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Title
周辺固定く形板の非線形自由振動
Author(s)
高橋, 和雄; 樗木, 武
Citation
長崎大学工学部研究報告, (3), pp.55-64; 1972
Issue Date
1972-12
URL
http://hdl.handle.net/10069/23794
Right
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5
5
周辺固定く形板の非線形自由振動
高橋和雄*
樗木、
武林
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(Departmento
fCivi
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ngineering，Facultyo
fEngineering，KyuskuUniversity)
Summary
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comparedwithpreviouss
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.
1
.
緒 言
周辺で面内変位が拘束される周辺固定く形板の非線
形自由振動問題に関しては，既にし 3の研究が報告
alerkin法を
されている1)2) これらの研究では， G
適用するに際して，両端固定ばりの座屈波形を板の規
準関数に仮定する方法が用いられた.乙の方法は演算
上有利とはなるものの，精度の点で疑問がある.すな
わち，非線形自由振動時に生ずる面内力は振幅に依存
する引張力であり，乙の引張力の大小に応じて振動波
形が異なると推定される.したがって，振動波形とし
て面内力の大小によらず同じ波形となる座屈波形を仮
定する乙とは無理があり，特に振幅が大きい場合には
かなりの誤差が含まれるものと推定される.
*土木工学科
**九州大学工学部土木工学科
そこで，著者らはこの難点を除去のうえ，精度の高
い解をうるために，任意の軸力が作用する場合の両端
固定ばりの線形曲げ振動の規準関数を用いて，周辺固
定く形板の非線形自由振動問題を解析するごとき方法
を新たに提案するものである.
2
.
基礎式および境界条件
薄板の最低次の曲げ振動を対象とするものとすればデ
板の面内方向の慣性力，勇断変形および回転慣性の影
響を無視する乙とができる.このとき，本題の基礎式
として板の有限変形問題に関する K訂 manの式ζ
i面
外方向の慣性力の項を加えた運動方程式を用いること
ができ，次のように与えられる.
56
長崎大学工学部研究報告第5号 昭和4ワ年12月
D7・F一｛ ∂2ω（ ∂κの）2一舞瑠｝ ，1・l
÷（∂ω厩）2｝山一・，N“一・
L（ω，F）一・ク・ω＋ρ，弗．一ん（ll霧鍔＋
（6）
ノー・・δでδ〃」∫1｛去（llξ一レ零語）一
誰1鍔「2篇諾）一・ （2）
ここに，F：板の面内方向の断面力に関するAiry
の応力関数：，ω；のたわみ，κ，ノ；直交座標系，彦；
÷（∂ω∂ノ）2｝の一・・隔一・
3．解 法
；時間，乃；板厚，ρp；板の密度，1）一Eが／｛12（1一り2）；
本題は式㈲および式（6）の条件のもとに，式U｝，（2）の
：板剛度，E；板のヤング率，レ；板のポアソン比，
両式を満足するようにωおよびFを決定する問題と
∂2
∂2
なる．まず，応力関数Fを求めることとし，このと
．応力関数Fと面内方向の断面力との関係はそれぞれ
意の軸力の作用を受ける両端固定ばりの曲げ振動に由
72＝∂。・＋∂ク・
き，式5）の境界条件を満足する板のたわみwが，任
凡一 Q吾・N・一畷，砺一一乃諾（3）
来する規準関数を用いて次のように表わされるものす
る（Appendix A参照）．
rまた板の中立面のX，y方向の変位成分をU，Vとすれ
ば，これらとF，wとの間に次式が成立する．
嘉＋÷（讐）2一÷（∂2F ∂2Fの2一り∂・2），一手＋
ω＝6T（のΣαρsゴπρπξΣ的ε伽9πη ρ＝l g＝1
’〔7）
ここに，o；振幅， T（七）；未知の時間関数：，ξ＝κ／
÷（∂ω∂ク）2一÷（峯一｛羅）・器÷蕃＋・
η＝＝ク／δ， αρ＝8劣ρ／（P4一ρ29躍／π2一 ん 4／π4）， ゐ9＝＝・
鯛／（94−92衡／π2一ん㍉／π4）∴＿望，，，一腰2
審器一一2（笠の鋸 （・）
一7方，板の諸元および座標系をFig・1に示すよう
に定あるものとし，板は全周辺において固定されてい
一糟2∫婦∀ρ留2，P。・はりに作
する軸力（圧縮力の場合を正とする），EI；はりの
るものとすれば，、その曲げに対する境界条件は次のよ
曲げ剛性，ρ；はりの密度，ω；はりの固有円振動数，
うである
％，e〃；定数：，ρ，9；1，3，5，………
式（7）を式（1）の右辺に代入すれば，
嘩蕩・一唱，讐1淫1、量1｛ρ・75㊨
鉱6わ δ幽…ρ・ξ・…πξ・・…η・・∫・π・一ρ2‘2 祉ﾁ292
αPうααγう85伽ρπξ5ゴηγπξ∫げ7zgπη5ゴπ∫πη ｝
ここに，ρ，g，7，∫；1，3，5，………
式（8）の右辺の各項をフーリエ余弦級数に展開すれば
o
α 2二
Fig・1
60∫汐πξ60∬πξ6059πη60∫5πη＝Σ Στ観η‘05
η＝0η＝0
ητπξ605ππη
∫伽ρπξ5伽rπξ5ゴπ9πη5ゴπ∫πη一Σ Στ襯605
∂ω
鴛0μで．ω一〇・添「一〇
∂ω ・
初＝0π＝0
ηzπξ605ηπη （9）
ノ「0・6でω＝0・万＝0 〔5）
ここに，
『また，板は全周辺において，面内方向の移動が拘束さ
・一一・
＝れ，かつ勇断力が作用しないものとすれば，面内の変
位および応力に関する境界条件が次のように与えられ
轤P∫1…カ・ξ・一ξ… ξ・・・・・…5・πη
605ππη4ξ4η
モー一・∫1∫1・卿・ξ蜘πξ一ξ吻・η蜘
る．
一…で婦1｛去（1袈一・1鍔）一
60∫ππηゴξ4η
したがって
57
周辺固定く形板の非線形自由振動
r・F一
E今一（の置議嵩1署1，婁、
。茗｛ρ…噛碕（碗・卸＋δ恥1”D
（δ・，、・・＋δ。，1￠、D一ρ252
獅V292・幽δ、（一δ皿，
馬≒臨隼礎1呂ら恥鯉／
μ2）τ2ω 、』、 ． ‘ ㈲
式（13）および式圃を式（1Dに再摩代入すればゴ杢琴ρ！芯力
関数が次のようにえられる．
F一画2T2（’）〔16（芒。㍉≡1，ヨ’2擁（・2ρ2
・…δm，1・一・1）（一δ・・…＋δ・，1・一・1）｝・一ξ・…πη（10）
ここにδ・パ＝1欝ク・ネ・かのデル燗
＋ン92）η2＋（りρ2＋92／μ2）ξ2｝＋Σ Σ∫π驚60S
7η＝・0π＝0
数， η3，π；0，2，4，・軸・・鱒岡
．解・ξ・…πη〕
⑯
式㈹の一般解はその斉次方程式からえられる余関数
と特殊解との和で求められるが，本式と同形の微分方
ここに，
程式の一般解はすでにLevy3’，4）がく形板の静的大た
1
Oo oO OO OQ
1
わみの．解析の際に求めておりr，その結果から板周辺で
伽＝ ﾙ。ヨ1，ヨ1，≡1、≡、＠・＋・・／μ・）壱
、勇断力が作用しない場合の応力関数Fとして次のよ
ψ97∫㊥ゐαα。’68（δ皿，炉。＋δ鵬，i多一。【）（δπ，α＋8＋
うに与えられることがわかる．
コ F一言＋蟹＋認。認♂一一ξ・・覇（11｝
ここに，fmn；未知の定数，．Px，．Py；κ一〇，αの辺お
よびクー0，うの辺において，面内方向に作用する断面
力Nx，Nyの合力で応力関数Fとの間に次の関係が成
立する．
δ？z，1σ一81）一（ρ252十7292）／2αPゐ（zαヶ δ8 （一δηL∫⑳＋γ一十一
δ肌，IP一γ1）（一δ％，Q＋s＋δ％，Iq−81）｝
ここにおいて残された問題は，式（7）に対して式（16）の
ように定められるFの結果を用いて’式（2）を解きT（t）
を決定することであるが，これを直接解くことは困難
であるから，一般によく用いられているエネルギー近
瓦一∫1榊一ん∫額御1募毘 （1鋤
似法であるGalerkin法を適用のうえ近似解を求め
乃一∫1肋一顧∫畷幽1誓ほ
式の積分誤差を最小にするという次の積分
ることにする．すなわち，Galer≧in珠では力の釣合
∫1∫1五（ω，F）・（…）四一・“ （17）
式（11）を式t10）に代入すればfmnが求まり次のようにえ
られる．
ここに，G（x，ノ），式5）の境界条件を満足する座標関数
によりT（七）に関する微分方程式が算定されるが，そ
1
｛1）97層sαPわααγゐ8（一δηz，ρ＋γ＋δηz，
G（x，y）の仮定において，APpendix Bに示すような形
痴「浄・7・（唱，≡1浬1認1
の際式㈲の境界条件を満足する板のたわみwおよび
＠2＋π2／μ2）2
式で表わされる規準関数を用いることにする．すなわ
ip一・D（δ・，α・・＋δ・，1α一・D一（ρ2 s2＋・292）／2・P％
ちAppendix Aでは任意の軸力を受けるはりの曲げ
α・う8（一δm，P・汁δ肌， IP一。1）（一δπ，α＋8＋3π，1α一
振動をフーリエ級数を用いて解析したものであるのに
sD｝ （13）
対し・APP・ndi・Bでは通柳方法によ弊三分
ここに，μ＝う／a；辺長比
方程式を解いて，規準関数を求めたものである．同じ
式（6）に式〔7）および式（11）を代入するとともに，式（1助の
問題に対するこの両規準関数の使いわけは式（1）および
関係を用いれば，面内変位に関する条件が次のように
式②の微分方程式を解く際にいずれが好都合となるか
：書き改められる．
により定められるもので，式②の式形から判断して，
謡一籍一準1，讐1鮎う㍉幽・）
一・
增{鴇一一礎1梅雨響鴇
ここではAppendix Bに示す規準関数を用いるこ・と
が望ましく，このときωおよびG（耳・ノ）が次のよう
に仮定される．
ω一cx（κ）γωτω
o（κ，ク）＝x（κ）y（ク）
．上式より，Px， Pyが次のように算定されることになる．
ここに，
濡一丁轟煮翼1・繊（・グ矧
μ）τ2（の
X（・）一λ、，≒・｛一…娠＋（・鵡一㈱
Sゼπ乃λ詔ξ＋ 60∫γ詔ξ＋（一605γ湿十COS667の） Sゴπr灘ξ｝，
長崎大学工学部研穽報告第3号 昭和4ワ年12月
58
聖〒翠講演碑朗⑳ケ 燭
Sゴπ〃えΨη十〇〇SγZ1η十（一605γ写十60∫θ6γΨ）SゴπγZノう7｝， 2灘，
i殉；X（⇒，Y（ノ），の最大値を1とする定数，
λ T＝6π（‘∼／α十2β， 1／》2十α／β）． ⑫3＞
ここに， 1／〉’2十α／β，楕円関数：の母i数陵
関数侃は・（K一∫1婦一、素／β・ガ・・θ，第1灘
]ー・・ノ・＋帳・＋・碓／・・
全楕円積分）の周期をもつから，非線形自由振動数渉
炉》一，，ノ・＋編＋・癖，
が次式で与えられることになる．
η興＝〉’2β十α／41（ （24）
・・一
`念。／・聴。・＋・ん重／・，
式⑳を用いれば，任意の振幅比‘茄をパラメーター一
として，π＊の値を求めることができる．
炉〉忽，／・＋∼慮，・＋・ん1／・
4．精度に関する検討
式囮を式（17）に代入のうえ，整理すれば．時聞関数T（七）
に関する非線形常微分程式が求められ，次のとおりで
ある．
T十αT十2βT3＝0 ㈲
ここに，・一
轣A菰（∫；∫1＋手・∫；∫；＋歩
既往研究により高精度解がえられている周辺固定正
方形板の線形自由振動問題を対象に，著者らの提案に
よる方法と他の手法とを比較対照して，著者らの方法
の精度を検討すれば以下のとおりである．式⑳におい
てβの項を無視すれば線形自由振動数ηoを求める
ことができ，正方形板（μ一1）の場合について算出す’
∫1∫1）ρ￡・・
れば，Table 1＠，⑤，◎に示す諸量をうる． Table 1
ﾊ2）
β一6（1一り2
^疑｛一・＠；趣1∫；）
1 1
＋・・
F。為撮＠讐＋ぜ／1Ψ＋・一
∫灘り｝漁・！1イlx・4ξ・！1一∫ly・吻・プ；一
b
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⑦
8722
話、09
」6．00
3599
3．42
0．28
0．03
’
α
峨 、）
Err乃
Table 1
∫ 《一∫1凹吻・∫1一∫1溜4ξ4一
1
x”xゴξ，
0
∫。Y〃〃y4・r∫。脳・・魏・ξ4ξ4∫ly”Y
1 ηL∬ b1 7L写
4 4
∫。脳・ ・ξゴξ・プ∫
。。、。π吻，！乙し1 陛1Y〃Y…
5 5 0
∫。x・x・西廻∫
η吻，∫『」σ一1 π1一：四伽
ππη吻，
6躍＝π2／｛16（1一ン2）｝Σ Σα6（μ2η2十りπ2）
ηz 7L
ηし＝1π＝＝1
o写＝π2／｛16（1一り2）｝Σ Σα6＠2十りη2／μ2）
ηL π
隅＝1η＝1
いま，式⑫①の初期条件をw（x，y，o）一cx（x）Y（y），
w（x，y，o）一〇とすれば，これらは時間Tに関する次
のような条件式となる．
T（0）＝1，T（0）＝0 （21）
式⑳を1回積分のうえ，式⑳の条件を加味すれば，次
式がえられる．
デー一／（窪＋T・）T・一（芳＋1）｝ 〔22）
において，＠欄は既往の座屈波形を用いた場合，すな
わち．Po−Pcr（Eulerの座屈荷重）の場合の解を示
すものであり，⑤欄はPo−0とおいたとのときのは．
りの線形曲げ振動に由来する規準関数を用いた場合の
解を示すものである．一方，同じ問題に対してYoung5）
ははりの曲げ振動の規準関数を用いたRi七z法の9項近
似による極めて精度の高い解を求めており，その結果
を④欄に併記する．③，⑤欄の近似解と⑥欄の高精度解
とを比較するとき，＠よりも⑮場合の精度が高いごと
がわかり，このことから，板の振動波形として，はり
の座屈波形ではなく，はりの線形曲げ振動に由来する
規準関数を用いる方が妥当であるといえる．周知のと
おり，Galerkin法の精度は仮定した関数形の適切さ
に大いに関係するため，本論文では板の規準関数を決
めるパラメーターとしてはりに作用する任意の大きさ
の軸力Poを導入したが，これを用いれば，さらに精
度を高めることができる．すなわち，Poの値を種々
変化させたときの規準関数を用いて乳πoの値の変動
式働の解の式形はα／βの二値により異なるが，本論
を計算すればFig・2をうる．図は横軸に軸力比Po／
文ではα，βが共に正であることが数値的に確認され
恥をとり・繍・高精囎35・99》ρ￡・と・・と
るゆえ，式（22）の解はJacobiの楕円関数における関数
cnで与えられ，次のように求められる．
の差の百分率をとってプロットしたものである．図中
周辺固定く形板の非線形自由振動
59』’
∠あ
4司3020
噸
盆
④
！：髭
、、、
158
、
、、、 、
◎．、
、、
∠54
1．0
、
乙
、、
、
、、 、 、
@ 、 、 亀
O
Z5
G
10 0 −10 ぞ0 づ0 《0硫．迂
10
〃
4〃
、噛 @鴨 鴨 嚇 幅
．．．。」Φ
一 ＿ 一 一 一 一
「20 弓，0
｝40
ﾆド5
Fig・2
Fig・3
Po／Pcr＝1は座屈波形を用いる場合に， Po／Pcr＝0
よびこの場合の軸力を用いて算出したはりの規準関数
は軸力を受けないはりの線形振動に由来する規準関数
は板の非線形自由振動の規準関数を近似的に表わすこ
を用いた場合にそれぞれ対応するものである．E，は
とが推察される．
軸力が増大するに伴って減少し，Po／P・・一一〇・61の
ポアソン回り＝0・3なる正方形を対象に振幅比6／h−
ときに最小になり，それ以後は逆に増加することがわ
2．0の場合について，振動数η＊／πoと軸力比P。／P・・
かる．E・の最も小さい値に対応するπoの値はTa
との関係を算出すればFig・3の実線で示すごとき結
ble 1◎欄に示すとおりで，＠欄の値と極めてよく合
果をうる．図中において，点④の振動数比π＊／ηoは
致しているといえる．すなわち，任意の軸力を受ける
既往の座屈波形による解を，点⑤は一：P。／Pcr−0の場
はりの規準関数を用いて，πoとPoとの関係を求め，
合のはりの線形曲げ振動に由来する規準関数による解
これよりπoの最小値を求めれば，第1項近似にも拘
を示したものである．また，点◎は：P。／Pc。＝一2・48
わらずGalerkin法によって極めて精度の高い解がえ
の場合にえられる最小振動数比を示すものである．図
られることが数値的に立証される．また，④，⑤，◎
より明らかなように，軸力比が1∼0なる圧縮力の
の各ケースについて，板中央断面（η＝1／2）の振動波
領域ではP・／Pcrの変化に対しη＊／ηo・が急激に変動
形を算出すれば，Table 2④，⑤，◎欄に示すよう
し，＠は⑤に比べて6・4％大きい．また，P。／Pcrの値
にえられるが，これより，◎欄の値が④欄に示した板
が負となる領域すなわち引張力の領域では，P。／Pcr
の規準関数に極めて近いことがわかる．
の増大に伴なってπ＊／ηoが緩やかに減少し，P・／P・・
＝一 Q．48のときに最小となるが，この値は②に比べ
0
％o
④
＠
0，000
0．∂ ク0
00％
0114
◎
0000
④
．αフ0
て9・3％小さく，⑤に比べて2．9％小さいといえる．
さらに，P。／Pc。＜一2．48ではπ＊／πoが再び緩やかに
o．βo
0．β1
増大することがわかる．
同様に，振幅比6／ん一2・5および3・0の2ケース
2∠0
0β47
03久ク
0404
0，472
物
o，655
∠λ6脅ク
0．〃グ
・％o
o勿6
〃，％5
o〃6
o名2ノ
0．92／
・5！0
■．〃0
∠000
／．6繊ク
／，0〃0
Table 2
以上のことは，Rayleichの原理から判断して当然
について，P・／Pcrとπ＊／πoとの関係を求め，これら
をプロットすれば，Fig・4，5に示す結果をうる．
託90
劇
⑳
∠86
のことである．すなわちGalerkin法によってえられ
た振動数は微分方程式の厳密積分による解よりも常に
z82
大となるゆえ，各種の軸力の値を用いてえられる最：小
⑫
振動数およびその際の規準関数が本法によってえられ
る最も精度の高い解であるといえる．
5． 非線形自由振動
4．の結果から，非線形自由振動においても，Poの
・各値に対するη＊の最小値が厳密解に最も近いことお
∴78
〃4 ／o o イ。
−ε0
Fi9・4
づ04” i．6o
60
長崎大学工学部研究報告第5号 昭和47年12月
2∠8
π
e
２μ ＠−
210
◎
ノ：043
／．042・，
／．／6／
／．！56
／：＆ラ0
／．3／8
∠531
，ろ5と）8
◎
一④
05
λ082
λ0
1．2〃
λ5
1，39ク
孟046
1／70
∠347
2．0
、624
／，560
25
！．873
／．ク97
∠タ52
／〃4
2〆38
204β
／．名36
曜
ﾚ％’0
30
20
｝
②
㊤
1
Table 3
202
ε
卜することとなり，このことから従来の方法は振幅比．
1％
ZOO イ0揺0δ0イ0曜
o
：Fig・5
が大きい領域で不適当であるといえる．⑤の場合，す
なわちP・／Pcr−0なるはりの規準関数：を用いる方法
は，振幅比が小さい領域では◎の場合に殆んど合致し
：Figs．3，4および5を比較すれば，振幅比。海の増大
ているが，振幅比が増大するにつれてやはり差異が増・
に伴って，P。／Pcrの変化すなわち仮定した振動波形
加し，σ／乃一2・0，2・5および3・0の各値に対して◎よ
の変化によるπ＊／πoの変動が著しくなり，振幅比が大
りも2・9％・4・5％・6・2％それぞれ大きい振動数比，
きくなるほど最小振動数は負領域にあって，より絶対
を与えている．これらの値は③の場合よりも小さく，
値の大きなP。／Pcrの値に対してえられることがわ
したがって⑤の方法が，③の方法よりも精度の高い解
かる．また，Fig・2の線形振動の場合と比較すると，
がえられているものと推定されるが，それでも振幅比．
非線形振動の場合の方が最小値付近のP。／Pcrの変化
が大きい領域では，振幅による振動波形の変動を無視
に対する振動数比π＊／πoの変動が小さくなっている
できないことがわかる．
振幅比。／hが2・0，2・5および3・0の各ケースにつ
ことがわかる．
規準関数の仮定に関する③，⑤，◎の諸法により，
いて最小振動数の場合の軸力を用いて板中央断面の規
振幅比。／hの諸値に対する振動数比η＊／πoを求めれ
準関数（η＝1／2）算出すれば，Table 4に示すとおり
ばFig・6およびTable 3をうる．これらの結果から，
にえられる。これらをTable 2＠欄の線形振動波形・
各方法とも振幅比が増大するにつれて振動数比が増大
と比較すると，振幅比の増大とともに，非線形振動の
するが，従来の座屈波形による解法＠では，⑤および
規準関数は線形の場合よりもふくらんで，くることがわ
◎の場合よりもつねに大きな振動数比を与えているこ
かる．このことは，式（1−1）または式（2−1）にお
とがわかる．‘／々＝2・0，2・5，3・0の各ケースについて
いて曲げの項EI離に比較して軸力の項P。器が無
◎の場合と比較すればそれぞれ9．3％」2．1％，15．2
％大きくなり，振幅比の増大に伴なってその差異が増
視しえない大きさとなることに起因するものである．
なお，本題と同じ正方形板に対してWhi七e6）が行な
った大振幅定常振動試験結果でも同様の傾向が示され
ている．
エ 笥
振幅比ψ；3・0の場合について，＠，⑤，◎の各
20
’
’
方法にもとつく板中央断面（η一1／2）の規準関数をプ
’
ロットすれば：Fig・7に示すようにえられる．図から
ノ
，イ8
』
！
④と◎との差に比べて，⑤と◎との差はかなり小さい
’
’
@’
m
z6
といえる．この事実がTable 3に示した振動数比の
ノ
差となって表わされている．また，振動波形が⑥から
！
@！
f
14
＠の間を変動するとき，軸力比の変動が0から1であ
’
’
’
るのに対して，振動波形が⑤から◎の間を変動すると
@ ’
@！
@’
U
孟2
きは，軸力比は0から一4・37と大きく変わる．この
ζとから同じ大きさの軸力比の変動に対して圧縮領域
ZO
0．0
05
∠0
∠5 20
Fig・6
25
蒐30
の方が引張領域よりも規準関数の変化割合が大きいと
いえる．軸力比と規準関数に関するこの特性の影響が
周辺固定く形板の非線形自由振動
61
．を
6ん
6．結
語
一
Qσ
25
30
0，000
0，ooO
〃，000
0．／5
0／62
0，！70
0，447
0，732
o、 フ
0，4ク0
ある．
0．74〃
o，747
（D本法は応力関数の算定およびGalerkin法の適
初。
oヌ30
o，ク34
用にあたって板の振動波形を直角二方向の任意の軸力
砺。
0432
／・000
／。000
／，000
0
1 10
％o
・3／0
本論文は周辺で面内変位が拘束される周辺固定く形
板の非線形自由振動問題のより厳密な算定法を提案し
たものであるが，その結果を要約すれば次のとおりで
を受ける固定ばりの線形曲げ振動の規準関数を用いて
仮定したが，これによれば，座屈波形を仮定する既往
Table 4
の解法は，本法の1特例なる．
（2）応力関数の算出にあたってはフーリエ級数を用
Figs・2∼5に示した軸力比と振動数比との間に表わ
れており，P。／Pcr−0∼fでη＊／πoの変動が大きく，
：P。ノPcrが負の領域で緩やかになっていることが説明
いて誘導された規準関数を，またGalerkin法の適用
に際しは通常の方法により算定されるはりの規準関数
を用いることにより解裾の単純化をはかった．
される．
本論文では式（1），（2）で示される適合条件式および釣
合式の丁丁について振動波形の変動を考慮したが，応
力関数の算定にあたっては従来と同じ座屈波形を用い，
釣合式のみについて振動波形の変動の影響を考慮すれ
ば，本法に比べて数値計算が容易になる．このような
について，6／旗2・0に対するP。／Pcrとπ＊／ηoとの
関係を求あれば，Fig・3の点線で示すごとくえられる．
これより本ケースはP。／Pcr一一3．75で最小振動数比
^ηo＝1・508がえられ，この値は◎の場合よりも2．5
η＊
（5）正方形板の線形自由振動数を求めたところ，は
りの座屈波形よりも振動波形を用いる方が精度の高い
解が得られた．また，はりに作用する任意の軸力P・
の導入によって，Galerkin法の第1項近似解だけで
も極めて高精度の解がえられることおよび板の規準関
数がはりの規準関数を用いて極めてよい精度で表わさ
れることが明らかとなった．
（4）本法による非線形自由振動数は従来の座屈波形
による結果よりも小さいが，両解析結果の差異は振幅
比の増大に伴なって増加し，無視できない大きさとな
努0 彰。 ％エ％
γ。
（ク
0，0
る．したがって，既往の解法は振幅比が大きい領域で
は精度が悪いと推定される．
、「
、、
（5）本法の1特例として軸力が作用しないはりの規
A
、、、
己22
準関数を用いる方法があるが，これと，P・／Pc。の種
愈
、、
々の値に対する、η＊／πoの値を求あ，その最小値を解
’ （i送＼，驚＝！
、
04
とする方法とを比較するとき，振幅比が1よりも小さ
、
い領域では両者はよく一致しているが，振幅比が1よ
卜＼、
＼＼＼、
06
りも大きい領域では振幅比の増大に伴なって両者の差
異もまた大きくなる．
、、＼、
（6）（4），（5）より振幅比が大きい領域では，振幅に
、、＼
伴なう振動波形の変動が振動数比に及ぼす影響を無視
〃β
、
することができないといえる．
＼＼
綱
、、
A
、、
κ0
（7）本法によれば近似的な非線形自由振動の規準関
数が算出可能であるが，えられた結果は線形自由振動
Fig・7
の場合よりもいくぶんふくらんだ形となり，この事実
％小さな値となることがわかる．ψの他の値につい
（8）応力関数も振動波形’の変化によって変動するが，
て同様の演算を行なえば，Table 3の⑥欄に示すよ
振動数比におよぼす応力関数の変動の影響は，振幅比
は既往の実験結果と合致するものである．
うにえられ，これを◎欄の値と比較すれば，振幅比が
が大きくなるにつれて増大し無視できなくなる．
増大するにつれて両者の差異が増大し，したがって振
なお，本研究では非線形自由振動のみを取扱ったが，
動波形の変化による応力関数の変動が無視できないと
定常強制振動や静的曲げについても同様の取扱いが可
いえる．
能である．また，板を多自由度系として取扱うことや
長崎大学工学部研究報告第5号 昭和4ワ年12月
62
実験値との比較などについても現在考慮中であり，こ
ここに，ω；はりの固有円振動数，ε；初期位相角勢
れらについては稿を改めて報告したい．
冴A，冴B，巫，雇；MA， MB， R五， R丘の最：大値
本研究は昭和46，4ワ年度の文部省科学研究費を受け，
瓢，瑠を正弦フーリエ級数に展開すれば，次のよ．
また，研究にあたっては卒論生富川博久，林田守弘両
君の熱心な協力をえた．記して謝意を表する次第であ
る．また，本論文の数値計算には九州大学の大型電算
FACOM 230−60を使用したことを付記する．
盃’五一Σ・4A鵬5伽初πξ，・4’B＝Σ・4B皿sゴπ
7η＝1 ηz＝1
η2πξ （1−4＞
Appendix Aフーリエ級数による両端固定ばりの
規準関数の誘導
B
A
うにえられる．
ここ｝こ，ξ＝κ／α
例郵聯筆一2孕直
5げπ町4 （1−5＞
嫡1∫：lll二巴一ξ4ξ一‘2舜
図β
A
A
∫伽魏πゴB
（b）
6
B
羅趣児＿4鎧
島
（o）
Fig． A−1
Fig・A−1（a）に示すような任意の軸力Poの作用
を受ける固定ばりが振動すれば，はりの端部には曲げ
モーメントMAおよびMBを生ずるが，これらは
Fig・A−1（b）に示す両端単純ばりの振動変位を拘束
する一種の強制力とみなすことができる．したがって，
固定ばりの自由振動は単純支持ばりに強制力q（x，七）
が作用するごとき強制振動とみなすことができ，した
Fig・A−1（b）の状態は塩→o，∠B→1なる極限状
態た相当するから，式（1−2）を式（1−5）に代入し艶
山→・0，4B→1とすれば，‘ ｮ（1−5）は次式となる．
丑一一
浸・
R禦。纂・伽商一一警恥（1−6＞
j鰭聖憲蜘町（1一」・）一（一1）m
2ηzπ＿
一万一沸4β
これより式（1−4）は次式となる．
Rノ・一一
ｹ認1一傭・ξ
（1−7＞
互！一一聖祝三1（一1）瀦一隅・ξ
がって，その基礎微分方程式は次式で与えられること
となる
E聯＋P。li書＋ρ聯，一・（切 （1−1）
式（1−1）のσ（κ，りははりに作用する全強制力’
であり，ここでは式（1−7）の雇！4および｝∼’Bの和で・
与えられる．すなわち
ここに，EI，はりの曲げ剛性，Po，軸力（圧縮を正
・α・・）一一1華1｛三一（一1）・嘱｝吻
とする），ρ；はりの密度，A；はりの断面積，絹はりの
たわみ
はりに作用する端モーメントMA， MBを直接フー
リエ級数を用いて展開することは困難であるから，こ
れらをFig・A−1（c）に示す状態におきかえる7）．す
なわち，A点から∠A1，4BZはなれた点に仮想支点A1・
Bノを導入し，端モーメントMA， MBに代わるものと
して反力R’A，R’Bを考える．すなわち
ηzπξ∫伽（ω’＋一ε） （1−8＞
他方，両端単純支持の境界条件を満足するはりのた
わみ之を次のように仮定する．
ζ＝Z（の∫伽（ω’＋ε）＝Σα肌5伽7ηπξ5初（ω渉＋ε〉
η2＝1
（1−9＞
焔＝＿．R五∠1」41， 2矯3＝一1∼1多 （1一∠1B）Z （1−2）
ここに，Z（κ）＝Σα肌s伽祝πξ；規準関数，α㎜
MA， MBおよびR・A， R／Bは同じ時間七の周期関数
解＝1
で振動しているから，これらは次のように表わされる．
任意定数
鵡一興・げ・（ω’＋・），MB一冴BSゴ・（ω診＋・）
式（1−8）および式（1−9）を式（1−1）に代一
R五一烈∫伽（ω∫＋・），Rゑ一離s伽（ω渉＋・）
入すれば任意定数砺が算定され，したがって規準開
（1−3）
数Zが次のようにえられる．
周辺固定く形板の非線形自由振動
65
Zω一一暑熱1雑篇耀蝶・
s伽〃3πξ （1−10）
ここに・〆雨隠∀・芸2濯一心
A B
Fig・B−1
冴Bl
Mβ＝
E∫
上式より
式（1−10）の端モーメトM4，’：Mβ1まはり端部の境
Z＝∠1605乃λξ＋Bs翔るλξ＋α05γξ＋1）sfηγξ （2−3）
．界条件により決定されるが，Fig・A−1（a）固定ばりで
は
κ＝0，1で4Z（％）／ぬ＝0 （1−11）
ここに・N二、／、壇・＋姻、
γ一》・／・＋》9・＋・ん・／・，ξ一焔9一盤1
式（1−10）を式（1−11）に代入すれば，次式をう
剛
ρ書・A，B・C・D・積舵魏
る．
L：；一ll〕｛耀ト・ （1−12）
B1吻・＿・轟一ん・／。・・C・一一
ここ｝・・C・一
Fig・B−1に示すように，はりの左右端においてたわ
みが零，端モーメントがMA， MBとなるものとすれ
ば，式（2−5）に含まれる積分定数がそれぞれ次の
ように算定される．
誕1配・一詩魂・μ・
オー，辛，，努2・B一λ・圭γ・（翻努2
式（1−12）から，次のような振動数方程式をうる．
C21−C22＝0 （1−13）
いま，固定ばりの最低次の曲げ振動を考える場合には
君1＝C2となることが数値的に確認されるゆえ，これ
を式（1−12）に代入すればM4一瀞がえられる．し
たがって，本題の規準関数が次のようにえられる．
Zω一暑蝋ヨ，、扉一晦。傷・一ん・ノ。沖
一酬λ竪） （・一・）
C一λ、羊讐D一λ・圭，・（一 γM蓋＋
・・ γ響）
他方，5連モーメントの定理によれば，各部材の端モ
ーメントの間には次のような関係が成立する．
M乞一1Z汁2M乞σ6十♂汁1）十《4δ年11乙＋1罵Nz十
窺πξ （1−14）
N乞＋1 （2−5）
式（1−14）の最大値はξ一1／2において生ずるが，
ここに，N乞， N乞＋1，1荷重項
この値が1となるようにM孟の大きさを決定すれば，
軸力P。の作用を受けて振動する部材では
本題の規準関数がえられ次のようである．
，遵z・・一三直なる分布腫が作用しているものと
Z（％）＝Σα濡∫勿襯πξ （1−15）
7η＝1
ここに・伽＝筋4＿那29。ノπ2＿ん4／π4・C；定数
みなしうるから，上式に含まれる荷重項N乞，N乞・1が
次のように与えられる8）．
冠2 Zゴ
N・一一醐ω・∫ぎZ配（1一π）畑呵
0
．Appendix B両端固定ばりの規準関数の誘導
42Zゼ κ22
（1一）撮
扉冠 1ガ2
任意の軸力P。の作用を受けるはりの線形自由振動
・の微分方程式は次のように与えられる．
ll髪＋畷＋ρ聯一・ （・一1）
式（2−1）の解を
之＝Z （彦）3魏（ω彦十ε）
と仮定すれば規準関数Z（のに関する微分方程式が
次のようにえられる．
42Z
44Z
厩τ＋P・簾一卿2Z−0 （2−2）
乙乞＋1
轤y （1一嗣）｛1一
廟一・ 舳・ω・
0
（1盛十1一規十1）2
｝煽
（2−6）
1乞＋1
＋晒∫1岨難1（娩一凋）｛・一
（z‘・1一籍1）2 12 乞＋1｝煽
．、．
U4
長崎大学工学部研究報告第5号・．．昭和4ワ年12月
上式に式（2−6）を代入のうえ，積分定数：として式
式（2−10）より本題の固有値んが求吟ちれ・これを式
（2−4）を用いれば次式をうる．
（2−9）に代入すればMAと軍Bとの関係がえられる一
ゲ る ブ
N盛＝一1乞（∫8・乞・Mz十∫7・乞M乞）一1乞（∫4・乞ルf盛十∫s・乞
基奉張動のみを対象とすればMA＝MB≧なり，した
ご
ル9 ン ＿．．
ゲ あ
脇・1一一1乞・1（／7・乞・1鱈．1＋∫8覗鱈．1）一
1乞・1（∫3・乞M慕1＋∫4，奄・1Mみ1） （2−7）
ここに，
歴ん才／（λ1＋γ1）． o（一6λ・・1…んλ・一λ多＋6）／λ才＋
がって規準関数Z（x）が次のように算定されること
になる．
Z（の一λ・皐γ・｛一…んλξ＋（…乃λ一・・醐・勲
λξ棚γξ＋（一・叶ω∫・・γ）吻ξ｝一（241＞
参 考 文 献
1）N．Y．mっki；Lfueでce of Large．Amplitudes on Flexl
（67・・・…γ・一γ1−6）／・量｝
ural Vibr tions of Elastic Plates， ZAMM， Vo1．41．
No．12， pp．501∼510， i 961
乃・・一心／（λ1＋・1）｛（6λ・・蹴一2λ警一9）／λ穿＋
（吻・γ汁・・1−6）／・1｝
2）J．G． Eisely；Nonlinear Vibration of Beams ardl
Rectrngular Plates， ZAMP， Vol．15， pp．167ん175．
1964
迄・・一・逸／（λ1＋γ1）｛（6λ…5醐＋λ1−6）／λ1÷
5）S．Levy；Bending of Rectangu1ヨr Plates with L3rge・
Deflection， NACA Report No．7371and NACA TN−
（6騨・・γ・一・1−6）／γ1｝
No．846，1942
4）S．Levy；Square Plate with Clamped Edges under・
顛一・・／（λ1＋γ1）｛（一6々・・鵡＋2λ1−6）／λ1＋
（6・・…γ汁・・1）／・1｝
Normal Pressure Producbg．Large Deflectioコ， NA
CA Report No．740 and NACA TN No．．847，1942
5）D．Youηg；Vibration of Rectangular Plate by Ritz−
式（2−7）を式（2−5）に代入すれば，一定軸力Poを
Method， J． App1． Mech．， Vol．17， No．4， pp．448∼453，．
受ける不静定ばりを解くための動力学5連モーメント
1950
式が求まり・結局次のようにえられる・
6）R．G． White；Use of Transient Excit三tion in the
M乞＿1 Z包（1十プ＝ア，乞十養3，乞） 十ノレfz ｛♂ご（2十ノ智，盛十ゐ』，乞）一ト
z・ナ・（2十プも，乞＋i十五L，乞）｝＋脇・・砺（1＋
ノr7，名＋1一預8，盛＋1）＝＝0 （2−8）
Measurewe且t of the Frequency Response of Systems．
with Nodinearities Arising from Large．Deflection，
Instltute of Sound and Vibration Reseヨrch Technical
Report No．27， University of Southampton， England，．
式（2−8）を本題の両端固定ばりに適用すれば次式を
うる．
〔2−1一プ覧3一げ4 1十プ『7十ノも1一げ7＋尭 2十商ザ4〕｛謝一・（・動
Feb。，1970
7）山崎・樗木；フーリエ級数による連続ばりおよびラーメ
ンの解法，九州大学工学二二，第59巻，第5号，．昭和41年．
10月
式（2−9）から振動数方程式が次のように与えられる．
（2十」亀一i−」『≧）2 一（1−1一∫7十ニプ『8）2＝0 （2−10）
8）岡本；建設技術者のための振動学，pp．119∼122，二一
ム社，昭和42年
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