第７２回数実研レポート 留数を用いた級数の和の求め方 ２０１０．２．６．ニッセイＭＫビル 札幌平岡高校 長谷川 -1- 貢 級数の和の求め方 長谷川 貢 級数の和は、数学Ⅲの科目で初めて目にする不思議な計算であるが、その方法は数学Ｂ で学習した数列の和の公式を直接使うことのできる方法と、数学Ⅲで学習する区分求積法 の２種類に限られる。しかし、それらの方法を使うことのできない問題も数多くある。 今回は留数を用いた方法について考察する。そのために必要な道具から始める。 「岩波講座 応用数学 複素関数論Ⅱ 森 正武 杉浦正顕 著」を参考にした。 定義７．２ ｆ（ｚ）が０＜｜ｚ－ａ｜＜Ｒで正則であり、そこで ∞ ｆ ｚ ＝ (７．１) ｎ ｃｎ ｚ－ａ ｎ＝－∞ の 形 に Laurent 級 数 に 展 開 さ れ た と す る 。 こ の と き 、 展 開 係 数 ｃ － １ を ｆ （ ｚ ） の ｚ ＝ ａ に おける留数という。 ｃ －１は ｆ （ ｚ ） を Ｃ で 囲 ん で 積 分 し た 値 に 他 な ら な い 。 定義７．２ ｆ（ｚ）が０＜｜ｚ－ａ｜＜Ｒで正則なとき、 １ ２πｉ ｚ－ａ ＝ｒ ｆ(ζ)ｄζ (０＜ｒ＜Ｒ) をｆ（ｚ）のｚ＝ａにおける留数という。 定理７．１ （ 留 数 定 理 ） ｆ （ ｚ ） は 、 単 純 閉 曲 線 Ｃ の 内 部 で 有 限 個 の 孤 立 特 異 点 ａ １、 ａ ２、 … ， ａ ｍ を 持 つ が ， そ れ ら を 除 け ば 周 も 含 め て Ｃ の 内 部 で 正 則 で あ る と す る 。 こ の とき ｍ Ｃ ｆ ｚ ｄｚ＝２πｉ Ｒｅｓ ｆ，αｋ ｋ＝１ 無限遠点における留数 定 義 ７ ．３ ｆ（ ｚ ）は Ｒ ＜ ｜ ｚ ｜ ＜ ∞ に お い て 正 則 で ，Γ ｒ を ｜ ｚ ｜ ＝ ｒ（ Ｒ ＜ ｒ ＜ ∞ ） なる正の向きの円周とするとき， １ ２πｉ Γｒ ｆ ｚ ｄｚ＝－ －１ １ ２πｉ Γｒ ｆ ｚ ｄｚ を ｆ （ ｚ ） の 無 限 遠 点 に お け る 留 数 と い う 。 た だ し 、 Γ ｒ－１は Γ ｒの 向 き を 逆 に し た 円 周 である。 定理７．２ 単 純 閉 曲 線 Ｃ の 外 部 に あ る 有 限 個 の 点 ａ ｋ（ ｋ ＝ １ ， ２ ， … ， ｍ ） お よ び 無 限遠点∞を除いて，ｆ（ｚ）はＣの外部ではその周上を含めて正則であるとする。このと き， ｍ Ｃ ｆ ｚ ｄｚ＝－２πｉ Ｒｅｓ ａｋ，ｆ ＋Ｒｅｓ ∞，ｆ ｋ＝１ （ 無 限 遠 点 に お け る 留 数 は ， Ｒ ｅ ｓ （ ｆ ， ∞ ）， Ｒ ｅ ｓ （ ∞ ， ｆ ） で 表 す 。） -2- ＣＲ Ｃ１ Ｃ２ × × ａ１ ａ２ Ｃ Ｃｍ × ａｍ 図７．１ 証明】 ＣＲ ｆ ｚ ｄｚ＝ Ｃ１ ｆ ｚ ｄｚ＋ Ｃ２ ｆ ｚ ｄｚ＋…＋ Ｃｍ ｆ ｚ ｄｚ＋ Ｃ ｆ ｚ ｄｚ よ り 、 Ｃ Ｒに 沿 う 積 分 は － ２ π ｉ × （ 無 限 遠 点 に お け る 留 数 ） を 与 え る か ら ， こ れ か ら た だちに上式を得る。 留数の計算法 ｐ （ ｚ ）， ｑ （ ｚ ） を ｚ ＝ ａ で 正 則 か つ ， ｑ （ ａ ） ＝ ０ ， ｑ ’（ ａ ） ≠ ０ ， ｐ （ ａ ） ≠ ０ をみたす関数として，関数ｆ（ｚ）がｐ（ｚ）／ｑ（ｚ）の形に表されるとする。このと き，ｆ（ｚ）はｚ＝ａに単純な極をもち ｌｉｍ ｚ－ａ ｚ→ａ ｐ ｚ ＝ ｑ ｚ ｌｉｍ ｐ ａ ｑ ｚ －ｑ ａ ｚ→ａ ＝ ｐ ａ ｑ’ ａ ｚ－ａ である。したがって，そこでの留数は ｃ－１＝ ｐ（ａ） ｑ’（ａ） によって計算できる。 三角関数の留数 ｆ ｚ ＝πｃｏｔπｚ＝ πｃｏｓπｚ ｓｉｎπｚ と す る 。こ の と き ，ｚ ＝ ０ ，± １ ，± ２ ，… ，ｋ ，… は ｆ（ ｚ ）の 留 数 の 単 純 な 極 で あ り ， ｌｉｍ ｚ－ｋ πｃｏｔπｚ＝ｌｉｍ ｚ→ｋ ＝ｌｉｍ ｈ→０ ｚ→ｋ （ｚ－ｋ）πｃｏｓπｚ ｓｉｎπｚ πｈｃｏｓπ ｋ＋ｈ ｃｏｓｋπ ＝ ＝１ （ 但 し 、 ｚ ＝ ｋ ＋ ｈ ｓｉｎπ ｋ＋ｈ ｃｏｓｋπ -3- とおいた） ｆｚ＝ π ｓｉｎπｚ と す る 。こ の と き ，ｚ ＝ ０ ，± １ ，± ２ ，… ，ｋ ，… は ｆ（ ｚ ）の 留 数 の 単 純 な 極 で あ り ， そこでの留数は次のようになる。 ｃ－１＝ π ＝ －１ πｃｏｓｋπ ｋ となる。 と す る 。こ の と き ，ｚ ＝ ０ ，± １ ，± ２ ，… ，ｋ ，… は ｆ（ ｚ ）の 留 数 の 単 純 な 極 で あ り ， そこでの留数は π ｃ－１＝ ｄ ｄｚ ｚ＝ｋ＝ ｓｉｎπｚ π ＝ －１ πｃｏｓｋπ ｋ となる。 有理関数の無限区間における積分 Ｐ (ｘ )は ｍ 次 ， Ｑ (ｘ )は ｎ 次 の 多 項 式 で ， ｎ ≧ ｍ ＋ ２ か つ Ｑ （ ｚ ） は 実 の 零 点 を も た な いとする。このとき ∞ Ｐ ｘ －∞ Ｑ ｘ Ｎ ｄｘ＝２πｉ Ｒｅｓ ｋ＝１ Ｐ ｚ Ｑ ｚ ，ａｋ …① た だ し ， ａ ｋ（ ｋ ＝ １ ， ２ ， … ， Ｎ ） は Ｐ （ ｚ ） ／Ｑ （ ｚ ） の 上 半 平 面 に あ る 極 で あ る 。 証明】右の図のように積分路Ｃを考える。 積分路Ｃは，実軸上の積分（－Ｒ，Ｒ） と 原 点 を 中 心 と す る 半 径 Ｒ の 半 円 周 Γ Ｒを つ な い だ も の で あ る 。 た だ し ， 極 ａ ｋは す べ て Ｃの内部に入るようにＲは十分大きくとる。 ＣＲ このとき，留数定理より Ｃ × Ｐ ｚ ｄｚ＝ Ｑ ｚ Ｒ Ｐ ｘ －Ｒ Ｑ ｘ ｄｘ＋ Ｎ ＝２πｉ Ｒｅｓ ｋ＝１ × × ＣＲ Ｐ ｚ Ｑ ｚ Ｐ ｚ ｄｚ Ｑ ｚ ，ａｋ －Ｒ ａｋ Ｏ Ｒ …② となる。一方，仮定ｎ≧ｍ＋２より，Ｒを十分大きくとればＭをＲによらないある定 数 と し て ｜ ｚ ２ Ｐ （ ｚ ） ／Ｑ （ ｚ ） ｜ ≦ Ｍ が 成 り 立 つ か ら ΓＲ Ｐ ｚ ｄｚ ≦ Ｑ ｚ ΓＲ Ｐ ｚ Ｑ ｚ ｄｚ ＝ -4- ΓＲ ｚ２ Ｐ ｚ Ｑ ｚ １ ｚ２ ｄｚ ≦ Ｍ Ｍπ πＲ＝ →０ Ｒ２ Ｒ 定 理 ７ ．４ し た が っ て 、② で Ｒ → ∞ と す れ ば 、① を 得 る 。 （Ｒ→∞） ｆ（ ｚ ）は 有 理 関 数 で ，分 母 の 次 数 は 分 母 の 次 数 よ り ２ 以 上 大 き く ，ｆ（ ｚ ） は整数の極をもたないとする。このとき ∞ ｆ ｎ ＝－ ｎ＝－∞ Ｒｅｓ ｆσ１，ζｊ 但し、ｆ ｚ ＝ ｊ １ ｚ２＋ａ２ である。 た だ し ， ζ ｊは ｆ （ ｚ ） の す べ て の 極 で ， 和 は す べ て の 極 に つ い て と る 。 具体的な例題 次の和を求めなさい。 ∞ Ｓ＝ ｎ＝１ １ （ａ＞０） ｎ２＋ａ２ 解 】 ｆ ｚ σ１ ｚ ＝ πｃｏｓπｚ ｚ２＋ａ２ ｓｉｎπｚ とおく。 ｆ （ ｚ ） σ １（ ｚ ） の 孤 立 特 異 点 は ， ± ａ ｉ ， ０ ， ± １ ， ± ２ ， ± ３ ， … ， ± ｎ ， … で あ る。また，その点での留数を求める。 ｚ＝ａｉのとき ｚ－ａｉ πｃｏｓπｚ π ２ｉ ｅ－πａ＋ｅπａ ＝ ｌｉｍ ｚ＋ａｉ ｓｉｎπｚ ２ａｉ ｅ－πａ－ｅπａ ２ ｚ→ａｉ ｚ－ａｉ ＝ π １＋ｅ－２πａ ２ａ １－ｅ－２πａ ｚ＋ａｉ πｃｏｓπｚ π ２ｉ ｅπａ＋ｅ－πａ ＝ ｌｉｍ ｚ＋ａｉ ｓｉｎπｚ －２ａｉ ｅπａ－ｅ－πａ ２ ｚ→－ａｉ ｚ－ａｉ π １＋ｅ－２πａ ＝ ２ａ １－ｅ－２πａ ｌｉｍ ｚ→ｋ π ｚ－ｋ ｃｏｓπｚ πｃｏｓｋπ １ ＝ ＝ ｚ２＋ａ２ ｓｉｎπｚ ｋ２＋ａ２ ｃｏｓｋπ ｋ２＋ａ２ よって ∞ １ ｎ＝－∞ ｎ２＋ａ２ ＝－ π ｅ２πａ＋１ ＝ ａ ｅ２πａ－１ ∞ 答 ｎ＝１ １ ｎ２＋ａ ＝ ２ π １＋ｅ－２ａπ ２ａ １－ｅ－２ａπ ∞ また， ｎ＝－∞ ＋ π １＋ｅ－２ａπ ２ａ １－ｅ－２ａπ ∞ １ １ ＝２ ＋ ｎ２＋ａ２ ｎ２＋ａ２ ａ２ ｎ＝１ １ π ｅ２πａ＋１ ２ ａ ｅ２πａ－１ １ － １ ａ２ -5- より この式のａを０に近づける。 ここではロピタルの定理を用いて計算する。 π ｅ２πａ＋１ １ πａ ｅ２πａ＋１ － ｅ２πａ－１ － ＝ｌｉｍ ａ ｅ２πａ－１ ａ２ ａ２ ｅ２πａ－１ ａ→０ ｌｉｍ ａ→０ ＝ｌｉｍ ａ→０ π ｅ２πａ＋１ ＋πａ× ２πｅ２πａ－２πｅ２πａ ２ａ ｅ２πａ－１ ＋ａ２× ２πｅ２πａ πｅ２πａ＋π＋２π２ａｅ２πａ－２πｅ２πａ ＝ｌｉｍ ａ→０ ２ａｅ２πａ－２ａ＋２πａ２ｅ２πａ ＝ｌｉｍ ａ→０ ＝ｌｉｍ ａ→０ ＝ｌｉｍ ａ→０ ＝ －２π２ｅ２πａ＋２π２ｅ２πａ＋４π３ａｅ２πａ ２ｅ２πａ＋４πａｅ２πａ－２＋４πａｅ２πａ＋４π２ａ２ｅ２πａ ４π３ａｅ２πａ ２ｅ２πａ＋８πａｅ２πａ－２＋４π２ａ２ｅ２πａ ４π３ｅ２πａ＋８π４ａｅ２πａ ４πｅ２πａ＋８πｅ２πａ＋１６π２ａｅ２πａ＋８π２ａｅ２πａ＋８π３ａ２ｅ２πａ ４π３ π２ ＝ １２π ３ よって ∞ ｌｉｍ ｎ→０ ｎ＝１ １ ｎ２＋ａ２ ＝ｌｉｍ ∞ このことは，ζ ２ ＝ ａ→０ １ ＝ ２ ｎ＝１ ｎ １ π ｅ２πａ＋１ ２ ａ ｅ２πａ－１ π２ ６ － １ ａ２ ＝ １ ２ × π２ ３ ＝ π２ ６ の答と一致することになる。 問題】次の級数の和を求めなさい。 ∞ ｎ＝１ －１ ｎ ｎ２＋ａ２ （ヒント…σ２ ｚ ＝ π ｓｉｎπｚ -6- ，ｆ ｚ ＝ １ ｚ２＋ａ２ とおく。）
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