ベクトル解析 ∇演算子の公式1 1 各座標系の∇演算子

ベクトル解析 ∇ 演算子の公式1
各座標系の ∇ 演算子
1
1.1
デカルト座標系 (x, y, z)
ナブラ (∇) 演算子
∂
∂
∂
+ ey
+ ez
∂x
∂y
∂z
(1.1)
∂f
∂f
∂f
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
(1.2)
∇ = ex
勾配 (gradf = ∇f )
∇f =
回転 (rotA = ∇ × A)
∂Ay
∂Az
−
∂y
∂z
∂Ax ∂Az
(∇ × A)y =
−
∂z
∂x
∂Ay
∂Ax
(∇ × A)z =
−
∂x
∂y
(∇ × A)x =
発散 (divA = ∇ · A)
∇ · A = ∂x Ax + ∂y Ay + ∂z Az
(1.3)
ラプラシアン (△f = ∇2 f = ∇ · (∇f ))
∇2 f = ∂x2 f + ∂y2 f + ∂z2 f
(1.4)
直交基底の微分
∂i ej = 0,
i, j ∈ {x, y, z}
(1.5)
ここで記号を与えておく。f は関数、A, ex などはベクトルである。太字にするのは面倒であるため、
ベクトルであるが太字にはしていない。基底を明記しておきたいため成分表記はしていない (書く量も
増えるため)。ベクトルの成分はカッコで表記した。A × B の i 成分 (基底 ei の成分) は (A × B)i のよう
に。ただし、単独のベクトルについては括弧を省略して Ai と表した。ただし基底ベクトルについては例
外で、ei はベクトルである。統制が取れていないが、偏微分を省略して表記しているところもある。例
えば ∂r は ∂/∂r を省略して書いたものである。
1
20110807
1
1.2
球座標系 (r, θ, ϕ)
ナブラ (∇) 演算子
∂
1 ∂
1
∂
+ eθ
+ eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(1.6)
∂f
1 ∂f
1 ∂f
er +
eθ +
eϕ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(1.7)
∇ = er
勾配 (gradf = ∇f ) grad
∇f =
回転 (rotA = ∇ × A)
∂r sin θAϕ ∂rAθ
−
)
∂θ
∂ϕ
∂r sin θAϕ
∂Ar
1
(
−
)
(∇ × A)θ =
r sin θ ∂ϕ
∂r
1 ∂rAθ
∂Ar
(∇ × A)ϕ = (
−
)
r ∂r
∂θ
(∇ × A)r =
1
r2 sin θ
(
発散 (divA = ∇ · A)
∇·A=
1
1
1
∂θ (sin θAθ ) +
∂ϕ Aϕ
∂r (r2 Ar ) +
2
r
r sin θ
r sin θ
(1.8)
ラプラシアン (△f = ∇2 f = ∇ · (∇f ))
∇2 f =
1
1
1
∂θ (sin θ∂θ f ) + 2 2 ∂ϕ2 f
∂r (r2 ∂r f ) + 2
2
r
r sin θ
r sin θ
(1.9)
直交基底の微分
∂r er = 0,
∂r eθ = 0,
∂r eϕ = 0,
∂θ er = eθ ,
∂θ eθ = −er ,
∂θ eϕ = 0,
∂ϕ er = sin θeϕ
∂ϕ eθ = cos θeϕ
∂ϕ eϕ = − sin θer − cos θeθ
2
(1.10)
(1.11)
(1.12)
各座標系の ∇ 演算子の導出
2
2.1
極座標系
座標変換
x = r sin θ cos ϕ,
r=
√
x2 + y 2 + z 2 ,
y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ
√
x2 + y 2
y
tan θ =
, tan ϕ =
z
x
(2.1)
(2.2)
直交座標系の変換
er = √
1
x2
+ y2 + z2
(xex + yey + zez ) = sin θ cos ϕex + sin θ sin ϕey + cos θez
eθ = cos θ cos ϕex + cos θ sin ϕey − sin θez
eϕ =
行列の形で書けば
1
(−yex + xey ) = − sin ϕex + cos ϕey
r sin θ
 
  
sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ
ex
er
 
  
 eθ  = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ ey 
− sin ϕ
cos ϕ
0
ez
eϕ
この変換行列を P とする。P は直交行列であるため、逆変換は転置行列 P t で与えられる。
  
 
ex
sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ
er
  
 
ey  =  sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ   eθ 
ez
cos θ
− sin θ
0
eϕ
微分の変換は
∂x = (∂x r)∂r + (∂x θ)∂θ + (∂x ϕ)∂ϕ
x
x
1 y
= ∂r + cos2 θ √
∂θ + cos2 ϕ(− ) ∂ϕ
2
2
r
x
x
z x +y
x
1
= sin θ cos ϕ∂r + cos2 θ 2
∂θ − cos2 ϕ
tan ϕ∂ϕ
z tan θ
r sin θ cos ϕ
cos θ cos ϕ
sin ϕ
= sin θ cos ϕ∂r +
∂θ −
∂ϕ
r
r sin θ
∂y = (∂y r)∂r + (∂y θ)∂θ + (∂y ϕ)∂ϕ
y
y
1
= ∂r + √
∂θ + ∂ϕ
r
x
z x2 + y 2
y
1
= sin θ sin ϕ∂r + cos2 θ 2
∂θ + cos2 ϕ
∂ϕ
z tan θ
r sin θ cos ϕ
cos θ sin ϕ
cos ϕ
= sin θ sin ϕ∂r +
∂θ +
∂ϕ
r
r sin θ
∂z = (∂z r)∂r + (∂z θ)∂θ + (∂z ϕ)∂ϕ
√
z
x2 + y 2
= ∂r − cos2 θ
∂θ
r
z2
sin θ
= cos θ∂r −
∂θ
r
3
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
これを行列の形にまとめて書くと
  


∂x
sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ − sin ϕ
∂r
  


∂y  =  sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ cos ϕ   r−1 ∂θ

−1
∂z
cos θ
− sin θ
0
(r sin θ) ∂ϕ
となっている。これは直交基底の変換と同じ形をしている。この事実を用いて勾配
 
∂x
 
∇f = (ex ey ez ) ∂y  f
(2.8)
(2.9)
∂z
を書き換えていくと


 
∂r
∂x


 
(ex ey ez ) ∂y  = (er eθ eϕ )  r−1 ∂θ

−1
∂z
(r sin θ) ∂ϕ
となる。ただし、転置行列が逆行列になることを用いた。したがって


∂r


∇f = (er eθ eϕ )  r−1 ∂θ
f
(2.10)
(r sin θ)−1 ∂ϕ
となる。ここで P によって変換を受ける極座標系の微分演算子を縦に並べたベクトルを ∇(r) と書くこ
とにする。
回転は、デカルト座標系の場合、微分演算子とベクトルの成分の外積の計算に当たる。これを出発点
とし極座標系へと書き換えていく。一般に、デカルト座標からの変換は
∑
lmo
(r)
(r)
el ϵlmo ∇(r)
m Ao −
∑
(r)
el ϵlmo t(tA(r) Ω(m) )o
(2.11)
lmo
となる2 。ここで Ω(m) は行列
t
Ω(m) = P ∇(α)
m P
(2.12)
A(r) は、極座標系のベクトルの成分をタテにならべたベクトルである。
この式にあてはめると
Ω(ϕ)
2


0 0 0


Ω(r) = 0 0 0 , tA(r) Ω(r) = (0, 0, 0)
(2.13)
0 0 0


0 −1 0
1

Ω(θ) = 1 0 0 , tA(r) Ω(θ) = (Aθ /r, −Ar /r, 0)
(2.14)
r
0 0 0


0
0
−1
1

= 0
0
−1/ tan θ , tA(r) Ω(ϕ) = (Aϕ /r, Aϕ /[r tan θ], −Ar /r − −Aθ /[r tan θ])
r
1 1/ tan θ
0
(2.15)
詳細は後の章。
4
となる。したがって
er eθ eϕ
Aϕ
Aϕ
Aθ
∇ × A = ∇r ∇θ ∇ϕ − (−
er +
eθ −
eϕ )
r tan θ
r
r
Ar Aθ Aϕ
(2.16)
成分別に書くと
Aϕ
1
1
(∇ × A)r = ∂θ Aϕ −
∂ϕ Aθ +
r
r sin θ
r tan θ
Aϕ
1
(∇ × A)θ =
∂ϕ Ar − ∂r Aϕ −
r sin θ
r
1
Aθ
(∇ × A)ϕ = ∂r Aθ − ∂θ Ar +
r
r
(2.17)
(2.18)
(2.19)
となる。
発散は、デカルト座標系の
∇·A=
∑
∂i Ai
(2.20)
i
を P を使って変換する。
∇t A(x) = t(tP ∇(r) )(tP A(r) )
(r)
(r)
= Pji ∇j (tPik Ak )
(r)
(r)
(r)
(r)
= Pji (∇j tPik )Ak + ∇i Ai
∑
(r) (r)
=
(Ω(j) A(r) )j + ∇i Ai
j
第 1 項は
∑
(Ω(j) A(r) )j = 0 + Ar /r + Ar /r + Aθ /(r tan θ)
(2.21)
j
となるから
1
1
2
1
∇ · A = ∂r Ar + ∂θ Aθ +
∂ϕ Aϕ Ar +
Aθ
r
r sin θ
r
r tan θ
(2.22)
を得る。
直交基底を微分すると
∂r er = 0
(2.23)
∂θ er = cos θ cos ϕex + cos θ sin ϕey − sin θez = eθ
(2.24)
∂ϕ er = − sin θ sin ϕex + sin θ cos ϕey = sin θeϕ
(2.25)
∂r eθ = 0
(2.26)
∂θ eθ = − sin θ cos ϕex − sin θ sin ϕey − cos θez = −er
(2.27)
∂ϕ eθ = − cos θ sin ϕex + cos θ cos ϕey = cos θeϕ
(2.28)
5
∂r eϕ = 0
(2.29)
∂θ eϕ = 0
(2.30)
∂ϕ eϕ = − cos ϕex − sin ϕey = − sin θer − cos θeθ
(2.31)
を得る。
6
3
回転の座標変換
ここでは正規直交基底の成分の変換について考える。ここで 2 つの正規直交基底の関係が
(α)
ei
=
∑
(β)
Pij ej
(3.1)
j
(α)
と与えられているとする。(Pij ) は直交行列である。ベクトル v が直交基底 ei
v=
∑
により
(α) (α)
vi ei
(3.2)
i
と展開されているとする。
外積により作られるベクトルの成分の変換は
v×w =
∑
∑
(β)
t (β)
el ϵlmo Pok
vm Pkn wn(β) =
klmno
(β)
(β)
el ϵlmo Pko vm
Pkn wn(β)
klmno
であった。回転はデカルト座標系においては、微分演算子とベクトルの外積として計算することができ
(α)
た（微分演算子と成分は可換ではないことに注意する）。したがって ei
(β)
(β)
基底、ei が一般の正規直交基底とする。微分演算子 ∇m
(β)
(β)
と、vm を ∇m に置き換えることができる。このとき
∑
(β)
t (β)
el ϵlmo Pok
vm Pkn wn(β) −→
klmno
∑
は直交基底により変換を受けることを用いる
(β)
(β)
el ϵlmo Pko ∇(β)
m (Pkn wn )
klmno
=
=
(m)
となる。ここで Ωno :=
∑
はデカルト座標系の正規直交
∑
klmno
∑ (β)
(β)
el ϵlmo ∇(β)
m (wo )
lmo
∑
(β)
el ϵlmo (Ω(m)t w(β) )o =
(m)
(β)
となる。ここで Ω(m) は行列 (Ωno )、w(β) は wi
(β)
=
∑
(β)
t
el ϵlmo wn(β) Pnk
∇(β)
m Pko
klmno
∑
∑
(β)
(β)
(m)t (β)
el ϵlmo [∇(β)
w )o ]
m wo − (Ω
(3.3)
lmo
lmo
(∇ × w)l
−
(β)
(β)
el ϵlmo ∇(β)
m (wo ) −
lmo
(β)
(β)
(β) (β)
el ϵlmo [∇(β)
m (Pko Pkn wn ) − Pkn wn ∇m Pko ]
t ∇
Pnk
m Pko と置くと
k
(β)
∑
を縦に並べて作ったベクトルである。したがって
(β)
(m)t (β)
ϵlmo [∇(β)
w )o ],
m wo − (Ω
mo
Ω(m)
no :=
∑
t
Pnk
∇(β)
m Pko
(3.4)
k
となる。第 1 項はデカルト座標系と同様に外積計算によるものである。第 2 項がそれ以外の項で、これ
は正規直交基底が空間の各点で向きを変えることに由来する。
例えばデカルト座標系と極座標系の変換は
  
 
er
sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ
ex
  
 
 eθ  = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ ey 
eϕ
− sin ϕ
cos ϕ
0
ez
で与えられる。この行列を P とし
 t  

P(1)
sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ
 t  

P = P(2)
 = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ − sin θ
t
− sin ϕ
cos ϕ
0
P(3)
7
(3.5)
(3.6)
とする。上の場合 P は、この行列の tP にあたる。この行列の成分を r, θ, ϕ で微分する。

  
0 0 0
0

  
∂r P = 0 0 0 = 0
0 0 0
0
 

cos θ cos ϕ
cos θ sin ϕ − sin θ
P(2)

 

∂θ P = − sin θ cos ϕ − sin θ sin ϕ − cos θ = −P(1) 
0
0
0
0

 

− sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ 0
sin θP(3)

 

∂ϕ P = − cos θ sin ϕ cos θ cos ϕ 0 = 
cos θP(3)

− cos ϕ
− sin ϕ
0
− sin θP(1) − cos θP(2)
(3.7)

(3.8)
(3.9)
したがって P (∇m P t ) は

P (∇θ P t ) =

P (∇ϕ P t ) =
t
P(1)

t
P(1)

P (∇r P t ) = 0
(
1 t 
P(2)  P(2)
r
t
P(3)
1  t (
P(2)  sin θP(3) cos θP(3)
r sin θ
t
P(3)
(3.10)


) 1 0 −1 0


(3.11)
−P(1) 0 = 1 0 0
r
0 0 0


0
−1
) 1 0


0
−1/ tan θ
− sin θP(1) − cos θP(2) = 0
r
1 1/ tan θ
0
(3.12)
となる。
Ω(r)t w = 0。


wθ
1

Ω(θ)t w = −wr 
r
0


wϕ
1

Ω(ϕ)t w = 
wϕ / tan θ

r
−wr − wθ / tan θ
(3.13)
(3.14)
となる。
er eθ eϕ
wϕ
wϕ
wθ
rotw = ∇r ∇θ ∇ϕ − (−
er +
eθ −
eϕ )
r tan θ
r
r
wr wθ wϕ
8
(3.15)

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