第１章 16 式と証明・方程式 4 ２次方程式 §1 複素数とその計算 2 x = 1 の解は x = ±1 であるが，x 2 = −1 の解，つまり 2 乗して−1 になる実数はない。そこで， 数の拡張工事をして x 2 = −1 になる数を考える。しかしどう表記するか。実在しない想像上 の数(imaginary number)なので imaginary の i をイタリック体にして i と表すことにした。これ が虚数単位と呼ばれるものである。i だけでは形も大きさもわからないが，2 乗すると−1 と いうはっきりとした形になって我々の前にその姿を現わす。これを使うと x 2 = −4 の解は x = ±2i と表せる。 i は文字と同じように扱ってよいが， i 2 になったら−1 に置きかえること。 i 2 = −1， i 3 = i 2 × i = −i， i 4 = (i 2 ) 2 = ( −1) 2 = 1 定義 虚数：2 乗すると負になる数 虚数単位(i)：2 乗すると−1 になる数 i = −1 計算の約束( a，b は実数) 例 3 × i = 3i， 5i + 3i = 8i a × i = ai ai + bi = (a + b)i ai × bi = abi 2 = − ab 2i × 3i = 6i 2 = −6 (x − 1) 2 = −3 の解はどうなるだろうか。 x − 1 = ± 3i ∴ x = 1 ± 3i と今度は a + i のような形になる。このように (実数 ) + ( 虚数 ) の形で表される数を複素数という。 定義 a, b を 0 ではない実数とする。このとき a + bi と表される数を複素数という 各パートの名称は次のようになっている。 3 2i 3 + 2i 3 実数 純虚数 複素数 実数 + 2i 虚数 3 2 i + 実部 虚部 前にも述べたように，i は文字とみなして計算してよい。ただし， i 2 = −1 の置き換えをお忘 れなく。 πi 「博士の愛した数式」(小川洋子著)の中で博士が愛した数式とはオイラーの公式 e + 1 = 0 であった。e は数Ⅲの 範囲である。 数学ⅡB hm2k0004 第１章 17 式と証明・方程式 ( x − 1) 2 = −3 の解は x = 1 ± 3i だったが，1 + 3i と1 − 3i のように虚数の+と−の符号だけが 異なる複素数を，共役な複素数(conjugate complex number)という。ちょうど夫婦のそれぞれ の相手を配偶者というようなものである。共役な複素数は 3 + 2i = 3 − 2i のように (バ ー)をつけて表す。 定義 複素数 α = a + bi に対して， a − bi を α の共役複素数とよび， α で表す。 分数の計算では，次のように共役な複素数をかけて分母を有理数にする。 1 2−i 2−i 2−i = = = 2 + i (2 + i )(2 − i ) 4 + 1 5 複素数の計算 (1) i を文字のように扱う (2) i 2 = −1 に注意 例 5 + 2i + (5 − 2i ) = 5 + 5 = 10 (2 + 3i )(2 − i ) = 4 + 4i − 3i 2 = 4 + 4i − 3(−1) = 7 + 4i α + α = (a + bi ) + (a − bi ) = 2a (実数 ) α ⋅ α = (a + bi )(a − bi ) = a 2 + b 2 (実数 ) 例題1 次の計算をせよ。 (1) (8 − 2i ) − (6 + 3i ) 3 (2) ⎛ − 1 + 3i ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝ (3) i 2010 + i 7 + i 21 3 + 2i + 3 + 2i = 3 + 2i + 3 − 2i = 6 (3 + 2i )(3 + 2i ) = (3 + 2i )(3 − 2i ) = 9 + 4 = 13 2−i 2i − 1 − 2i 3 + i 解答 (1) 与式 = (8 − 6) + ( −2 − 3)i = 2 − 5i ( −1)3 + 3( −1) 2 ( 3i ) + 3( −1)( 3i ) 2 + ( 3i ) 3 (2) 与式 = 8 − 1 + 3 3i + 9 − 3 3i = 8 8 = =1 8 (4) 数学ⅡB (3) 与式 = (i 4 ) 502 × i 2 + (i 4 ) × i 3 + (i 4 ) 5 × i (4) = 1 × ( −1) + 1 × ( −i ) + 1 × i = −1 − i + i = −1 2i (3 − i ) 2 + 3i − 2i 2 6i − 2i 2 4 + 3i 2 + 6i (2 − i )(1 + 2i ) = − − − = 与式 = 5 10 (1 − 2i )(1 + 2i ) (3 + i )(3 − i ) 1 − 4i 2 9 − i2 8 + 6i − 2 − 6i 3 = = 10 5 hm2k0004 第１章 18 式と証明・方程式 x = 2 + i ， y = 2 − i のとき，次の値を求めよ。 例題2 (1) 解答 (1) x+ y (2) xy (3) x2 + y2 (4) x 4 + y 4 x + y = (2 + i ) + (2 − i ) = 4 (2) xy = (2 + i )(2 − i ) = 4 − i 2 = 5 (3) x 2 + y 2 = ( x + y )2 − 2 xy = 4 2 − 2 ⋅ 5 = 6 (4) x 4 + y 4 = ( x 2 + y 2 )2 − 2 x 2 y 2 = 62 − 2 ⋅ 52 = −14 2 つの複素数が等しいとは実部どうし，虚部どうしが共に等しいときと約束する。 a + 2i = 3 + bi ならば a = 3 かつ b = 2 である。また， (a − 3) + (2 − b)i = 0 なら実部= 0，虚部= 0 より a − 3 = 0 かつ 2 − b = 0 ∴ a = 3 かつ b = 2 として求めてもよい。 複素数の相等 α = a + bi β = c + di とするとき α = β ⇔ a = c，b = d α =0⇔a=b=0 例題3 (3 − 2i ) x + (4 + 3i ) y = 5 − 9i となる実数 x，y を求めよ。 解答 与式から， (3 x + 4 y ) + ( −2 x + 3 y )i = 5 − 9i したがって， 3 x + 4 y = 5 ， − 2 x + 3 y = −9 これを解いて， x = 3 ， y = −1 数学ⅡB hm2k0004 第１章 19 式と証明・方程式 §2 ２次方程式の解 次の 2 次方程式を解いてみよう。すぐに因数分解できないので平方完成(perfect square)を使っ て解くことにしよう。 3 x2 − 4 x − 1 = 0 3 x2 − 4 x = 1 4 ⎞ ⎛ 3⎜ x 2 − x ⎟ = 1 3 ⎠ ⎝ 4 4 1 4 x2 − x + = + 3 9 3 9 2 2⎞ 7 ⎛ ⎜x− ⎟ = 3⎠ 9 ⎝ x− 2 7 =± 3 3 2 7 2± 7 ± = 3 3 3 毎回この平方完成をするのは少し大変。公式のようなものがあると便利なので，2 次方程式 x= を ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) として，公式作りに挑戦してみる。 方法 1 方法 2 ( a ≠ 0) ax 2 + bx + c = 0 b ⎞ ⎛ a ⎜ x 2 + x ⎟ = −c a ⎠ ⎝ b c x2 + x = − a a ax 2 + bx = −c 4 a 2 x 2 + 4 abx = −4 ac (2ax + b)2 = b 2 − 4 ac 2 b ⎞ b2 c ⎛ ⎜x+ ⎟ = 2− 2a ⎠ a 4a ⎝ 2ax + b = ± b 2 − 4 ac x= − b ± b 2 − 4 ac 2a = x+ − b ± b2 − 4 ac 2a b 2 − 4 ac 4a2 b b 2 − 4 ac =± 2a 2a x= x= ( a ≠ 0) − b ± b 2 − 4 ac 2a ( a ≠ 0) これで a，b，c の値を代入すれば x の値がわかる。上の例では a = 3 ， b = −4 ， c = −1 とすると x= − (−4) ± (−4)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ ( −1) 4 ± 28 2 ± 7 = = 2×3 6 3 と電子レンジでチンするような感じで解凍ならぬ解答が求まる。 数学ⅡB hm2k0004 第１章 20 式と証明・方程式 b が偶数のときは必ず 2 で割れることから，初めから 2 で割った次のような偶数バージョン もある。 x= − b'± (b' )2 − ac a b' = b 2 4 x 2 + 4 x + 1 = 0 を解の公式で解くと， x = − 2 ± (−2)2 − 4 ⋅1 − 2 ± 0 1 = =− 4 4 2 2 x 2 + 3 x + 2 = 0 を解の公式に代入すると， a = 2, b = 3, c = 2 だから， − 3 ± 3 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2 − 3 ± − 7 − 3 ± 7i = = 2⋅2 4 4 2 ここまでで，2 次方程式 ax + bx + c = 0 の解は， x= ア ○ a = 3 ， b = −4 ， c = −1 のとき…2 つの異なる実数 イ ○ a = 4 ， b = 4 ， c = 1 のとき…1 つの実数(これを重解という) ウ ○ a = 2 ， b = 3 ， c = 2 のとき…2 つの異なる虚数 ア ，○ イ ，○ ウ のとき根号内はそれぞれ，+，0，− になっていた。したがって解の種 となった。○ 類だけ必要なときは√内の b 2 − 4 ac の符号を見れば事足りることがわかる。そこで b 2 − 4 ac を判別式といい，discriminant の d を普通大文字にして用いる。 2 次方程式の解 ax 2 + bx + c = 0 (a, b, cは実数) の判別式を D = b 2 − 4 ac とする。 x が実数 x が複素数 D>0 異なる 2 実数解 D>0 異なる 2 実数解 D=0 実数の重解 D=0 実数の重解 D<0 解なし D<0 異なる 2 虚数解 例題1 解答 2 次方程式 x 2 + (3a + 1) x + 2a 2 + 2 = 0 の解を判別せよ。 x 2 + (3a + 1) x + 2a 2 + 2 = 0 の判別式を D とする。 このとき， D = (3a + 1)2 − 4(2a 2 + 2) = a 2 + 6a − 7 = (a + 7)(a − 1) 。 D > 0 のときは， a < −7 または1 < a D = 0 のときは， a = −7 または 1 D < 0 のときは， − 7 < a < 1 数学ⅡB hm2k0004 第１章 21 式と証明・方程式 したがって， 1 < a のとき異なる2実数解 ⎧a < −7， ⎪ 1 のとき重解 ⎨a = −7， ⎪− 7 < a < 1 のとき異なる2虚数解 ⎩ 実際に 2 次方程式を解かなくても，2 つの解の和と積なら即座にわかる。判別式よりもっと すごいのが解と係数の関係である。 たとえば x 2 − 3 x + 1 = 0 の 2 つの解の和は 3，積は 1 である。実際に解いてみると x = 3± 5 2 だから，2 つの解を α，β （α < β ） とすると， ⎧ 3+ 5 3− 5 + =3 ⎪α + β = 2 2 ⎪ ⎨ ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎪αβ = ⎜ 3 + 5 ⎟⎜ 3 − 5 ⎟ = 9 − 5 = 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 4 ⎪⎩ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ となり，確かに和は 3，積は 1 である。種明かしは簡単で， 2 つの解が x = α ， x = β ならば， ( x − α )( x − β ) = 0 ∴ x 2 − (α + β ) x + αβ = 0 以上より x の係数と定数項をみれば和と積がわかるしかけである。これを解と係数の関係と いう。 数学ⅡB hm2k0004 第１章 22 式と証明・方程式 §3 解と係数の関係 ax 2 + bx + c = 0 の 2 解を α，β とすると， 例 3x 2 + 4 x − 1 = 0 b c α + β = − , αβ = a a 4 3 α + β = − ，αβ = − 1 3 x2の係数が 1 でないときはその係数で割ることと，和のときはxの係数の符号をかえることで ある。 x 2 + 3 x + 4 = 0 の 2 つの解をα，βとするとき，次の式の値を求めよ。 例題1 (1) α+β (2) αβ (3) α2 + β2 (4) β α + α β (5) α3 + β3 解答 解と係数の関係より (1) α + β = −3 (2) αβ = 4 (3) α 2 + β 2 = (α + β ) 2 − 2αβ = (−3) 2 − 2 ⋅ 4 = 1 (4) β α α2 + β2 1 + = = α β αβ 4 (5) α 3 + β 3 = (α + β )(α 2 − αβ + β 2 ) = −3(1 − 4) = 9 例題2 2 次方程式 x 2 + 4 x + 2 = 0 の 2 解をα ，βとする。このとき α 2 ， β 2 を 2 解とする 2 次方程式のうち， x 2 の係数が 1 であるものを求めよ。 解答 求める方程式は， x 2 の係数が 1 だから ( x − α 2 )( x − β 2 ) = 0 とおける。 式変形すれば， x 2 − (α 2 + β 2 ) x + α 2 β 2 = 0 となる。 ここで， α + β = −4 ， αβ = 2 だから α 2 + β 2 = (α + β )2 − 2αβ = (−4)2 − 2 ⋅ 2 = 12 α 2 β 2 = (αβ ) 2 = 22 = 4 よって，求める 2 次方程式は x 2 − 12 x + 4 = 0 4 2 例題3 x + x − 6 を複素数の範囲で因数分解せよ。 解答 x 4 + x 2 − 6 = ( x 2 − 2)( x 2 + 3) L① 2 L② = ( x + 2 )( x − 2 )( x + 3) = ( x + 2 )( x − 2 )( x − 3i)( x + 3i ) L③ ①は整数の範囲 ②は無理数の範囲 ③は複素数の範囲 での因数分解 数学ⅡB hm2k0004 第１章 23 式と証明・方程式 §4 剰余の定理と因数定理 実際に計算しなくても求めることができるシリーズの最後は剰余の定理だ。 整式の割り算で，たとえば 3 x 3 − 4 x 2 + x − 6 を x − 2 で 割ったときの余りを求めたい。右のように実際に計算 をすると余りは 4 とでるが，次のように考えると割り 算を実行しなくても余りが出せる。 3 次式を 1 次式でわったときの余りは定数になる。 これを R とする。商は 2 次式になるが，これは Q( x) で 表すことにする。そうすると 3 3x 2 + 2x +5 x − 2 3x 3 − 4x 2 +x 3x 3 − 6x 2 2x 2 +x 2 − 4x 2x 5x −6 −6 5 x − 10 2 3 x − 4 x + x − 6 = ( x − 2) ⋅ Q ( x) + R となり， Q( x) の値 4 いかんにかかわらず両辺に x = 2 を代入すると， 3 ⋅ 2 3 − 4 ⋅ 2 2 + 2 − 6 = (2 − 2)Q (2) + R ，つまり 4 = Q ( x) ⋅ 0 + R となり， R = 4 と求まる。 商は quotient，余りは remainder なので Q( x) ，R の様に表す。となると，もとの整式は P( x) と 注］ 表すのが自然だろう。 ［○ 剰余の定理 P ( x) = ( x − α )Q ( x) + R 整式 P( x) を 1 次式 ( x − α ) で割ったときの余りは R これを発展させると，P(α ) = 0 なら P( x) は ( x − α ) で割りきれることになる。これを因数定理 という。 因数定理 整式 P( x) が ( x − α ) で割り切れる ⇔ P(α ) = 0 P( x) = ( x − α )Q( x) と因数分解できる たとえば，P( x) = x 3 − 3 x 2 − x + 3 とすると，P ( x) = ( x − 1)( x + 1)( x − 3) だから，P( x) は ( x − 1) ， ( x + 1) ， ( x − 3) で割り切れる。そのため， P (1) ， P(−1) ， P(3) の値はいずれも 0 になる。実 際， P (1) = 13 − 3 ⋅12 − 1 + 3 = 0 P (−1) = (−1)3 − 3 ⋅ (−1)2 − (−1) + 3 = 0 P (3) = 33 − 3 ⋅ 32 − 3 + 3 = 0 注 ○ 整式は integral expression だが，多項式が polynomial expression なので polynomial のイニシャルの p を用い ていると思われる。 数学ⅡB hm2k0004 第１章 24 式と証明・方程式 次の例題で確かめてみよう。 次の問いに答えよ。 例題1 (1) P ( x) = 7 x 3 − 3 x 2 + 6 x − 4 を x + 1 で割ったときの余りを求めよ。 (2) 2 x 3 − 3 x 2 − 5 x + 6 を因数分解せよ。 P( x) を x + 1 で割ったときの商を Q( x) ，余りを R とすれば，P( x) = ( x + 1)Q( x) + R 解答 (1) とおける。よって， P (−1) = 7 ⋅ (−1)3 − 3 ⋅ (−1)2 + 6 ⋅ ( −1) − 4 = −20 だから，余りは − 20 (2) P ( x) = 2 x 3 − 3 x 2 − 5 x + 6 とおくと， P(1) = 2 − 3 − 5 + 6 = 0 したがって P( x) は x − 1 を因数にもつ。 よって，P ( x ) = ( x − 1)(2 x 2 − x − 6) = ( x − 1)(2 x + 3)( x − 2) 例題2 整式 P( x) を x + 1 で割ると 4 余り，x − 2 で割ると 1 余る。P( x) を x 2 − x − 2 で割った 余りを求めよ 解答 x 2 − x − 2 でわった余りは 1 次以下なので，商を Q( x) ，余りを ax + b とおける。この とき， P ( x) = ( x 2 − x − 2)Q ( x) + ax + b = ( x + 1)( x − 2)Q ( x ) + ax + b また，条件より P ( −1) = − a + b = 4 L ① P (2) = 2a + b = 1L ② ①，②より a = −1 ， b = 3 よって求める余りは − x + 3 数学ⅡB hm2k0004 第１章 25 式と証明・方程式 §5 高次方程式 3 次以上の方程式を高次方程式というが，ここでは 3 次方程式と 4 次方程式を扱うことにす る。残念ながら高校の数学の範囲では，すべての 3 次・4 次方程式を解くことはできない。(し たがって解けるものだけしか出題されない) x 3 = 1 を解いてみよう。 x3 −1 = 0 ( x − 1)( x 2 + x + 1) = 0 x = 1， x = − 1 ± 3i 2 ところで，この方程式の解は，しばしば ω という文字を用いて表現される 。 ω (オメガ)は ギリシア文字最後の 24 番目の文字である。この解にはおもしろい性質があり， ω= − 1 + 3i とすると（どちらをωにしてもよい。 ） 2 − 1 + 3i 2 − 2 − 2 3i − 1 − 3i となり， 共役な複素数であるもう 1 つの解になる。 ) = = 2 4 2 ω の性質をまとめると ω2 = ( ω の性質 ω 3 = 1 ω 2 + ω + 1 = 0 ω 2112 + ω 9 + ω 3 = (ω 3 ) 704 + (ω 3 ) 3 + ω 3 = 1 + 1 + 1 = 3 ω 1974 + ω 11 + ω = (ω 3 ) 658 + (ω 9 )ω 2 + ω = ω 2 + ω + 1 = 0 次の方程式を解け。 例題1 (1) x3 − x2 − x − 2 = 0 (2) x4 + 5x2 + 9 = 0 (3) x4 + 4 x3 + 5 x2 + 4 x + 1 = 0 解答 (1) P ( x) = x 3 − x 2 − x − 2 とおくと， (1)は因数定理を用いる。 P (2) = 8 − 4 − 2 − 2 = 0 より， P ( x) = ( x − 2)( x 2 + x + 1) (2) ∴ x = 2, この方法が一般的であ − 1 ± 3i 2 x 4 + 5 x 2 + 9 = ( x 2 + 3)2 − x 2 = ( x 2 + x + 3)( x 2 − x + 3) となるから与式の解は x= − 1 ± 11i 1 ± 11i , 2 2 る。 (2)，(3)は特別なケース。 (2) は x 2 = 0 と お い て も 因数分解できないので， ○ 2 − △ 2 の形 にもちこ み，和と差の積に因数分 解する。 数学ⅡB hm2k0004 第１章 26 式と証明・方程式 x4 + 4 x3 + 5 x2 + 4 x + 1 = 0 x = 0 を上式に代入すれば， 左辺 = 1 となり， (3)は係数を並べると 1，4，5， この方程式は x = 0 を解にもたない。よって な方程式は相反方程式とよば (3) 2 2 4，1 となっている。このよう x ≠ 0 だから，両辺を x で割ると 4 1 x2 + 4x + 5 + + 2 = 0 x x て 2 次方程式にもちこむこと これを式変形していくと， により解ける。 x2 + れ， x 2 で割り x + 1 = t とおい x 1 1⎞ ⎛ + 4⎜ x + ⎟ + 5 = 0 2 x⎠ x ⎝ 2 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜ x + ⎟ + 4⎜ x + ⎟ + 3 = 0 x x⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ここで， x + 1 = t とおくと， t 2 + 4t + 3 = 0 となる。よって， (t + 3)(t + 1) = 0 x t = −3 のとき， x + よって， x = −3± 5 2 t = −1 のとき， x + よって， x = 1 = −3 だから x 2 + 3 x + 1 = 0 x 1 = −1 だから x 2 + x + 1 = 0 x − 1 ± 3i 2 高次方程式 高次方程式：3 次以上の方程式 ① P( x) = ( x − α )( x − β )( x − γ ) = 0 ならば， x = α , β , γ ② 複 2 次式は○2 − △2を作り因数分解 ③ 4 次の相反方程式は x + 例題2 1 = t とおき 2 次方程式 x 実数を係数とする方程式 x 3 + ax + b = 0 の 1 つの解が x = 1 + 3i のとき a，b の値お よび他の解を求めよ。 解答 x = 1 + 3i が解ならば， x = 1 − 3i もこの方程式の解である。 x = 1 ± 3i より x 2 − 2 x + 4 = 0 となり，もうひとつの解をαとすると x3 + ax + b = ( x − α )( x 2 − 2 x + 4) とかける。 ( x − α )( x 2 − 2 x + 4) = x 3 − (α + 2) x 2 + (4 + 2α ) x − 4α だから，係数を比較して 数学ⅡB hm2k0004 第１章 27 式と証明・方程式 ⎧0 = −α − 2 ⎪ ⎨a = 4 + 2α ⎪b = −4α ⎩ これより， α = −2 ， a = 0 ， b = 8 以上より， a = 0 ， b = 8 で，他の解は − 2, 1 − 3i 3 次方程式にも解と係数の関係があり， ( x − α )( x − β )( x − γ ) = x 3 − (α + β + γ ) x 2 + (αβ + βγ + γα ) x − αβγ = x 3 + px 2 + qx + r このとき， α + β + γ = − p, αβ + βγ + γα = q, αβγ = − r これを使うと，前例題の x 3 + 0 x 2 + ax + b = 0 において，残り 1 つの解を α とすると， (1 + 3i ) + (1 − 3i ) + α = 0 がいえるので， α = −2 また， (1 + 3i )(1 − 3i ) + (1 − 3i )(−2) + (−2)(1 + 3i ) = a となり， a = 0 さらに， − (1 + 3i )(1 − 3i )(−2) = b となり， b = 8 となる。 解と係数の関係を用いてもう 1 つ解いてみよう。 例題3 解答 x 3 − (2a + 1) x + 2a = 0 が 2 重解をもつとき a の値を求めよ。 P ( x) = x3 − (2a + 1) x + 2a とおくと，P (1) = 1 − 2a − 1 + 2a = 0 より 3 次方程式 P ( x ) = 0 は ア 1，1，α x = 1 を解にもつ。問題文の条件から P( x) の解は，○ イ ○ 1， β ， β のいずれか。 ア ○ 1，1， α のとき 解と係数の関係から，1 + 1 + α = 0 よって α = −2 このとき1 ⋅1 ⋅ (−2) = −2a より， a = 1 イ ○ 1， β ， β のとき 解と係数の関係から，1 + β + β = 0 よって β = − 1 2 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ このとき 1 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ = −2a より， a = − 8 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 以上より， x 3 − (2a + 1) x + 2a = 0 が 2 重解をもつときは a = 1, − 数学ⅡB 1 8 hm2k0004
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