閲覧 - 折戸の物理

「折戸の物理」今週の 1 問
http://orito-buturi.com/
NO.33(2009.12.28)
次の文章の［ (1) ］から［ (11) ］に適切な数式または数値を入れよ。
図 1 のように，水平面となす傾斜角が α の斜面があり，
斜面上の 1 点 O を原点として，x 軸と y 軸をそれぞれ水
y
v0
平方向と鉛直方向にとる。 xy 平面(紙面)は斜面に垂
直である。重力加速度の大きさを g〔m/s2〕とする。また，
A
θ
O
x
B
斜面はなめらかである。
間 1 大きさの無視できる質量 m〔kg〕の物体 A を，時刻
α
Os に初速度の大きさ v0〔m/s〕で，図 1 のように，原
点 O から x 軸となす投射角 θ で xy 平面内に投げ上げた。ここで，投射角は 0° < θ < 90°
とする。物体 A が斜面に衝突するまでの運動を考える。時刻 t〔s〕での物体 A の速度の x
成分は［ (1) ］〔m/s〕，y 成分は［ (2) ］〔m/s〕である。また，このときの x 座標は［ (3) ］
〔m 〕，y 座標は［ (4) ］〔m〕である。
問 2 原点 O に大きさの無視できる質量 M〔kg〕の物体 B をおき，時刻 0s に静かに離すと斜
面をすべりはじめた。時刻 t〔s〕での速さは［ (5) ］〔m/s〕である。このときの原点 O から物
体 B までの距離は［ (6) ］〔m〕であり，物体 B の x 座標は［ (7) ］〔m〕，y 座標は［ (8) ］
〔m 〕である。
問 3 時刻 0s に，初速度の大きさ v0〔m/s〕，投射角 θ で，原点 O から物体 A を xy 平面内に
投げ上げた。それと同時に，原点 O に物体 B をおき静かに離した。時刻 t〔s〕に物体 A と
物体 B が斜面上で衝突するための条件は，
［ (3) ］=［ (7) ］
［ (4) ］=［ (8) ］
である。これらの式を連立させて解くと，v0 を含まない tanθ = ［ (9) ］の関係が求まる。
この関係から，物体 A と物体 B が斜面上で衝突するための条件は，α + θ = ［ (10) ］で
ある。この条件が満たされていれば，v0 がどんな値であっても物体 A と物体 B は斜面上
で衝突する。2 つの物体が動きはじめてから斜面上で衝突するまでの時間 T〔s〕を，θ を用
いずに，v0，g，α を用いて表すと，T = ［ (11) ］〔s〕である。
「折戸の物理」
今週の 1 問
http://orito-buturi.com/
NO.33 解答
(解説)物体 A は放物運動。物体 B は等加速度直線運動である。(10)で数学的に解けなく
ても答だけは出せる。
問 1.物体 A の初速度の x 成分は v0cosθ，y 成分は v0sinθ である。速度の x 成分を vx，y
成分を vy，座標を xA，yA とする。
(1) v x = v 0 cos θ
(2) v y = v 0 sin θ - gt
1
y A = v 0 sin θ × t - gt 2
2
問 2．物体 B の斜面に沿った加速度を a とすると，運動方程式より
∴
a = g sin α
ma = mg sin α
時刻 t での物体 B の速さを V，O から物体 B まで斜面に沿った距離を S，座標を xB，
yB とする。
(5) V = at = g sin α × t
1
1
S = at 2 = g sin α × t 2
(6)
2
2
1
1
x B = S cos α = g sin α cos α × t 2
(8) y B = - S sin α = - g sin 2 α × t 2
(7)
2
2
問 3．(9)衝突するためには，物体 A，B の座標が一致する必要がある。問題にあるように
1
v 0 cos θ × t = g sin α cos α × t 2
…①
(3) = (7)より
2
1
1
v 0 sin θ × t - gt 2 = - g sin 2 α × t 2
(4) = (8)より
…②
2
2
t≠0 であるので①式より
2v 0 cos θ
t=
…③
g sin α cos α
これを②式に代入して整理すると
æ 2v 0 cos θ ö
1
1
÷÷
v 0 sin θ = g 1 - sin 2 α × t = g cos 2 αçç
2
2
è g sin α cos α ø
(3)
x A = v 0 cos θ × t
(
(4)
)
sin θ cos α
=
…④
cos θ sin α
1
…⑤ …(答)
∴ tan θ =
tan α
(10)④式より
cos α cos θ - sin α sin θ = 0
cos (α + θ ) = 0
θ，α ともに 90°以下であることを考慮に入れて
α+θ =
π
2
…(答)
(数学の先生に怒られるかもしれないが，こんな方法もある。
α + θ が一定値であると問題にあるので，α を適当に決めて θ を求める。
π
例えば， α = とすると，⑤式より
4
1
π
tan θ =
=1
∴ θ=
π
4
tan
4
π π π
これより
α+θ = + =
4 4 2
α を他の値にしても求めることが出来る。また，先に θ を適当に決めてもよい。)
(11)衝突するまでの時間 T は，③式なので，(10)の結果も利用して
æπ
ö
2v 0 cosç - α ÷
2v 0 cos θ
2
è
ø = 2v 0
=
…(答)
T=
g sin α cos α
g sin α cos α
g cos α

Download Report