイッチの開閉の前後での磁束の保存則
L1 i(+0) + L2 i(+0) = −L1 i1 (−0) + L2 i2 (−0)
(3.84)
が成立することより ∗8 ，
i(+0) =
(L2 R1 − L1 R2 )E
(L1 + L2 )R1 R2
(3.85)
となる．これより， K = i(+0) となり，解が
(
)
(L2 R1 − L1 R2 )E
R1 + R2
i=
· exp −
t
(L1 + L2 )R1 R2
L1 + L2
(3.86)
と求まる．
3.3
LCR 回路の過渡現象
ここでは抵抗 R，コンデンサ C およびコイル L のすべてを含んでいる回路の過渡現象
を考える．本節で取り扱うコイルとコンデンサの両方を含む回路を複エネルギー回路と
呼ぶ．
図 3.9 の LCR 直列回路において，時刻 t = 0 でスイッチ SW を入れて直流電源 E を
接続したときの電流 i を求める．ただし，t < 0 ではコイルを流れる電流 i，コンデンサ両
端の電圧 vC はともに 0 であるとする．
各素子の満たす方程式は
di
dt
∫
dvC
1
i=C
⇐⇒ vC =
i dt
dt
C
vR = Ri
vL = L
∗8
i1 と i が逆向きであることに注意する．
(3.87)
(3.88)
(3.89)
c 大豆生田利章 2011
60
図 3.9
第3章
過渡現象
LCR 直列回路の過渡現象
である．キルヒホッフの電圧則より，回路の満たす方程式は
E = vL + vC + vR = L
di
1
+
dt C
∫
idt + Ri
(3.90)
となる．これを t で微分すると，以下の電流 i の満たす微分方程式を得る．
0=L
d2 i
1
di
+ i+R
dt2
C
dt
(3.91)
i(0) = 0
(3.92)
初期条件は
di(0)
vL (0)
=
dt
L
(3.93)
vR (0) = Ri(0) = 0
(3.94)
vC (0) = 0
(3.95)
である．ここで，
を式 (3.90) に代入すると，vL (0) = E となるので，
di(0)
E
=
dt
L
(3.96)
d2 i R di
1
+
+
i=0
2
dt
L dt LC
(3.97)
となる．微分方程式
を解くために，K と α を定数として解が
i = K eαt
(3.98)
であると仮定する．これを式 (3.97) に代入し，eαt を消去すると，以下の α に関する 2 次
方程式が得られる．
c 大豆生田利章 2011
3.3 LCR 回路の過渡現象
α2 +
R
1
α+
=0
L
LC
61
(3.99)
この方程式の解は
R
α=−
±
2L
√(
R
2L
)2
−
1
LC
(3.100)
である．過渡現象は式 (3.100) の根号内の正負にしたがって場合分けされ，表 3.1 のよう
な名称で呼ばれる．
表 3.1
(
過渡現象の分類
)2
R
1
<
2L
LC
( )2
R
1
=
2L
LC
( )2
1
R
>
2L
LC
減衰振動
臨界制動
過制動
以下，各場合について，さらに説明する．
減衰振動の場合
α = −γ ± jω
R
γ=
2L
√
ω=
1
−
LC
(3.101)
(3.102)
(
R
2L
)2
(3.103)
とおくと，一般解は
i = K+ e(−γ+jω)t + K− e(−γ−jω)t
= e−γt · [(K+ + K− ) cos ωt + j(K+ − K− ) sin ωt]
= e−γt · (K1 sin ωt + K2 cos ωt)
(3.104)
となる．初期条件より
E
ωL
K2 = 0
K1 =
(3.105)
(3.106)
c 大豆生田利章 2011
62
第3章
過渡現象
であるので，求める解は
i=
E −γt
e
sin ωt
ωL
(3.107)
となる．これは角周波数 ω の正弦波の大きさが指数関数的に減少することを意味してい
る．これが減衰振動の名前の由来である．定数 γ を減衰係数
∗9
，振動の周波数
ω
を固
2π
有周波数と呼ぶ．正弦波の大きさの 1 周期ごとの減衰の割合を自然対数で表したもの，す
なわち
δ = ln
i(t)
= γT
i(t + T )
(3.108)
で表される δ を対数減衰率と呼ぶ．LCR 直列共振回路における Q の定義式
Q=
ωL
R
(3.109)
を減衰振動にも適用すると，
δ = γT =
R 2π
πR
π
·
=
=
2L ω
ωL
Q
(3.110)
となり，対数減衰率 δ と回路の Q が関係していることがわかる．
過制動の場合
α = −γ ± ω
R
γ=
2L
√( )
2
R
1
ω =
−
2L
LC
(3.111)
(3.112)
(3.113)
とおくと，一般解は
i = K1 e(−γ+ω )t + K2 e(−γ−ω )t
= e−γt · [(K+ + K− ) cosh ω t + (K+ − K− ) sinh ω t]
= e−γt · (K1 sinh ω t + K2 cosh ω t)
(3.114)
となる ∗10 ．初期条件より
∗9
∗10
“減衰定数” と呼ぶこともあるが，本書では 123 ページで出てくる分布定数回路の減衰定数と区別するた
めに，“減衰係数” と呼ぶ．
sinh および cosh は双曲線関数である．付録 A の式 (A.18) および式 (A.19) を参照．
c 大豆生田利章 2011
3.3 LCR 回路の過渡現象
E
ωL
K2 = 0
K1 =
63
(3.115)
(3.116)
であるので，求める解は
i=
E −γt
e
sinh ω t
ωL
(3.117)
となる．これは式 (3.107) において ω → ω および sin → sinh としたものに等しい．さら
に式 (3.117) は
i=
E e(−γ+ω )t − e(−γ−ω )t
·
ωL
2
(3.118)
と書けるが，γ > ω であるので，式中の指数関数はどちらも t に関する減少関数となる．
つまり，過制動では振動をしない．
臨界制動の場合
臨界制動は，減衰振動と過制動の境界である．単純に臨界制動のときの解を求めると
α=−
R
= −γ
2L
(3.119)
より， K を定数として
i = Ke−γt
(3.120)
となる．しかし，2 つの初期条件に対して積分定数が 1 つしかないのでこの解は正しい解
にはならない．そこで，定数変化法と呼ばれる手法を使う．これは，積分定数 K を t の
関数と考えて，K を求めるものである．i の t に関する微分を K の t に関する微分に変
換すると，
di
dK −γt
=
e
− γK e−γt
dt
dt
d2 i
d2 K −γt
dK −γt
=
e
− 2γ
e
+ γ 2 K e−γt
2
dt
dt2
dt
(3.121)
(3.122)
となる．これをもとの微分方程式
di
d2 i
+ 2γ + γ 2 i = 0
dt2
dt
に代入すると K の満たす微分方程式
(3.123)
c 大豆生田利章 2011
64
d2 K
=0
dt2
第3章
過渡現象
(3.124)
が得られる．これより，K は 2 つの積分定数 K0 ，K1 を用いて
K = K0 + K1 t
(3.125)
i = (K0 + K1 t) e−γt
(3.126)
K0 = 0
E
K1 =
L
(3.127)
と書けるので，一般解は
となる．初期条件より
(3.128)
となるので，求める解は
i=
E −γt
te
L
(3.129)
である．
図 3.9 の回路の電流波形を いくつかの減衰係数 γ の値に対して具体的に求めたものを
1
E
= 1 および
= 1 とした．減衰係数 γ が 0.5 および 0.7 の
LC
L
ときは減衰振動の例，1.0 のときは臨界制動，1.4 および 2.0 のときは過制動の例になる．
図 3.10 に示す．ただし，
図 3.10
LCR 直列回路の過渡現象波形
【例題 3.5】
60 ページの図 3.9 の回路において，時刻 t = 0 でスイッチ SW をいれて直流電源 E を接
c 大豆生田利章 2011
3.3 LCR 回路の過渡現象
65
続したときのコンデンサ両端の電圧 vC を求めよ．ただし，CR2 − 4L < 0 であるとする．
また，t < 0 では電流 i，コンデンサ両端の電圧 vC はともに 0 であるとする．
〔解答 3.5〕
i=C
dvC
dt
(3.130)
dvC
dt
d2 vC
di
vL = L = LC
dt
dt2
vR = Ri = RC
(3.131)
(3.132)
より，
E = vC + vR + vL = LC
d2 vC
dvC
+ vC
+ RC
dt2
dt
(3.133)
であるので，vC の満たす微分方程式は
d2 vC
R dvC
1
E
+
+
vC =
dt2
L dt
LC
LC
(3.134)
となる．vC を定常解 vC0 と過渡解 vC1 に分けると，定常解 vC0 は時間に関する微分を 0
とおいて
vC0 = E
(3.135)
d2 vC
R dvC
1
+
+
vC = 0
2
dt
L dt
LC
(3.136)
となる．過渡解 vC1 は微分方程式
の解であり，K1 ，K2 を定数として，
vC1 = (K1 sin ωt + K2 cos ωt) e−γt
R
γ=
2L
√
( )2
1
R
ω=
−
LC
2L
(3.137)
(3.138)
(3.139)
である．これより一般解は
vC = vC0 + vC1 = (K1 sin ωt + K2 cos ωt) e−γt + E
となる．初期条件は
(3.140)
c 大豆生田利章 2011
66
第3章
vC (0) = 0
i(0)
dvC (0)
=
=0
dt
C
過渡現象
(3.141)
(3.142)
であるので，定数 K1 と K2 は
γE
ω
K2 = −E
K1 = −
(3.143)
(3.144)
となる．よって，求める解は
[
(γ
)
]
vC = 1 −
sin ωt + cos ωt e−γt · E
ω
(3.145)
となる．
図 3.11 の LCR 回路において初期条件が
i(0) = I0
(3.146)
vC (0) = V0
(3.147)
であるときに，抵抗 R で消費される全エネルギーを求めてみる．
図 3.11
LCR 回路の過渡応答のエネルギー
電流 i の満たす微分方程式は，60 ページの式 (3.97) に示したように，
d2 i R di
1
+
+
i=0
2
dt
L dt LC
(3.148)
である．この方程式の解は，K1 および K2 を定数として，
i = K1 eα1 t + K2 eα2 t
(3.149)
となる．ただし，α1 および α2 は以下の二次方程式の解である．
α2 +
1
R
α+
=0
L
LC
(3.150)
c 大豆生田利章 2011
3.3 LCR 回路の過渡現象
67
また，コンデンサ C の両端の電圧 vC は
1
vC =
C
∫
i dt =
K1 α1 t
K2 α2 t
e +
e
α1 C
α2 C
(3.151)
となる．初期条件より K1 および K2 の値は，以下の連立方程式を満たす．
i(0) = K1 + K2 = I0
α2 K1 + α1 K2
= V0
vC (0) =
α1 α2 C
(3.152)
(3.153)
抵抗の全消費エネルギー WR は
∫
∞
WR =
∫
0
∞
=R
[
Ri2 dt
[
]
K1 2 e2α1 t + 2K1 K2 e(α1 +α2 )t + K2 2 e2α2 t dt
0
2K1 K2 e(α1 +α2 )t
K2 2 e2α2 t
K1 2 e2α1 t
+
+
=R
2α1
α1 + α2
2α2
[ 2
2]
K1
2K1 K2
K2
= −R
+
+
2α1
α1 + α2
2α2
]∞
0
(3.154)
となる．ここで，
lim i = 0
(3.155)
t→∞
なので，
lim eα1 t = 0
t→∞
lim eα2 t = 0
t→∞
(3.156)
となることを用いた．さらに変形すると，
]
2
2
(α2 K1 + α1 K2 ) + α1 α2 (K1 + K2 )
WR = −R
2α1 α2 (α1 + α2 )
[
]
α2 (α1 + α2 ) K1 2 + 4α1 α2 K1 K2 + α1 (α1 + α2 ) K2 2
= −R
2α1 α2 (α1 + α2 )
[
2
=−
2
R (α2 K1 + α1 K2 )
R (K1 + K2 )
−
2α1 α2 (α1 + α2 )
2 (α1 + α2 )
(3.157)
となる．式 (3.152) および式 (3.153) より
K1 + K2 = I0
α2 K1 + α1 K2 = α1 α2 CV0
であり，また二次方程式 (3.150) の解と係数の関係から，
(3.158)
(3.159)
c 大豆生田利章 2011
68
第3章
R
L
1
α1 α2 =
LC
α1 + α2 = −
過渡現象
(3.160)
(3.161)
である．これらの式を式 (3.157) に代入すると，
WR =
CV0 2
LI0 2
+
2
2
(3.162)
となる．第 1 項は t = 0 でコンデンサに蓄えられていたエネルギーであり，第 2 項は
t = 0 でコイルに蓄えられていたエネルギーである．つまり，抵抗 R の全消費エネルギー
は t = 0 における回路の全蓄積エネルギーに等しい ∗11 ．
【例題 3.6】
図 3.11 において，抵抗 R がじゅうぶんに小さい，すなわち減衰係数 γ がじゅうぶんに小
さいときに，回路に蓄積されるエネルギー W の減衰の時定数を求めよ．ただし，初期値
は vC (0) = V0 および i(0) = 0 とする．
〔解答 3.6〕
γ=
ω=
R
2L
√
(3.163)
1
−
LC
(
R
2L
√
)2
=
1
− γ2
LC
(3.164)
とすると，コンデンサ両端の電圧 vC は
vC = V0 e−γt cos ωt
とかける．回路を流れる電流は，γ
i=C
(3.165)
ω であることを用いて近似すると，
dvC
= CV0 e−γt [−γ cos ωt − ω sin ωt]
dt
−ωCV0 e−γt sin ωt
(3.166)
となる．回路に蓄積されるエネルギー W は
W =
Li2
CvC 2
ω 2 LC 2 V0 2 −2γt 2
CV0 2 −2γt
+
=
e
sin ωt +
e
cos2 ωt
2
2
2
2
(3.167)
であるが，
√
ω=
∗11
1
− γ2
LC
√
1
LC
これは，物理学のエネルギー保存則を考えれば，明らかである．
(3.168)
c 大豆生田利章 2011
3.4 変成器を含む回路の過渡現象
69
であるので，
CV0 2 −2γt
e
2
W
となる．つまり，回路の蓄積エネルギーは時定数
3.4
(3.169)
1
L
すなわち
で減少していく．
2γ
R
変成器を含む回路の過渡現象
ここでは，変成器を含む回路の過渡現象の例を挙げる．
【例題 3.7】
図 3.12 の回路において t = 0 でスイッチを入れた．t > 0 での電流 i1 を求めよ．ただし，
初期値は 0 とし，L1 L2 = M 2 であるとする．
図 3.12
例題 3.7 図
〔解答 3.7〕
回路の満たす微分方程式は
di2
di1
+M
dt
dt
di1
di2
0=M
+ L2
dt
dt
E = Ri1 + L1
(3.170)
(3.171)
この連立微分方程式から i2 を消去して i1 だけの微分方程式を求める．
di1
di2
di1
E = Ri1 + L1
+M
= Ri1 + L1
+M
dt
dt
dt
L1 L2 − M 2 di1
= Ri1 +
L2
dt
(
M di1
−
L2 dt
)
(3.172)
定常解は微分を 0 として
E = R1 i1
より
(3.173)
c 大豆生田利章 2011
70
i1 =
第3章
E
R1
過渡現象
(3.174)
となる．過渡解は
0 = Ri1 +
L1 L2 − M 2 di1
L2
dt
(3.175)
より
(
i1 = K · exp −
L2 R
t
L1 L2 − M 2
)
(3.176)
となる．求める解は
(
)
L2 R
E
+ K · exp −
t
i1 =
R1
L1 L2 − M 2
であり，初期条件は，i1 (0) = 0 なので，K = −
(3.177)
E
となる．よって，
R1
[
(
)]
E
L2 R
i1 =
· 1 − exp −
t
R1
L1 L2 − M 2
(3.178)
c 大豆生田利章 2011
71
第4章
ラプラス変換
4.1
回路の応答と畳み込み積分
図 4.1 のように二端子対網への入力が f (t) であるときの回路の出力 g(t) を回路の応答
と呼ぶ．ここで，回路の応答を求める方法を考える．
図 4.1
回路の応答
以下の式で定義される関数 u(t) を大きさ 1 のステップ関数あるいは単位ステップ関
数と呼ぶ ∗1 ．
{
0 t<0
u(t) =
1 t>0
(4.1)
図 4.2 のように，回路への入力が f (t) が単位ステップ関数 u(t) であるときの応答をス
テップ応答 w(t) と呼ぶ．ステップ応答は t = 0 で大きさ 1 の直流電源を接続したときの
出力である．
また，以下の式で矩形パルス D(t) を定義する．ここで， ∆t の値は十分に小さいもの
とする．


0


1
D(t) =


 ∆t
0
∗1
t<0
0 < t < ∆t
∆t < t
単にステップ関数というときは単位ステップ関数を指すことが多い．
(4.2)
c 大豆生田利章 2011
72
図 4.2
第 4 章 ラプラス変換
ステップ関数とステップ応答
図 4.3 のように矩形パルス D(t) を入力したときの回路の応答を h∆ (t) とする．以下の式
のように ∆t → 0 としたときの出力 h(t) をインパルス応答と呼ぶ．
lim h∆ (t) = h(t)
(4.3)
lim D(t) = δ(t)
(4.4)
∆t→0
なお，
∆t→0
で定義される δ(t) をデルタ関数あるいは単位インパルス関数と呼ぶ．つまり，デルタ関
数が入力のときの回路の応答がインパルス応答である．
図 4.3
矩形パルスへの応答
矩形パルス D(t) はステップ関数 u(t) を用いて
D(t) =
u(t) − u(t − ∆t)
∆t
(4.5)
と表すことができるので，矩形パルス D(t) への応答 h∆ (t) はステップ応答 w(t) を用い
ると
h∆ (t) =
w(t) − w(t − ∆t)
∆t
(4.6)
と表せる．ここで ∆t → 0 の極限を考えると
h(t) = lim h∆ (t) = lim
∆t→0
∆t→0
w(t) − w(t − ∆t)
dw(t)
=
∆t
dt
となる．つまり，インパルス応答 h(t) はステップ応答 w(t) の微分である．
(4.7)
c 大豆生田利章 2011
4.1 回路の応答と畳み込み積分
73
さらに，回路への入力が一般の時間関数 f (t) であるときの回路の応答 g(t) がインパル
ス応答 h(t) を用いるとどのように表されるか考える．図 4.4 のように回路への入力 f (t)
を大きさ f (t) の矩形パルス f (t) D(t) の集合であると考える．時刻 n∆t に回路に入力し
た矩形パルス f (n∆t) D(n∆t) に対する出力を考える．この出力は，大きさが入力量すな
わち f (n∆t) ∆t に比例したインパルス応答になるが，時刻は n∆t だけ遅れて出力され
る．つまり，矩形パルス f (n∆t) D(n∆t) に対する出力は f (n∆t) ∆t h(t − n∆t) となる．
この出力は図 4.4 では点線で表されている．
図 4.4
インパルス応答と畳み込み積分
全体の出力 g(t) は各入力矩形パルスに対応した出力 f (n∆t) h(t − n∆t) ∆t の和にな
る．すなわち，
g(t) =
∑
f (n∆t) h(t − n∆t) ∆t
(4.8)
n
である．ここで，∆t → 0 の極限を取り和を積分に変えると
∫
∞
g(t) =
−∞
となる
∗2
f (τ ) h(t − τ ) dτ
．この積分を畳み込み積分と呼び，f (t) ∗ h(t) と書く
(4.9)
∗3
．つまり，インパルス
応答 h(t) が分かれば，畳み込み積分を用いることで任意の入力に対する出力を計算する
ことができる．式 (4.9) は一般的な関係式であるが，以下では t < 0 においては，f (t)，
g(t)，h(t) はすべて 0 であるとする．
【例題 4.1】
インパルス応答 h(t) が
∗2
∗3
付録 A の式 (A.15) 参照．
畳み込み積分を f (t) ⊗ h(t) と書くこともある．
c 大豆生田利章 2011
74
第 4 章 ラプラス変換
h(t) = e−αt u(t)
(4.10)
f (t) = (1 − e−βt ) u(t)
(4.11)
である回路に，入力 f (t)
を与えたときの出力 g(t) を畳み込み積分を用いて求めよ．ただし，u(t) はステップ関数
であり，α = β とする．
〔解答 4.1〕
∫
∞
g(t) =
−∞
= e−αt
(1 − e−βτ ) u(τ ) · e−α(t−τ ) u(t − τ ) dτ = e−αt
[
e(α−β)τ
eατ
−
α
α−β
∫ t(
eατ − e(α−β)τ
)
dτ
0
]t
=
0
1 − e−αt
e−βt − e−αt
−
α
α−β
(4.12)
ここで畳み込み積分を取り扱いやすくする方法を考える．式 (4.9) の両辺に変数が複素
数 s の指数関数 e−st をかけて，時間 t で積分することで複素変数 s の関数間の等式とし
て表してみる．t < 0 で各関数は 0 なので積分の下限は 0 としてよい．
∫
∞
g(t)e
0
−st
∫
∞
[∫
]
∞
f (τ )h(t − τ )dτ e−st dt
[∫ ∞
]
∫ ∞
−st
=
f (τ )
h(t − τ ) e dt dτ
0
0
[∫
]
∫ ∞
∞
−st
=
f (τ )
h(t ) e
dt e−sτ dτ
0
−τ
[∫ ∞
]
∫ ∞
=
f (τ )
h(t ) e−st dt e−sτ dτ
0
∫0 ∞
∫ ∞
=
f (τ ) e−sτ dτ ·
h(t ) e−st dt
0
0
∫ ∞
∫ ∞
−st
=
f (t) e dt ·
h(t) e−st dt
dt =
0
0
0
(4.13)
0
ここで t = t − τ であり，最後に変数をすべて t に統一した．
ここで，
∫
∞
F (s) =
∫
0
∞
G(s) =
∫
0
H(s) =
0
∞
f (t) e−st dt
(4.14)
g(t) e−st dt
(4.15)
h(t) e−st dt
(4.16)
c 大豆生田利章 2011
4.2 ラプラス変換の性質
75
とすると，
G(s) = F (s) · H(s)
(4.17)
となり，変数が t の畳み込み積分が変数が s の関数の積になる．
変数が時間 t である関数を t 関数と呼び，変数が複素数 s である関数を s 関数 と呼ぶ．
式 (4.14) から式 (4.16) のように t 関数を s 関数に変換する積分をラプラス変換と呼ぶ．
式 (4.17) より以下のことが分かる．
畳み込み積分のラプラス変換は各関数のラプラス変換の積になる．
つまり，ラプラス変換を用いると回路の応答が簡単に扱えることになる．インパルス応答
h(t) のラプラス変換 H(s) を伝達関数と呼び，電気回路の特性を調べる上で重要な関数で
ある．本章ではこのラプラス変換について説明する．第 4.2 節でラプラス変換の性質を述
べ，第 4.4 節以降で電気回路への応用を述べる．第 5 章で伝達関数のフィルタへの応用を
述べる．
4.2
ラプラス変換の性質
本節ではラプラス変換の諸性質を述べる．ここで述べる諸性質は必要に応じて参照でき
るように付録 D にまとめておく．
まず，あらためてラプラス変換を定義する．変数が実数 t である t 関数 f (t) から変数
が複素数 s である s 関数 F (s) を以下の式 (4.18) により求める操作をラプラス変換 L と
呼ぶ．ただし，式 (4.18) の積分は存在するものとする．
∫
∞
F (s) = L {f (t)} =
f (t) e−st dt
(4.18)
0
ラプラス変換が可能な条件は，c をある正の実数として f (t) e−ct が絶対積分可能である，
つまり
∫
∞
|f (t)| e−ct dt < ∞
(4.19)
0
となる c が存在することであるが，電気回路に現れる t 関数はこの条件を満たしているも
のとしてよい．なお，t 関数 f (t) は t < 0 で f (t) = 0 であるとする．つまり，t 関数は厳
密にはステップ関数 u(t) を掛けた形 f (t)u(t) になるが，特に注意する必要がない多くの
場合は u(t) は省略する．
［補足］
t < 0 で f (t) = 0 である関数 f (t) のフーリエ変換 FF (ω) は
∫
FF (ω) =
∞
−∞
f (t) e−j ωt dt =
∫
∞
0
e−j ωt dt
(4.20)
c 大豆生田利章 2011
76
第 4 章 ラプラス変換
である．一方で，f (t) のラプラス変換 FL (s) は
∫
FL (s) =
∞
e−st dt
(4.21)
0
であるので，フーリエ変換 FF (ω) とラプラス変換 FL (s) の間には
FF (ω) = FL (j ω)
(4.22)
という関係があることが分かる．さらに一般的なフーリエ変換とラプラス変換の関係は付録 E に示す．
まず，各種関数のラプラス変換を求めてみる．以下では，
lim e−st = 0
t→∞
(4.23)
となることを仮定する．
ステップ関数：u(t)
∫
∞
0
[ −st ]∞
e
1
u(t) e−st dt = −
=
s 0
s
(4.24)
より
1
L {u(t)} =
{ } s
1
−1
L
= u(t)
s
(4.25)
(4.26)
を使って t 関数と s 関数の対応関係を示すと，
である．矢印
1
s
u(t)
(4.27)
となる．
指数関数：eat
∫
∞
at −st
e e
0
[ −(s−a)t ]∞
e
1
dt = −
=
s−a 0
s−a
(4.28)
より
e−at
1
s+a
(4.29)
1 次関数：t
∫
∞
−st
te
0
[
]∞ ∫ ∞ −st
[ −st ]∞
te−st
e
e
1
dt = −
+
dt = − 2
= 2
s 0
s
s
s
0
0
(4.30)
より
t
1
s2
(4.31)
c 大豆生田利章 2011
4.2 ラプラス変換の性質
n 次関数：tn
∫
0
∞
[ n −st ]∞ ∫ ∞ n−1 −st
t e
nt
e
tn e−st dt = −
dt
+
s
s
0
0
[
]∞ ∫ ∞
n(n − 1)tn−2 e−st
ntn−1 e−st
+
= −
dt
s2
s2
0
0
= ···
]∞
[
n!e−st
n!
= − n+1
= n+1
s
s
0
77
(4.32)
より
tn
1
(4.33)
n!
sn+1
三角関数：sin ωt, cos ωt, (ω > 0) 付録 A の式 (A.4) および式 (A.3) を利用して，
∫ ∞
∫ ∞ jωt
e − e−jωt −st
sin ωt e−st dt =
e dt
2j
0
0
{
})
1 ( { jωt }
L e
− L e−jωt
=
2j
[
]
1
1
1
=
−
2j s − jω s + jω
ω
= 2
(4.34)
s + ω2
∫
∞
−st
cos ωt e
0
∫
∞
e jωt + e−jωt −st
e dt
2
0
{
})
1 ( { jωt }
L e
+ L e−jωt
=
2(
)
1
1
1
=
+
2 s − jω s + jω
s
= 2
s + ω2
dt =
(4.35)
より
sin ωt
cos ωt
ω
s2 + ω 2
s
s2 + ω 2
(4.36)
(4.37)
【例題 4.2】
式 (4.18) を用いて，以下の t 関数のラプラス変換を求めよ．
(1)
f (t) = sinh ωt
(ω > 0)
(4.38)
c 大豆生田利章 2011
78
第 4 章 ラプラス変換
(2)
f (t) = cosh ωt
(ω > 0)
(4.39)
(a > 0)
(4.40)
(3)
f (t) = t e−at
(4)
{
0 t < 0, T < t
f (t) =
1 0<t<T
(4.41)
〔解答 4.2〕
(1)（付録 A の sinh の定義式 (A.18) を用いて）
∫
∞
F (s) =
sinh ωt e−st dt =
0
1
2
∫
∞
( ωt
)
e − e−ωt e−st dt
0
[ −(s−ω)t
]∞
1
ω
e
e−(s+ω)t
=
= 2
−
+
2
s−ω
s+ω 0
s − ω2
(4.42)
(2) （付録 A の cosh の定義式 (A.19) を用いて）
∫
∞
F (s) =
cosh ωt e−st dt =
0
1
2
∫
∞
(
)
eωt + e−ωt e−st dt
0
[ −(s−ω)t
]∞
1
e
e−(s+ω)t
s
=
−
−
= 2
2
s−ω
s+ω 0
s − ω2
(4.43)
(3)
∫
F (s) =
∞
∫
t e−at · e−st dt =
0
[
]∞ ∫
t e−(s+a)t
= −
+
s+a
0
0
∞
t e−(s+a)t dt
0
∞ −(s+a)t
e
[ −(s+a)t ]∞
e
1
dt = −
=
s+a
(s + a)2 0
(s + a)2
(4.44)
[ −st ]T
e
1 − e−sT
dt = −
=
s 0
s
(4.45)
(4)
∫
F (s) =
T
e
0
−st
つぎに，ラプラス変換の性質を調べる．ここでは a，b は定数とする．
c 大豆生田利章 2011
4.2 ラプラス変換の性質
79
線形性
∫
∞
∫
{af (t) + bg(t)} e−st dt = a
0
∞
f (t) e−st dt + b
∫
0
∞
g(t) e−st dt
(4.46)
0
より
L {af (t) + bg(t)} = aL {f (t)} + bL {g(t)} = aF (s) + bG(s)
(4.47)
この性質を線形性と呼び，ラプラス変換の最も基本的で重要な性質である ∗4 ．
相似則
a > 0 ならば
∫
∞
f (at) e−st dt =
0
1
a
∫
∞
f (τ )e− a dτ =
sτ
0
1 (s)
F
a
a
(4.48)
より
1 (s)
F
a
a
f (at)
時間軸上の移動
(4.49)
t 関数を時間軸上で a だけ移動させる．t < a では t 関数は 0 であるこ
とを明記するために，ステップ関数 u(t − a) を掛ける．
∫
∞
f (t − a) u(t − a) e−st dt =
0
∫
∞
f (τ ) u(τ ) e−s(a+τ ) dτ
−a
∫ ∞
f (τ ) u(τ ) e−s(a+τ ) dτ
∫ ∞
−as
=e
f (τ ) u(τ ) e−sτ dτ
=
0
0
= e−as F (s)
(4.50)
より
f (t − a) u(t − a)
e−as F (s)
(4.51)
これは t 領域の推移則と呼ばれる．
減衰関数のラプラス変換
∫
∞
−at
e
0
f (t) e
−st
∫
∞
dt =
f (t) e−(s+a)t dt = F (s + a)
(4.52)
0
より
e−at f (t)
∗4
a，b は複素数でもよい．
F (s + a)
(4.53)
c 大豆生田利章 2011
80
第 4 章 ラプラス変換
これは s 領域の推移則と呼ばれる．推移則より，減衰振動のラプラス変換は
ω
(s + a)2 + ω 2
e−at sin ωt
(4.54)
となる．このように，この性質は重要である．
微分のラプラス変換
∫
∫ ∞
[
]∞
df (t) −st
−st
f (t) e−st dt
e dt = f (t) e
+s
dt
0
0
= −f (0) + sF (s)
∞
0
(4.55)
より
df (t)
dt
sF (s) − f (0)
(4.56)
2 階微分のラプラス変換は，この性質を繰り返し用いて
d2 f (t)
dt2
{
sL
df
dt
}
−
df (0)
dt
df (0)
dt
df (0)
2
= s F (s) − sf (0) −
dt
= s{sF (s) − f (0)} −
(4.57)
となる．
定積分のラプラス変換
∫
∞
[∫
]
t
−st
f (τ )dτ e
0
0
[∫ t
[
]∞
]
∫
∫
1 ∞ d
1 −st t
+
dt = − e
f (τ )dτ
f (τ )dτ · e−st dt
s
s 0 dt 0
0
0
∫
1 ∞
f (t) e−st dt
=
s 0
F (s)
=
(4.58)
s
より
∫
t
f (τ ) dτ
0
F (s)
s
(4.59)
F (s) G(s)
(4.60)
が得られる ∗5 ．
畳み込み積分
第 4.1 節の議論より
f (t) ∗ g(t)
∗5
不定積分に関しては付録 F を参照する．
c 大豆生田利章 2011
4.2 ラプラス変換の性質
周期関数のラプラス変換
81
周期 T の周期関数 f (t) は 1 周期分の関数を f0 (t) として
f (t) =
∞
∑
f0 (t − nT )u(t − nT )
(4.61)
n=0
と表される．この式と，式 (4.51) に示した t 領域の推移則を用いて，
F (s) =
∞
∑
F0 (s)e−nsT = F0 (s)
n=0
∞
∑
(e−sT )n =
n=0
F0 (s)
1 − e−sT
(4.62)
となる．これより周期関数のラプラス変換は 1 周期分のラプラス変換を用いて以下の
式で与えられる．
∞
∑
f0 (t − nT )u(t − nT )
n=0
初期値定理
F0 (s)
1 − e−sT
(4.63)
式 (4.55) より
∫
sF (s) − f (+0) =
0
∞
df (t) −st
e dt = lim
τ →∞
dt
∫
0
τ
df (t) −st
e dt
dt
(4.64)
ここで s → ∞ の極限を取ると，f (+0) は定数なので極限に対して変化しないことに
注意して，
∫ τ
df (t) −st
lim sF (s) − f (+0) = lim lim
e dt
s→∞
s→∞ τ →∞ 0
dt
∫ τ
]
df (t) [
= lim
· lim e−st dt
τ →∞ 0
s→∞
dt
∫ τ
df (t)
= lim
· 0 dt = 0
τ →∞ 0
dt
(4.65)
となる ∗6 ．これより次の初期値定理が得られる．
f (+0) = lim f (t) = lim sF (s)
t→+0
s→∞
(4.66)
これは s 関数から t 関数の初期値が求められることを意味している．
最終値定理
式 (4.64) において s → 0 の極限を取ると．
∫
τ
df (t) −st
lim sF (s) − f (+0) = lim lim
e dt
s→0
s→0 τ →∞ 0
dt
∫ τ
]
df (t) [
= lim
· lim e−st dt
τ →∞ 0
s→0
dt
∫ τ
df (t)
= lim
· 1 dt
τ →∞ 0
dt
= lim [f (τ ) − f (0)]
τ →∞
∗6
ラプラス変換では極限と積分は交換可能である（証明は省略）．
(4.67)
c 大豆生田利章 2011
82
第 4 章 ラプラス変換
となる．ここで，t → ∞ で f (t) が収束するとすると，次の最終値定理が得られる．
f (∞) = lim f (t) = lim sF (s)
t→∞
(4.68)
s→0
これは s 関数から t 関数の最終値が求められることを意味している．
【例題 4.3】
図 4.5 (a) に示す幅 τ ，大きさ 1 の矩形パルスのラプラス変換を推移則を用いて求めよ．
さらに，図 4.5 (b) に示す周期 T ，幅 τ ，大きさ 1 の矩形パルス列のラプラス変換を求め
よ．
図 4.5
例題 4.3 図
〔解答 4.3〕
図 4.6 (a) の矩形パルスは，図 4.6 (b) および (c) に示したステップ関数 u(t) と −u(t − τ )
の和であると考えることができる．
図 4.6
ステップ関数 u(t) のラプラス変換は
解答 4.3 図
1
なので，式 (4.47) の線形性と式 (4.51) の推移則
s
を用いると
L {f0 (t)} = L {u(t) − u(t − τ )} = L {u(t)} − L {u(t − τ )} =
=
1 − e−τ s
s
1 e−τ s
−
s
s
(4.69)
c 大豆生田利章 2011
4.3 逆ラプラス変換
83
となる ∗7 ．ここで，式 (4.63) を用いると
L {f (t)} =
L {f0 (t)}
1 − e−τ s
=
−T
s
1−e
s (1 − e−T s )
(4.70)
である．
4.3
逆ラプラス変換
以下の式 (4.71) を用いて s 関数 F (s) から t 関数 f (t) を求めることを逆ラプラス変換
−1
L
あるいはラプラス逆変換と呼ぶ．ただし，c は十分大きな実数とする．
f (t) = L−1 {F (s)} =
1
j2π
∫
c+j∞
F (s) est ds
(4.71)
c−j∞
実際に式 (4.71) の定義にもとづいて逆ラプラス変換を計算するには数学の知識（複素積
分）が必要になる．そのため，ここではラプラス変換と逆ラプラス変換を 1 対 1 で対応さ
せ，逆ラプラス変換はラプラス変換の単なる逆操作であるとして取り扱う．付録 D にラ
プラス変換と逆ラプラス変換の対応表を載せる．なお，ラプラス変換のときと同様に， t
関数 f (t) は t < 0 で f (t) = 0 であるとする．
【例題 4.4】
以下の s 関数の逆ラプラス変換を求めよ．
(1)
F (s) =
1
s+7
(4.72)
F (s) =
e−s
s+2
(4.73)
1
s4
(4.74)
(2)
(3)
F (s) =
∗7
当然ながらラプラス変換の定義から求めた例題 4.2 の式 (4.45) に一致する．
c 大豆生田利章 2011
84
第 4 章 ラプラス変換
(4)
1
F (s) =
2
(s + 3)
(4.75)
(5)
F (s) =
s+3
s2 + 2s + 5
(4.76)
〔解答 4.4〕
L−1
以下，−
−−→ で逆ラプラス変換を表す．
(1)（式 (4.29) を適用）
1 L−1 −7t
−−−→ e
s+7
(4.77)
e−s L−1 −2(t−1)
−−−→ e
· u(t − 1)
s+2
(4.78)
1 L−1 t3
−−−→
s4
3!
(4.79)
(2)（式 (4.29) と式 (4.51) を適用）
(3)（式 (4.33) を適用）
(4)（式 (4.33) と式 (4.51) を適用）
1
L−1
2
(s + 3)
−−−→ t e−3t
(4.80)
(5)（式 (4.36)，式 (4.37) と式 (4.53) を適用）
s2
s+3
(s + 1) + 2
s+1
2
=
=
+
2
2
2
2
+ 2s + 5
(s + 1) + 4
(s + 1) + 2
(s + 1) + 22
L−1
−−−→ e−t cos 2t + e−t sin 2t
(4.81)
やや複雑な s 関数に対する逆ラプラス変換を行なうのには部分分数展開を用いるのが便
利である．まず，s 関数 F (s) を s の多項式 N (s) と D(s) を用いて ∗8 ，
∗8
N (s) の次数は D(s) の次数より小さいものとする．
c 大豆生田利章 2011
4.3 逆ラプラス変換
F (s) =
85
N (s)
D(s)
(4.82)
として，an を D(s) = 0 の kn 重解とする，すなわち
D(s) =
∏
(s − an )
kn
k1
= (s − a1 )
k2
(s − a2 )
(s − a3 )
k3
···
(4.83)
n
であるとする．部分分数分解とは，F (s) を
F (s) =
kn
∑∑
n
Anm
(s
−
an )m
m=1
(4.84)
の形にするものである．部分分数展開ができれば，F (s) の逆ラプラス変換は

kn
m−1

∑ ∑ Anm t
ean t
f (t) =
(m
−
1)!

 n m=1
0
t>0
(4.85)
t<0
と求められる．係数 Anm は次の公式を用いると求めることができるが
∗9
，F (s) が簡単
なときは部分分数展開した形と元の式を比較することで求められる．
Anm =
]
1
dkn −m [
kn
(s
−
a
)
F
(s)
n
k
−m
(kn − m)! ds n
(4.86)
s=an
まず，D(s) = 0 の解がすべて 1 重解のときの部分分数展開を，以下の例題を用いて示
す．
【例題 4.5】
以下の式 F (s) を部分分数展開せよ．
F (s) =
6
s (s + 1) (s − 2)
(4.87)
〔解答 4.5〕
A，B および C を未知定数として，
6
A
B
C
= +
+
s (s + 1) (s − 2)
s
s+1 s−2
(4.88)
とおく．式 (4.88) の両辺に s (s + 1) (s − 2) をかけると，
A (s + 1) (s − 2) + Bs (s − 2) + Cs (s + 1) = 6
∗9
証明は付録 G に示す．
(4.89)
c 大豆生田利章 2011
86
第 4 章 ラプラス変換
となる．式 (4.89) の s に，0，−1 および 2 を代入すると，
−2A = 6 (s = 0)
(4.90)
3B = 6
(s = −1)
(4.91)
6C = 6
(s = 2)
(4.92)
となる．これより，
A = −3,
B = 2,
C=1
(4.93)
2
1
3
+
F (s) = − +
s s+1 s−2
(4.94)
よって，
D(s) = 0 の解に多重解が含まれているときは，以下の例題のように微分を併用すること
になる．
【例題 4.6】
以下の式 F (s) を部分分数展開せよ．
F (s) =
9s2 + 9
s3 − 3s − 2
(4.95)
〔解答 4.6〕
s3 − 3s − 2 = (s + 1)2 (s − 2)
(4.96)
より，A，B ，C を定数として，
A
B
C
9s2 + 9
=
+
+
(s + 1)2 (s − 2)
s + 1 (s + 1)2
s−2
(4.97)
とする．式 (4.97) の両辺に (s + 1)2 (s − 2) をかけると，
2
A (s + 1) (s − 2) + B (s − 2) + C (s + 1) = 9s2 + 9
(4.98)
となる．式 (4.98) の s に 2 および −1 を代入して，
9C = 45 =⇒ C = 5
−3B = 18 =⇒ B = −6
(s = 2)
(s = −1)
(4.99)
(4.100)
c 大豆生田利章 2011
4.3 逆ラプラス変換
87
となる．このままでは，A の値が決まらないが，式 (4.98) の両辺を s に関して微分した式，
A (2s − 1) + B + C · 2 (s + 1) = 18s
(4.101)
に s = −1 を代入すると，以下のように A の値が決まる．
−3A + B = −3A − 6 = −18 =⇒ A = 4
(4.102)
よって
F (s) =
6
5
4
−
+
s + 1 (s + 1)2
s−2
(4.103)
なお，部分分数展開には例題 4.5 の式 (4.89) や例題 4.6 の式 (4.98) を s の多項式として両
辺の各係数を比較する方法もある．
【例題 4.7】
部分分数展開を利用して，以下の s 関数の逆ラプラス変換を求めよ．
(1)
F (s) =
1
s(s + 2)
(4.104)
s
s2 − 9
(4.105)
1
+1
(4.106)
(2)
F (s) =
(3)
F (s) =
s2
(4)
F (s) =
〔解答 4.7〕
L−1
以下，−
−−→ で逆ラプラス変換を表す．
s+1
(s + 2)2
(4.107)
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88
第 4 章 ラプラス変換
(1)
[
]
]
1
1 1
1
L−1 1 [
=
−
−−−→
u(t) − e−2t
s(s + 2)
2 s s+2
2
(4.108)
(2)
[
]
]
s
1
1
1
L−1 1 [ 3t
e + e−3t = cosh 3t
=
+
−−−→
s2 − 9
2 s−3 s+3
2
(4.109)
[
]
]
1
1
1
1
L−1 1 [ jt
=
−
e − e−jt = sin t
−
−−→
s2 + 1
2j s − j s + j
2j
(4.110)
(3)
(4)
1
s+1
1
L−1
−
=
−−−→ e−2t − te−2t
2
2
(s + 2)
s + 2 (s + 2)
4.4
(4.111)
電気回路への応用
以下では，電流の t 関数を i，s 関数を I とする ∗10 ．同様に電圧の t 関数は v ，s 関数
は V とする．各関数の変数は必要がある場合を除き省略する．
まず，ラプラス変換を電気回路の過渡現象に応用した例を以下に挙げる．
【例題 4.8】
図 4.7 の回路において，時刻 t = 0 で RL 直列回路に直流電源 E を接続したときの電流 i
をラプラス変換を用いて求めよ．ただし，i(0) = i0 とする．
図 4.7
例題 4.8 図
〔解答 4.8〕
回路の微分方程式は
E = Ri + L
∗10
習慣的に t 関数は小文字で，s 関数は大文字で表す．
di
dt
(4.112)
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4.4 電気回路への応用
89
であり，これをラプラス変換すると
E
= RI + L(sI − i0 ) = (R + sL)I − Li0
s
(4.113)
となる．これを I について解くと
I=
[
]
E + sLi0
E 1
E
1
=
· + i0 −
·
s(R + sL)
R s
R
s+ R
L
(4.114)
である．この式を逆ラプラス変換して
i=
［補足］
[
]
R
E
E
+ i0 −
· e− L t
R
R
(4.115)
この解答は厳密には
i=
[
]
R
E
E
u(t) − i0 −
· e− L t u(t)
R
R
(4.116)
であるが，t > 0 のみ考察の対象であることは明らかので，u(t) は省略した．
このようにラプラス変換を用いると初期値を含む微分方程式が簡単に解ける．このため
にラプラス変換は電気回路だけではなく工学の諸分野で利用される重要な手法となって
いる．
電気回路の解析にラプラス変換を応用する一般的な方法について考える．コイルを流れ
る電流の初期値を iL (0)，コンデンサ両端の電圧の初期値を vC (0) として，基本素子の満
たす微分方程式
v = Ri
dv
dt
di
v=L
dt
i=C
(4.117)
(4.118)
(4.119)
をラプラス変換すると，
V = RI
(4.120)
I = C(sV − vC (0))
(4.121)
V = L(sI − iL (0))
(4.122)
となる．抵抗に関してはオームの法則と同じ形になるので問題はないであろう．残りのコ
イルとコンデンサについて考える．コイルとコンデンサに関する式を変形すると
c 大豆生田利章 2011
90
第 4 章 ラプラス変換
I
vC (0)
+
sC
s
V = sLI − LiL (0)
V =
(4.123)
(4.124)
となる．つまり，初期値が 0 のときは，
V = RI
I
V =
sC
V = sLI
(4.125)
(4.126)
(4.127)
となる．初期値が 0 でないときは
V = RI
(4.128)
vC (0)
I
+
sC
s
V = sLI − LiL (0)
V =
(4.129)
(4.130)
となる．式 (4.128) から式 (4.130) を図で表すと，図 4.8 のようになる．
図 4.8
基本素子のラプラス変換
電気回路においてラプラス変換した電圧 V (s) と電流 I(s) の比
Z=
V (s)
I(s)
(4.131)
をインピーダンスと呼ぶ．式 (4.125)，式 (4.126) および式 (4.127) より抵抗 R，コイル L
1
となる．これは最も一般的な
sC
インピーダンスの定義であり，定常正弦波交流に対するインピーダンスは s を jω とした
およびコンデンサ C のインピーダンスは R，sL および
特別な場合として含まれる ∗11 ．ここで定義したインピーダンスを用いれば，一般の電気
回路の問題が直流回路と同じ形で扱える．
つまり，以下の手順で一般的な電気回路の電圧・電流が求められることになる ∗12 ．
∗11
∗12
76 ページの式 (4.22) も参照．
この手順では具体的な微分方程式を立てなくてもよいことに注意する．
c 大豆生田利章 2011
4.4 電気回路への応用
91
(1) 電圧・電流をラプラス変換する．
1
にする．
sC
vC (0)
(3) 各コンデンサ両端の電圧の初期値 vC (0) に対して，図 4.8 のように電圧源
を
s
(2) 抵抗 R，インダクタンス L，静電容量 C を，インピーダンス R，sL，
電圧と同じ向きに挿入する．
(4) 各コイルを流れる電流の初期値 iL (0) に対して，図 4.8 のように電圧源 LiL (0) を電
流と同じ向きに挿入する ∗13 ．
(5) s を単なる記号として，未知の電圧・電流を計算する．
(6) 求められた電圧・電流を逆ラプラス変換して電圧・電流の時間変化を求める．
上記の手順で (1) から (4) の操作を行なった回路を，ここでは “ラプラス変換した回路” と
呼ぶことにする．
以下に，いくつかの例題を挙げる．
【例題 4.9】
図 4.9 (a) の回路においてコイル L1 および L2 に十分な時間をかけて電流を流した後，
t = 0 でスイッチ SW を切ったときの t > 0 における電流 i を求めよ．
図 4.9
〔解答 4.9〕
t < 0 において L1 を流れる電流は
例題 4.9 図
E
E
，L2 を流れる電流は
であるので，ラプラス変
R1
R2
換した回路は図 4.9 (b) のようになる．よって
L1 E
L2 E
+
(−L1 R2 + L2 R1 )E
R1
R2
I=
=
·
(R1 + R2 ) + s(L1 + L2 )
R1 R2 (L1 + L2 )
−
∗13
この場合は電源電圧に s が入らないことに注意する．
1
R1 + R2
s+
L1 + L2
(4.132)
c 大豆生田利章 2011
92
第 4 章 ラプラス変換
逆ラプラス変換して
(
)
(−L1 R2 + L2 R1 )E
R1 + R2
· exp −
t
i=
R1 R2 (L1 + L2 )
L1 + L2
(4.133)
となる ∗14 ．
【例題 4.10】
図 4.10 (a) の LCR 直列回路において，時刻 t = 0 で直流電源 E を接続したときの電流 i
を求めよ．ただし，vC (0) = 0 かつ iL (0) = 0 とする．
図 4.10
例題 4.10 図
〔解答 4.10〕
ラプラス変換した回路は図 4.10 (b) のようになる．回路の満たす方程式は
E
1
= sLI +
I + RI
s
sC
(4.134)
である．これを I について解くと
I=
E
·
L
1
R
1
s2 + s +
L
LC
(4.135)
となる．ここで
γ=
R
,
2L
ω0 = √
1
LC
(4.136)
とすると
I=
∗14
E
1
·
L (s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
これは 3.2 節の式 (3.86) に一致する．
(4.137)
c 大豆生田利章 2011
4.4 電気回路への応用
93
となる．この式を逆ラプラス変換すれば時間変化が求まる．
ω0 2 > γ 2 のときは ω =
I=
√
ω0 2 − γ 2 として
ω
E
·
ωL (s + γ)2 + ω 2
L−1
−−−→
i=
E −γt
e
sin ωt
ωL
(4.138)
ω0 2 = γ 2 のときは
1
E
L−1
·
−−−→
2
L (s + γ)
√
< γ 2 のときは ω = γ 2 − ω0 2 として
I=
ω0 2
I=
ω
E
·
ω L (s + γ)2 − (ω )2
L−1
−−−→
i=
E
· t e−γt
L
i=
E −γt
e
sinh ω t
ωL
(4.139)
(4.140)
【例題 4.11】
図 4.11 (a) の LCR 並列回路においてコンデンサ C を充電した後，t = 0 でスイッチを左
から右へ切り替えた．t > 0 において抵抗を流れる電流 iR とコイルを流れる電流 iC を求
めよ．ただし，4R2 C > L とする．
図 4.11
例題 4.11 図
〔解答 4.11〕
ラプラス変換した回路は図 4.11 (b) のようになる．この回路の閉路電流 IR と IL を図の
ように定める．閉路方程式は
(
)
E
1
1
= R+
IR +
IL
s
sC
sC
(
)
E
1
1
=
IR +
+ sL IL
s
sC
sC
(4.141)
(4.142)
c 大豆生田利章 2011
94
第 4 章 ラプラス変換
となる．閉路方程式を解くと
E
R
E
IL =
L
IR =
s
(s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
1
·
2
(s + γ) + ω0 2 − γ 2
·
(4.143)
(4.144)
となる．ただし，
γ=
1
,
2RC
ω0 = √
1
LC
(4.145)
とした．4R2 C > L なので，
ω0 2 − γ 2 > 0
(4.146)
である．IR および IL を
[
]
s+γ−γ
E
s+γ
γ
E
·
=
·
−
R (s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
R
(s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
(s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
]
[
√
E
ω0 2 − γ 2
s+γ
γ
=
·
−√
(4.147)
R
(s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
ω0 2 − γ 2 (s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
√
ω0 2 − γ 2
E
·
(4.148)
IL = √
ω0 2 − γ 2 L (s + γ)2 + ω0 2 − γ 2
IR =
と変形して，逆ラプラス変換により，iR と iL を求めると，
]
[
√
√
E −γt
γ
2
2
2
2
iR = e
sin ω0 − γ t
· cos ω0 − γ t − √
R
ω0 2 − γ 2
√
E
iL = √
e−γt sin ω0 2 − γ 2 t
ω0 2 − γ 2 L
(4.149)
(4.150)
となる．
【例題 4.12】
図 4.12 の RC 直列回路において，t = 0 で交流電源 E sin ωt を接続したときの電流 i を
求めよ．初期値は vC (0) = v0 とする．
〔解答 4.12〕
ωE
であるので，回路の方程式は
+ ω2
(
)
ωE
1
v0
1
v0
= RI +
I+
= R+
I+
s2 + ω 2
sC
s
sC
s
電源のラプラス変換は
s2
(4.151)
c 大豆生田利章 2011
4.4 電気回路への応用
図 4.12
95
例題 4.12 図
となる．電流 I について解くと
[
]
sC
ωE
v0
I=
−
sCR + 1 s2 + ω 2
s
(4.152)
となり，部分分数展開すると，
I=−
v0
·
R
1
s+
1
CR
+


ωCE

· −
1 + (ωCR)2
1
1
s+
CR
+
s
ω 
+ ωCR · 2
 (4.153)
s2 + ω 2
s + ω2
となる．求める解は，I を逆ラプラス変換して
i=−
t
v0 − t
ωCE
ωCE
e CR −
e− CR +
(cos ωt + ωCR sin ωt)
2
R
1 + (ωCR)
1 + (ωCR)2
(4.154)
である．
［補足］
式 (4.154) の第 1 項は t = 0 でコンデンサに蓄えられていた電荷 Cv0 の放電電流，第 2 項は初期
値が 0 のときの過渡解，第 3 項は定常解を示している．
【例題 4.13】
図 4.13 の回路において t = 0 でスイッチを入れた．t > 0 における i1 および i2 を求め
よ．ただし，初期値は 0 であり，変成器は密結合（L1 L2 = M 2 ）であるとする．
〔解答 4.13〕
ラプラス変換した回路の方程式は
E
= (sL1 + R1 ) I1 + sM I2
s
0 = sM I1 + (sL2 + R2 ) I2
(4.155)
(4.156)
c 大豆生田利章 2011
96
図 4.13
第 4 章 ラプラス変換
例題 4.13 図
である．これを I1 および I2 について解くと
sL2 + R2
E
·
s2 (L1 L2 − M 2 ) + s (L1 R2 + L2 R1 ) + R1 R2 s
−sM
E
I2 = 2
·
2
s (L1 L2 − M ) + s (L1 R2 + L2 R1 ) + R1 R2 s
I1 =
(4.157)
(4.158)
ここで L1 L2 − M 2 = 0 を用い，
α=
L1 R2 + L2 R1
R1 R2
(4.159)
として整理すると
[
]
E
1
L1 R 2
1
I1 =
·
−
·
R1
s L1 R 2 + L2 R 1 s + α
ME
1
I2 = −
·
L1 R2 + L2 R1 s + α
(4.160)
(4.161)
となる．これを逆ラプラス変換して
[
]
E
L1 R2
−αt
i1 =
· 1−
e
R1
L1 R2 + L2 R1
ME
i2 = −
e−αt
L1 R1 + L2 R1
(4.162)
(4.163)
となる．
4.5
過渡現象の初期値：再論
本節では 3.2 節で述べた過渡現象の初期値に関する問題を再び取り上げる．57 ページ
の図 3.7 に示した RC 回路の過渡現象を説明対象とする．
c 大豆生田利章 2011
4.5 過渡現象の初期値：再論
図 4.14
97
RC 回路の過渡応答（初期値が t = +0 のとき）
4.5.1 スイッチを切り替えた直後の値を用いた場合
初期値としてスイッチを切り替えた直後の値 vC (+0) =
C1 E
を用いて回路をラプ
C1 + C2
ラス変換すると，図 4.14 のようになる．
ここで閉路電流を I1 および I2 とおくと，閉路方程式は
(
)
1
1
1
0=
+
I1 −
I2
sC1
sC2
sC2
(
)
1
1
vC (+0)
=−
I1 +
+R
s
sC2
sC2
(4.164)
(4.165)
となる．この閉路方程式を解いて，
I1 =
C1 2 E
·
1
1
(C1 + C2 ) R
C1 E
1
I2 =
·
1
(C1 + C2 ) R
s+
(C1 + C2 ) R
2
(C1 + C2 ) R s +
(4.166)
(4.167)
となる．逆ラプラス変換をして
(
· exp −
)
t
2
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
(
)
t
C1 E
· exp −
i2 =
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
i1 =
C1 2 E
となり，抵抗 R を流れる電流 i2 は式 (3.78) と同じになる．
(4.168)
(4.169)
c 大豆生田利章 2011
98
第 4 章 ラプラス変換
4.5.2 スイッチを切り替える直前の値を用いた場合
初期値としてスイッチを切り替える直前の値 vC (−0) = E を用いて回路をラプラス変
換すると，図 4.15 のようになる．
RC 回路の過渡応答（初期値が t = −0 のとき）
図 4.15
ここで閉路電流を I1 および I2 とおくと，閉路方程式は
)
1
1
1
+
I1 −
I2
sC1
sC2
sC2
(
)
1
1
0=−
I1 +
+R
sC2
sC2
E
=
s
(
(4.170)
(4.171)
となる．この閉路方程式を解いて，
[
]
C1
1
C1 C2 E
· 1+
·
I1 =
C1 + C2
C2 s (C1 + C2 ) R + 1
C1 E
I2 =
s (C1 + C2 ) R + 1
(4.172)
(4.173)
を得る．抵抗 R を流れる電流 i2 は
−1
i2 = L
(
)
C1 E
t
[I2 ] =
· exp −
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
(4.174)
となり，式 (3.78) を得る．なお，電流 i1 は，1 の逆ラプラス変換 L−1 {1} がデルタ関数
δ(t) であるので ∗15 ，
−1
i1 = L
[
(
)]
C1 C2 E
C1
t
{I1 } =
δ(t) +
· exp −
C1 + C2
C2 (C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
(4.175)
となる．i1 において第 1 項はデルタ関数 δ(t) であらわされるが，これはコンデンサ C1 と
コンデンサ C2 の間で電荷を分配するために，t = −0 と t = +0 の間に瞬間的に流れる電
流である．第 2 項は式 (4.169) と同じである．このようにデルタ関数 δ(t) を用いることを
認めれば，初期条件は t = −0 のものでも t = +0 のものでもよいことになる．
∗15
証明は付録 H に示す．
c 大豆生田利章 2011
4.5 過渡現象の初期値：再論
99
4.5.3 配線の抵抗を考慮した場合
実際の電気回路の動作ではデルタ関数が現れることはないが，4.5.2 節の結果の式 (4.175)
にはデルタ関数が現れている．これは，図 4.15 ではコンデンサ間を接続している導線の
抵抗が 0 であるとしたことによるものである．本小節では，図 4.16 のようにコンデンサ
間を接続している導線の抵抗を r として，過渡現象の解析をする．ただし，導線の抵抗 r
が非常に小さい，すなわち r
R という条件を用いて近似する．
RC 回路の過渡応答（配線の抵抗を考慮したとき）
図 4.16
図 4.16 の閉路方程式は
)
1
1
1
+
+ r I1 −
I2
sC1
sC2
sC2
(
)
1
1
I1 +
+ R I2
0=−
sC2
sC2
E
=
s
(
(4.176)
(4.177)
であり，これを解くと
E
sC1 (sC2 R + 1)
·
s s2 C1 C2 Rr + s [(C1 + C2 ) R + C1 r] + 1
E
sC1
I2 =
· 2
s s C1 C2 Rr + s [(C1 + C2 ) R + C1 r] + 1
I1 =
(4.178)
(4.179)
となる．ここで，2 次方程式
s2 C1 C2 Rr + s [(C1 + C2 ) R + C1 r] + 1 = 0
(4.180)
の解を α および β とおく．ただし α < β とする．2 次方程式の解の公式より
α, β =
− (C1 + C2 ) − C1 r ±
であるが，根号の部分は
√
2
[(C1 + C2 ) R + C1 r] − 4C1 C2 Rr
2C1 C2 Rr
(4.181)
c 大豆生田利章 2011
100
第 4 章 ラプラス変換
√
2
[(C1 + C2 ) R + C1 r] − 4C1 C2 Rr
√
2C1 (C1 − C2 ) r
C1 2 r2
= (C1 + C2 ) R 1 +
+
(4.182)
2
2
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R2
r
である．ここで，r
R という条件から平方根をテーラー展開で
の 1 次の項まで近似
R
すると ∗16 ，
√
2
[(C1 + C2 ) R + C1 r] − 4C1 C2 Rr
[
(C1 + C2 ) R · 1 +
= (C1 + C2 ) R +
C1 (C1 − C2 ) r
]
2
(C1 + C2 ) R
C1 (C1 − C2 ) r
C1 + C2
(4.183)
となる．これより
α
β
1
(C1 + C2 ) R
C1 + C2
C1
−
−
C1 C2 r
C2 (C1 + C2 ) R
−
−
C1 + C2
C1 C2 r
(4.184)
となる．I1 と I2 を部分分数展開すると，
[
]
E
a
b
·
+
r
s−α s−β
[
]
E
1
1
I2 =
·
−
C2 Rr (α − β) s − α s − β
I1 =
a=
C1 2 r
2
(C1 + C2 ) R − C1 C2 r
b=1−a
(4.185)
(4.186)
C1 2 r
2
(C1 + C2 ) R
(4.187)
(4.188)
であり，整理すると，I1 と I2 のラプラス変換は
]
[
}
1
1
C1 2 r
·
·
+ 1−
2
2
s−β
(C1 + C2 ) R s − α
(C1 + C2 ) R
[
]
C1 E
1
1
I2 =
·
−
(C1 + C2 ) R s − α s − β
E
I1 =
·
r
{
C1 2 r
(4.189)
(4.190)
となる．逆ラプラス変換をして i1 と i2 を求めると
(
)
(C1 + C2 ) t
E
i1 = exp −
r
C1 C2 r
[
(
)
(
)]
2
C1 E
t
(C1 + C2 ) t
+
exp −
− exp −
2
(C1 + C2 ) R
C1 C2 r
(C1 + C2 ) R
[
(
)
(
)]
t
(C1 + C2 ) t
C1 E
exp −
− exp −
i2 =
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
C1 C2 r
∗16
付録 A の式 (A.14) を参照．
(4.191)
(4.192)
c 大豆生田利章 2011
4.6 回路の安定性
を得る．r
101
R より時定数は
C1 C2 r
C1 + C2
(C1 + C2 ) R
(4.193)
となるので，exp (−(C1 + C2 ) t/C1 C2 r) の項は時間の経過とともに急激に減少する
∗17
．
したがって，スイッチを切り替えた直後を除いて各電流は
(
· exp −
)
t
2
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
(
)
t
C1 E
· exp −
i2 =
(C1 + C2 ) R
(C1 + C2 ) R
C1 2 E
i1 =
(4.194)
(4.195)
となる．これは，4.5.1 節および 4.5.2 節の結果と同じになる．
4.6
回路の安定性
ある回路への入力 f (t) が有限ならば，回路の出力 g(t) も有限であるとき，回路は “安
定性を有する” あるいは “安定である” という．本節では，ラプラス変換を基に回路の安
定性を考える．
まず，回路の安定性を示す式を導く．73 ページの式 (4.9) に示したように，回路の出力
g(t) は入力 f (t) とインパルス応答 h(t) のたたみこみ積分
∫
∞
g(t) =
−∞
f (τ ) h(t − τ ) dτ
(4.196)
で与えられる．入力 f (t) が有限であるときは
|f (t)| < K
(4.197)
となる定数 K が存在する．このとき畳み込み積分より
∫
|g(t)| =
≤K
∞
∫
f (τ ) h(t − τ ) dτ < K
−∞
∫ ∞
−∞
∞
−∞
h(t − τ ) dτ
|h(t − τ )| dτ
(4.198)
である．回路が安定であるときは g(t) も有限であるので，インパルス応答 h(t) は絶対可
積分，すなわち
∫
∞
−∞
∗17
|h(t)| dt < ∞
このように過渡現象のうち急激に変化するものを “速い過渡現象” と呼ぶことがある．
(4.199)
c 大豆生田利章 2011
102
第 4 章 ラプラス変換
である．つまり，回路が安定であるときは
lim h(t) = 0
(4.200)
t→∞
でなければならない．これは十分長い時間が経過すればインパルス応答が消滅することを
意味している．
次に，ラプラス変換と回路の安定性の関係を考える．回路のインパルス応答 h(t) のラ
プラス変換を H(s) とする．この H(s) を回路網関数と呼ぶ．特に，回路中の異なる個所
の間の回路網関数を伝達関数と呼ぶ．85 ページに述べたように，回路網関数
H(s) =
N (s)
D(s)
(4.201)
を
kn
∑∑
H(s) =
n
Anm
(s
−
an )m
m=1
(4.202)
と部分分数展開できれば，回路網関数 H(s) の逆ラプラス変換，つまりインパルス応答
h(t) は

kn
m−1

∑ ∑ Anm t
ean t
h(t) =
(m
−
1)!

 n m=1
0
t>0
(4.203)
t<0
となる．回路網関数の分母を 0 としたときの解，すなわち D(s) = 0 の解 an を回路網関
数 H(s) の極と呼ぶ．極の実部が正のとき，すなわち
Re [an ] > 0
(4.204)
lim tm−1 ean t = ∞
(4.205)
のときは，
t→∞
となるので，インパルス応答 h(t) は発散する．極の実部が負のとき
Re [an ] < 0
(4.206)
lim tm−1 ean t = 0
(4.207)
のときは，
t→∞
となりインパルス応答 h(t) は 0 に収束する ∗18 ．極 an が実部が 0 の単根 ∗19 のときは，
∗18
∗19
付録 A の式 (A.8) を参照．
単根とは 1 重解のことである．
c 大豆生田利章 2011
4.6 回路の安定性
an = jωn
103
(4.208)
とおくと，インパルス応答 h(t) は実関数であるので，an に対する複素共役解
an = −jωn
(4.209)
が存在し，極 an と an に関する部分分数展開は
An1
An1
+
s − jωn
s + jωn
(4.210)
となるので，インパルス応答 h(t) は，
Re [An1 ] · 2 cos ωn t − Im [An1 ] · 2 sin ωn t
(4.211)
の形の三角関数になる．極 an が実部 0 の m 重根のときのインパルス応答 h(t) は，
tm−1 (Re [Anm ] · 2 cos ωn t − Im [Anm ] · 2 sin ωn t)
(4.212)
lim h(t) = ∞
(4.213)
となり，
t→∞
となる．
以上で述べたことをまとめると，式 (4.200) より回路が安定であるための条件は以下の
ようになる．
回路網関数 H(s) の極の実部が負であるときは，回路は安定である．
伝達関数の極とインパルス応答の関係を図 4.17 に示す．ただし，複素共役な極の表示は
省略した．
図 4.17
伝達関数の極とインパルス応答
c 大豆生田利章 2011
104
第 4 章 ラプラス変換
回路への入力が f (t) のとき，出力 g(t) のラプラス変換 G(s) は，式 (4.17) より，
G(s) = F (s) · H(s)
(4.214)
である．G(s) の極を bn とおく．極 bn は H(s) の極と F (s) の極の和集合である．入力
f (t) が発散しない場合は，F (s) の極は実部が負の複素数，または実部が 0 の単根であり，
回路が安定であるときは H(s) の極の実部は負である．よって，G(s) の極の実部は負ま
たは 0 になる．G(s) を部分分数分解すると，
G(s) =
kn
∑∑
n
Bnm
B0
+
m
(s − bn )
s
m=1
(bn = 0)
(4.215)
となり，t > 0 において，
g(t) =
kn
∑∑
Bnm tm−1 bn t
e + B0 · u(t)
(m − 1)!
n m=1
(4.216)
となる．実部が負である極に対する応答は，以下の式のように，十分に時間がたつと 0 に
なる ∗20 ．
Bnm tm−1 bn t
e = 0 （Re [bn ] < 0 のとき）
t→∞ (m − 1)!
lim
(4.217)
したがって，十分に時間がたった時の応答は実部が 0 である極に対する応答だけになるの
で ∗21 ，式 (4.215) から極の実部が 0 のもののみ取り出した式，
]
[
B0 ∑
Bn
Bn
G(s) =
+
+
s
s − jωn
s + jωn
n
(4.218)
を逆ラプラス変換して，
g(t) = B0 · u(t) +
∑
(Re [Bn ] · 2 cos ωn t − Im [Bn ] · 2 sin ωn t)
(4.219)
n
となる．特に，出力 g(t) が収束するときは，定常正弦波の応答は存在せず，
lim g(t) = B0
(4.220)
lim g(t) = lim sG(s)
(4.221)
t→∞
となる．つまり，
t→∞
s→0
である．これは 82 ページに示した最終定理にほかならない．
∗20
∗21
付録 A の式 (A.8) を参照．
これらの極は入力のラプラス変換 F (s) に由来することに注意する．
c 大豆生田利章 2011
105
第5章
動作パラメータフィルタ
特定の周波数を持つ信号を通過させる回路をフィルタと呼ぶ．影像パラメータを用いて
設計するフィルタに対して伝達関数を用いて設計するフィルタを動作パラメータフィルタ
フィルタと呼ぶ．ここでは動作パラメータフィルタの概要を説明する．
5.1
伝達関数と周波数特性
ラプラス変換した二端子対網において，入力端子対と出力端子対の関係式をを伝達関数
T (s) と呼ぶ ∗1 ．本章では以下の式で定義される入出力電圧の比を伝達関数 T (s) とする．
T (s) =
Vout (s)
Vin (s)
(5.1)
例えば図 5.1 の回路の伝達関数は
T (s) =
1
sC
1
R+
sC
=
1
sCR + 1
(5.2)
である．
角周波数 ω の正弦波に対する伝達関数の大きさを振幅特性 A(ω)，偏角を位相特性 Θ(ω)
と呼び，以下の式で与えられる ∗2 ．
∗1
∗2
A(ω) = |T ( jω)|
(5.3)
Θ(ω) = arg T ( jω)
(5.4)
71 ページで述べたように伝達関数はインパルス応答のラプラス変換でもあるが，本章ではフィルタによ
る信号の伝送 (transfer) を強調する意味で，記号として H(s) ではなくて，T (s) を用いる．
76 ページの式 (4.22) に示したように，ラプラス変換の s を j ω にするとフーリエ変換になり，正弦波に
対する特性が得られる．
c 大豆生田利章 2011
106
第5章
動作パラメータフィルタ
RC 回路の伝達関数
図 5.1
図 5.1 の回路の振幅特性と位相特性は
1
1
=√
jωCR + 1
1 + (ωCR)2
1
Θ(ω) = arg
= − tan−1 ωCR
jωCR + 1
A(ω) =
(5.5)
(5.6)
となる．
【例題 5.1】
図 5.2 の二端子対網の伝達関数 T (s) 及び振幅特性 A(ω) を求めよ．
図 5.2
例題 5.1 図
〔解答 5.1〕
伝達関数 T (s) は
T (s) =
1
sC
1
sL + R +
sC
=
1
s2 LC + sCR + 1
(5.7)
振幅特性 A(ω) は
A(ω) = |T ( jω)| =
1
−ω 2 LC + jωCR + 1
1
=√
(1 − ω 2 LC)2 + (ωCR)2
(5.8)
c 大豆生田利章 2011
5.2 正規化特性
5.2
107
正規化特性
伝達関数が n 次の多項式の逆数で表されるフィルタを多項式フィルタという．また，遮
断角周波数が 1 rad/s である特性を正規化特性と呼ぶ．主要な多項式フィルタの正規化低
域通過特性を以下に挙げる．
5.2.1 正規化バターワース特性
以下の式で定義される振幅特性を n 次正規化バターワース特性（最大平坦特性，振幅平
坦特性）と呼ぶ．
An (ω) = √
1
1 + ω 2n
(5.9)
振幅特性が正規化バターワース特性になる伝達関数を
T (s) =
1
qn (s)
(5.10)
とするとき，qn (s) を n 次バターワース多項式と呼ぶ．以下に低次数のバターワース多項
式を示す．
q1 (s) = s + 1
√
q2 (s) = s2 + 2s + 1
(5.12)
q3 (s) = s3 + 2s2 + 2s2 + 1
(5.13)
(5.11)
バターワース特性は通過域の振幅特性が平坦であり，遮断特性が緩やかである．n 次正規
化バターワース特性 An (ω) の例を図 5.3 に示す．
［補足］
伝達関数 T (s) が
T (s) =
1
−s + 1
(5.14)
のときも，1 次正規化バターワース特性
1
A1 (ω) = √
1 + ω2
(5.15)
を満たすように思える．しかし，この伝達関数の極は 1 であるので，4.6 節の 103 ページに述べたように，回路
が安定でなくなる．このように，フィルタの伝達関数は正規化特性を満たすもののうち，さらにすべての極の実
部が負であるものに限定される．
【例題 5.2】
伝達関数
c 大豆生田利章 2011
108
図 5.3
第5章
動作パラメータフィルタ
n 次正規化バターワース特性の例
T (s) =
s2
1
√
+ 2s + 1
(5.16)
が，2 次のバターワース特性を満たすことを示せ．
〔解答 5.2〕
以下の通り．
|T ( jω)| =
−ω 2
1
√
+ j 2ω + 1
1
1
=√
=√
2
2
2
1 + ω4
(1 − ω ) + 2ω
(5.17)
5.2.2 正規化チェビシェフ特性
以下の式で定義される振幅特性を n 次正規化チェビシェフ特性（振幅波状特性）と呼ぶ．
1
An (ω) = √
1+
(5.18)
2 C 2 (ω)
n
ただし， はリプル定数と呼ばれる 1 以下の正数であり，Cn (ω) は n 次チェビシェフ多項
式と呼ばれる多項式で，以下の式で定義される．
(
)
Cn (ω) = cos n cos−1 ω
以下に低次のチェビシェフ多項式を示す．
(5.19)
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5.2 正規化特性
109
C1 (ω) = ω
(5.20)
C2 (ω) = 2ω 2 − 1
(5.21)
C3 (ω) = 4ω − 3ω
3
(5.22)
C4 (ω) = 8ω − 8ω + 1
4
2
√
チェビシェフ特性は通過域で振幅の大きさが 1 と 1/ 1 +
(5.23)
2
の間で変動する．この変動
を帯域リプルと呼び，その大きさをデシベルで表すと
10 log10 (1 +
2
) [dB]
(5.24)
となる．帯域リプルが 3 dB である n 次正規化チェビシェフ特性 An (ω) の例を図 5.4 に，
通過域の拡大図を図 5.5 に示す．図で示されるようにチェビシェフ特性は通過域でリプル
が生じるが，遮断特性が良くなる．
図 5.4
図 5.5
n 次正規化チェビシェフ特性の例（帯域リプル 3 dB）
n 次正規化チェビシェフ特性通過域拡大図（帯域リプル 3 dB）
正規化チェビシェフ特性の遮断角周波数における減衰量は 10 log10 (1 +
2
) [dB] である
が，応用上は遮断角周波数における減衰量が 3 dB である特性が便利である．そのような
特性を 3 dB 正規化特性と呼び，3 dB 正規化チェビシェフ特性は
c 大豆生田利章 2011
110
第5章
An (ω) = √
1+
動作パラメータフィルタ
1
(5.25)
2 C 2 (Ω ω)
n
c
(5.26)
で表される．ただし，Ωc は
2
Cn 2 (Ωc ) = 1
(5.27)
を満たす角周波数である．
【例題 5.3】
2 次のチェビシェフ多項式が
C2 (ω) = 2ω 2 − 1
(5.28)
C2 (ω) = cos(2 cos−1 ω) = 2 cos2 (cos−1 ω) − 1 = 2ω 2 − 1
(5.29)
であることを定義式より示せ．
〔解答 5.3〕
式 (5.19) より，
【例題 5.4】
n が 2 以上のとき，チェビシェフ多項式が以下の漸化式を満たすことを示せ．
Cn (ω) = 2ωCn−1 (ω) − Cn−2 (ω)
(5.30)
〔解答 5.4〕
式 (5.19) より，
2Cn (ω) = 2 cos(n cos−1 ω)
(
)
(
)
(
)
= 2 cos (n − 1) cos−1 ω cos(cos−1 ω) − 2 sin (n − 1) cos−1 ω sin cos−1 ω
[
(
)
(
)]
= 2ωCn−1 (ω) − cos (n − 2) cos−1 ω − cos n cos−1 ω
= 2ωCn−1 (ω) − Cn−2 (ω) + Cn (ω)
となる ∗3 ．よって，問題の漸化式が成立する．
∗3
付録 A の式 (A.6) の加法定理を利用した．
(5.31)
c 大豆生田利章 2011
5.2 正規化特性
111
5.2.3 正規化ベッセル特性
伝達関数が以下の式で表される特性を n 次正規化ベッセル特性（遅延平坦特性）と呼ぶ．
An (ω) =
Bn (0)
|Bn (j ω)|
(5.32)
ここで，Bn (s) は n 次ベッセル多項式と呼ばれる多項式で以下の漸化式で定義される．
Bn (s) = (2n − 1)Bn−1 (s) + s2 Bn−2 (s)
(5.33)
B0 (s) = 1
(5.34)
B1 (s) = s + 1
(5.35)
n 次正規化ベッセル特性は以下の式の伝達関数を n 次までの多項式で近似した式となって
いる．
1
cosh s + sinh s
T (s) = e−s =
ベッセル特性は遅延特性が良いが
An (ω) の例を図 5.6 に示す
∗5
∗4
(5.36)
，遮断特性は悪くなる．n 次正規化ベッセル特性
．
図 5.6
n 次正規化ベッセル特性の例
ベッセル特性にも 3 dB 正規化特性があり
An (ω) =
∗4
∗5
Bn (0)
|Bn (jΩc ω)|
79 ページの式 (4.51) により，式 (5.36) が単位遅延のラプラス変換になることに注意する．
図 5.6 の縦軸の範囲が図 5.3 や図 5.4 とは異なっていることに注意する．
(5.37)
c 大豆生田利章 2011
112
第5章
動作パラメータフィルタ
で与えられる．ただし，Ωc は
2
|Bn (jΩc )| = 2Bn 2 (0)
(5.38)
を満たす角周波数である．
【例題 5.5】
3 次のベッセル多項式を求めよ．
〔解答 5.5〕
式 (5.33) より，2 次のベッセル多項式 B2 (s) が
B2 (s) = 3B1 (s) + s2 B0 (s) = s2 + 3s + 3
(5.39)
なので，3 次のベッセル多項式 B3 (s) は
B3 (s) = 5B2 (s) + s2 B1 (s) = s3 + 6s2 + 15s + 15
(5.40)
となる．
5.2.4 正規化フィルタのステップ応答
図 5.7 に正規化特性を持つフィルタのステップ応答の例を示す．実線は 2 次正規化ベッ
セル特性（3 dB 正規化）のものであり，点線は 2 次正規化バターワース特性のものである．
図 5.7
正規化フィルタのステップ応答の例
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5.3 フィルタの周波数変換
113
【例題 5.6】
2 次正規化バターワース低域通過フィルタのステップ応答を表す数式を求めよ．
〔解答 5.6〕
2 次正規化バターワース低域通過フィルタの伝達関数 T (s) は
T (s) =
s2
√
1
2s + 1
(5.41)
であるので，ステップ応答のラプラス変換 g(s) は
√
1
1
s+ 2
1
√
√
g(s) = ·
= −
s s2 + 2s + 1
s s2 + 2s + 1
1
1
√
s+ √
1
2
2
−(
= −(
)2
)2
s
1
1
1
1
+
+
s+ √
s+ √
2
2
2
2
(5.42)
となる ∗6 ．逆ラプラス変換してステップ応答 g(t) を求めると，
g(t) = u(t) − e
− √t2
√ − √t
t
1
t
π
− √t
cos √ − e 2 sin √ = u(t) − 2e 2 sin( √ + )
4
2
2
2
(5.43)
となる．
5.3
フィルタの周波数変換
各種フィルタの伝達関数および振幅特性は正規化特性に以下に示す式にしたがった変換
を施すことで得ることができる．このような変換を周波数変換と呼ぶ．
以下の各式では，ωc は遮断角周波数，ω0 は通過域または阻止域の中心角周波数，Q は
Q 値を示す．
低域通過特性
s
ωc
ω
ω→
ωc
s→
∗6
75 ページの式 (4.17) を参照．
(5.44)
(5.45)
c 大豆生田利章 2011
114
第5章
動作パラメータフィルタ
高域通過特性
ωc
s
ωc
ω→−
ω
s→
帯域通過特性
(5.46)
(5.47)
(
)
s
ω0
s→Q
+
ω0
s
(
)
ω
ω0
ω→Q
−
ω0
ω
(5.48)
(5.49)
帯域阻止特性
1
)
s
ω0
Q
+
ω0
s
1
)
ω→− (
ω
ω0
Q
−
ω0
ω
s→
(
(5.50)
(5.51)
【例題 5.7】
1 次の正規化バターワース特性を周波数変換して帯域通過特性を求めよ．
〔解答 5.7〕
1 次の正規化バターワース特性は
T (s) =
1
s+1
(5.52)
であるので帯域通過特性は
sω0
sω0
Q
)
T (s) = (
=
=
sω0
s
ω0
Q(s2 + ω0 2 ) + sω0
2
+ ω0 2
s +
Q
+
+1
Q
ω0
s
1
(5.53)
この例題から分かるように，n 次の正規化特性を周波数変換して得られる帯域通過特性
（帯域阻止特性）は 2n 次のものになる．
5.4
フィルタの設計
与えられた特性を持つフィルタは以下の手順で設計する．まず，電源および負荷のイン
ピーダンスを 1 Ω としたときに正規化特性を満たす低域通過フィルタ（低域原形フィル
c 大豆生田利章 2011
5.4 フィルタの設計
115
タ）を設計する ∗7 ．低域原形フィルタの値は既に計算された値が文献として用意されてい
るのでそれを用いると計算の手間が省ける
∗8
．次に，低域原形フィルタの各素子のイン
ピーダンスが以下の各式を満たすように素子の種類と素子の値を変換する．これにより要
求するフィルタが設計できる．
以下の各式では，R0 は電源および負荷のインピーダンス，ωc は遮断角周波数，ω0 は通
過域または阻止域の中心角周波数，Q は共振時における Q を示す．
低域通過フィルタ
sLR0
ωc
ωc R0
1
→
sC
sC
sL →
コイルからコイルに変換
(5.54)
コンデンサからコンデンサに変換
(5.55)
高域通過フィルタ
ωc LR0
コイルからコンデンサに変換
s
1
sR0
→
コンデンサからコイルに変換
sC
ω0 C
sL →
(5.56)
(5.57)
帯域通過フィルタ
sL →
sQLR0
Qω0 LR0
+
ω0
s
コイルからコイル・コンデンサ直列接続に変換
(5.58)
1
1
→
Qω0 C
sQC
sC
+
ω0 R0
sR0
コンデンサからコイル・コンデンサ並列接続に変換
(5.59)
帯域阻止フィルタ
1
Qω0
sQ
+
sR0 L ω0 LR0
1
sQR0
Qω0 R0
→
+
sC
ω0 C
sC
sL →
コイルからコイル・コンデンサ並列接続に変換
(5.60)
コンデンサからコイル・コンデンサ直列接続に変換
(5.61)
【例題 5.8】
図 5.8 の 3 次バターワース形低域原形フィルタをもとにして，負荷インピーダンス R0 が
50 Ω，遮断周波数 fc が 1.0 kHz の高域通過フィルタを設計せよ．
∗7
∗8
この設計には第 6.5 節で述べる S 行列が用いられる．
付録 I に低域原形フィルタの素子値の例を示す．
c 大豆生田利章 2011
116
図 5.8
第5章
動作パラメータフィルタ
3 次バターワース形低域原形通過フィルタ
〔解答 5.8〕
式 (5.56) および式 (5.57) より，図 5.8 のコイルを
CHPF =
1
= 1.59 µF
ωc LR0
(5.62)
R0
= 7.96 mH
ω0 C
(5.63)
のコンデンサに，図 5.8 のコンデンサを
LHPF =
のコイルに置き換えればよい．以上の計算より求める高域通過フィルタは図 5.9 のように
なる．
図 5.9
5.5
3 次バターワース形高域通過フィルタ
2 次伝達関数
以下の式で示される伝達関数を 2 次低域通過形伝達関数と呼ぶ．ただし，H ，Q，ω0 は
ある定数である．
T (s) =
Hω0 2
ω0
s2 +
s + ω0 2
Q
(5.64)
図 5.10 に H = 1 および ω0 = 1 としたときの 2 次低域通過形伝達関数の振幅特性を Q を
パラメータとして示す．
c 大豆生田利章 2011
5.5 2 次伝達関数
図 5.10
117
2 次低域通過形伝達関数の振幅特性
以下に示すように式 (5.64) 中の定数を選ぶことで，各種の 2 次正規化特性を持つ LPF
の伝達関数を実現することができる．
1
Q= √
2
√
1
ベッセル特性：H = 1, ω0 = 3, Q = √
3
√√
1
1+
チェビシェフ特性：H = √
, ω0 =
2
2
1+
バターワース特性：H = 1,
ω0 = 1,
(5.65)
(5.66)
√
2
,
Q=
1+
2
√
+ 1+ 2
2
(5.67)
また，HPF，BPF，BEF に対する 2 次伝達関数は，周波数変換により，以下のようになる．
Hs2
ω
0
s2 +
s + ω0 2
Q
ω0
H s
Q
T (s) =
ω0
2
s +
s + ω0 2
Q
H(s2 + ω0 2 )
T (s) =
ω0
s + ω0 2
s2 +
Q
T (s) =
(HPF)
(5.68)
(BPF)
(5.69)
(BEF)
(5.70)
2 次伝達関数はアクティブフィルタの設計において重要となる．アクティブフィルタとは
増幅器と抵抗・コンデンサを組合わせたフィルタのことをいうが，電子回路で取り扱う対
象なのでここでは詳細な説明は省略する．アクティブフィルタでは 2 次の伝達関数を持つ
118
c 大豆生田利章 2011
第5章
動作パラメータフィルタ
フィルタと 1 次の伝達関数を持つフィルタを縦続接続することで任意の次数の伝達関数を
持つフィルタを実現する．
c 大豆生田利章 2011
第6章
分布定数回路
これまで説明してきた回路では抵抗，コイル，コンデンサ等の素子の大きさを考えてこ
なかった．このように素子の大きさを無視した回路を集中定数回路という．これに対して
素子の大きさが無視できない回路を分布定数回路と呼ぶ．本章では分布定数回路の定常状
態を，次章では分布定数回路の過渡現象を説明する．
電圧・電流の波長に比べて素子が十分に小さい場合，あるいは信号の変化する時間に比
べて信号の伝搬時間が十分に小さい場合には集中定数回路として扱ってよいが，そうでな
いときは分布定数回路として扱わなければならない．分布定数回路では電圧・電流は位置
と時間により変化する．送電線や通信用ケーブルが分布定数回路の典型的な例であり，伝
送線路と呼ばれる．図 6.1 に伝送線路の例を示す．以下では伝送線路を例にとり分布定数
回路の解析を行なう．
図 6.1
伝送線路の例
119
c 大豆生田利章 2011
120
6.1
第 6 章 分布定数回路
電信方程式
分布定数回路では電圧・電流が素子の中でも変化するために，電圧・電流は位置と時間
の 2 変数の関数として扱う．そこで，時刻 t における，座標が x の点の電圧および電流を
v(x, t) および i(x, t) と書く．ただし，変数が明らかなときは x, t を省略して，単に v ま
たは i と書くこともある．
伝送線路を特徴付ける物理量として，以下に示す線路定数（一次定数）と呼ばれるもの
がある．
L
: 単位長当たりの導線インダクタンス [H/m]
C
: 単位長当たりの線間静電容量 [F/m]
R
: 単位長当たりの導線抵抗 [Ω/m]
G
: 単位長当たりの線間コンダクタンス [S/m]
［補足］
図 6.1 に示した各種線路において，導体の抵抗が十分に小さいときの L および C は，導線間の
絶縁体の透磁率を µ とし，誘電率を ε とすると，表 6.1 のようになる ∗1 ．また，cosh−1 は逆双曲線関数であ
る ∗2 ．
表 6.1
平行板線路（w
レッヘル線
同軸ケーブル
d）
各種線路の線路定数
L
C
µd/w
εw/d
πε
cosh−1 (d/2r)
2πε
ln (R/r)
µ
cosh−1 (d/2r)
π
µ
ln (R/r)
2π
この線路定数を用いて伝送線路の電圧・電流の満たす方程式を導出する．図 6.2 のよう
に分布定数回路のモデルを考える．これは，dx を微小量として，x から x + dx の間の微
小区間を表したものである．伝送線路上の位置 x における電圧・電流を v(x, t)，(x, t) と
し，位置 x + dx における電圧・電流を v(x + dt, t)，i(x + dx, t) とする．
x から x + dx の間の導線に沿った電圧降下は抵抗 Rdx 両端の電圧が Ridx，コイル
∂i
Ldx 両端の電圧が L dx であるので，
∂t
(
)
∂i
v(x, t) − v(x + dx, t) = Ri + L
dx
(6.1)
∂t
となる．一方で，電圧 v(x + dx, t) を x に関してテーラー展開すると
∗1
導出方法は他の書籍，例えば『マイクロ波工学』
（中島将光著，森北出版，1975 年）の 2 章および 6 章を
参考する．
∗2 付録 A の式 (A.29) を参照．
c 大豆生田利章 2011
6.1 電信方程式
図 6.2
121
分布定数回路のモデル
v(x + dx, t) = v(x, t) +
∂v
dx
∂x
(6.2)
であるので ∗3 ，以下の偏微分方程式が得られる．
−
∂v
∂i
= Ri + L
∂x
∂t
(6.3)
x における電流 i(x, t) と x + dx における電流 i(x + dx, t) の差が dx において導線間を
流れる電流になる．コンダクタンス Gdx を流れる電流は Gvdx，コンデンサ Cdx を流れ
る電流は C
∂v
dx であるので，
∂t
(
)
∂v
i(x, t) = i(x + dx, t) + Gv + C
dx
∂t
(6.4)
となる．電流 i(x + dx, t) を x に関してテーラー展開すると
i(x + dx, t) = i +
∂i
dx
∂x
(6.5)
となる．これにより以下の偏微分方程式が得られる．
−
∂i
∂v
= Gv + C
∂x
∂t
(6.6)
このようにして伝送線路の基本方程式である電信方程式が得られる．以下に，電信方程式
を改めて記す．
∂i
∂v
= Ri + L
∂x
∂t
∂i
∂v
−
= Gv + C
∂x
∂t
−
∗3
付録 A の式 (A.30) を参照．
(6.7)
(6.8)
c 大豆生田利章 2011
122
第 6 章 分布定数回路
電信方程式は電圧 v と電流 i の連立偏微分方程式であるが，これを電圧 v または電流 i
だけの方程式に直してみる．まず，式 (6.7) を x について偏微分して式 (6.8) を代入すると
(
)
∂2v
∂i
∂2i
=
−
R
+
L
∂x2
∂x
∂x∂t
(
)
(
)
∂v
∂
∂v
= R Gv + C
+L
Gv + C
∂t
∂t
∂t
2
∂ v
∂v
= LC 2 + (GL + RC)
+ RGv
∂t
∂t
(6.9)
となり，電圧 v に関する偏微分方程式が得られる．電流 i についても同様に以下の偏微分
方程式が得られる．
∂2i
∂2i
∂i
=
LC
+ (GL + RC)
+ RGi
∂x2
∂t2
∂t
6.2
(6.10)
正弦波定常状態の電圧・電流
本節では，正弦波定常状態における分布定数回路の電圧・電流を求める．正弦波定常状
態では V および I を x の関数として ∗4
v = V e jωt ,
i = Ie jωt
(6.11)
とかけるので ∗5 ，電信方程式は
dV
= (R + jωL) I
dx
dI
−
= (G + jωC) V
dx
−
(6.12)
(6.13)
となる．V および I に対する微分方程式は
d2 V
= (R + jωL) (G + jωC) V
dx2
d2 I
= (R + jωL)(G + jωC)I
dx2
(6.14)
(6.15)
となる．式 (6.14) の解を V = eθx と仮定して代入すると
θ=
∗4
∗5
√
(R + jωL)(G + jωC)
正確には V (x) および I(x) であるが，変数を省略する．
5 ページで述べたように，瞬時値を考えるときは虚部を取る．
(6.16)
c 大豆生田利章 2011
6.2 正弦波定常状態の電圧・電流
123
が得られる ∗6 ．ここで，θ は線路の伝搬定数 と呼ばれる．伝搬定数を以下の式 (6.17) のよ
うに実部と虚部に分けたときに，実部 α を減衰定数，虚部 β を位相定数 という．減衰定
数の単位はネーパ毎メートル（Np/m），位相定数の単位はラジアン毎メートル（rad/m）
になる．
θ = α + jβ
(6.17)
これより，式 (6.14) の解は K+ , K− を定数として，
V = K+ e−θx + K− eθx
(6.18)
となる．電流 I の解は式 (6.18) を式 (6.12) に代入して，
√
)
1
dV
G + jωc (
=
K+ e−θx − K− eθx
I=−
R + jωL dx
R + jωL
(
)
1
=
K+ e−θx − K− eθx
Z0
(6.19)
となる．ここで，以下の式で表される Z0 を線路の特性インピーダンスあるいは波動イン
ピーダンスという ∗7 ．特性インピーダンスの単位はオームになる．
√
Z0 =
R + jωL
G + jωC
(6.20)
伝搬定数と特性インピーダンスを合わせて，二次定数と呼ぶ．
【例題 6.1】
線路定数が R = 0.10 Ω/km，L = 78 µH/km，C = 0.032 µF/km，G = 0.0 S/km である
伝送線路の周波数 f = 1.0 kHz における特性インピーダンス Z0 および伝搬定数 θ を求め
よ．
〔解答 6.1〕
√
Z0 =
=
R + jωL
=
G + jωC
√
√
L
R
−j
= 2.44 × 103 − j497
C
ωC
√
(2.49 × 103 ) · e−j0.201 = 49.8 e−j0.101 = (50 − j5.0) Ω
(6.21)
√
√
(R + jωL)(G + jωC) = −ω 2 LC + jωCR
√
√
= −9.85 × 10−5 + j2.01 × 10−5 = (1.01 × 10−4 ) · e j2.94
θ=
= (1.00 × 10−2 ) · e j1.47 = (1.0 × 10−3 + j9.9 × 10−3 ) /km
∗6
∗7
平方根は実部が正になるように選ぶ．
平方根は実部が正になるように選ぶ．
(6.22)
c 大豆生田利章 2011
124
第 6 章 分布定数回路
ここまで述べたことをまとめると正弦波定常状態の電信方程式の一般解は以下のように
なる．
V = K+ e−θx + K− eθx
)
1 (
K+ e−θx − K− eθx
I=
Z
√0
θ = (R + jωL)(G + jωC)
√
R + jωL
Z0 =
G + jωC
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
ここで，時間に依存する項も含めて考えると電信方程式の一般解は以下のようになる．
v = K+ e−αx · e j(ωt−βx) + K− eαx · e j(ωt+βx)
K+ −αx j(ωt−βx) K− αx j(ωt+βx)
i=
e
·e
−
e ·e
Z0
Z0
(6.27)
(6.28)
123 ページの脚注に述べたように，伝搬定数の実部，すなわち減衰定数 α は正なので，x
が大きくなると e−αx は小さく，eαx は大きくなる．つまり，第 1 項は x 軸正方向に進む
波（入射波）を表し，第 2 項は x 軸負方向に進む波（反射波）を表す．時間に依存する項
を含まない式 (6.23) および式 (6.24) においても第 1 項を入射波，第 2 項を反射波と呼ぶ．
位相 ωt ± βx の変化量が 2π である x 座標の間隔 λ は
βλ = 2π
(6.29)
より
λ=
2π
β
(6.30)
で与えられる．この λ を波長と呼ぶ．図 6.3 に入射波と反射波の例とその波長を示す．縦
軸は電圧 v または電流 i を表すものとする．
図 6.4 のように入射波において時刻 t で位置 X にあった正弦波が時刻 t + ∆t で 位置
X + ∆x に移動したとする．このとき，移動前後の位相は変わらないので，
ω(t + ∆t) − β(X + ∆x) = ωt − βX
(6.31)
ω∆t = β∆x
(6.32)
が成立し，
c 大豆生田利章 2011
6.2 正弦波定常状態の電圧・電流
図 6.3
125
入射波と反射波の波長
となる．また，位相の同じ点は時間 ∆t の間に ∆x だけ移動するので，位相の同じ点の移
動する速度 up は
up =
∆x
ω
=
∆t
β
(6.33)
とになる．速度 up は 電圧・電流の変化すなわち位相の進む速さであり，伝搬速度（位相
速度）と呼ばれる．
図 6.4
入射波の移動と伝搬速度
ここで，式 (6.30) および正弦波の角周波数 ω ，周期 T と周波数 f の関係式
ω = 2πf =
2π
T
(6.34)
を用いると
up =
λ
ω
= fλ =
β
T
(6.35)
となる．式 (6.35) を導いたのと同様に計算すると，反射波の伝搬速度は
up = −
ω
β
となり，入射波と逆向き，つまり x の負の方向に移動することになる．
(6.36)
c 大豆生田利章 2011
126
第 6 章 分布定数回路
【例題 6.2】
周波数 f が 50 Hz のときに，ある伝送線路の位相定数 β が 1.57 × 10−3 rad/km であっ
た．このときの波長 λ および伝搬速度 up を求めよ．
〔解答 6.2〕
2πf
ω
=
= 2.0 × 105 km/s = 2.0 × 108 m/s
β
β
up
λ=
= 4.0 × 103 km = 4.0 × 106 m
f
up =
(6.37)
(6.38)
以下の小節でいくつかの場合に関して電信方程式の解を求めてみる．
6.2.1 半無限長線路
図 6.5 のように x > 0 の範囲で無限に線路が続くものを半無限長線路と呼ぶ．
図 6.5
半無限長線路
半無限長線路では， x → ∞ では電圧が有限でなければならないことから，電信方程式
の一般解
V = K+ e−θx + K− eθx
(6.39)
において K− = 0 となる．これは反射波が無いことを意味している．各点の電圧・電流は
V = K+ e−θx
(6.40)
−θx
I=
K+ e
Z0
(6.41)
であり，x = 0 で V = Vs とすると，
V = Vs e−θx
−θx
I=
Vs e
Z0
(6.42)
= Is e−θx
(6.43)
c 大豆生田利章 2011
6.2 正弦波定常状態の電圧・電流
127
となる．線路上でのインピーダンス Z は
Z=
V
= Z0
I
(6.44)
となり，場所によらずに特性インピーダンス Z0 に等しくなる．
6.2.2 無損失線路
線路の損失が 0 である線路を無損失線路と呼ぶ．無損失線路では
R = 0,
G=0
(6.45)
あるので，伝搬定数 θ と特性インピーダンス Z0 は
√
θ = jβ = jω LC
√
L
Z0 =
C
(6.46)
(6.47)
となり，周波数によらない定数になる．特に特性インピーダンス Z0 は実定数になる．位
√
相定数 β が ω LC であるので，伝搬速度 up は式 (6.35) より
up =
ω
1
=√
β
LC
(6.48)
となる．
［補足］
120 ページの表 6.1 に示した各種線路では，伝搬定数 θ と伝搬速度 up は種類によらず
√
θ = j ω εµ
1
up = √
εµ
(6.49)
(6.50)
となる ∗8 ．
124 ページの式 (6.23) および式 (6.24) に示した電信方程式の一般解で θ = jβ とすると，
無損失線路の電圧・電流は
V = K+ e−jβx + K− e jβx
)
1 (
I=
K+ e−jβx − K− e jβx
Z0
(6.51)
(6.52)
となる．これらの式に対して，x = 0 での電圧と電流を Vs と Is として定数 K+ および
K− を決めると，
∗8
伝搬定数が線路の種類によらず同じになる理由は 『マイクロ波工学』
（中島将光著，森北出版， 1975 年）
付録 A18 を参照．
c 大豆生田利章 2011
128
第 6 章 分布定数回路
Vs + Z0 Is
2
Vs − Z0 Is
K− =
2
K+ =
(6.53)
(6.54)
となる．これより無損失線路の電圧と電流は
V = Vs cos βx − jZ0 Is sin βx
jVs
I = Is cos βx −
sin βx
Z0
(6.55)
(6.56)
で与えられる ∗9 ．
6.2.3 無ひずみ線路
以下の条件を満たす線路を無ひずみ線路と呼ぶ．無損失線路は無ひずみ線路でもある．
CR = LG
(6.57)
無ひずみ線路の特性インピーダンス Z0 は
√
√
Z0 =
R + j ωL
=
G + j ωC
R(1 + j ωL/R)
=
G(1 + j ωC/G)
√
R
=
G
√
L
C
(6.58)
であり，無損失線路と同じになる．伝搬定数 θ は
√
√
(R + jωL)(G + jωC) = RG + jω(LG + RC) − ω 2 LC
√(
√
√
√
√ )2
= RG + j2ω RGLC − ω 2 LC =
RG + jω LC
√
√
= RG + jω LC
θ=
(6.59)
となる ∗10 ．式 (6.35) を用いて無ひずみ線路の伝搬速度 up を求めると
up =
ω
1
ω
=√
= √
β
ω LC
LC
(6.60)
となり，周波数によらずに一定になる．また，減衰定数 α は
α=
√
RG
(6.61)
となり，減衰定数も周波数によらずに一定になる．これは，入力されたどの周波数に対す
る振幅も同じ割合で減衰し，かつ同じ速度で伝搬することを意味している．つまり，周波
数スペクトルの形が保たれるので，無ひずみ線路では伝搬時の波形のひずみが無くなるこ
とになる．
∗9
∗10
付録 A の式 (A.3) および式 (A.4) を用いた．
√
CR = LG より LG + CR = 2LG = 2 LGCR である．
c 大豆生田利章 2011
6.3 無損失有限長線路
6.3
129
無損失有限長線路
ここでは線路が無損失かつ線路長 l が有限である場合を考える．x = 0 の位置を送信端
（送電端，送端）
，x = l の位置を受信端（受電端，受端，終端）と呼ぶ．図 6.6 のように送
信端には電圧源 Vs が，受信端には負荷としてインピーダンスが ZL の素子が接続されて
いるとする．このような状態を “ZL で終端する” あるいは “終端インピーダンスが ZL で
ある” という．
図 6.6
無損失有限長線路
6.3.1 無損失有限長線路の電圧・電流・インピーダンス
無損失線路における電圧・電流の関係式は，送信端 (x = 0) の電圧を Vs ，電流を Is と
すると，128 ページの式 (6.55) と式 (6.56) に記したように，
V = Vs cos βx − jZ0 Is sin βx
jVs
I = Is cos βx −
sin βx
Z0
(6.62)
(6.63)
となる．図 6.7 に示すように送信端を基準にした座標が x の位置は受信端を基準にした座
標 y が x − l になるので，受信端 (x = l) での電圧を VL ，電流を IL とすると，
V = VL cos β(l − x) + jZ0 IL sin β(l − x)
jVL
I = IL cos β(l − x) +
sin β(l − x)
Z0
(6.64)
(6.65)
となる．
また，VL と IL は負荷 ZL に加わる電圧と負荷を流れる電流でもあるのでオームの法則
より
VL = ZL IL
(6.66)
c 大豆生田利章 2011
130
図 6.7
第 6 章 分布定数回路
送信端から見た座標と受信端から見た座標
である．以上の方程式 (6.62) から方程式 (6.66) を用いることにより任意の点の電圧・電
流が求まる．
以下，いくつかの場合に分けて考える．
受信端開放時
ZL = ∞ の場合であり IL = 0 となる．このとき，式 (6.64) と式 (6.65)
より，
V = VL cos β(l − x)
jVL
I=
sin β(l − x)
Z0
(6.67)
(6.68)
が成立する．x = 0 で V = Vs なので，
Vs = VL cos βl
Vs
VL =
cos βl
(6.69)
(6.70)
を得る．これより任意の点での電圧・電流は
cos β(l − x)
Vs
cos βl
j sin β(l − x) Vs
I=
·
cos βl
Z0
V =
(6.71)
(6.72)
となる．位置 x の点から右側（受信側）を見たときのインピーダンス Z(x) は
Z(x) =
V
= −jZ0 cot β(l − x)
I
(6.73)
である．特に送信端では
Z(0) = −jZ0 cot βl
(6.74)
となる．
受信端短絡時
より，
ZL = 0 の場合であり，VL = 0 となる．このとき，式 (6.64) と式 (6.65)
c 大豆生田利章 2011
6.3 無損失有限長線路
131
V = jZ0 IL sin β(l − x)
(6.75)
I = IL cos β(l − x)
(6.76)
が成立する．x = 0 で V = Vs なので，
Vs = jZ0 IL sin βl
Vs
IL =
jZ0 IL
(6.77)
(6.78)
を得る．これより任意の点の電圧・電流は
sin β(l − x)
Vs
sin βl
cos β(l − x) Vs
I=
·
j sin βl
Z0
V =
(6.79)
(6.80)
となる．から右側（受信側）を見たときのインピーダンス Z(x) は
Z(x) =
V
= jZ0 tan β(l − x)
I
(6.81)
である．特に送信端では
Z(0) = jZ0 tan βl
(6.82)
となる．
整合時
負荷のインピーダンスと特性インピーダンスが等しいとき，“整合がとれてい
る” という ∗11 ．整合がとれているときは ZL = Z0 であり，VL = Z0 IL となるので，
式 (6.64) と式 (6.65) より，
V = VL [cos β(l − x) + j sin β(l − x)] = VL e jβ(l−x)
VL
VL jβ(l−x)
I=
[cos β(l − x) + j sin β(l − x)] =
e
Z0
Z0
(6.83)
(6.84)
となる．送信端における電圧を考えると，x = 0 で V = Vs から，
Vs = VL (cos βl + j sin βl) = VL e jβl
(6.85)
となるので，
cos β(l − x) + j sin β(l − x)
e jβ(l−x)
Vs =
Vs = Vs e−jβx
cos βl + j sin βl
e jβl
Vs −jβx
cos β(l − x) + j sin β(l − x) Vs
·
=
e
I=
cos βl + j sin βl
Z0
Z0
V =
∗11
ここでの整合は集中定数回路の整合とは異なっていることに注意する．
(6.86)
(6.87)
c 大豆生田利章 2011
132
第 6 章 分布定数回路
となる．位置 x の点から右側（受信側）を見たときのインピーダンス Z(x) は
Z(x) =
V
= Z0
I
(6.88)
となり，場所によらず特性インピーダンス Z0 に等しい．これは 6.2.1 節で述べた半
無限長線路の場合と同じである．つまり，
整合がとれている有限長線路は半無限長線路と等価になる．
一般の場合 VL = ZL IL であるので，式 (6.64) と式 (6.65) より，
[
]
Z0
V = VL · cos β(l − x) + j
sin β(l − x)
ZL
[
]
ZL
VL
I=
· cos β(l − x) + j
sin β(l − x)
ZL
Z0
(6.89)
(6.90)
となる．送信端における電圧を考えると，
[
]
Z0
Vs = VL · cos βl + j
sin βl
ZL
(6.91)
となるので，
ZL cos β(l − x) + jZ0 sin β(l − x)
Vs
ZL cos βl + jZ0 sin βl
Z0 cos β(l − x) + jZL sin β(l − x) Vs
·
I=
ZL cos βl + jZ0 sin βl
Z0
V =
(6.92)
(6.93)
(6.94)
を得る．位置 x の点から右側（受信側）を見たときのインピーダンス Z(x) は
V
ZL cos β(l − x) + jZ0 sin β(l − x)
= Z0 ·
I
Z0 cos β(l − x) + jZL sin β(l − x)
ZL + jZ0 tan β(l − x)
= Z0 ·
Z0 + jZL tan β(l − x)
Z(x) =
(6.95)
となる．この式は，ZL = ∞ のときは受信端開放時の結果に，ZL = 0 のときは受信
端短絡時の結果に一致する．また，ZL = Z0 で整合がとれているときは Z(x) = Z0
となる．
【例題 6.3】
受信端を開放した無損失有限長線路において，送信端から見たインピーダンスが 0 になる
条件（直列共振）を満たす線路長 l を求め，波長 λ を用いて表せ．
〔解答 6.3〕
送信端から見たインピーダンス Z(0) は
c 大豆生田利章 2011
6.3 無損失有限長線路
Z(0) = −jZ0 cot βl
133
(6.96)
である．Z(0) = 0 になるのは，l > 0 であることから，n を正整数として
βl =
のときである．この条件は β =
2n + 1
π
2
(6.97)
2π
を用いると
λ
l=
(2n + 1)λ
4
(6.98)
となる．
【例題 6.4】
特性インピーダンス Z0 が 50 Ω である線路長 l の無損失線路の受信端をインピーダン
ス ZL が (40 + j30) Ω の素子で終端したとき，送信端からみたインピーダンスが 25 Ω に
なった．この線路の長さを波長 λ を用いて表せ．
〔解答 6.4〕
送信端から見たインピーダンス Z(0) が
Z(0) = Z0 ·
ZL + jZ0 tan βl
(40 + j30) + j50 tan βl
= 50 ·
= 25
Z0 + jZL tan βl
50 + j (40 + j30) tan βl
(6.99)
なので，
tan βl =
30 + j60
= −1.0
−30 − j60
(6.100)
となる．これより，l > 0 であることから，n を 1 以上の整数として，
βl = −
である．β =
(6.101)
2π
を用いると
λ
l=
となる．
π
+ nπ
4
(4n − 1) λ
8
(n = 1, 2, · · · )
(6.102)
c 大豆生田利章 2011
134
第 6 章 分布定数回路
6.3.2 無損失有限長線路における入射波と反射波
無損失線路の電信方程式の一般解は
V = K+ e−jβx + K− e jβx
)
1 (
K+ e− jβx − K− e jβx
I=
Z0
(6.103)
(6.104)
であり，第 1 項が入射波，第 2 項が反射波を表すことは 124 ページで既に述べた．この入
射波と反射波の考えを有限長線路に対して適用する．
受信端 (x = l) における電圧が VL ，電流が IL であることから，K+ と K− を求めると，
VL + Z0 IL jβl
e
2
VL − Z0 IL −jβl
K− =
e
2
K+ =
(6.105)
(6.106)
(6.107)
となるので，式 (6.103) と式 (6.104) は，
VL + Z0 IL jβ(l−x) VL − Z0 IL jβ(x−l)
·e
+
·e
2
2
[
]
1
VL + Z0 IL jβ(l−x) VL − Z0 IL jβ(x−l)
I=
·
·e
−
·e
Z0
2
2
V =
(6.108)
(6.109)
となる．入射波の電圧を Vf ，反射波の電圧を Vr とすると，式 (6.108) より，
VL + Z0 IL jβ(l−x)
e
2
VL − Z0 IL jβ(x−l)
Vr =
e
2
V = Vf + Vr
Vf =
(6.110)
(6.111)
(6.112)
となる．また，入射波の電流を If ，反射波の電流を Ir とすると式 (6.109) より，
VL + Z0 IL jβ(l−x)
Vf
e
=
2Z0
Z0
VL − Z0 IL jβ(x−l)
Vr
Ir =
e
=
2Z0
Z0
I = If − Ir
If =
(6.113)
(6.114)
(6.115)
となることがわかる ∗12 ．以上の入射波と反射波の関係を図示すると図 6.8 のようになる．
以下，いくつかの場合に関して入射波と反射波を求める．
∗12
電流の向きを考えると 式 (6.115) 中の Ir に負号が付くことになる．
c 大豆生田利章 2011
6.3 無損失有限長線路
図 6.8
受信端開放時
135
有限長線路における入射波と反射波
ZL = ∞，IL = 0 なので
VL jβ(l−x)
e
2
VL jβ(x−l)
e
Vr =
2
Vf =
(6.116)
(6.117)
となる．特に受信端 (x = l) では
Vr = Vf
(6.118)
である．
受信端短絡時
ZL = 0，VL = 0 なので
Z0 IL jβ(l−x)
e
2
Z0 IL jβ(x−l)
Vr = −
e
2
Vf =
(6.119)
(6.120)
となる．特に受信端 (x = l) では
Vr = −Vf
(6.121)
Vf = VL e jβ(l−x)
Vr = 0
(6.122)
(6.123)
である．
整合時
VL = Z0 IL であり，
となる．これは反射波が生じないことを意味している．
入射波の電圧 Vf に対する反射波の電圧 Vr の割合を反射係数（電圧反射係数） K と呼
ぶ ∗13 ．反射係数の定義から
∗13
K は位置 x の関数であるので正確には K(x) と書くが，特に注意する必要が無いときは変数を省略する．
c 大豆生田利章 2011
136
K(x) =
第 6 章 分布定数回路
Vr
(VL − Z0 IL ) e jβ(x−l)
VL − Z0 IL j2β(x−l)
ZL − Z0 j2β(x−l)
=
=
e
=
e
jβ(l−x)
Vf
VL + Z0 IL
ZL + Z0
(VL + Z0 IL )e
(6.124)
となる．特に，受信端 (x = l) における反射定数
K(l) =
ZL − Z0
ZL + Z0
(6.125)
を用いると，
K(x) = K(l) ej2β(x−l)
(6.126)
となる．反射係数の大きさ |K| の範囲は
ZL
−1
ZL − Z0
Z0
=
≤1
|K| =
ZL
ZL + Z0
+1
Z0
(6.127)
となる．ここで Re [z] ≥ 0 のときに成立する公式
z−1
≤1
z+1
(6.128)
を用いた ∗14 ．特に，


受信端開放時 (ZL = ∞)
1
K(l) = 0
整合時 (ZL = Z0 )


−1 受信端短絡時 (ZL = 0)
(6.129)
である．
【例題 6.5】
特性インピーダンス Z0 が 50 Ω の伝送線路を，75 Ω の抵抗 ZL で終端したときの，受信
端での反射係数を求めよ．
〔解答 6.5〕
K=
∗14
証明は付録 J を参照のこと．
ZL − Z0
75 − 50
=
= 0.20
ZL + Z0
75 + 50
(6.130)
c 大豆生田利章 2011
6.3 無損失有限長線路
137
6.3.3 無損失有限長線路の定在波と定在波比
無損失有限長伝送線路上の電圧 V は式 (6.108) に示したように，
VL + Z0 IL jβ(l−x) VL − Z0 IL jβ(x−l)
e
+
e
2
2
= VL cos β(l − x) + jZ0 IL sin β(l − x)
V =
(6.131)
である．これは，各点の正弦波電圧の大きさ（振幅）が位置の関数であること，すなわち
時間による変化が無いことを意味している．このように振幅が位置によって決まる波を定
在波と呼ぶ．定在波は，入射波と反射波の時間変化が打ち消しあって生じる．
定在波が生じているときは，線路上の電圧の大きさ |V | は図 6.9 のように最大値 Vmax
と最小値 Vmin を規則的に繰り返すようになる．この定在波の振幅 V の大きさ |V | の最大
値 Vmax と最小値 Vmin を求めてみよう．
図 6.9
定在波と定在波比
式 (6.131) を受信端の電圧 VL と反射係数 K を用いた形に変形する．VL = ZL IL を用
いると，
(ZL + Z0 )VL jβ(l−x) (ZL − Z0 )VL jβ(x−l)
e
+
e
2ZL
2ZL
(
)
(ZL + Z0 )VL e jβ(l−x)
ZL − Z0 j2β(x−l)
=
· 1+
e
2ZL
ZL + Z0
V =
(6.132)
となる．ここで，式 (6.124) を用いると，
V =
(ZL + Z0 )VL e jβ(l−x)
· (1 + K)
2ZL
(6.133)
となる．さらに，式 (6.125) に示した受信端の反射係数 K(l) を用いると，
1 + K(l) = 1 +
であるので，
2ZL
ZL − Z0
=
ZL + Z0
ZL + Z0
(6.134)
c 大豆生田利章 2011
138
第 6 章 分布定数回路
V = VL e jβ(l−x) ·
1 + K(x)
1 + K(l)
(6.135)
となる．これより電圧の絶対値 |V | は
|V | = |VL | ·
|1 + K(x)|
|1 + K(l)|
(6.136)
となる．式 (6.127) より |K| ≤ 1 であるので，
1 + |K(x)|
|1 + K(l)|
1 − |K(x)|
= |VL | ·
|1 + K(l)|
Vmax = |VL | ·
(6.137)
Vmin
(6.138)
となる．ここで，|z| ≤ 1 である複素数 z に対して成立する不等式
1 − |z| ≤ |1 + z| ≤ 1 + |z|
(6.139)
を用いた ∗15 ．Vmax と Vmin の比 ρ を電圧定在波比（VSWR）または単に定在波比（SWR）
と呼び，次の式で定義される．
ρ=
Vmax
1 + |K|
=
Vmin
1 − |K|
(6.140)
式 (6.127) より反射係数の大きさの範囲は |K| ≤ 1 なので電圧定在波比 ρ の取りうる範
囲は
1≤ρ
(6.141)
となる．整合時には K = 0 となるので，ρ = 1 となる．また，受信端開放時と受信端短
絡時には |K| = 1 となるので，ρ = ∞ となる．つまり，電圧定在波比は受信端が整合状
態からどれだけずれているかの目安になる．
【例題 6.6】
無損失線路において電圧定在波比 ρ が 1.5 のときの反射係数の大きさ |K| を求めよ．ま
た，受信端のインピーダンス ZL が純抵抗であるとして， ZL と Z0 の大きさの比を求め
よ．
〔解答 6.6〕
ρ=
∗15
証明は付録 J を参照のこと．
1 + |K|
1 − |K|
(6.142)
c 大豆生田利章 2011
6.3 無損失有限長線路
139
より
|K| =
ρ−1
= 0.20
ρ+1
(6.143)
ZL − Z0
ZL + Z0
(6.144)
となる．
|K| =
より，
ZL
1 ± |K|
=
= 1.5, または 0.666 · · ·
Z0
1 ∓ |K|
(6.145)
次に，電圧が最大値 Vmax になる位置 xmax と，最小値 Vmin になる位置 xmin を考える．
付録 J より，電圧が最大値になるのは n を整数として arg K = 2nπ の場合，最小値にな
るのは arg K = 2(n + 1)π の場合である．この条件を満たす位置を求める．受信端での
反射係数 K(l) を
K(l) =
ZL − Z0
= |K(l)| e jφ
ZL + Z0
(6.146)
とおき，136 ページに示した K の定義式 (6.124) に代入すると
K(x) =
ZL − Z0 j2β(x−l)
e
= |K(l)| e j(2β(x−l)+φ)
ZL + Z0
(6.147)
となる．これより
arg K(x) = 2β(x − l) + φ =
4π(x − l)
+φ
λ
(6.148)
となる．電圧が最大になる位置 xmax と最小になる位置 xmin は
λφ nλ
+
4π
2
λφ (2n + 1)λ
=l−
+
4π
4
xmax = l −
(6.149)
xmin
(6.150)
である．xmax 同士または xmin 同士の間隔を ∆x とすると
∆x =
λ
2
となる．すなわち，電圧が最大になる位置間隔あるいは最小になる位置間隔は
になる．これはまた，arg K(x) が 2π 変化する間隔でもある．
(6.151)
λ
半波長
2
c 大豆生田利章 2011
140
第 6 章 分布定数回路
【例題 6.7】
ある，有限長無損失伝送路に周波数 f が 1.0 GHz の信号を加えたところ線路上の電圧が
最大になる位置の間隔 ∆x が 10 cm になった．この伝送路の伝搬速度 up を求めよ．
〔解答 6.7〕
波長 λ は
λ = 2∆x = 20 cm
(6.152)
伝搬速度 up は
up = f λ = 1.0 GHz × 50 cm = (1.0 × 109 Hz) × (0.50 m) = 2.0 × 108 m/s
6.4
(6.153)
伝送線路の接続とインピーダンス挿入
6.4.1 異種伝送線路の接続
図 6.10 のように，特性インピーダンスが Z01 である半無限長線路 I に特性インピーダ
ンスが Z02 の半無限長線路 II を接続する
∗16
．接続点を超えて線路 II に進んでいった波
を接続点を透過したという意味で，特に透過波 と呼ぶ．線路 II では受信端からの反射波
は無い．
図 6.10
異種伝送線路の接続
線路 I からの入射波を Vf1 ，If1 ，反射波を Vr1 ，Ir1 ，線路 II へのの透過波を Vt2 ，It2 と
すると接続点での電圧・電流の関係は
Vf1 + Vr1 = Vt2
If1 − Ir1 = It2
∗16
特性インピーダンスで終端されている有限長線路としても同じである．
(6.154)
(6.155)
c 大豆生田利章 2011
6.4 伝送線路の接続とインピーダンス挿入
141
となる．入射波に対する反射波の割合を反射係数（電圧反射係数）K ，入射波に対する透
過波の割合を透過係数（電圧透過係数）T と呼び，以下の式で定義される．
Vr1
Vf1
Vt2
T =
Vf1
K=
(6.156)
(6.157)
式 (6.154) より反射係数 K と透過係数 T の間には
T =1+K
(6.158)
という関係があることが分かる．
各線路において，電圧と電流の関係は
Vf1 = Z01 If1
Vr1 = Z01 Ir1
Vt2 = Z02 It2
(6.159)
(6.160)
(6.161)
である．これより，
Vf1 + Vr1 = Vt2 = Z02 It2 = Z02 (If1 − Ir1 ) =
Z02
(Vf1 − Vr1 )
Z01
(6.162)
なので
K=
Vr1
Z02 − Z01
=
Vf1
Z02 + Z01
(6.163)
となる．この反射係数は 6.3 節の式 (6.125) で示した無損失有限長線路の受信端における
反射係数の式において，終端インピーダンスを Z02 としたものと等しい．つまり，
特性インピーダンス Z02 の半無限長線路を接続することと，インピーダンス Z02
の素子で終端することは等価である．
また，透過係数 T は
T =1+K =
2Z02
Z02 + Z01
(6.164)
となる．
【例題 6.8】
140 ページの図 6.10 において，特性インピーダンスが Z01 = 10 Ω，Z02 = 20 Ω である．
入射波電圧 Vf1 が 30 V のとき，以下の量を求めよ．
(1) 反射係数 K
c 大豆生田利章 2011
142
第 6 章 分布定数回路
(2) 透過係数 T
(3) 反射電圧 Vr1
(4) 透過電圧 Vt2
(5) 入射電流 If1
(6) 反射電流 Ir1
(7) 透過電流 It2
〔解答 6.8〕
(1)
K=
Z02 − Z01
20 − 10
=
= 0.33 · · ·
Z02 + Z01
20 + 10
(6.165)
(2)
T = 1 + K = 1.33 · · ·
(6.166)
Vr1 = KVf1 = 10 V
(6.167)
Vt2 = T Vf1 = 40 V
(6.168)
(3)
(4)
(5)
If1 =
30 V
Vf1
=
= 3.0 A
Z01
10 Ω
(6.169)
Ir1 =
Vr1
10 V
=
= 1.0 A
Z01
10 Ω
(6.170)
It2 =
Vt2
40 V
=
= 2.0 A
Z02
20 Ω
(6.171)
(6)
(7)
6.4 伝送線路の接続とインピーダンス挿入
c 大豆生田利章 2011
143
【例題 6.9】
140 ページの図 6.10 において，特性インピーダンスが Z01 = 10 Ω，Z02 = 30 Ω である．
透過電圧 Vt2 が 30 V のときの入射電圧 Vf1 を求めよ．
〔解答 6.9〕
透過係数 T は
T =
2Z02
2 × 30
= 1.5
=
Z02 + Z01
30 + 10
(6.172)
Vt2
30 V
=
= 20 V
T
1.5
(6.173)
なので，
Vf1 =
【例題 6.10】
透過電流 It2 を反射係数 K と入射電流 If1 を用いて表せ．
〔解答 6.10〕
以下の通り．
It2 = If1 − Ir1 = If1 −
Vr1
KVf1
= If1 −
= If1 − KIf1 = (1 − K)If1
Z01
Z01
(6.174)
6.4.2 伝送線路へのインピーダンス挿入
最初に，図 6.11 のように特性インピーダンス Z01 と Z02 の伝送線路の接続点において，
線路間にインピーダンス Z の素子を挿入した場合を考える．素子 Z 両端の電圧を VZ ，Z
を流れる電流を IZ とおく．
挿入点での電圧・電流の関係は
Vf1 + Vr1 = Vt2 = VZ
If1 − Ir1 = It2 + IZ
(6.175)
(6.176)
Z01 If1 = Vf1
Z01 Ir1 = Vr1
Z02 It2 = Vt2
(6.177)
(6.178)
(6.179)
ZIZ = VZ
(6.180)
となる．各電圧電流の関係は
c 大豆生田利章 2011
144
図 6.11
第 6 章 分布定数回路
伝送線路へのインピーダンスの並列挿入
であるので，式 (6.177) および式 (6.178) より
If1 − Ir1 =
Vf1 − Vr1
Z01
(6.181)
となる．一方で，式 (6.176)，式 (6.179) および式 (6.180) より，
If1 − Ir1 = It2 + IZ =
Vt2
VZ
+
Z02
Z
(6.182)
であり，式 (6.175) を用いると
(
If1 − Ir1 =
1
1
+
Z02
Z
)
(
Vt2 =
1
1
+
Z02
Z
)
(Vf1 + Vr1 )
(6.183)
となる．式 (6.181) と式 (6.183) より
Vf1 − Vr1
=
Z01
(
1
1
+
Z02
Z
)
(Vf1 + Vr1 )
(6.184)
となる．これより，反射係数 K は
K=
Vr1
Z02 − Z01
=
Vf1
Z02 + Z01
(6.185)
で与えれれることになる．ただし，Z02 は Z02 と Z の並列合成インピーダンスで
1
1
1
=
+
Z02
Z
Z02
(6.186)
である．また，透過係数 T は
T =
Vf1 + Vr1
2Z02
Vt2
=
=1+K =
Vf1
Vf1
Z02 + Z01
つまり，図 6.11 の回路は図 6.12 の回路と等価になる．
【例題 6.11】
(6.187)
6.4 伝送線路の接続とインピーダンス挿入
図 6.12
c 大豆生田利章 2011
145
伝送線路へのインピーダンスの並列挿入（等価回路）
144 ページの図 6.11 の回路において Z01 = 75 Ω，Z02 = 50 Ω，Z = 50 Ω である．透過
電流 It2 が 0.20 A のときの，入射電圧 Vf1 を求めよ．
〔解答 6.11〕
Z02 と Z の並列合成インピーダンスは 25 Ω であるので，透過係数 T は
T =
2 × 25 Ω
= 0.50
75 Ω + 25 Ω
(6.188)
となる．透過電圧 Vt2 が
Vt2 = Z02 It2 = 50 Ω × 0.20 A = 10 V
(6.189)
であるので，入射電圧 Vf1 は
Vf1 =
Vt2
10 V
=
= 20 V
T
0.50
(6.190)
である．
次に，図 6.13 のように特性インピーダンス Z01 と Z02 の伝送線路の接続点において，
線路に沿ってインピーダンス Z の素子を挿入した場合を考える．
図 6.13
伝送線路へのインピーダンスの直列挿入
c 大豆生田利章 2011
146
第 6 章 分布定数回路
挿入点での電圧・電流の関係は
Vf1 + Vr1 = VZ + Vt2
If1 − Ir1 = IZ = It2
(6.191)
(6.192)
Z01 If1 = Vf1
Z01 Ir1 = Vr1
(6.193)
(6.194)
ZIZ = VZ
Z02 It2 = Vt2
(6.195)
(6.196)
各電圧電流の関係は
となる．
Vf1 + Vr1 = VZ + Vt2 = ZIZ + Z02 It2
Z + Z02
= (Z + Z02 )(If1 − Ir1 ) =
(Vf1 − Vr1 )
Z01
(6.197)
より，反射係数 K は
K=
Vr1
Z + Z02 − Z01
=
Vf1
Z + Z02 + Z01
(6.198)
で与えられる．つまり，1 次側からみた図 6.13 の回路は図 6.14 (a) の回路と等価になる．
また，透過係数 T は
Vt2
Z02 It2
Z02 (If1 − Ir1 )
Vf1 − Vr1
=
=
= Z02 Z01
Vf1
Vf1
Vf1
Vf1
2Z02
= Z02 Z01 (1 − K) =
Z02 + Z01 + Z
T =
(6.199)
となる．つまり，2 次側からみた図 6.13 の回路は図 6.14 (b) の回路と等価になる．
図 6.14
伝送線路へのインピーダンスの直列挿入（等価回路）
c 大豆生田利章 2011
6.4 伝送線路の接続とインピーダンス挿入
147
【例題 6.12】
特性インピーダンス Z0 が 50 Ω の半無限長線路同士を接続したところ，接続点の接触抵
抗の影響により電圧定在波比 ρ が 1.10 になったという．図 6.15 のように接触抵抗 R を
抵抗の直列挿入として扱うことで，接触抵抗 R の値を求めよ．
図 6.15
例題 6.12 図
〔解答 6.12〕
電圧定在波比 ρ より反射係数の大きさ |K| を求めると
ρ−1
= 0.0476 · · ·
ρ+1
(6.200)
Z0 + r − Z0
r
=
Z0 + r + Z0
2Z0 + r
(6.201)
|K| =
となる．一方で
|K| =
である．これより
r=
2Z0 |K|
4.76 · · ·
=
1 − |K|
0.952 · · ·
5.0 Ω
(6.202)
6.4.3 伝送線路の F 行列
ここでは伝送線路の特性を F 行列の形で表すことを学ぶ ∗17 ．
まず，正弦波定常状態の伝送線路上の電圧 V と電流 I と送信端の電圧 Vs と電流 Is の
関係を行列を用いて表すことを考える．電信方程式の一般解
V = K+ e−θx + K− eθx
]
1 [
I=
K+ e−θx − K− eθx
Z0
において，送信端 x = 0 で V = Vs ，I = Is なので
∗17
F 行列の定義は付録 K に示す．
(6.203)
(6.204)
c 大豆生田利章 2011
148
第 6 章 分布定数回路
Vs + Z0 Is
2
Vs − Z0 Is
K− =
2
K+ =
(6.205)
(6.206)
となる．これより，
Vs + Z0 Is −θx Vs − Z0 Is θx
e
+
e = cosh θxVs − Z0 sinh θxIs
2
[2
]
1 Vs + Z0 Is −θx Vs − Z0 Is θx
sinh θx
I=
e
e
Vs + cosh θxIs
−
=−
Z0
2
2
Z0
V =
が得られる．ここで，sinh および cosh は双曲線関数である
∗18
(6.207)
(6.208)
．これらの式を行列で表
示すると
[ ] [
V
cosh θx
=
I
−sinh θx/Z0
][ ]
−Z0 sinh θx Vs
cosh θx
Is
(6.209)
となる．両辺に以下の行列
[
]−1 [
−Z0 sinh θx
cosh θx
=
cosh θx
sinh θx/Z0
cosh θx
−sinh θx/Z0
]
Z0 sinh θx
cosh θx
(6.210)
を掛けると ∗19 ，
[ ] [
Vs
cosh θx
=
Is
sinh θx/Z0
Z0 sinh θx
cosh θx
][ ]
V
I
(6.211)
となる．これより，伝送線路の F 行列は
[
cosh θx
F=
sinh θx/Z0
]
Z0 sinh θx
cosh θx
(6.212)
となる．特に無損失線路では θ = jβ なので
[
F=
cos βx
j sin βx/Z0
]
jZ0 sin βx
cos βx
となる ∗20 ．
【例題 6.13】
長さ l が 1/4 波長（λ/4）である無損失有限長線路の F 行列を求めよ．
〔解答 6.13〕
β = 2π/λ，l = λ/4 より
∗18
双曲線関数の定義は付録 A に示す
付録 A の式 (A.22) より，cosh2 θx − sinh2 θx = 1 であることに注意する．
∗20 付録 A の式 (A.24) および式 (A.25) を参照する．
∗19
(6.213)
c 大豆生田利章 2011
6.5 S 行列
βl =
149
π
2
(6.214)
となる．求める F 行列は
[
] [
0
jZ0 sin βl
=
cos βl
j/Z0
cos βl
F=
j sin βl/Z0
jZ0
0
]
(6.215)
伝搬定数が θ1 ，特性インピーダンスが Z01 で長さが l1 の線路と伝搬定数が θ2 で特性
インピーダンスが Z02 で長さが l2 の線路を接続したときの F 行列は
[
cosh θ1 l1
F=
sinh θ1 l1 /Z01
Z01 sinh θ1 l1
cosh θ1 l1
][
cosh θ2 l2
sinh θ2 l2 /Z02
Z02 sinh θ2 l2
cosh θ2 l2
]
(6.216)
となる．
6.5
S 行列
6.5.1 分布定数回路の電力移動
特性インピーダンス Z0 の無損失線路における電力の移動を考える．線路上のある点に
おける正弦波定常状態の入射波の電圧を Vf ，反射波の電圧を Vr とする．このとき，127
2
ページで述べたように特性インピーダンス Z0 は実数になるので，入射波の電力は
2
であり，反射波の電力は
|Vr |
である ∗21 ．線路における電圧 V と電流 I は
2Z0
V = Vf + Vr
1
I=
(Vf − Vr )
Z0
|Vf |
2Z0
(6.217)
(6.218)
であるので，
1
(V + Z0 I)
2
1
Vr = (V − Z0 I)
2
Vf =
(6.219)
(6.220)
となる．これより入射波の電力と反射波の電力は
2
2
|V + Z0 I|
1 V + Z0 I V + Z0 I
|Vf |
=
= · √
· √
2Z0
8Z0
2
2 Z0
2 Z0
2
2
|V − Z0 I|
1 V − Z0 I V − Z0 I
|Vr |
=
= · √
· √
2Z0
8Z0
2
2 Z0
2 Z0
∗21
(6.221)
Vf および Vr の大きさは最大値で表されているので，2 で割ることに注意する．
(6.222)
c 大豆生田利章 2011
150
第 6 章 分布定数回路
と表すことができる ∗22 ．ここで，
2
2
|a|
|Vf |
=
2
2Z0
(6.223)
2
2
|b|
|Vr |
=
2
2Z0
(6.224)
となるように，以下の式で 2 つの量 a および b を定義する．
(
)
√
Vf
V + Z0 I
1
V
√
√ + Z0 I
a= √
=
=
2
Z0
2 Z0
Z0
)
(
√
Vr
V − Z0 I
1
V
√
√ − Z0 I
b= √
=
=
2
Z0
2 Z0
Z0
(6.225)
(6.226)
式 (6.225) および式 (6.226) で定義した a を入射量，b を反射量と呼ぶ ∗23 ．反射係数 K を
入射量 a と反射量 b で表すと，136 ページの式 (6.124) の反射係数 K の定義より
K=
Vr
b
=
Vf
a
(6.227)
となる．
有効電力 P と入射量 a および反射量 b の関係を考える．式 (6.225) および式 (6.226)
から
√
Z0 (a + b)
1
I = √ ((a − b)
Z0
V =
(6.228)
(6.229)
となる．有効電力 P は複素電力の実部なので，
] 1 [
]
1 [ ] 1 [
Re V I = Re (a + b)(a − b) = Re aa + ab − ab − bb
2
2
2
] 1[
]
1 [ 2
2
2
2
= Re |a| + ab − ab − |b| =
|a| − |b|
2
2
P =
(6.230)
となる ∗24 ．これは，図 6.16 (b) に示したように，ある点での有効電力 P は入射波が持っ
2
てくる電力
2
|a|
|b|
と，反射波が持ってかえる電力
の差であることを示している．
2
2
［補足］
線路が無損失でなく，特性インピーダンス Z0 が複素数になる場合は，以下のように入射量 a お
よび反射量 b を定義することにより，式 (6.230) が成立する．ただし，R0 = Re [Z0 ] である．
∗22
a=
V + Z0 I
√
2 R0
(6.231)
b=
V − Z0I
√
2 R0
(6.232)
線路は無損失なので，特性インピーダンス Z0 は実数になることに注意する．
√
分母の Z0 を省いて定義する流儀もある．
∗24 ab − ab は共役複素数の差なので実部が 0 になることに注意する．
∗23
c 大豆生田利章 2011
6.5 S 行列
図 6.16
151
入射量・反射量と電力移動
6.5.2 分布定数回路の S 行列
ここで，6.5.1 節の議論を無損失線路上の 2 点間の入射波と反射波の関係に拡張する．
図 6.17 のように線路上の 2 点，端子対 1-1 および端子対 2-2 における電圧・電流を，V1 ，
I1 ，V2 ，I2 とする
∗25
．また，端子対 1-1 における特性インピーダンスを Z01 ，端子対
2-2 における特性インピーダンスを Z02 とする．
図 6.17
S 行列の定義
このとき，端子対 1-1 における入射量と反射量は
)
(
√
1
Vf1
V
√ 1 + Z01 I1
=
a1 = √
2
Z01
Z01
)
(
√
Vr1
1
V1
√
b1 = √
=
− Z01 I1
2
Z01
Z01
(6.233)
(6.234)
である．端子対 2-2 における入射量と反射量は，入射方向が端子対 1-1 とは逆向きであ
る，すなわち図 6.17 では右から左向きであると考えて，
∗25
I2 の向きに注意する．
c 大豆生田利章 2011
152
第 6 章 分布定数回路
(
)
√
Vf2
1
V2
√
√
a2 =
=
+ Z02 I2
2
Z02
Z02
(
)
√
Vr2
1
V2
√
√
b2 =
=
− Z02 I2
2
Z02
Z02
(6.235)
(6.236)
と定義する．
各入射量と各反射量 a1 ，a2 ，b1 ，b2 の関係を
[ ] [
b1
s
= 11
b2
s21
s12
s22
][ ]
[ ]
a1
a
=S 1
a2
a2
(6.237)
と表すとき，行列 S を S 行列あるいは散乱行列と呼ぶ ∗26 ．式 (6.237) より S 行列の各要
素は
s11 =
b1
a1
,
a2 =0
s21
=
b2
a1
,
a2 =0
s22 =
b2
a2
,
a1 =0
s12
=
b1
a2
(6.238)
a1 =0
として求められる．上の各式における a2 = 0 という条件は，V2 = −Z02 I2 という条件で
あり，これは端子対 2-2 を線路の特性インピーダンス Z02 で終端することを意味してい
る．同様に，a1 = 0 という条件は端子対 1-1 を線路の特性インピーダンス Z01 で終端す
ることを意味する．
［補足］
周波数が高くなると開放や短絡を完全に実現することが難しくなる．このような場合でも特性イ
ンピーダンスによる終端は比較的容易であるので，高周波回路の特性を表すのに S 行列が用いられることが
多い．
S 行列と反射係数・透過係数の関係を調べるために，図 6.18 のように特性インピーダ
ンスが Z01 と Z02 の半無限長線路を接続したときの，接続点の S 行列を求めてみる．
図 6.18
S 行列の例
このときは，V2 = −Z02 I2 なので，式 (6.236) より
V1
Vf1 + Vr1
V2
=√
= √
b2 = √
Z02
Z02
Z02
∗26
動作伝送行列と呼ぶこともある．
(6.239)
c 大豆生田利章 2011
6.5 S 行列
となる
∗27
153
．1 次側から見た反射係数を K1 ，透過係数を T1 とおくと，141 ページの
式 (6.163) と式 (6.164) より
Vr1
Z02 − Z01
=
Vf1
Z02 + Z01
2Z02
T1 = 1 + K1 =
Z01 + Z02
K1 =
(6.240)
(6.241)
である．これより，
s11 =
b1
a1
=
a2 =0
Vr1
Z02 − Z01
= K1 =
Vf1
Z02 + Z01
(6.242)
となる．また，
s21
√
b2
Z01 V2
=
=
a1 a2 =0
Z02 Vf1
√
√
Z01
2 Z01 Z02
=
T1 =
Z02
Z01 + Z02
(6.243)
である．1 次側と 2 次側を入れ換えることで
s22 =
s12 =
b2
a2
a1 =0
b1
a2
a1 =0
Z01 − Z02
Z01 + Z02
√
√
Z02
2 Z02 Z01
T2 =
=
Z01
Z02 + Z01
= K2 =
(6.244)
(6.245)
を得る．このように，S 行列の要素 sik は，第 6.4 節の式 (6.163) および式 (6.164) で定義
した反射係数および透過係数を一般化したもであるといえる．
【例題 6.14】
図 6.19 に示す，特性インピーダンス Z0 ，長さ l の無損失有限長線路の S 行列を求めよ．
〔解答 6.14〕
129 ページの式 (6.62) に示したように，無損失有限長線路上の電圧・電流は
V = V1 cos βx − jZ0 I1 sin βx
jV1
sin βx
I = I1 cos βx −
Z0
(6.246)
(6.247)
で与えられる．ただし，端子対 1-1 を原点とした．端子対 2-2 における電圧・電流は，I2
の向きに注意すると，
∗27
接続点の左右で電圧は等しくなければならないので図 6.18 において V1 = V2 である．
c 大豆生田利章 2011
154
図 6.19
第 6 章 分布定数回路
例題 6.14 図
V2 = V1 cos βl − jZ0 I1 sin βl
jV1
−I2 = I1 cos βl −
sin βl
Z0
(6.248)
(6.249)
となる．これより，端子対 2-2 における入射量 a2 は
1
1
a2 = √ (V2 + Z0 I2 ) = √ (V1 cos βl − jZ0 I1 sin βl − Z0 I1 cos βl + jV1 sin βl)
2 Z0
2 Z0
)
1 (
jβl
= √
V1 e − Z0 I1 e jβl = b1 e jβl
(6.250)
2 Z0
となり，端子対 2-2 における反射量 b2 は
1
1
b2 = √ (V2 − Z0 I2 ) = √ (V1 cos βl − jZ0 I1 sin βl + Z0 I1 cos βl − jV1 sin βl)
2 Z0
2 Z0
)
1 (
−jβl
V1 e
+ Z0 I1 e−jβl = a1 e−jβl
(6.251)
= √
2 Z0
となるので，S 行列は
[
0
e−jβl
e−jβl
0
]
(6.252)
である．
次に図 6.20 (a) のようにインピーダンス Z の素子を直列挿入したときの，S 行列を求め
る．1-1 から右側を見た反射係数 K1 は
K1 =
Z + Z02 − Z01
Z + Z02 + Z01
(6.253)
なので，
s11 =
b1
a1
=
a2 =0
Z + Z02 − Z01
Vr1
= K1 =
Vf1
Z + Z02 + Z01
(6.254)
c 大豆生田利章 2011
6.5 S 行列
図 6.20
155
インピーダンス挿入時の S 行列
図 6.20 (b) のように Z02 で終端して，a2 = 0 としたときは V2 = Z02 IZ より
VZ = ZIZ =
Z
V2
Z02
(6.255)
であるので，
VZ + V2 =
Z02 + Z
V2
Z02
(6.256)
となる．また
V1 = Vf1 + Vr1 = (1 + K1 )Vf1 =
2(Z + Z02 )
Vf1
Z + Z02 + Z01
(6.257)
となる．
V 1 = VZ + V2
(6.258)
に式 (6.256) と式 (6.257) を代入すると，
Z02 + Z
2(Z + Z02 )
V2 =
Vf1
Z02
Z + Z02 + Z01
(6.259)
となり，V2 は
V2 =
2Z02
Vf1
Z + Z02 + Z01
(6.260)
である．これより，
s21
b2
=
a1
√
=
a2 =0
√
2 Z02 Z01
Z01 V2
=
Z02 Vf1
Z + Z02 + Z01
となる．1 次側と 2 次側を入れ換えることにより
(6.261)
c 大豆生田利章 2011
156
第 6 章 分布定数回路
Z + Z01 − Z02
Z + Z01 + Z02
√
2 Z02 Z01
=
Z + Z02 + Z01
s22 =
(6.262)
s21
(6.263)
を得る ∗28 ．
【例題 6.15】
図 6.21 の回路の S 行列を求めよ．
図 6.21
例題 6.15 図
〔解答 6.15〕
端子対 1-1 から右を見たときの反射係数 K1 は
ZZ02
− Z01
ZZ02 − Z01 (Z + Z02 )
Z + Z02
K1 =
=
ZZ02
Z01 Z02 + ZZ02 + ZZ01
+ Z01
Z + Z02
(6.264)
ZZ02 − Z01 (Z + Z02 )
Z01 Z02 + ZZ02 + ZZ01
(6.265)
なので，
s11 =
b1
a1
= K1 =
a2 =0
となる．また，V2 = V1 = Vf1 + Vr1 に注意すると，
s21
b2
=
a1
=
√
=
a2 =0
Z01 V2
·
=
Z02 Vf1
√
2Z Z01 Z02
Z01 Z02 + ZZ01 + ZZ02
√
Z01
· (1 + K1 )
Z02
(6.266)
となる．左右を入れ換えて計算すると，
∗28
ZZ01 − Z02 (Z + Z01 )
Z01 Z02 + ZZ02 + ZZ01
√
2Z Z01 Z02
=
Z01 Z02 + ZZ01 + ZZ02
s22 =
(6.267)
s12
(6.268)
Z → 0 で図 6.18 の場合と同じになることに注意する．
c 大豆生田利章 2011
6.5 S 行列
157
となる ∗29 ．
6.5.3 集中定数回路の S 行列
ここでは，S 行列を集中定数回路に対して拡張した例を示す．
半無限長線路と特性インピーダンスで終端した線路は等価であることから，図 6.20 の
分布定数回路は，電源の内部インピーダンスが Z01 ，負荷のインピーダンスが Z02 である
図 6.22 の集中定数回路と等価になる．
図 6.22
集中定数回路の S 行列の例
図 6.22 の集中定数回路の端子対 1-1 の入射量 a1 と反射量 b1 および端子対 2-2 の入射
量 a2 と反射量 b2 を
(
1
V
√ 1
2
Z01
(
1
V
√ 1
b1 =
2
Z01
(
1
V
√ 2
a2 =
2
Z02
(
1
V
√ 2
b2 =
2
Z02
a1 =
+
−
+
−
√
√
√
√
)
Z01 I1
(6.269)
)
Z01 I1
(6.270)
)
Z02 I2
(6.271)
)
Z02 I2
(6.272)
と定義することで，図 6.22 の二端子対網の S 行列を

Z + Z02 − Z01
 Z + Z02 + Z01
√
S=
 2 Z02 Z01
Z + Z02 + Z01
∗29
√

2 Z01 Z02
Z + Z01 + Z02 

Z + Z01 − Z02 
Z + Z01 + Z02
Z → ∞ で図 6.18 の場合と同じになることに注意する．
(6.273)
c 大豆生田利章 2011
158
第 6 章 分布定数回路
で与えることができる．このように電源の内部インピーダンスと負荷のインピーダンスを
考慮することにより，S 行列を分布定数回路だけではなく，一般の二端子対網に拡張で
きる．
なお，一般の二端子対網における Z 行列 Z ∗30 と S 行列 S の関係は，E を単位行列とし
て，以下の式で与えられる ∗31 ．
−1
ただし
S = [Z + E] [Z − E]
[ √
] [ √
1/ Z01
0
1/ Z01
√
Z=
Z
0
1/ Z02
0
√0
1/ Z02
(6.274)
]
(6.275)
また，F 行列 F ∗32 と S 行列 S の関係は，以下の式で与えられる ∗33 ．
S=
[[ √
1/ Z01
0
]]
]
[
√
− Z01
√0
√0
F+
0
1/ Z02
Z02
[[ √
]
[
√
1/ Z01
Z01
√0
×
F+
0
0
1/ Z02
√0
− Z02
]]−1
(6.276)
【例題 6.16】
図 6.23 に示す理想変成器の S 行列を求めよ．ただし，R = 1 とする．
図 6.23
例題 6.16 図
〔解答 6.16〕
入射量 a1 ，a2 の定義
1
(V1 + I1 )
2
1
a2 = (V2 + I2 )
2
a1 =
と理想変成器の電圧・電流の関係式
∗30
Z 行列の定義は付録 K に示す．
導出過程は付録 L に示す．
∗32 F 行列の定義は付録 K に示す．
∗33 導出過程は付録 M に示す．
∗31
(6.277)
(6.278)
c 大豆生田利章 2011
6.5 S 行列
V1 : V2 = 1 : 2
I1 + 2I2 = 0
159
(6.279)
(6.280)
を用いて，V1 ，I1 を a1 ，a2 で表すと，
2
a1 +
5
8
I1 = a1 −
5
V1 =
4
a2
5
4
a2
5
(6.281)
(6.282)
となる．これを反射量 b1 ，b2 の定義
1
(V1 − I1 )
2
1
1
b2 = (V2 − I2 ) = V1 + I1
2
4
b1 =
(6.283)
(6.284)
に代入して，
3
4
b1 = − a1 + a2
5
5
4
3
b2 = a1 + a2
5
5
(6.285)
(6.286)
を得る．よって S 行列 S は
S=
[
]
−0.6 0.8
0.8 0.6
(6.287)
となる．
6.5.4 S 行列と電力
ここでは，図 6.24 に示した，二端子対網における電力の移動と S 行列の関係を調べる．
二端子対網の中身は分布定数回路でも集中定数回路でもよい．
6.5.1 節で示した式 (6.230) と同様に，図 6.24 において，端子対 1-1 にから二端子対網
に入る有効電力 P1 と端子対 2-2 にから二端子対網に入る有効電力 P2 は，入射量 a1 ，a2
と反射量 b1 ，b2 を用いて，
)
1(
2
2
|a1 | − |b1 |
2
)
1(
2
2
P2 =
|a2 | − |b2 |
2
P1 =
(6.288)
(6.289)
(6.290)
c 大豆生田利章 2011
160
図 6.24
第 6 章 分布定数回路
S 行列と電力
と表される．これより二端子対網に入る全有効電力 P は
2
P = P1 + P2 =
2
2
|a1 | + |a2 | − |b1 | − |b2 |
2
2
となる．
2
また，端子対 2-2 をインピーダンス Z02 で終端したときの，入射波の電力
2
射波の電力
(6.291)
|b1 |
の関係は
2
2
2
|b1 |
|s11 a1 |
2 |a1 |
=
= |s11 | ·
2
2
2
2
となり，入射波の電力
|a1 |
と反
2
2
(6.292)
2
|a1 |
|b2 |
と透過波の電力
の関係は
2
2
2
2
|b2 |
|s21 a1 |
2 |a1 |
=
= |s21 | ·
2
2
2
2
(6.293)
となる．つまり，S 行列の各要素の大きさは入射波の電力に対する反射波・透過波の電力
の割合になる．
ここで，二端子対網が無損失である，すなわち
2
2
2
2
P = |a1 | + |a2 | − |b1 | − |b2 | = 0
(6.294)
であるときに，S 行列が満たす条件を求めてみる．P = 0 より，
2
2
2
2
(6.295)
a1 a1 + a2 a2 = b1 b1 + b2 b2
(6.296)
|a1 | + |a2 | = |b1 | + |b2 |
2
である．z で z の複素共役を表すと |z| = zz なので，
となる．これに
c 大豆生田利章 2011
6.5 S 行列
b1 = s11 a1 + s12 a2 ,
b2 = s21 a1 + s22 a2
161
(6.297)
を代入すると，
b1 b1 + b2 b2 = (s11 a1 + s12 a2 ) (s11 a1 + s12 a2 )
= (s11 s11 + s21 s21 ) a1 a1 + (s12 s11 + s22 s21 ) a2 a1
+ (s11 s12 + s21 s22 ) a1 a2 + (s12 s12 + s22 s22 ) a2 a2
(6.298)
となる．二端子対網が無損失のときは式 (6.298) が入射量 a1 および a2 に関係なく成り立
つので，式 (6.296) と比較して，
s11 s11 + s21 s21 = s12 s12 + s22 s22 = 1
s12 s11 + s22 s21 = s11 s12 + s21 s22 = 0
(6.299)
が求める条件になる．例題 6.14 の式 (6.252) あるいは例題 6.16 の式 (6.287) は，この条件
式 (6.299) を確かに満たしている．条件式 (6.299) は，行列を用いると
[
s11
s12
s21
s22
][
s11
s21
] [
]
s12
1 0
=
s22
0 1
(6.300)
とかける．行列 S の共役転置行列と呼ばれる行列 S∗ を
S∗ =
[
s11
s12
s21
s22
]
(6.301)
と定義すると，
S∗ S = E
(6.302)
となる．式 (6.302) の条件を満たす行列をユニタリー行列と呼ぶ．すなわち，無損失な二
端子対網の S 行列はユニタリー行列である．
【例題 6.17】
反射が発生しない無損失二端子対網の S 行列が満たす条件を求めよ．
〔解答 6.17〕
反射がないときは，1 次側から入ってきた有効電力がすべて 2 次側に出ていくので，
a2 = 0 として，
2
2
2
2
2
2
|b1 | = |s11 | |a1 | = 0
(6.303)
2
|b2 | = |s21 | |a1 | = |a1 |
となる，これより，
(6.304)
c 大豆生田利章 2011
162
2
|s11 | = 0
第 6 章 分布定数回路
=⇒
s11 = 0
2
|s21 | = 1
(6.305)
(6.306)
となる．無損失の条件
s11 s12 + s21 s22 = 0
(6.307)
において，s11 = 0 および s21 = 0 なので，
s22 = 0
(6.308)
s11 s11 + s21 s21 = s12 s12 + s22 s22 = 1
(6.309)
となる．もう一つの無損失の条件
より，
2
2
|s21 | = |s12 | = 1
となる．
(6.310)
c 大豆生田利章 2011
163
第7章
分布定数回路の過渡現象
本章では分布定数回路の過渡現象を学ぶ．ただし，簡単のために原則として無損失線路
のみ対象とする．
7.1
波動方程式
分布定数回路の電圧・電流は電信方程式
∂v
∂i
= Ri + L
∂x
∂t
∂i
∂v
−
= Gv + C
∂x
∂t
−
(7.1)
(7.2)
によって記述されるが，無損失の場合は R = 0，G = 0 なので
∂i
∂v
=L
∂x
∂t
∂i
∂v
−
=C
∂x
∂t
−
(7.3)
(7.4)
となる．これより，
∂2v
∂2i
∂ ∂i
∂2v
=
−L
=
−L
=
−LC
∂x2
∂x∂t
∂t ∂x
∂t2
(7.5)
∂2v
∂ ∂v
∂2i
∂2i
=
−C
=
−C
=
−LC
∂x2
∂x∂t
∂t ∂x
∂t2
(7.6)
あるいは
という偏微分方程式が得られる．式 (7.5) あるいは式 (7.6) のような偏微分方程式を波動
方程式と呼ぶ．波動方程式 (7.5) の解は v+ および v− を任意の関数として
v = v+ (x − up t) + v− (x + up t)
(7.7)
c 大豆生田利章 2011
164
第7章
分布定数回路の過渡現象
で与えられることが知られている ∗1 ．ここで up は波の速度（伝搬速度）を示し，
up = √
1
LC
(7.8)
である．v+ は x の正方向に進む波を表し，入射波あるいは前進波と呼ばれる．v− は x
の負方向に進む波を表し，反射波あるいは後退波 と呼ばれる．波動方程式 (7.6) の解は
式 (7.5) の解と同様に i+ および i− を任意の関数として
i = i+ (x − up t) + i− (x + up t)
(7.9)
となる．式 (7.3) あるいは式 (7.4) に式 (7.7) および式 (7.8) を代入することで
v+ (x − up t) = Z0 i+ (x − up t)
(7.10)
v− (x + up t) = −Z0 i− (x + up t)
(7.11)
√
という関係が得られる．ここで，Z0 =
L
は線路の特性インピーダンスである．した
C
がって，無損失線路の波動方程式の一般解は
v(x, t) = v+ (x − up t) + v− (x + up t)
1
i(x, t) =
{v+ (x − up t) − v− (x + up t)}
Z0
(7.12)
(7.13)
となる．
過渡現象でも異種線路や素子の接続点においては反射や透過が生じるが，入射波と反
射波を用いて，正弦波定常状態と同様に反射係数 K と透過係数 T が以下のように定義さ
れる．
v1−
Z02 − Z01
=
v1+
Z02 + Z01
v2+
2Z02
T =
=
=1+K
v1+
Z02 + Z01
K=
(7.14)
(7.15)
【例題 7.1】
無ひずみ線路（RC = GL）における電圧分布の一般解を求め，無損失線路の一般解と比
較せよ．
〔解答 7.1〕
無ひずみの条件（RC = GL）を使って
∗1
ダランベールの解と呼ぶ．
c 大豆生田利章 2011
7.2 無損失線路における波の伝搬
R
G
=
=α
L
C
165
(7.16)
とおく．電信方程式より以下の偏微分方程式が得られる．
∂2v
= LC
∂x2
(
∂2v
∂v
+ 2α
+ α2 v
∂t2
∂t
)
(7.17)
ここで，v = e−αt v0 として，式 (7.17) に代入すると
e−αt
2
∂ 2 v0
−αt ∂ v0
=
LCe
∂x2
∂t2
(7.18)
となる．これより，v0 に対する偏微分方程式は
∂ 2 v0
∂ 2 v0
=
LC
∂x2
∂t2
(7.19)
となる．これは無損失線路の波動方程式と同じであるので，v0 の一般解は
v0 = v+ (x − up t) + v− (x + up t)
(7.20)
となり，無ひずみ線路の電圧分布の一般解は
v = e−αt {v+ (x − up t) + v− (x + up t)}
(7.21)
となる．つまり，波形は無損失線路と同じであるが，大きさは減少していくことになる．
7.2
無損失線路における波の伝搬
ここでは，波動方程式の一般解
v(x, t) = v+ (x − up t) + v− (x + up t)
(7.22)
v+ (x − up t) + v− (x + up t)
Z0
(7.23)
i(x, t) =
を無損失線路の過渡現象に適用した例を示す．
7.2.1 無損失無限長線路において初期条件が与えられている場合
線路が x > 0 と x < 0 のどちら側にも無限に延びているものを無限長線路と呼ぶ．無
限長線路の線路上の電圧・電流の初期条件が
c 大豆生田利章 2011
166
第7章
分布定数回路の過渡現象
v(x, 0) = v0 (x)
(7.24)
i(x, 0) = i0 (x)
(7.25)
で与えられているとする．このとき，
v0 (x) = v+ (x) + v− (x)
(7.26)
v+ (x) − v− (x)
Z0
(7.27)
i0 (x) =
であるので，v+ および v− を求めると
1
[v0 (x) + Z0 i0 (x)]
2
1
v− (x) = [v0 (x) − Z0 i0 (x)]
2
v+ (x) =
(7.28)
(7.29)
となる．解は
1
[v0 (x − up t) + Z0 i0 (x − up t) + v0 (x + up t) − Z0 i0 (x + up t)]
2
1
i(x, t) =
[v0 (x − up t) + Z0 i0 (x − up t) − v0 (x + up t) + Z0 i0 (x + up t)]
2Z0
v(x, t) =
(7.30)
(7.31)
となる．無損失無限長線路を波が伝搬する様子を示したものが，図 7.1 である．
図 7.1
無損失無限長線路の波の伝搬
7.2.2 無損失半無限長線路において境界条件が与えられている場合
無損失半無限長線路において図 7.2 のように境界条件として，x = 0 での電圧の変化，
v(0, t) = vs (t) · u(t)
(7.32)
が与えられているとする．u(t) はステップ関数である．
無限長線路では反射波は無いので
v(x, t) = v+ (x − up t)
(7.33)
c 大豆生田利章 2011
7.2 無損失線路における波の伝搬
図 7.2
167
無損失半無限長線路の境界条件
となる．境界条件より
(
v(0, t) = v+ (−up t) = vs (t) · u(t) = vs
−up t
−up
)
(
·u
−up t
−up
)
(7.34)
であるので，
(
x − up t
v(x, t) = v+ (x − up t) = vs
−up
) (
)
(
x
x
= vs t −
·u t−
up
up
)
(
·u
x − up t
−up
)
(7.35)
x
は原点における変化が位置 x の点に到達するまでの遅れ時間を表して
up
いる．図 7.3 に式 (7.35) に従って無損失無限長線路を波が移動していく様子を示す．
となる．式中の
図 7.3
無損失半無限長線路の過渡現象
【例題 7.2】
伝搬速度が up である無損失無限長線路の送信端に t = 0 で正弦波交流電圧源 E sin ωt を
接続したときの電圧・電流を求めよ．ただし，電源接続前（t < 0） の線路の電圧・電流
は 0 であるとする．
〔解答 7.2〕
境界条件は
v(0, t) = E sin ωt · u(t)
(7.36)
c 大豆生田利章 2011
168
第7章
分布定数回路の過渡現象
なので，電圧 v(x, t) は
( (
)) (
)
(
) (
)
x
x
ωx
x
v(x, t) = E sin ω t −
·u t−
= E sin ωt −
·u t−
up
up
up
up
(
) (
)
2πx
x
= E sin ωt −
·u t−
(7.37)
λ
up
となる．ここで，λ =
up
は正弦波の波長である．電流 i(x, t) は
f
(
) (
)
v(x, t)
E
2πx
x
i(x, t) =
=
sin ωt −
·u t−
Z0
Z0
λ
up
(7.38)
となる．
7.3
無損失有限長線路の過渡現象
ここでは，図 7.4 のように長さ l の無損失有限長線路の送信端に t = 0 で理想直流電圧
源 E を接続したときの過渡現象を考える．接続前（t < 0） の線路の電圧・電流は 0 であ
るとする．
図 7.4
無損失有限長線路の過渡現象
7.3.1 受信端開放時
電源の電圧波形は E · u(t) である．波の速度を up とすると，線路を波が移動する時間
l
となる．以下，0 < t < 4T の間に波がどのように移動するかを調べる．最初の
up
入射波 vf0 は第 7.2.2 節での解析より
T は
vf0 (x, t) = E · u(up t − x) (t > 0)
(7.39)
7.3 無損失有限長線路の過渡現象
c 大豆生田利章 2011
169
となる ∗2 ．入射波 vf0 が終端に到達すると反射波 vr0 が生じる．反射係数は 1 なので反射
波 vr0 の大きさは E となる．反射波 vr0 の先端の位置は， t = T で x = l， t = 2T で
x = 0 である．これより
vr0 (x, t) = E · u(up t + x − 2l)
(t > T )
(7.40)
となる．反射波 vr0 が入力端に達すると反射が起きる．ここで反射した波は x 正方向に移
動するので，新たな入射波 vf1 となる．電源のインピーダンスは 0 なので反射係数は −1
であり，入射波 vf1 の大きさは −E となる．入射波 vf1 の先端の位置は，t = 2T で x = 0，
t = 3T で x = l である．これより
vf1 (x, t) = −E · u(up t − x − 2l)
(t > 2T )
(7.41)
となる．入射波 vf1 が終端に到達すると新たな反射波 vr1 が生じる．反射係数は 1 なの
で反射波 vr1 の大きさは −E となる．反射波 vr1 の先端は，t = 3T で x = l であり ，
t = 4T で x = 0 である．これより
vr1 (x, t) = −E · u(up t + x − 4l) (t > 3T )
(7.42)
となる．線路上の電圧はこれらの入射波・反射波の総和なので，時刻 t の範囲が，0 < t <
4T のときの電圧 v(x, t) は
v(x, t) = vf0 (x, t) + vr0 (x, t) + vf1 (x, t) + vr1 (x, t)

E · u(up t − x)
0<t<T



E · [1 + u(u t + x − 2l)] T < t < 2T
p
=

E
·
[2
−
u(u
p t − x − 2l)] 2T < t < 3T



E · [1 − u(up t + x − 4l)] 3T < t < 4T
(7.43)
となる．t = 4T における線路上の電圧は v(x, 4T ) = 0 であり，これは t = 0 と同じ状態
である．つまり，線路上の電圧は 4T 周期で同じ変化を繰り返すことになる．このときの
波形を図 7.5 に示す．
7.3.2 受信端短絡時
第 7.3.1 節と同様に考えると，反射係数が −1 であることから，入射波 vf は
vf (x, t) = E · u(up t − x)
反射波 vr は
∗2
(
ステップ関数の定義より u t − ux
p
)
= u (up t − x) である．
(7.44)
170
c 大豆生田利章 2011
図 7.5
第7章
分布定数回路の過渡現象
無損失有限長線路の過渡波形（受信端開放時）
vr (x, t) = −E · u(up t + x − 2l)
(7.45)
となる．これより線路上の電圧は
v(x, t) = vf (x, t) + vr (x, t)
{
E · u(x − up t)
=
E · [1 − u(up t + x − 2l)]
0<t<T
T < t < 2T
(7.46)
となる．t = 2T において，v(x, t) = 0 となるので，線路上の電圧は 2T 周期で同じ変化
を繰り返すことになる．このときの波形を図 7.6 に示す．
図 7.6
無損失有限長線路の過渡波形（受信端短絡時）
7.3.3 抵抗終端時
終端抵抗を RL とすると，受信端での反射係数 K は
K=
RL − Z0
RL + Z0
となる．一方で送信端での反射係数は −1 である．これより各入射波と各反射波は
(7.47)
c 大豆生田利章 2011
7.3 無損失有限長線路の過渡現象
171
vf0 (x, t) = E · u(up t − x)
(7.48)
vr0 (x, t) = KE · u(up t + x − 2l)
(7.49)
vf1 (x, t) = −KE · u(up t − x − 2l)
(7.50)
vr1 (x, t) = −K E · u(up t + x − 4l)
(7.51)
vf2 (x, t) = K 2 E · u(up t − x − 4l)
(7.52)
vr2 (x, t) = K E · u(up t + x − 6l)
···
(7.53)
vfn (x, t) = (−1)n K n E · u(up t − x − 2nl)
(7.54)
2
3
n
vrn (x, t) = (−1) K
n+1
E · u(up t + x − 2(n + 1)l)
(7.55)
となる．これより電圧分布 v(x, t) は
v(x, t) =
∞
∑
(vf n
n=0
∞
∑
+ vrn )
(−1)n K n · [u(up t − x − 2nl) + K u(up t + x − 2(n + 1)l)]
=E
(7.56)
n=0
と求まる．特に受信端 x = l では


0





(1 + K)E
v(l, t) = (1 − K 2 )E



···



[1 − (−1)n K n ] · E
t<T
T < t < 3T
3T < t < 5T
(7.57)
(2n − 1)T < t < (2n + 1)T
であり，
lim v(l, t) = E
t→∞
(7.58)
となる．式 (7.58) は十分に時間が経つと電源に抵抗 RL を直接接続した状態と同じになる
ことを示している．受信端における反射係数 K が 0.5 のときの過渡波形を図 7.7 に示す．
【例題 7.3】
長さ l，終端抵抗 RL の無損失有限長線路の送信端に t = 0 で理想直流電圧源 E を接続し
たときの電流分布 i(x, t) を求めよ．波の速度を c とする．
〔解答 7.3〕
電流の入射波 if および反射波 ir は電圧の入射波 vf および反射波 vr と
c 大豆生田利章 2011
172
図 7.7
第7章
分布定数回路の過渡現象
無損失有限長線路の過渡波形（受信端の反射係数 0.5）
vf (x, t)
Z0
vr (x, t)
ir (x, t) = −
Z0
if (x, t) =
(7.59)
(7.60)
という関係があるので，各入射波と各反射波は
E
· u(up t − x)
Z0
E
ir0 (x, t) = −K
· u(up t + x − 2l)
Z0
E
· u(up t − x − 2l)
if1 (x, t) = −K
Z0
E
ir1 (x, t) = K 2
· u(up t + x − 4l)
Z0
E
if2 (x, t) = K 2
· u(up t − x − 4l)
Z0
E
· u(up t + x − 6l)
ir2 (x, t) = −K 3
Z0
···
if0 (x, t) =
(7.61)
(7.62)
(7.63)
(7.64)
(7.65)
(7.66)
(7.67)
となり，一般の n に対して，
E
· u(up t − x − 2nl)
Z0
E
irn (x, t) = (−1)n+1 K n+1
· u(up t + x − 2(n + 1)l)
Z0
ifn (x, t) = (−1)n K n
(7.68)
(7.69)
となる．よって，
i(x, t) =
∞
∑
(ifn + irn )
n=0
=
∞
E ∑
(−1)n K n {u(up t − x − 2nl) − K u(up t + x − 2(n + 1)l)}
Z0 n=0
(7.70)
c 大豆生田利章 2011
7.4 格子図による過渡現象の解析
7.4
格子図による過渡現象の解析
分布定数回路の過渡現象の解析には格子図を用いると便利である．格子図とは，横軸に
距離を，縦軸に時刻を取った図で線路上の入射波・反射波の移動と反射・透過を線で示
したものである．終端および接続点での反射と透過は格子図上では図 7.8 のように表さ
れる．
図 7.8
格子図上の反射と透過
第 7.3.3 節での解析を格子図で示したものが，図 7.9 である．図中の斜線は入射波・反
射波の先頭位置を示し，斜線上の値は電源電圧 E を基準にした入射波・反射波の大きさ
を示している．
図 7.9
格子図による解析の例
l
) の電圧の時間変化を考えると，以下のようになる．
2
T
T
では入射波が来ていないので，大きさは 0 である．t =
において，大きさ 1
t<
2
2
3T
の入射波が来るので大きさは 1 になる．t =
において，大きさ K の反射波が来る
2
図 7.9 を用いて，中間点 (x =
173
c 大豆生田利章 2011
174
第7章
分布定数回路の過渡現象
5T
において，大きさ −K の入射波が来るので大き
2
7T
さは 1(= 1 + K − K) になる．t =
において，大きさ −K 2 の反射波が来るので
2
9T
大きさは 1 − K 2 になる．t =
において，大きさ K 2 の入射波が来るので大きさは
2
1(= 1 − K 2 + K 2 ) になる．以上をまとめると以下のようになる．
ので大きさは 1 + K になる．t =


0








E






(
) 
l
(1 + K)E
v
,t =

2



E







(1 − K 2 )E




···
T
2
T
3T
<t<
2
2
3T
5T
<t<
2
2
7T
5T
<t<
2
2
7T
9T
<t<
2
2
0<t<
(7.71)
このように格子図を用いると各点での時間変化を比較的容易に求めることができる．
【例題 7.4】
受信端を開放した長さ l の無損失有限長線路の送信端に t = 0 で理想直流電圧源 E を接
続したときの電圧の格子図を描け．波の伝搬速度を up とする．
〔解答 7.4〕
図 7.10 の通り．ただし，T =
l
である．
up
図 7.10
【例題 7.5】
解答 7.4 図
c 大豆生田利章 2011
7.4 格子図による過渡現象の解析
175
第 7.3.3 節の条件のもとで，電流に対する格子図を描き，0 < t < 5T の範囲で負荷抵抗
RL に流れる電流を求めよ．
〔解答 7.5〕
電流の基準値を
E
とする．電流の入射波 if と反射波 ir は電圧の入射波と vf と反射波
Z0
vr に対して，
vf
Z0
ir
ir = −
Z0
if =
(7.72)
(7.73)
の関係があるので，電圧に対する格子図において反射波の符号を変えたものが電流に対す
る格子図になる．よって，格子図は図 7.11 となる．負荷の位置は x = l であるので，負
図 7.11
解答 7.5 図
荷に流れる電流 i(l, t) は図 7.11 より

0




E
i(l, t) = (1 − K) Z0


(
)

 1 − 2K + K 2 E
Z0
0<t<T
T < t < 3T
(7.74)
3T < t < 5T
【例題 7.6】
長さ 3l で伝搬速度が up ，特性インピーダンスが Z01 の無損失線路に，長さ 4l で伝搬速度
が up ，特性インピーダンスが Z02 である無損失線路を接続し，受信端を開放した．t = 0
で直流電源を接続したときの格子図を，0 < t < 15T の範囲で描け．ただし，T =
する．
l
と
up
c 大豆生田利章 2011
176
第7章
分布定数回路の過渡現象
〔解答 7.6〕
電源側から負荷側を見たときの反射係数 K は
K=
Z02 − Z01
Z02 + Z01
(7.75)
であり，負荷側から電源側を見たときの反射係数は −K である．接続点（x = l）におけ
る格子図は，図 7.12 (a) および (b) のようになる．
図 7.12
接続点における反射と透過
以上のことを考慮して格子図を描くと図 7.13 となる．
図 7.13
7.5
解答 7.6 図
ラプラス変換による過渡現象の解析
本節では分布定数回路の過渡現象のラプラス変換を用いた解析について述べる．分布定
数回路においても，4.4 節で述べた集中定数回路の過渡現象の場合と同様に解析すること
7.5 ラプラス変換による過渡現象の解析
c 大豆生田利章 2011
177
ができる．つまり，第 6 章における正弦波定常状態の解析においてインピーダンスをラプ
ラス変換したもの（sL，1/sC ）に置き換えた結果を逆ラプラス変換することにより，過
渡現象の時間変化が求められる．
例として，図 7.14 のように特性インピーダンスが Z01 および Z02 の無損失半無限長線
路の接続点にインダクタンス L のコイルを直列に挿入した線路を考える．ここで，大きさ
E のステップ関数で表される入射波が左側からきたとする．接続点の座標を x = 0，入射
波が 1-1 に到達した時刻を t = 0 として，過渡現象を解析する．
図 7.14
コイルが挿入された分布定数回路の過渡現象
146 ページの式 (6.198) および式 (6.199) において Z = sL とおくと，
Vr1
sL + Z02 − Z01
=
Vf1
sL + Z02 + Z01
2Z02
T =
Z02 + Z01 + sL
K=
(7.76)
(7.77)
である．これより，反射波のラプラス変換 Vr1 は
E
E sL + Z02 − Z01
·K =
·
s
s sL + Z02 + Z01
[
]
E
Z02 − Z01
2Z01 L
=
·
+
Z01 + Z02
s
sL + Z02 + Z01
Vr1 =
(7.78)
となり，透過波のラプラス変換 Vt2 は
Vt2 =
[
]
E
E
2Z02
E
2Z02
2Z02 L
·T =
·
=
·
−
(7.79)
s
s sL + Z02 + Z01
Z01 + Z02
s
sL + Z02 + Z01
となる．逆ラプラス変換すると，
[
(
)]
E
Z01 + Z02
vr1 (0, t) =
· (Z02 − Z01 ) + 2Z01 exp −
t · u(t)
Z01 + Z02
L
[
(
)]
E
Z01 + Z02
vt2 (0, t) =
· 2Z02 + 2Z02 exp −
t · u(t)
Z01 + Z02
L
(7.80)
(7.81)
となる．この結果は，接続点における電圧であり，一般の点における電圧は波の伝搬時間
を考えると，伝搬速度を up として，
c 大豆生田利章 2011
178
第7章
x
) · u(t +
up
x
vt2 (x, t) = vt2 (0, t −
) · u(t −
up
vr1 (x, t) = vr1 (0, t +
分布定数回路の過渡現象
x
)
up
x
)
up
(7.82)
(7.83)
となる．
【例題 7.7】
図 7.15 のように，特性インピーダンス Z0 の無損失線路の受信端が抵抗 R とコンデンサ
C で終端されている．ここで，大きさ E のステップ関数で表される入射波が左側からき
たとする．入射波が受信端に到達した時刻を t = 0 としして，受信端の電圧の時間変化
v(t) を求めよ．初期値は 0 とする．
図 7.15
例題 7.7 図
〔解答 7.7〕
入射波の電圧と電流のラプラス変換を Vf と If とする．また，反射波の電圧と電流のラプ
ラス変換を Vr と Ir とする．受信端における電圧と電流のラプラス変換を V と I とする．
このとき，以下の各式が成立する．
V = Vf + Vr
I = If − Ir
If
Vf =
Z0
Ir
Vr =
Z0
)
(
1
I
V = R+
sC
(7.84)
(7.85)
(7.86)
(7.87)
(7.88)
これらの式より，
(
)
1
sCR + 1
sCR + 1 1
V = R+
I=
· (If − Ir ) =
·
· (Vf − Vr )
sC
sC
sC
Z0
sCR + 1
2 (sCR + 1)
sCR + 1
=
(Vf − (V − Vf )) =
Vf −
V
sCZ0
sCZ0
sCZ0
となるので，
(7.89)
c 大豆生田利章 2011
7.5 ラプラス変換による過渡現象の解析
V =
2 (sCR + 1)
· Vf
sC (R + Z0 ) + 1
179
(7.90)
となる．この式に入力波のラプラス変換
E
s
(7.91)
[
]
2 (sCR + 1)
E
1
CZ0
·
=
−
· 2E
sC (R + Z0 ) + 1 s
s sC (R + Z0 ) + 1
(7.92)
Vf =
を代入して，
V =
となる．これを逆ラプラス変換して，
[
v(t) = 1 −
(
)]
Z0
t
exp −
· 2E · u(t)
R + Z0
C (R + Z0 )
(7.93)
c 大豆生田利章 2011
180
付録 A
数学公式集
複素数の大きさ
2
|z| = zz
(A.1)
ただし，z は z の共役複素数．
オイラーの公式
e jθ = exp(jθ) = cos θ + j sin θ
exp(jθ) + exp(−jθ)
2
exp(jθ) − exp(−jθ)
sin θ =
2j
cos θ =
(A.2)
(A.3)
(A.4)
加法定理
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(A.5)
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
(A.6)
関数の極限
sin x
=1
x
n
x
lim
= 0 （n は自然数）
x→∞ ex
lim
x→0
(A.7)
(A.8)
微分係数
f (x + ∆x) − f (x)
df (x)
=
∆x→0
∆x
dx
lim
ロピタルの定理
(A.9)
関数 f (x) と g(x) に関して
lim f (x) = lim g(x) = 0
x→a
x→a
(A.10)
c 大豆生田利章 2011
181
であるとき，以下の式が成立する．ただし，右辺の極限が存在するものとする．
f (x)
f (x)
= lim
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
(A.11)
テーラー展開
f (x + ∆x) = f (x) +
特に x
df (x)
1 d2 f (x)
2
∆x +
(∆x) + · · ·
dx
2 dx2
(A.12)
1 のとき
x2
···
2
x x2
1+ −
···
2
4
ex
√
1+x+
1+x
(A.13)
(A.14)
定積分（リーマン積分）
lim
m
∑
∆x→0
∫
b
f (a + n∆x)∆x =
f (x) dx
(A.15)
a
n=0
b−a
．
m
置換積分（変数の変換） x = g(t) のとき
ただし，∆x =
∫
∫
f (x) dx =
f (g(t))
dg(t)
dt
dt
(A.16)
部分積分
∫
df (x)
g(x) dx = f (x) g(x) −
dx
∫
f (x)
dg(x)
dx
dx
(A.17)
実変数の双曲線関数
ex − e−x
2
ex + e−x
cosh x =
2
sinh x
tanh x =
cosh x
1
coth x =
tanh x
cosh2 x − sinh2 x = 1
sinh x =
(A.18)
(A.19)
(A.20)
(A.21)
(A.22)
(A.23)
c 大豆生田利章 2011
182
付録 A 数学公式集
複素変数の双曲線関数
sinh jx = j sin x
(A.24)
cosh jx = cos x
(A.25)
sinh(x + jy) = sinh x cos y + j cosh x sin y
(A.26)
cosh(x + jy) = cosh x cos y + j sinh x sin y
(A.27)
逆双曲線関数
sinh−1 x = ln(x +
cosh
−1
x = ln(x +
√
√
x2 + 1)
(A.28)
x2 − 1) (x > 1)
(A.29)
多変数関数のテーラー展開
f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, y) +
∂f (x, y)
∂f (x, y)
∆x +
∆y + · · ·
∂x
∂y
(A.30)
c 大豆生田利章 2011
183
付録 B
周期関数の定積分
g(t) を g(t) = g(t + T ) を満たす関数とする．t = t + T という変数変換を用いると
∫
∫
T
g(t)dt =
0
∫
τ
T
g(t)dt +
∫
0
g(t)dt
τ
∫
τ
=
0
g(t)dt +
∫
0
∫
0
∫
0
τ
=
g(t + T )dt
τ −T
∫ 0
g(t)dt +
τ
=
g(t )dt
τ −T
∫ 0
g(t)dt +
g(t)dt
τ −T
τ
=
g(t)dt
(B.1)
τ −T
となる．これより，周期関数の定積分では積分範囲の上限と下限の差が T ならば 任意に
選べることが分かる．
フーリエ級数及びフーリエ変換の被積分関数は周期 T なので積分範囲を 0 ≤ t ≤ T か
ら−
T
T
≤ t ≤ に変更してもよいことになる．
2
2
c 大豆生田利章 2011
184
付録 C
ステップ関数のフーリエ変換
ステップ関数 u(t) は絶対可積分の条件
∫
∞
−∞
|u(t)| dt < ∞
(C.1)
を満たしていないために，厳密にはフーリエ変換を求めることはできない．しかし，以下
のような工夫をすることにより形式的にフーリエ変換を求めることができる ∗1 ．
を
> 0 を満たす微小な実数として，図 C.1 に示す関数 f (t) を以下の式で定義する．


− 1 · e t
f (t) = 1 2

 · e− t
2
t<0
(C.2)
t>0
このときステップ関数 u(t) は
u(t) = lim f (t)
→0
(C.3)
で与えられる ∗2 ．
関数 f (t) ののフーリエ変換 F (ω) は
∫
∫
∫
1 0
1 ∞ − t −jωt
t −jωt
F (ω) =
f (t) e
dt = −
e e
dt +
e e
dt
2 −∞
2 0
−∞
[
]0
[ −( +jω)t ]∞
1
e
1
1
1
1
1 e( −jω)t
+
−
=− ·
+ ·
=−
2
− jω −∞ 2
+ jω 0
2
− jω 2
+ jω
∞
−jωt
(C.4)
となる．これより，ステップ関数 u(t) のフーリエ変換 F (ω) は
∗1
∗2
数学的に厳密な理論をするためには，超関数の理論が必要である．
ステップ関数の直流分が 0 になるようにした．直流分を考慮するためにはデルタ関数が必要になる．
c 大豆生田利章 2011
図 C.1
185
ステップ関数へのフーリエ変換の適用
1
jω
(C.5)
e jωt
dω
jω
(C.6)
F (ω) = lim F (ω) =
→0
となる．逆フーリエ変換を考えると
u(t) =
1
2π
∫
∞
−∞
となる．
式 (C.6) の応用例として
ωT
2
ω2 T
4 sin2
F (ω) =
(C.7)
の逆フーリエ変換を求める．
sin2
1 − cos ωT
1 e jωT
e−jωT
ωT
=
= −
−
2
2
2
4
4
(C.8)
を用いると，
∫
∞
4 sin2 ωT
2
e jωt dω
2T
ω
−∞
]
∫ ∞ [ jωt
2e
e jω(t+T )
e jω(t−T )
1
=
−
−
dω
2π −∞ ω 2 T
ω2 T
ω2 T
[
]∞
1
2 e jωt
e jω(t+T )
e jω(t−T )
=
−
+
+
2π
ωT
ωT
ωT
−∞
]
∫ ∞[
jωt
1
2j t e
j(t + T ) e jω(t+T )
j(t − T ) e jω(t−T )
+
−
−
dω
2π −∞
ωT
ωT
ωT
]
∫ ∞[
2t e jωt
t + T e jω(t+T )
t − T e jω(t−T )
1
− ·
+
·
+
·
dω
=
2π −∞
T jω
T
jω
T
jω
[
]
[
]
2t
t
t
= − · u(t) +
+ 1 · u(t + T ) +
− 1 · u(t − T )
T
T
T
f (t) =
1
2π
となるので，f (t) は以下の孤立三角波になる．
(C.9)
186
c 大豆生田利章 2011


0



t


1 +
T
f (t) =
t


1 −


T

0
付録 C ステップ関数のフーリエ変換
t < −T
−T < t < 0
(C.10)
0<t<T
T <t
式 (C.7) と式 (C.10) のグラフを図 C.2 に示す．
図 C.2
孤立三角波とその周波数スペクトル
c 大豆生田利章 2011
付録 D
ラプラス変換表
左の欄に t-関数，右の欄に s-関数を載せる．なお，a は定数， δ(t) はデルタ関数，u(t)
は単位ステップ関数である．
f (t)
F (s)
af (t)
aF (s)
f (t) + g(t)
F (s) + G(s)
δ(t)
1
1
s
n!
u(t)
tn
at
e
sin ωt
cos ωt
f (at)
f (t − a)u(t − a)
e−at f (t)
d
f (t)
dt
∫
∞
f (t) dt
0
f (t) ∗ g(t)
f (+0)
f (∞)
sn+1
1
s−a
ω
s2 + ω 2
s
2
2
s +
(ω )
1
s
F
a
a
e−as F (s)
F (s + a)
sF (s) − f (0)
F (s)
s
F (s)G(s)
lim sF (s)
s→∞
lim sF (s)
s→0
187
c 大豆生田利章 2011
188
付録 E
ラプラス変換とフーリエ変換の関係
76 ページの式 (4.22) に示したように t < 0 で f (t) = 0 のときは，フーリエ変換 FF (ω)
とラプラス変換 FL (s) の間には以下の関係式が成立する．
FF (ω) = FL (j ω)
(E.1)
本付録ではフーリエ変換とラプラス変換の関係を t < 0 でも f (t) = 0 である場合に拡
張する．まず，以下のようにフーリエ変換を t = 0 を境に 2 つに分割する．
∫
∞
f (t) e−j ωt dt =
f (t) =
∫
−∞
0
f (t) e−j ωt dt +
−∞
∫
∞
f (t) e−j ωt dt
(E.2)
0
ここで，第 1 項の −∞ から 0 までの積分を考える．τ = −t と変数変換をすると
∫
0
f (t) e−j ωt dt =
∫
−∞
∫
0
∞
f (−τ ) e j ωτ d(−τ ) =
∞
f (−τ ) e j ωτ dτ
(E.3)
0
であるので，あらためて変数を t にすると
∫
0
f (t) e
−j ωt
∫
∞
dt =
−∞
f (−t) e−(−j ωt) dt
(E.4)
0
である．f (t) が偶関数のとき，すなわち
f (−t) = f (t)
(E.5)
のときは，
∫
0
f (t) e−j ωt dt =
−∞
∫
∞
f (t) e−(−j ωt) dt
(E.6)
0
となり，奇関数のとき，すなわち
f (−t) = −f (t)
(E.7)
c 大豆生田利章 2011
189
のときは，
∫
0
−∞
f (t) e−j ωt dt = −
∫
∞
f (t) e−(−j ωt) dt
(E.8)
0
となる．これより，f (t) のフーリエ変換 FF (ω) は
∫
FF (ω) =
∞
f (t) e−j ωt dt
−∞
∫ ∞
∫ ∞
−j ωt


f
(t)
e
dt
+
f (t) e−(−j ωt) dt f (t) が偶関数

∫0 ∞
= ∫0 ∞

−j
ωt


f (t) e
f (t) e−(−j ωt) dt f (t) が奇関数
dt −
0
(E.9)
0
となる．ここで，積分はラプラス変換の定義式
∫
∞
FL (s) =
f (t) e−st dt
(E.10)
0
で s = j ω および s = −j ω としたものなので，
{
FL (j ω) + FL (−j ω)
FF (ω) =
FL (j ω) − FL (−j ω)
f (t) が偶関数
f (t) が奇関数
(E.11)
となる．
任意の関数 f (t) は偶関数 fe (t) と奇関数 fo (t) を用いて，
f (t) = fe (t) + fo (t)
f (t) + f (−t)
2
f (t) − f (−t)
fo (t) =
2
fe (t) =
(E.12)
(E.13)
(E.14)
と書けるので，式 (E.11) を用いて，ラプラス変換からフーリエ変換を求めることができる．
c 大豆生田利章 2011
190
付録 F
不定積分のラプラス変換
本書では定積分のラプラス変換を
∫
∞
F (s)
s
(F.1)
F (s) f (−1) (+0)
+
s
s
(F.2)
f (t) dt
0
としたが，不定積分に対しては
∫
f (t) dt
ただし
f (−1) (+0)
=
s
∫
0
f (t) dt
(F.3)
−∞
となる．不定積分と定積分の違いは積分定数にあるが，ここでは積分定数は
f (−1) (+0)
s
となる．証明は，f (t) が 0 < t でも 0 ではないと拡張して以下の通りにする．
∫
∞
0
[∫
t
]
f (τ ) dτ e−st dt
−∞
[
]∞
[∫ t
]
∫
∫
1 −st t
1 ∞ d
= − e
f (τ ) dτ
+
f (τ ) dτ · e−st dt
s
s
dt
−∞
0
−∞
0
∫
∫
1 0
1 ∞
=
f (τ ) dτ +
f (t) e−st dt
s −∞
s 0
=
F (s) f (−1) (+0)
+
s
s
(F.4)
ただし，本書では 75 ページで述べたように t < 0 で f (t) が 0 とするので，不定積分のラ
プラス変換は取り上げない．
c 大豆生田利章 2011
191
付録 G
部分分数展開の係数
ここでは，85 ページの式 (4.86) に示した部分分数展開の係数を求める式，
Anm =
]
1
dkn −m [
kn
(s
−
a
)
F
(s)
n
k
−m
(kn − m)! ds n
(G.1)
s=an
を証明する．s 関数 F (s) が
F (s) =
kn
∑∑
n
Anm
(s − an )m
m=1
(G.2)
となるとする．まず，ai が 1 重根のときは
(s − ai ) F (s) =
kn
∑∑
Anm (s − ai )
+ Ai1
(s − an )m
m=1
(G.3)
n=i
なので，
(s − ai ) F (s)
s=ai
= Ai1
(G.4)
となる．
ai が ki 重根のときは，以下のように F (s) に (s − ai )
k
(s − ai ) i F (s) =
ki
を掛けた式を考える．
kn
ki
k
∑∑
∑
Anm (s − ai ) i
k −m
+
(s − ai ) i
Aim
m
(s
−
a
)
n
m=1
m=1
(G.5)
n=i
式 (G.5) の右辺第 2 項を s に関して，ki − j 回微分すると，
dki −j
dski −j
[
ki
∑
m=1
]
(s − ai )
ki −m
Aim =
j
∑
(ki − m)!
j−m
(s − ai )
Aim
(j
−
m)!
m=1
(G.6)
c 大豆生田利章 2011
192
付録 G 部分分数展開の係数
となり，s に ai を代入すると，
dki −j
dski −j
[
]
ki
∑
ki −m
(s − ai )
= (ki − j)! Aij
Aim
m=1
(G.7)
s=ai
となる．式 (G.5) の右辺第 1 項を s に関して ki − j 回微分すると，
dki −j
dski −j
[
k
(s − ai ) i
(s − an )m
]
=
k∑
i −j
r=0
n Cr
dr (s − ai )
dsr
ki
·
dki −j−r
dski −j−r
[
1
m
(s − an )
]
(G.8)
なので，j ≥ 1 のとき，すなわち微分回数が ki − 1 回以下のときは，必ず (s − ai ) の形の
因子が含まれていることになる．よって，


kn
k
Anm (s − ai ) i 
dki −j ∑ ∑
dski −j
(s − an )m
m=1
n=i
=0
s=ai
である．式 (G.7) と式 (G.9) を合わせて，式 (G.1) が成立する．
(G.9)
c 大豆生田利章 2011
193
付録 H
デルタ関数のラプラス変換
現実の電圧電流の変化においてデルタ関数が現れることはないが，4.5 節で示したよう
にデルタ関数を使うと問題を解きやすくなる場合がある．そこで，本付録ではデルタ関数
のラプラス変換を求める．
まず，以下の式であらわされる矩形パルスのラプラス変換を考える ∗1 ．


0


1
D(t) =

∆t


0
t<0
0 < t < ∆t
(H.1)
∆t < t
ラプラス変換の定義より
∫
∞
L {D(t)} =
D(t) e
−st
∫
dt =
0
0
∆t
[ −st ]∆t
e−st
1
e
1 − e−s ∆t
dt =
−
=
∆t
∆t
s 0
s ∆t
(H.2)
となる．ここで，∆t → 0 の極限を求めると，
1 − e−s ∆t
1 − (1 − s ∆t)
= lim
=1
∆t→0
∆t→0
s ∆t
s ∆t
lim L {D(t)} = lim
∆t→0
(H.3)
であるが，式 (4.4) のデルタ関数の定義より
lim D(t) = δ(t)
(H.4)
L {δ(t)} = 1
(H.5)
∆t→0
であるので，
となる．
∗1
式 (4.2) で示したものと同じである．
c 大豆生田利章 2011
194
付録 I
低域原型フィルタの素子値
図 I.1 に低域原形フィルタの回路図の例を示す．
図 I.1
低域原形フィルタの回路図の例
n 次低域原形フィルタの素子値を表 I.1 に示す ∗1 ．なお，ここで示した素子値は，遮断
角周波数での減衰量が 3dB である 3dB 正規化特性という特性に対するものである．Wn
の単位はコイルに対してはヘンリー，コンデンサに対してはファラドになる．
∗1
数値は『フィルタの解析と設計』（宮内一洋著，コロナ社，1997 年）64 ページより引用．
c 大豆生田利章 2011
表 I.1
低域原形フィルタの素子値
バターワース特性
n
W1
W2
1
2.0000
2
1.4142
1.4142
3
1.0000
2.0000
W3
1.0000
チェビシェフ特性（0.5dB リプル）
n
W1
1
2.0000
3
1.8636
W2
W3
2.2804
1.8636
チェビシェフ特性（1dB リプル）
n
W1
1
2.0000
3
2.2156
W2
W3
1.0884
2.2156
ベッセル特性
n
W1
W2
1
2.0000
2
2.1478
05755
3
2.2034
0.9705
W3
0.3374
195
c 大豆生田利章 2011
196
付録 J
複素数に関する不等式の証明
本付録には，不等式 (6.128) と不等式 (6.139) の証明を載せる．
(1) Re [z] ≥ 0 ⇒
z−1
≤ 1 の証明
z+1
2
2
|z + 1| − |z − 1| = (z + 1)(¯
z + 1) − (z − 1)(¯
z − 1)
= z z¯ + z + z¯ + 1 − (z z¯ − z − z¯ + 1)
= 2 (z + z¯)
= 4Re [z] ≥ 0
(J.1)
より，
2
2
|z + 1| − |z − 1| ≥ 0
2
|z + 1| ≥ |z − 1|
1≥
|z − 1|
2
|z + 1|
2
=
z−1
z+1
(J.2)
2
(J.3)
2
(J.4)
となるので，
1≥
z−1
z+1
(J.5)
となる．等号は Re [z] = 0 のとき成立する．
(2) |z| ≤ 1 ⇒ 1 − |z| ≤ |1 + z| ≤ 1 + |z| の証明
z を極形式で
z = |z| e jφ
と表すと
(J.6)
c 大豆生田利章 2011
197
|1 + z| = |1 + |z| cos φ + j |z| sin φ|
√
= (1 + |z| cos φ)2 + |z| sin2 φ
√
2
= 1 + |z| + 2 |z| cos φ
(J.7)
−1 ≤ cos φ ≤ 1
(J.8)
である．
なので，
√
√
√
2
2
2
1 + |z| − 2 |z| ≤ 1 + |z| + 2 |z| cos φ ≤ 1 + |z| + 2 |z|
√
√
√
2
(1 − |z|)2 ≤ 1 + |z| + 2 |z| cos φ ≤ (1 + |z|)2
|1 − |z|| ≤ |1 + z| ≤ 1 + |z|
(J.9)
(J.10)
(J.11)
となる．|z| ≤ 1 なので
|1 − |z|| = 1 − |z|
(J.12)
1 − |z| ≤ |1 + z| ≤ 1 + |z|
(J.13)
であり
となる．最小になるのは cos φ = −1 のとき，最大になるのは cos φ = 1 のときであ
る．なお，1 + z の範囲を複素平面上に図示すると，図 J.1 の点線のようになる．
図 J.1
1 + z の範囲
c 大豆生田利章 2011
198
付録 K
二端子対網の行列表示
以下に，二端子対網の行列表示に関する事項のうち本書で必要なものを示す．詳細は
『電気回路入門 I』を参考にしてほしい．
図 K.1 において，電圧電流の関係が
[ ] [
V1
z
= 11
V2
z21
z12
z22
][ ]
I1
I2
(K.1)
で表されるとする．このとき，以下の式で定義される行列 Z を Z 行列またはインピーダ
ンス行列と呼ぶ．
[
z
Z = 11
z21
図 K.1
z12
z22
Z 行列の定義
]
(K.2)
図 K.2
F 行列の定義
図 K.2 において，電圧電流の関係が
[ ] [
V1
A
=
I1
C
B
D
][
V2
I2
]
(K.3)
で表されるとする．（電流 I2 の向きに注意する．）このとき，以下の式で定義される行列
F を F 行列または縦続行列と呼び，行列の各要素を四端子定数と呼ぶ．
[
F=
A
C
B
D
][ ]
V2
I2
(K.4)
c 大豆生田利章 2011
199
付録 L
Z 行列と S 行列の関係
ここでは，二端子対網における Z 行列と S 行列の関係を求める．
入射量と反射量の定義，
a1 =
b1 =
a2 =
b2 =
(
1
V
√ 1
2
Z01
(
1
V
√ 1
2
Z01
(
1
V
√ 2
2
Z02
(
1
V
√ 2
2
Z02
+
−
+
−
√
√
√
√
)
Z01 I1
(L.1)
)
Z01 I1
(L.2)
)
Z02 I1
(L.3)
)
Z02 I1
(L.4)
から，
√
Z01 (a1 + b1 )
√
V2 = Z02 (a2 + b2 )
(L.5)
I1 = (a1 − b1 ) /Z01
(L.7)
I2 = (a2 − b2 ) /Z02
(L.8)
V1 =
(L.6)
となる．これを行列の形で書くと，
[ ] [√
][
]
V1
Z01 √ 0
a1 + b1
=
V2
0
Z02 a2 + b2
[ ] [ √
][
]
0
a
−
b
I1
1/ Z01
1
1
√
=
I2
0
1/ Z02 a2 − b2
(L.9)
(L.10)
となる．これを Z 行列の定義式
[ ]
[ ]
V1
I
=Z 1
V2
I2
(L.11)
c 大豆生田利章 2011
200
Z 行列と S 行列の関係
付録 L
に代入すると，
[√
Z01
0
√0
Z02
][
]
[ √
a1 + b1
1/ Z01
=Z
a2 + b2
0
√0
1/ Z02
][
]
a1 − b1
a2 − b2
(L.12)
となる．入射量と反射量に関して整理すると，
[ [ √
] [√
]] [ ]
1/ Z01
0
Z01 √ 0
b1
√
Z
+
b2
Z02
0
1/ Z02
0
] [√
]] [ ]
[ [ √
Z01 √ 0
a1
1/ Z01
√0
= Z
−
a2
0
1/ Z02
0
Z02
(L.13)
となる．ここで，
[√
Z01
0
√0
Z02
]−1
[ √
1/ Z01
=
0
√0
1/ Z02
]
(L.14)
を左からかけて，行列 Z を
Z=
[ √
1/ Z01
0
] [ √
1/ Z01
√0
Z
1/ Z02
0
√0
1/ Z02
]
(L.15)
と定義すると，
[ ]
[ ]
b1
a
[Z + E]
= [Z − E] 1
b2
a2
(L.16)
となる．ただし，E は単位行列
[
1
E=
0
0
1
]
(L.17)
である．式 (L.16) から
[ ]
[ ]
b1
a
−1
= [Z + E] [Z − E] 1
b2
a2
(L.18)
となるが，S 行列の定義は
[ ]
[ ]
b1
a
=S 1
b2
a2
(L.19)
であるので，
S = [Z + E]
−1
[Z − E]
(L.20)
となる．これは 136 ページの式 (6.125) に示した受信端での反射係数を与える式
K=
z−1
,
z+1
を二端子対網に拡張したことに相当する．
z=
ZL
Z0
(L.21)
c 大豆生田利章 2011
201
付録 M
F 行列と S 行列の関係
入射量と反射量の定義は以下のとおりである．
Vf1
a1 = √
Z01
Vr1
b1 = √
Z01
Vf2
a2 = √
Z02
Vr2
b2 = √
Z02
(
1
V
√ 1
2
Z01
(
1
V1
√
=
2
Z01
(
1
V2
√
=
2
Z02
(
1
V2
√
=
2
Z02
=
)
√
Z01 I1
)
√
− Z01 I1
)
√
+ Z02 I1
)
√
− Z02 I1
+
(M.1)
(M.2)
(M.3)
(M.4)
式 (M.2) および式 (M.4) より
[ √
[ ]
1 1/ Z01
b1
=
b2
0
2
[
][ ]
√
1
V1
− Z01
√0
+
I1
1/
Z02
0
2
√0
Z02
][
V2
−I2
]
(M.5)
であり，F 行列の定義
[ ]
[
]
V1
V2
=F
I1
−I2
(M.6)
を代入すると，
[[ √
[ ]
1 1/ Z01
b1
=
b2
0
2
]
[
√
− Z01
√0
F+
0
1/ Z02
√0
Z02
]] [
V2
−I2
]
(M.7)
となる．また，式 (M.1) および式 (M.3) より
[ ]
[ √
1 1/ Z01
a1
=
a2
0
2
であり，式 (M.6) を代入すると，
√
Z01
0
][
[
]
1
V1
√0
+
I1
1/
Z02
2
√0
Z02
][
V2
−I2
]
(M.8)
c 大豆生田利章 2011
202
[ ]
[[ √
1 1/ Z01
a1
=
a2
0
2
付録 M
√
]
[
Z01
√0
F+
0
1/ Z02
F 行列と S 行列の関係
√0
− Z02
]] [
V2
−I2
]
(M.9)
となる．ここで，S 行列の定義式
[ ]
[ ]
b1
a
=S 1
b2
a2
(M.10)
に式 (M.7) および式 (M.9) を代入すると，
[[ √
1/ Z01
0
]
[
]]
√
0
0
− Z01
√
√
F+
0
1/ Z02
Z02
[[ √
]
[
√
1/ Z01
Z01
√0
=S
F+
1/ Z02
0
0
√0
− Z02
]]
(M.11)
となるので，
S=
[[ √
1/ Z01
0
]]
]
[
√
− Z01
√0
√0
F+
0
1/ Z02
Z02
]
[
[[ √
√
1/ Z01
Z01
√0
F+
×
0
0
1/ Z02
√0
− Z02
]]−1
(M.12)
となる．四端子定数を用いた F 行列の表示
[
F=
A
C
B
D
]
(M.13)
を用いて計算すると，
[
1 ∆1
S=
∆0 2
]
2 (AD − BC)
∆2
(M.14)
ただし，
√
√
Z02
Z01
B
∆0 =
A+ √
+ Z01 Z02 C +
D
Z01
Z02
Z01 Z02
√
√
√
Z02
Z01
B
∆1 =
A+ √
− Z01 Z02 C −
D
Z01
Z02
Z01 Z02
√
√
√
Z02
Z01
B
∆2 = −
− Z01 Z02 C +
A+ √
D
Z01
Z02
Z01 Z02
√
となる．相反回路では AD − BC = 1 なので，s12 = s21 となる．
(M.15)
(M.16)
(M.17)
c 大豆生田利章 2011
索引
SWR, 138
s 関数, 75
S 行列, 152
t 関数, 75
VSWR, 138
アクティブフィルタ, 117
安定性, 101
位相速度, 125
位相定数, 123
位相特性, 105
一次定数, 120
一般解, 48
インパルス応答, 72
インパルス関数, 72
インピーダンス, 6, 38, 90
エネルギー密度スペクトル, 43
回路網関数, 102
ガウス波, 37
過制動, 62
過渡解, 49
過渡現象, 47
ギブスの現象, 21
基本波, 18
逆フーリエ変換, 35
逆ラプラス変換, 83
極, 102
散乱行列, 152
実効値, 7
時定数, 49
周期, 17
周期関数, 18
終端, 129
終端インピーダンス, 129
集中定数回路, 119
周波数スペクトル, 35
受信端, 129
受端, 129
受電端, 129
瞬時電力, 9
初期条件, 48
初期値定理, 81
振幅特性, 105
振幅波状特性, 108
振幅平坦特性, 107
推移則, 79
ステップ応答, 71
ステップ関数, 71
正規化特性, 107
整合, 131
線形性, 79
前進波, 164
線路定数, 120
相似則, 79
送信端, 129
送端, 129
送電端, 129
矩形パルス, 35
減衰係数, 62
減衰振動, 61
減衰定数, 123
格子図, 173
後退波, 164
高調波, 18
固有周波数, 62
最大平坦特性, 107
最終値定理, 82
サンプリング周波数, 44
サンプリング定理, 44
帯域リプル, 109
対数減衰率, 62
多項式フィルタ, 107
畳み込み積分, 73
単位ステップ関数, 71
単エネルギー回路, 47
チェビシェフ多項式, 108
チェビシェフ特性, 108
遅延平坦特性, 111
直流分, 18
低域原形フィルタ, 115
定在波, 137
203
c 大豆生田利章 2011
204
定在波比, 138
定常解, 49
定常状態, 47
定数変化法, 63
デルタ関数, 72
電圧定在波比, 138
電圧透過係数, 141
電圧反射係数, 135, 141
電信方程式, 121
伝送線路, 119
伝達関数, 75, 102, 105
伝搬速度, 125, 164
伝搬定数, 123
電力密度スペクトル, 43
電力量, 10
分布定数回路, 119
透過係数, 141
透過波, 140
動作伝送行列, 152
特性インピーダンス, 123
力率, 9
リプル定数, 108
臨界制動, 63
二次定数, 123
入射波, 124, 164
パーセバルの等式, 32, 39
波形率, 7
波高率, 7
バターワース多項式, 107
バターワース特性, 107
波長, 124
波動インピーダンス, 123
波動方程式, 163
パワースペクトル, 43
反射係数, 135, 141
反射波, 124, 164
半無限長線路, 126
ピークピーク値, 7
ひずみ波, 17
ひずみ率, 30
非正弦波, 17
皮相電力, 9
標本化, 44
標本化関数, 36
標本化周波数, 44
標本化定理, 44
フーリエ逆変換, 35
フーリエ級数, 18
フーリエ係数, 18
フーリエ積分公式, 35
フーリエ変換, 35
フェーザ, 5
複エネルギー回路, 59
複素数表示, 5
複素電力, 10
複素フーリエ級数, 22
複素フーリエ係数, 22
部分分数展開, 84
平均値, 7
平均電力, 9
ベッセル多項式, 111
ベッセル特性, 111
無限長線路, 165
無損失線路, 127
無ひずみ線路, 128
有効電力, 9
ラプラス逆変換, 83
ラプラス変換, 75
索引

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数理工学第二中間試験問題 (改訂版)

フーリエ変換の例題

物理情報数学 C 演習問題/解答

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水素類似原子の波動関数

NO2-3 力の釣り合い

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