解答(0.4MB)

Kochi University of Technology
No
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 1 ページ. 三角関数 >
問の解答
sin2 θ =
1 − cos(2θ)
2
cos2 θ =
1 + cos(2θ)
2
−1−
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 2 ページ. 正弦波のグラフ >
問の解答
√
1
(1) 周期 2π ，振幅 2，初期位相 −
4
√
π
y = 2 sin(t + )
4
2
(2) 周期 π ，振幅 2，初期位相 0
3
y = 2 sin(3t)
−2−
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
−3−
< 3 ページ. 同周期正弦波の和 >
問の解答
(1) sin t + cos t =
√
2 sin(t +
π
)
4
周期 2π
√
振幅 2
初期位相 −
(2)
√
π
4
3 sin(2t) + cos(2t) = 2 sin(2t +
π
)
6
周期 π
振幅 2
初期位相 −
π
12
(3) sin(3t) − cos(3t) =
周期
振幅
2π
3
√
2
初期位相 −
π
12
√
2 sin(3t −
π
)
4
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 4 ページ. 異周期正弦波の和 >
問の解答
(1) 周期 2π
(2) 周期 2π
(3) 周期
2π
3
−4−
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 5 ページ. 偶関数と奇関数 1 >
問の解答
(1) 偶関数
(2) 奇関数
(3) 偶関数
(4) 奇関数
(5) 偶関数
(6) 奇関数
(7) 偶関数
(8) 奇関数
(9) 偶関数
−5−
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 6 ページ. 偶関数と奇関数 2 >
問 1 の解答
(1) 偶関数
(2) 奇関数
(3) 偶関数
(4) 偶関数
(5) 偶関数
(6) 奇関数
(7) 偶関数
(8) 奇関数
(9) 偶関数
(10) 奇関数
(11) 偶関数
問 2 の解答
(1) 偶関数
(2) 偶関数
(3) 奇関数
(4) 奇関数
(5) 偶関数
−6−
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 7 ページ. 三角多項式 1 >
問の解答
(図 4) の式は (3)
(図 5) の式は (4)
(図 5) の式は (5)
−7−
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 8 ページ. 三角多項式 2 >
問の解答
f (t) の図は (図 6)
g(t) の図は (図 5)
h(t) の図は (図 4)
−8−
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
−9−
< 9 ページ. 積分 1 >
問の解答
①
②
③
⑥
⑦
½
¾
∙
¸π
1 1
π ³ π´
t
1
cos (nt)dt =
= − −
+ cos(2nt) dt =
+
sin(2nt)
=π
2 2
2 4n
2
2
−π
−π
−π
¾
∙
¸π
Z π½
Z π
1 1
π ³ π´
t
1
2
sin (nt)dt =
= − −
− cos(2nt) dt =
−
sin(2nt)
=π
2 2
2 4n
2
2
−π
−π
−π
½
¾π
Z π
1
1 sin(n − m)t sin(n + m)t
=0
{cos(n − m)t − cos(n + m)t} dt =
−
2
n−m
n+m
−π 2
−π
½
¾π
Z π
1
1 sin(n + m)t sin(n − m)t
=0
{cos(n + m)t − cos(n − m)t} dt =
+
2
n+m
n−m
−π 2
−π
∙
¸π
Z π
1
cos(nt)dt =
=0
sin(nt)
n
−π
−π
Z
π
2
Z
π
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 10 ページ. 積分 2 >
問の解答
(1) 0
(2) 0
(3) 2
Z
0
π
∙
¸π
1
1
{cos t − cos(7t)} dt = sin t − sin(7t) = 0
2
7
0
− 10 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 11 ページ. 積分 3 >
問の解答
∙
sin(4t)
(1) +
4
∙
¸π
0
−
Z
µ
sin(5t)
(3) t
5
∙
¸π
0
cos(5t)
(4) −t
5
−
¸π
0
0
∙
¸π
1
1
1
sin(4t)dt =
cos(4t) =
{cos(4π) − cos 0} = 0
4
16
16
0
¶¸π
cos(4t)
(2) t × −
4
∙
π
0
Z
π
0
+
Z
0
+
Z
π
0
∙
¸π
1
π
π
1
cos(4t)dt = − cos(4π) +
sin(4t) = −
4
4
16
4
0
∙
¸π
1
2
1
sin(5t)dt =
cos(5t) = −
5
25
25
0
π
∙
¸π
1
π
π
1
cos(5t)dt = − cos(5π) +
sin(5t) = −
5
5
25
5
0
− 11 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 12 −
< 12 ページ. 積分 4 >
問の解答
(1) In =
Z
π
0
∙
1
sin(nt)dt = − cos(nt)
n
¸π
0
1
= − {cos(πn) − cos 0}
n
① n が奇数のとき
1
2
In = − {−1 − 1} =
n
n
② n が偶数のとき
1
In = − {1 − 1} = 0
n
∙
¸π Z π
1
t
t sin(nt)dt = − cos(nt) +
(2) In =
cos(nt)dt
n
0
0 n
0
¸π
∙
π
1
= − cos(nπ) − 0 + 2 sin(nπ)
n
n
0
π
= − cos(nπ)
n
π
① n が奇数のとき In =
n
Z
π
② n が偶数のとき
In = −
π
n
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 13 ページ. 三角多項式の係数 1 >
問の解答
(1) πa1
(2) πb1
(3) πb2
(4) πa3
(5) πb3
(6) 0
(7) 0
(8) 0
− 13 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 14 ページ. 三角多項式の係数 2 >
問 1 の解答
1
(1) a1 =
π
Z
1
(2) b1 =
π
Z
1
(3) b2 =
π
Z
1
(4) a3 =
π
Z
1
(5) b3 =
π
Z
π
f (t) cos tdt
−π
π
f (t) sin tdt
−π
π
f (t) sin(2t)dt
−π
π
f (t) cos(3t)dt
−π
π
f (t) sin(3t)dt
−π
問 2 の解答
1
(1) a0 =
2π
Z
1
(2) ak =
π
Z
1
(3) bk =
π
Z
π
f (t)dt
−π
π
f (t) cos(kt)dt
−π
π
f (t) sin(kt)dt
−π
− 14 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 15 ページ. フーリエ級数 1 >
問の解答
Z π
1
a0 =
f (t)dt = 0
2π −π
Z
1 π
f (t) cos(kt)dt = 0
ak =
π −π
Z
Z
1 π
2 π
f (t) sin(kt)dt =
f (t) sin(kt)dt
bk =
π −π
π 0
f (t) ∼
∞
X
k=1
bk sin(kt)
− 15 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 16 −
< 16 ページ. フーリエ級数 2 >
問の解答
Z π
Z 0
1
1
1
a0 =
f (t)dt =
1dt =
2π −π
2π −π
2
∙
¸0
Z
Z
1 π
1 0
1 1
f (t) cos(kt)dt =
cos(kt)dt =
=0
sin(kt)
ak =
π −π
π −π
π k
−π
∙
¸0
Z
Z
1 π
1 0
1
1
bk =
f (t) sin(kt)dt =
sin(kt)dt =
− cos(kt)
π −π
π −π
π
k
−π
⎧
⎨ − 2 : k が奇数のとき
−1
πk
=
{cos 0 − cos(kt)} =
⎩ 0 : k が偶数のとき
πk
f (t) ∼
1 2
2
2
2
2
2
− sin t −
sin(3t) −
sin(5t) −
sin(7t) −
sin(9t) −
sin(11t) − · · ·
2 π
3π
5π
7π
9π
11π
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 17 ページ. フーリエ級数 3 >
問の解答
f (t) は奇関数より a0 = 0 , ak = 0
Z
Z
2 π
2 π
bk =
f (t) sin(kt)dt = −
t sin(kt)dt
π 0
π 0
⎧
⎨ − 2 : (k : 奇数)
πk
=
⎩ 2 : (k : 偶数)
πk
2
2
2
2
2
2
f (t) ∼ − sin t + sin(2t) − sin(3t) + sin(4t) − sin(5t) + sin(6t) + · · ·
1
2
3
4
5
6
− 17 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 18 ページ. フーリエ級数 4 >
問の解答
f (t) は偶関数より bk = 0
∙ ¸π
Z
Z
1 π
1 π
1 t2
1 π2
π
f (t)dt =
tdt =
= ×
a0 =
=
π 0
π 0
π 2 0
π
2
2
Z π
Z π
2
2
ak =
f (t) cos(kt)dt = ×
t cos(kt)dt
π 0
π
0
⎧
2 ⎨ − k22 : (k : 奇数)
= ×
π ⎩ 0 : (k : 偶数)
π
4
f (t) ∼ −
2 π
½
¾
1
1
1
cos t + cos(3t) +
cos(5t) +
cos(7t) + · · ·
9
25
49
− 18 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 19 ページ. フーリエ級数 5 >
問の解答
略
− 19 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 20 ページ. フーリエ級数 6 >
問の解答
Z π
Z 1
1
1
1
a0 =
f (t)dt =
1dt =
2π −π
2π −1
π
∙
¸1
Z
2 1
2 1
2 sin k
cos(kt)dt =
sin(kt) =
ak =
π 0
π k
πk
0
bk = 0
1
2
Sn (t) = +
π π
( n
X sin k
k=1
k
cos(kt)
)
− 20 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 21 ページ. フーリエ級数 7 >
問の解答
f (0) = 1
S∞ (0) =
1
2
f (π) = 0
S∞ (π) =
1
2
− 21 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 22 ページ. 左極限・右極限 >
問 1 の解答
① f− (0) = −1
② f+ (0) = 0
③ f− (2) = 1
④ f+ (2) = 2
問 2 の解答
AB= b − a
1
a+b
m = a + (b − a) =
2
2
問 3 の解答
− 22 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 23 ページ. フーリエ級数の収束 >
問の解答
(1) S∞ ( 3π
)=
2
π
2
(2) S∞ (0) = 0
(3) S∞ ( π2 ) =
π
4
− 23 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 24 ページ. 一般の周期関数 1 >
問の解答
(1) 5
(2) 7
(3) 9
(4) 6
(5) 4
(6) 2
(7)
2
3
(8)
2
n
(9) L
(10) 2`
(11)
L
n
(12)
2`
n
− 24 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 25 ページ. 一般の周期関数 2 >
問の解答
(1) 周期 5
(2) 周期 L
(3) 周期 2`
− 25 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 26 ページ. 一般周期のフーリエ級数 1 >
問の解答
µ
µ
¶
¶¾
∞ ½
X
kπ
kπ
ak cos
(1) f (t) ∼ a0 +
t + bk sin
t
`
`
k=1
⎛
µ
¶ ⎞
Z `
Z `
1
1
kπ
⎜a0 =
f (t)dt , ak =
f (t) cos
t dt⎟
⎟
⎜
2`
`
`
−`
−`
⎟
⎜
µ
¶
⎟
⎜
Z `
⎠
⎝
1
kπ
f (t) sin
t dt (k = 1)
bk =
` −`
`
µ ¶
µ ¶¾
∞ ½
X
k
k
ak cos
(2) f (t) ∼ a0 +
t + bk sin
t
`
`
k=1
⎛
µ ¶ ⎞
Z π`
Z π`
1
1
k
⎜a0 =
f
(t)dt
,
a
f
(t)
cos
t dt⎟
k =
⎟
⎜
2π` −π`
π` −π`
`
⎟
⎜
µ ¶
⎟
⎜
Z π`
⎠
⎝
1
k
f (t) sin
t dt
bk =
π` −π`
`
− 26 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 27 −
< 27 ページ. 一般周期のフーリエ級数 2 >
問 1 の解答
a0 = 0
ak = 0
4
bk =
L
Z
L
2
f (t) sin
0
問 2 の解答
a0 +
∞ ½
X
ak cos
k=1
ただし
1
a0 =
2`
Z
問 3 の解答
1
(1) a0 =
`
2
ak =
`
µ
µ
¶
2kπ
t dt
L
µ
¶
¶¾
kπ
kπ
f+ (t) + f− (t)
t + bk sin
t
=
`
`
2
`
1
f (t)dt , ak =
`
−`
Z
Z
`
f (t) cos
−`
`
f (t)dt
0
Z
`
f (t) cos
0
µ
¶
kπ
t dt
`
bk = 0
(2) a0 = 0
ak = 0
2
ak =
`
Z
0
`
f (t) sin
µ
¶
kπ
t dt
`
µ
µ
¶
¶
Z
kπ
1 `
kπ
f (t) sin
t dt , bk =
t dt
`
` −`
`
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 28 ページ. オイラーの公式 >
問 1 の解答
(1) 1
(2) −1
(3) i
√
1 + 3i
(4)
2
(5)
√
3−i
2
√
2
2
+
i
(6) −
2
2
√
問 2 の解答
1
問 3 の解答
e−iθ = cos θ − i sin θ
問 4 の解答
cos θ =
sin θ =
eiθ + e−iθ
2
¢
eiθ − e−iθ
i ¡ −iθ
e − eiθ
=
2i
2
− 28 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 29 −
< 29 ページ. 三角多項式の複素数表示 >
問の解答
n ½
X
¾
¢
eikωt + e−ikωt
i ¡ −ikωt
ikωt
e
ak
S(t) = a0 +
−e
+ bk ×
2
2
k=1
¶
¶
n µ
n µ
X
X
ak bk
ak bk
ikωt
= a0 +
+
− i e
+ i e−ikωt
2
2
2
2
k=1
k=1
ここで
Ck =
S(t) = C0 +
ak bk
a k bk
− i , C−k =
+ i (k = 1) , C0 = a0 とおくと
2
2
2
2
n
X
k=1
ikωt
Ck e
+
n
X
k=1
C−k e
−ikωt
=
n
X
k=−n
Ck eikωt
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 30 −
< 30 ページ. フーリエ級数の複素数表示 1 >
問の解答
! Ã Z L
! )
(Ã Z L
2
2
2
2
1
1
(1) C−k = (ak + bk i) =
f (t) cos(kωt)dt +
f (t) sin(kωt)dt i
2
2
L − L2
L − L2
Z L
Z L
2
2
1
1
=
f (t) {cos(kωt) + i sin(kωt)} dt =
f (t)eikωt dt
L
L
L −2
L −2
1
(2) C0 = a0 =
L
Z
L
2
f (t)dt
−L
2
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 31 −
< 31 ページ. フーリエ級数の複素数表示 2 >
問 1 の解答
C−k
1
=
L
Z
L
2
−L
2
1
f (t)eikωt dt = (ak + bk i)
2
C0 = a0
問 2 の解答
(1) f (t) ∼
(2) f (t) ∼
∞
X
ikt
Ck e
k=−∞
∞
X
k=−∞
Ck e
k
im
t
1
, Ck =
2π
Z
π
f (t)e−ikt dt
−π
1
, Ck =
2πm
Z
πm
−πm
k
f (t)e−i m t dt
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 32 −
< 32 ページ. 広義積分 1 >
問の解答
(1)
Z
∞
0
−γt
e
dt = lim
b→+∞
= lim
b→∞
(2)
Z
0
∞
1
dt = lim
b→+∞
tλ
Z
µ
Z
b
−γt
e
dt = lim
0
1
1
− e−γb +
γ
γ
b
b→+∞
¶
=
∙
∙
1
− e−γt
γ
¸b
0
1
γ
1
t dt = lim
t−λ+1
b→+∞ −λ + 1
1
¸
∙
1
1
1
= lim −
−1 =
λ−1
b→∞
(λ − 1) b
λ−1
−λ
¸b
1
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 33 −
< 34 ページ. 広義積分の近似 >
問の解答
(1) lim
∆x→0
(2) lim
∆x→0
∞
X
cos(αk∆x)∆x
k=0
∞
X
k=−∞
1+
(k∆x)2
F (k∆x)e
ik∆xt
=
Z
∞
0
∆x =
cos(αx)
dx
1 + x2
Z
∞
−∞
F (x)eixt dx
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 34 −
< 37 ページ. フーリエ変換 1 >
問 1 の解答
[f (t)] =
Z
∞
−∞
問 2 の解答
[f (t)] = 2
Z
∙
f (t) {cos(xt) − i sin(xt)} dt = −2i
∞
f (t) cos(xt)dt = 2
0
1
=2
sin(xt)
x
¸t=T
t=0
=
Z
T
1 cos(xt)dt
0
2 sin(xT )
x
Z
0
∞
f (t) sin(xt)dt
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 35 −
< 38 ページ. フーリエ変換 2 >
問の解答
[f (t)] =
Z
∞
f (t)e
−ixt
Z
dt =
−∞
= lim
a→−∞
= lim
a→−∞
Z
e
eαt e−ixt dt
−∞
0
(α−ix)t
0
dt = lim
a
a→−∞
½
¾
1
e(α−ix)a
−
α − ix
α − ix
∙
1
e(α−ix)t
α − ix
=
1
α − ix
¸0
a
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 36 −
< 39 ページ. フーリエ変換 3 >
問の解答
£
e
−α|t|
= lim
b→+∞
a→−∞
= lim
b→+∞
a→−∞
= lim
b→+∞
a→−∞
=
¤
½Z
Z
=
∞
e
−α|t| −ixt
e
(α−ix)t
dt +
a
(∙
½
b→+∞
a→−∞
−∞
0
e
dt = lim
1
e(α−ix)t
α − ix
Z
b
−(α+ix)t
e
0
¸0
dt
Z
b
e−α|t|−ixt dt
a
¾
∙
1
+
e−(α−ix)t
−(α + ix)
a
¸b )
0
¾
¢
¢
1 ¡
1 ¡ −(α+ix)b
(α−ix)a
1−e
e
−
−1
α − ix
α + ix
1
1
α + ix + α − ix
2α
+
=
= 2
α − ix α + ix
(α − ix)(α + ix)
α + x2
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 37 −
< 42 ページ. フーリエ変換 6 >
問の解答
h
e
−αt2
i
=
Z
d
F (x) =
dx
i
=
2α
Z
−∞
i
=
2α
=−
∞
³
∙³
e
Z
∞
2
e−αt e−ixt dt = F (x) とおく
−∞
∞
−αt2
e
−∞
−αt2
−2αte
−αt2
´0 ¸
=
d ¡ −ixt ¢
e
dt =
dx
´
e
−ixt
i
dt =
2α
i
× ix
2α
h
Z
Z
e−αt
∞
−∞
∞
−∞
2
2
e−αt (−it)e−ixt dt
i
³
e−αt
=−
2
x
2α
´0
e−ixt dt
h
e−αt
2
i
x
F (x)
2α
⇓
x2
d
x
F (x) = − F (x) ⇒ F (x) = Ce− 4α
dx
2α
Z ∞
Z ∞
Z ∞
1
2
−αt2
−u2 du
F (0) =
e
dt =
e √ =√
e−u du
α
α −∞
−∞
−∞
√
π
= √ =C
α
⇒
r
F (x) =
x2
π − 4α
e
α
µ
u=
√
αt
du
dt = √
α
¶
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 47 ページ. デルタ関数 >
問 1 の解答
(f ∗ δ)(t) = δ(t)
問 2 の解答
f (2) = 23 = 8
問 3 の解答
sin
³π ´
2
=1
問 4 の解答
(f ∗ δ)(3) = 2.5
− 38 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 39 −
< 49 ページ. フーリエ逆変換 2 >
問 1 の解答
(1)
−1
∙
(2)
−1
h√
−1
∙
(3)
¸
4
= e−2|t|
x2 + 4
2
− x4
πe
i
= e−t
¸
2
⎧
⎨ 1 : |t| 5 4
2 sin(4x)
=
⎩
x
0 : |t| > 4
問 2 の解答
−1
∙
¸
3
3
−x2
=
+
e
x2 + 1
2
=
−1
∙
¸
2
1
√
+
x2 + 1
4π
t2
1
3 −|t|
e + √ e− 4
2
4π
−1
h√
2
4πe−x
i
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 40 −
< 50 ページ. 超関数のフーリエ関数 >
問の解答
[cos(αt)] =
1©
2
£
¤
eiαt +
£
e−iαt
= πδ(x − α) + πδ(x + α)
[sin(αt)] =
1 ©
2i
£
¤
eiαt −
£
¤ª
e−iαt
¤ª
= −iπδ(x − α) + iπδ(x + α)
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 41 −
< 51 ページ. 周波数関数 >
問の解答
時間関数 f (t)
周波数関数 F (ω) =
∞
f (t)e−iωt dt
−∞
a1 f1 (t) + a2 f2 (t)
a1 F1 (ω) + a2 F2 (ω)
F (t)
2πf (−ω)
1 ³ω ´
F
a
a
(a 6= 0)
f (at)
f (t − t0 )
e−it0 ω F (ω)
f (t)eiω0 t
F (ω − ω0 )
f (t)e−iω0 t
F (ω + ω0 )
dn
f (t)
dtn
Z t
f (τ )dτ
(n 回微分)
dn
F (ω)
dω n
n
(−it) f (t)
(f1 ∗ f2 )(t)
f (t) =
f1 (t)f2 (t)
⎧
⎨ 1 : |t| 5 T
⎩
0 : |t| > T
⎧
⎨ e−αt : t > 0
⎩
: t50
0
(合成積)
F1 (ω) × F2 (ω)
(積)
1
(F1 ∗ F2 )(ω)
2π
2 sin(ωT )
ω
(α > 0)
e−α|t|
−αt2
e
(α > 0)
1 − t2
e 4b
4bπ
b
2
π(t + b2 )
2α
+ α2
r
(T > 0)
(α > 0)
π − ω4α2
e
α
e−bω
2
(b > 0)
e−b|ω|
(デルタ関数)
(n 回微分)
1
α + iω
ω2
√
δ(t)
(iω)n F (ω)
1
F (ω)
iω
−∞
f (t) =
Z
(b > 0)
1
δ(t − t0 )
e−iωt0
eiω0 t
2πδ(ω − ω0 )
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 42 −
< 53 ページ. ラプラス変換 1 >
問の解答
(1)
[1] =
Z
∞
1e
0
−st
∙
1 −st
dt =
e
−s
¸∞
0
½
¾
1
1
= lim − ns +
n→∞
se
s
=
(2)
−t
[e ] =
Z
∞
0
−t −st
e e
∙
1
s
1 −(s+1)t
dt = −
e
s+1
¸∞
0
=
1
s+1
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 43 −
< 54 ページ. ラプラス変換 2 >
問の解答
(1)
¸
£ −ikt ¤ª
1 © £ ikt ¤
eikt − e−ikt
=
e
−
e
[sin(kt)] =
2i
2i
½
¾
1
1
1
1
s + ik − (s − ik)
=
−
=
×
2i s − ik s + ik
2i
(s − ik)(s + ik)
∙
1
k
2ik
= 2
× 2
2
2i s + k
s + k2
¸
∙
ikt
£ αt
¤
1
+ e−ikt
αt e
=
e cos(kt) =
e
2
2
=
(2)
(3)
£
£
¤ 1
eαt eikt +
2
=
1
1
1
1
×
+ ×
2 (s − α) − ik 2 (s − α) + ikt
=
s−α
2(s − α)
=
2
2
2 {(s − α) + k }
(s − α)2 + k 2
¤
1
e sin kt =
2i
αt
=
£
(α+ik)t
e
k
(s − α)2 + k 2
−e
(α−ik)t
¤
1
=
×
2i
½
£
eαt e−ikt
¤
1
1
−
(s − α) − ik (s − α) + ik
¾
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 44 −
< 55 ページ. ラプラス変換 3 >
問の解答
(1)
⎛
£ 3¤
d3 1
d
t =− 3 =−
ds s
ds
µ
2
s3
¶
=
6
s4
1
d
(t) = − F (s) = −
⎜ F (s) = (1) = s ,
⎜
µ ¶ µ ds¶0
2
⎝
£ 2¤
1
d
2
1
t = 2
= − 2 = 3
ds
s
s
s
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
µ ¶ µ
¶0
6
1
6×4
24
= − 4 =
= 5
5
s
s
s
s
£ 4¤
d4
t = 4
ds
[tn ] =
£
£
at
e
te
¤
at
n!
sn+1
=
¤
µ ¶0
⎞
1
1
= 2 , ⎟
s
s
⎟
⎠
Z
∞
at −st
e e
dt =
0
=−
µ
1
s−a
¶0
Z
∞
e
(a−s)t
0
=−
¶0
=−
k
2
s + k2
¶0
=−
[t cos(kt)] = −
[t sin(kt)] = −
µ
1 (a−s)t
dt =
e
a−s
¸
¢
1 ¡ kt
−kt
e +e
2
£ −kt ¤ª
1 © £ kt ¤
e +
e
2
½
¾
1
1
1
s
=
+
= 2
2 s−k s+k
s − k2
=
0
0 − k × 2s
2ks
=
2
(s2 + k 2 )
(s2 + k 2 )2
¸
¢
1 £ kt ¤ 1
1 ¡ kt
−kt
=
e −
[sinh(kt)] =
e −e
2
2
2
¾
½
k
1
1
1
= 2
= ×
−
2
s−k s+k
s − k2
[cosh(kt)] =
=
1
s−a
1 × (s2 + k 2 ) − s × 2s
s2 − k 2
=
(s2 + k 2 )2
(s2 + k 2 )2
∙
∙
¸∞
−1
1
=
2
(s − a)
(s − a)2
s
2
s + k2
µ
∙
£
e−kt
¤
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 56 ページ. ラプラス変換 4 >
問の解答
[f 000 (t)] =
[(f 00 (t))0 ] = s {
[f 00 (t)]} − f 00 (+0)
ª
©
= s s2 F (s) − sf (+0) − f 0 (+0) − f 00 (+0)
= s3 F (s) − s2 f (+0) − sf 0 (+0) − f 00 (+0)
− 45 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 46 −
< 60 ページ. ラプラス変換 8 >
問の解答
原関数 f (t)
像関数
[f (t)] = F (s)
1
1
s
t
1
s2
n!
tn
sn+1
1
s−a
eat
teat
2 at
−
t e
µ
1
(s − a)2
sin(ωt)
¶0
1
(s − a)2
=−
s2
−2
2
=
(s − a)3
(s − a)3
ω
+ ω2
cos(ωt)
s
s2 + ω 2
eat sin(ωt)
ω
(s − α)2 + ω 2
s−α
(s − α)2 + ω 2
eat cos(ωt)
t sin(ωt)
(s2
s2 − ω 2
(s2 + ω 2 )2
t cos(ωt)
¢
1 ¡ kt
e − e−kt
2
¢
1 ¡ kt
e + e−kt
cosh(kt) =
2
⎧
⎨ 1 : t>a
u(t − a) =
⎩
0 : t5a
k
s2 − k 2
sinh(kt) =
(a > 0)
a
a2
− 4t
3 e
2πt 2
2ωs
+ ω 2 )2
s
− k2
Z ∞
[u(t − a)] =
1e−st dt
s2
∙
¸∞
a
1
1
= e−sa
= − e−st
s
s
a
√ −a√s
πe
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 47 −
< 62 ページ. ラプラス逆変換 2 >
問の解答
−1
F (s)
[F (s)] = f (t)
1
s
1
1
s2
t
n!
tn
sn+1
1
s−a
eat
(s > |a|)
1
(s − a)2
ω
2
s + ω2
s2
teat
sin(ωt)
s
+ ω2
ω
(s − a)2 + ω 2
s−a
(s − a)2 + ω 2
2ωs
(s2 + ω 2 )2
s2 − ω 2
(s2 + ω 2 )2
ω
2
s − ω2
cos(ωt)
eat sin(ωt)
eat cos(ωt)
t sin(ωt)
t cos(ωt)
sinh(ωt)
s
s2 − ω 2
e−αs
s
e−α
√
s
f (t) =
cosh(ωt)
⎧
⎨ 1 : t>a
⎩
0 : t5a
2
α
−α
√ 3 e 4t
2 πt 2
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 48 −
< 63 ページ. ラプラス逆変換 3 >
問の解答
(1)
−1
∙
¸
½
1
1
=
s2 − s − 2
3
−1
∙
¸
1
−
s−2
ª
1 © 2t
e − e−t
3
∙
∙
¸
½
¸
1
1
1
−1
−1
=
−
s2 − 4
4
s−2
−1
∙
1
s+1
=
(2)
ª
1 © 2t
e − e−2t
4
∙
∙
¸
¸
1
1
−1
−1
=
s2 − 4s + 5
(s − 2)2 + 1
=
(3)
−1
= e2t sin(t)
∙
1
s+2
¸¾
¸¾
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 64 ページ. ラプラス逆変換 4 >
問の解答
−1
(1)
=
−1
(2)
=
−1
(3)
=
∙
∙
¸
¸
s−3
−1 s − 4 + 1
=
s2 − 8s + 16
(s − 4)2
∙
¸
1
1
−1
= e4t + te4t
+
2
s − 4 (s − 4)
∙
∙
¸
¸
s+1
−1 s − 3 + 4
=
s2 − 6s + 9
(s − 3)2
∙
¸
1
1
−1
= e3t + 4te3t
+4×
s−3
(s − 3)2
¸
¸
∙
s+2
s−1+3
−1
=
s2 − 2s + 5
(s − 1)2 + 4
∙
¸
s−1
3
2
−1
+ ×
(s − 1)2 + 22 2 (s − 1)2 + 22
∙
3
= et cos(2t) + et sin 2t
2
¸
¸
∙
∙
2s
−1
−1 2(s − 2) + 4
=
(4)
s2 − 4s + 5
(s − 2)2 + 1
∙
¸
s−2
1
−1
=
2×
+4×
(s − 2)2 + 1
(s − 2)2 + 1
= 2e2t cos t + 4e2t sin t
− 49 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 50 −
< 65 ページ. ラプラス逆変換 5 >
問 1 の解答
−1
(1)
=
(2)
∙
¸
1
1
=
s(s − 1)(s − 2)
2
ª
1©
1 − 2et + e2t
2
∙
¸
s2 + s
−1
=
(s − 1)(s + 3)2
−1
−1
∙
∙
1
2
1
−
+
s s−1 s−2
¸
1
1
7
1
3
1
×
+ ×
− ×
8 s − 1 8 s + 3 2 (s + 3)2
7
3
1
= et + e−3t − te−3t
8
8
2
問 2 の解答
(1)
−1
∙
¸
Z t
F (s)
at
= (te ∗ f )(t) =
(t − u)ea(t−u) f (u)du
(s − a)2
0
∙
¸
F (s)
=
(s − a)(s − b)
∙
½
¾¸
1
1
1
(2)
F (s) ×
−
a−b s−a s−b
¶
µ
Z t
ª
ª
1 © a(t−u)
1 © at
bt
e − e ∗ f (t) =
e
=
− eb(t−u) f (u)du
a−b
0 a−b
−1
¸
∙
¸
F (s)
1
b
−1
=
F (s) × ×
(3)
(s − a)2 + b2
b (s − a)2 + b2
µ
¶
Z t
1 at
1 a(t−u)
=
sin(b(t − u))f (u)du
e sin(bt) ∗ f (t) =
e
b
0 b
−1
∙
−1
¸
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 51 −
< 66 ページ. ラプラス逆変換 6 >
問の解答
(1)
−1
∙
¸
a
c
c
b
+ 2 + 3 = a + bt + t2
s s
s
2
(2)
−1
∙
¸
a + bs
=a×
s2 + 1
(3)
−1
∙
¸
s
= cos(2t)
s2 + 4
(4)
−1
∙
¸
1
1
=
2
s −1
2
−1
∙
¸
1
1
1
−
= {et − e−t }
s−1 s+1
2
(5)
−1
∙
¸
s−1
=
(s − 2)2
−1
∙
¸
s−2+1
=
(s − 2)2
−1
∙
= e2t + te2t
¸
∙
1
s+3
−1
=
(6)
(s + 1)(s − 2)
3
5
2
= e2t − e−t
3
3
∙
¸
−2
−1
=
(7)
(s − 2)3
−1
(8)
=
∙
¸
16
1
=
4
s − 16
2
−1
∙
−1
−1
d
ds
∙
¸
1
+b×
s2 + 1
µ
∙
−1
−1
∙
¶¸
¸
s
= a sin(t) + b cos(t)
s2 + 1
¸
= t2 e2t
1
1
4
−
− 2
s−2 s+2 s +4
ª
1 © 2t
e − e−2t − 2 sin(2t)
2
(= sinh(t))
1
1
+
s − 2 (s − 2)2
5
2
−
s−2 s+1
1
(s − 2)2
∙
¸
¸
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
< 67 ページ. ラプラス逆変換 7 >
問の解答
(1) f (t) =
1
sin(2t) , g(t) = cos(2t)
2
Z
Z
1
1 t
{sin(2t) + sin(2t − 4u)}du
(2) (f ∗ g)(t) =
sin(2t − 2u) cos(2u)du =
4 0
0 2
∙
¸t
½
¾
1
1
1
1
1
=
u sin(2t) + cos(4u − 2t) =
t sin(2t) + cos(2t) − cos(−2t)
4
4
4
4
4
0
t
1
= t sin(2t)
4
∙
¸
1
s
1
−1
(3)
× 2
= (f ∗ g)(t) = t sin 2t
2
s +4 s +4
4
Z
Z
1 t
cos(2t − 2u) cos(2u)du =
{cos(2t) + cos(2t − 4u)}du
(4) (g ∗ g)(t) =
2 0
0
∙
¸t
Z
1
1 t
1
{cos(2t) + cos(4u − 2t)}du =
=
u cos(2t) + sin(4u − 2t)
2 0
2
4
0
½
¾
1
1
1
1
1
=
t cos(2t) + sin(2t) − sin(−2t) = t cos(2t) + sin(2t)
2
4
4
2
4
(5)
−1
∙
t
¸
s2
= (g ∗ g)(t)
(s2 + 4)2
1
1
= t cos(2t) + sin(2t)
2
4
− 52 −
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 53 −
< 68 ページ. 常微分方程式への応用 1 >
問の解答
(1)
∙
[x(t)] = X(s) とおくと
∙
¸
dx
=
dt
¸
dx
= sX(s) − x(0) = sX(s) − a
dt
[kx] ⇒ sX(s) − a = kX(s) ⇒ (s − k)X(s) = a
a
X(s) =
⇒ x(t) =
s−k
−1
[X(s)] =
−1
∙
¸
a
= aekt
s−k
(2) 解 x(t) に対し [x(t)] = X(s) とおくと
∙ ¸
dx
= sX(s) − x(0) = sX(s) − 1
dt
∙
¸
£ −t ¤
1
dx
e
⇒ sX(s) − 1 + X(s) =
+x =
dt
s+1
⇒ (s + 1)X(s) =
X(s) =
x(t) =
1
+1
s+1
1
1
+
2
(s + 1)
s+1
−1
= te−t + e−t
[X(s)] =
−1
∙
1
1
+
(s + 1)2 s + 1
¸
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 54 −
< 69 ページ. 常微分方程式への応用 2 >
問の解答
(1) 解 x(t) に対し [x(t)] = X(s) とおくと
∙ ¸
∙ 2 ¸
dx
dx
= s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) = s2 X(s)
= sX(s) − x(0) = sX(s) ,
dt
dt2
1
両辺をラプラス変換すると s2 X(s) − 5sX(s) + 6X(s) =
s−1
½
¾
1
1
1
1
2
1
X(s) = 2
=
=
−
+
(s − 5s + 6)(s − 1)
(s − 3)(s − 2)(s − 1)
2 s−1 s−2 s−3
x(t) =
−1
1
1
[X(s)] = et − e2t + e3t
2
2
(2) 解 x(t) のラプラス変換を [x(t)] = X(s) とおく
∙ ¸
dx
= sX(s) − x(0) = sX(s) − 1 ,
dt
∙ 2 ¸
d x
= s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) = s2 X(s) − s − 1
dt2
よって (2) のラプラス変換は
s2 X(s) − s − 1 − 4 (sX(s) − 1) + 4X(s) = 0
(s2 − 4s + 4)X(s) = s − 3
X(s) =
x(t) =
1
s−2−1
1
s−3
=
=
−
s2 − 4s + 4
(s − 2)2
s − 2 (s − 2)2
−1
[X(s)] = e2t − te2t
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 55 −
< 70 ページ. 常微分方程式への応用 3 >
問の解答
(1) 解 x(t) に対し
∙
[x(t)] = X(s) とおく。
∙
¸
dx
= sX(s) − x(0) = sX(s)
dt
¸
d2 x
= s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) = s2 X(s) − 1
2
dt
(1) のラプラス変換は
s2 X(s) − 1 − 2sX(s) + 5X(s) = 0
1
1
=
− 2s + 5
(s − 1)2 + 22
∙
¸
2
1
−1
= et sin(2t)
2
2
(s − 1) + 2
2
(s2 − 2s + 5)X(s) = 1 ⇒ X(s) =
x(t) =
−1
[X(s)] =
(2) 解 x(t) に対し
1
2
s2
[x(t)] = X(s) とおく
d2 x
= s2 X(s) − sx(0) − x0 (0) = s2 X(s) − s − 1
dt2
[2 sin t] =
s2
2
+1
より (2) のラプラス変換は
s2 X(s) − s − 1 + 4X(s) =
(s2 + 4)X(s) = s + 1 +
X(s) =
s2
s2
2
+1
2
+1
2
2
s+1
2
s
1
3
3
+
=
+
+
−
s2 + 4 (s2 + 1)(s2 + 4) s2 + 4 s2 + 4 s2 + 1 s2 + 4
1
2
s
3
3
+
+
s2 + 4 s2 + 4 s2 + 1
∙
∙
∙
¸
¸
¸
s
2
1
1 −1
2 −1
−1
−1
x(t) =
[X(s)] =
+
+
s2 + 4
6
s2 + 4
3
s2 + 1
1
2
= cos(2t) + sin(2t) + sin t
6
3
=
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 56 −
< 71 ページ. 常微分方程式への応用 4 >
問の解答
(1)
[x(t)] = X(s) ,
[f (t)] = F (s) とおき，両辺をラプラス変換する
s2 X(s) − 3sX(s) + 2X(s) = F (s)
µ
¶
1
F (s)
1
1
1
X(s) = 2
=
=
−
s − 3s + 2
s2 − 3s + 2
(s − 1)(s − 2)
s−2 s−1
¸
∙
1
−1
= e2t − et より
s2 − 3s + 2
∙
¸
Z t
© 2(t−u)
ª
1
−1
2t
t
t−u
e
f (u)du
x(t) =
−
e
)
∗
f
(t)
=
−
e
×
F
(s)
=
(e
s2 − 3s + 2
0
(2)
[x(t)] = X(s) ,
[f (t)] = F (s) とおき，両辺をラプラス変換すると
s2 X(s) + 6sX(s) + 10X(s) = F (s)
X(s) =
s2
F (s)
+ 6s + 10
1
1
=
,
2
s + 6s + 10
(s + 3)2 + 1
−1
∙
¸
1
= e−3t sin t
(s + 3)2 + 1
より
x(t) =
=
Z
−1
[X(s)] =
−1
∙
¸
1
× F (s) = (e−3t sin t) ∗ f (t)
2
(s + 3) + 1
t
0
e−3(t−u) sin(t − u)f (u)du
基礎数学ワークブック N o. 8 「フーリエ解析」解答
− 57 −
< 72 ページ. 常微分方程式への応用 5 >
問の解答
[x(t)] = X(s) ,
[y(t)] = Y (s) とおく
∙ ¸
dx
= sX(s) − x(0) = sX(s)
dt
∙ ¸
dy
= sY (s) − y(0) = sY (s) − 1
dt
⎧
⎨ sX(s) = X(s) + Y (s)
⎩
sY (s) − 1 = −X(s) + 3Y (s)
⇒
1
(s − 1)X(s) − Y (s) = 0 · · · °
2
X(s) + (s − 3)Y (s) = 1 · · · °
1 × (s − 3) + °
2 より
°
X(s) =
1
1
1
= 2
=
(s − 3)(s − 1) + 1
s − 4s + 4
(s − 2)2
Y (s) = (s − 1)X(s) =
(答) x(t) =
−1
[X(s)] =
y(t) =
−1
[Y (s)] =
s−1
1
1
=
+
2
(s − 2)
s − 2 (s − 2)2
∙
¸
1
−1
= te2t
(s − 2)2
∙
¸
1
1
−1
= e2t + te2t
+
2
s − 2 (s − 2)

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