量子電磁気学の近似 - あもんノート

あもんノート
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ユークリッド幾何学、ニュートン力学から、相対論、宇宙論、量子力学、場の量子論、
素粒子論、そしてくりこみ理論まで、理論物理学を簡潔にかつ幅広く網羅したノート
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目次
1
2
量子電磁気学の近似
1.1
ディラック場の非相対論的近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
クーロン相互作用の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
パウリ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
ランダウ準位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
ゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.6
荷電粒子の光子放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7
水素原子の軌道遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1
1
量子電磁気学の近似
量子電磁気学の非相対論的な近似理論についてここにまとめておきます。非相
対論的な場の量子論で用いてきたクーロン相互作用の導出や、外部磁場がある場
合の量子論として、ランダウ準位、ゼーマン効果、さらに光子放出が関与した水
素原子における軌道電子の遷移確率について説明します。
1.1
ディラック場の非相対論的近似
ディラック場のラグランジアン密度は、
¯ ·D − m)ψ,
LD = ψ(iγ
ψ¯ = ψ † γ 0 ,
Dµ = ∂µ + iqAµ
でした。ここで q は電荷、Aµ は電磁場の 4 元ポテンシャルです。ガンマ行列は、
µ
γ =
0 σ
¯µ
,
σµ 0
σ µ = (1, σ),
σ
¯ µ = (1, −σ)
で与えられ、ここで σ はパウリ行列です。
ラグランジアン密度 LD は、
iσ·D −m
ψ
−m i¯
σ ·D
LD = ψ †
と表すこともできますが、ここで ψ1 , ψ2 をそれぞれ 2 成分の場として、
e−imt
ψ= √
2
とおくと、
LD =
ψ1
ψ2
†
1 1
1 −1
ψ1
ψ2
iD0
iσ·D
iσ·D iD0 +2m
ψ1
ψ2
を得ることができます。非相対論的領域では m は場の振動数に比べ十分大きいと
考えられるので、iD0 +2m → 2m と近似できます。そうすると ψ1∗ , ψ2∗ に関する
場の方程式は、それぞれ、
iD0 ψ1 + iσ·Dψ2 = 0,
iσ·Dψ1 + 2mψ2 = 0
2
ですが、後式は ψ2 = −(i/2m)σ·Dψ1 と解けるので、これを LD の式に戻して、
LD = ψ1† iD0 +
1
(σ·D)2 ψ1
2m
を得ます。パウリ行列の性質 σ i σ j = δji + i
ijk σ
k
に注意すると、
(σ·D)2 = |D|2 + iσ·(D×D)
ですが、D = ∇ − iqA なので、
D×D = −iq∇×A = −iqB.
ここで B = ∇×A は磁場です。また、D0 = ∂t + iqA0 ですから、結局ラグラン
ジアン密度は、2 成分の場 ψ1 を改めて ψ と書いて、
LD = ψ † i∂t +
1
q
|∇−iqA|2 − qA0 +
σ·B ψ
2m
2m
となります。場の粒子の磁気モーメントが qσ/2m であることが読み取れますが、
実際に電子はこのような磁気モーメントを持っていることが実験からわかってい
ます。
1.2
クーロン相互作用の導出
電磁場のラグランジアン密度は、ファインマンゲージにおいて、
1
Lem = − ∂µ Aν ∂ µ Aν
2
でした。非相対論的領域においては、ベクトルポテンシャル A, および電磁場の
時間微分項 (運動項) を無視できると考えられるので、QED 全体のラグランジアン
密度 L = LD + Lem は、
1
1
L = ψ † i∂t +
− qA0 ψ + ∂i A0 ∂i A0
2m
2
と近似されることになります。このときスカラーポテンシャル A0 の場の方程式は、
A0 = −J,
J = qψ † ψ
であり、これは解けてしまいます :
A0 (r) =
d3 r
J(r )
4π|r − r |.
これをラグランジアン密度に戻して、
1
1
J(r)J(r )
L = ψ † i∂t +
ψ−
d3 r
+ (空間の全微分項).
2m
2
4π|r − r |
これがクーロン相互作用する粒子系の非相対論的なラグランジアン密度で、シュ
レーディンガー場の量子論において用いてきた式です。
3
1.3
パウリ方程式
LD の非相対論的近似式から、2 成分場 ψ の場の方程式は、
i∂t +
q
1
|∇−iqA|2 − qA0 +
σ·B ψ(r, t) = 0
2m
2m
ですが、これをパウリ方程式といいます。
一方、固有方程式、
−
1
q
|∇ − iqA|2 + qA0 −
σ·B φn (r) =
2m
2m
n φn (r)
を電磁場を含むシュレーディンガー方程式といいます。これを満たす固有関数 φn (r)
を用いると、パウリ方程式の一般解は、
cn φn (r)e−i n t
ψ(r, t) =
n
と書けます。量子論では c∗n は軌道 n に粒子を生成する生成演算子になることは
これまでの章で見てきた通りです。固有関数 φn (r) は 2 成分を持つ縦ベクトルで
あることに注意してください。
1.4
ランダウ準位
一様な磁場 B の中にあって、光より十分遅い速度で運動する荷電粒子は、古典
的に考えると、qv×B の求心力を受けます。運動方程式が qvB = mvω のように
書けることに注意すると、荷電粒子は ω = qB/m の角振動数で円運動、もしく
は一般にらせん運動することがわかります。これをサイクロトロン運動といいま
す。この現象を量子論で考えるとどうなるのか考えてみましょう。以下、デカル
ト座標を r = (x, y, z) とします。
電場はなく、また z 軸の正の方向に大きさ B の一様な磁場があるとし、4 元ポ
テンシャルを、
A0 = 0, A = (0, Bx, 0)
とします。電磁場を含むシュレーディンガー方程式は、
−
1
∂x2 + (∂y − iqBx)2 + ∂z2 + qBσ 3 φ(r) = φ(r)
2m
となります。これを解くために、
φ(r) = f (χ) eiky y+ikz z ,
4
χ=x−
ky
qB
とおくと、
(qB)2 2
kz2
qB 3
1
f (χ) +
χ f (χ) +
f (χ) −
σ f (χ) = f (χ)
−
2m
2m
2m
2m
を得ます。これは本質的に調和振動子系のシュレーディンガー方程式 (∗) と等価で
す。左辺第 3 項と第 4 項はエネルギーの底上げに他なりません。対応する調和振動
子の角振動数は |q|B/m であり、これは古典的なサイクロトロン運動の角振動数
と一致します。
結果、エネルギー固有値は、
|q|B
=
m
1
n+
2
kz2
qBs
+
−
2m
m
(n = 0, 1, 2, · · · , s = ±1/2)
となります。この式をランダウ準位といいます。対応する固有関数は、質量 m, 角
振動数 ω の調和振動子系の規格化された固有関数を hn (mω; x) として、
φ(r) =
ky
γs
hn |q|B; x −
2π
qB
eiky y+ikz z ,
(γs )s = δss
です。エネルギー固有値には量子数 ky が含まれておらず、よって ky に関して無
限の縮退があります。一方、固有関数は x 方向にだけ特殊な形をしていますが、
これら無限の縮退があることを考えれば、もともとの z 軸のまわりの回転対称性
が回復可能なものであることがわかるでしょう。
(*注) 質量 m, 角振動数 ω の調和振動子系のシュレーディンガー方程式は、粒子の座標を x と
1 d2 φ mω 2 2
して、−
+
x φ = φ でした。
2m dx2
2
1.5
ゼーマン効果
もし任意の方向に一様な磁場 B があるなら、対応するベクトルポテンシャルは、
A=
1
B ×r
2
で与えられます。実際このとき、
(∇×A)i =
ijk ∂j (
1
2
klm B
1
1
j
i j j
x ) = (δli δm
−δm
δl )δm B l = (3B i −B i ) = B i .
2
2
l m
また、∇·A = 0 が確かめられ、このゲージ条件はクーロンゲージと呼ばれるもの
です。これらに注意すると、
2
|∇ − iqA| =
2
2
− 2iqA·∇ − q |A| =
5
q2
+ qB ·J − |B ×r|2 .
4
ここで、
J = −ir×∇
は軌道角運動量演算子です。q 2 を含む項は反磁性項と呼ばれ、これはスケール的
な意味で無視できる場合が多いのでここでは無視します。そうすると、電磁場を
含むシュレーディンガー方程式は、
−
1
2m
+ qA0 −
q
B ·(J + σ) φ(r) = φ(r)
2m
となります。このとき左辺括弧内の第 3 項はゼーマンエネルギーと呼ばれます。
磁場が z 方向であるとすれば、
−
1
2m
+ qA0 −
qB 3
(J + σ 3 ) φ(r) = φ(r)
2m
ですが、いま、通常のシュレーディンガー方程式、
−
1
2m
+ qA0 φn (r) = ¯n φn (r)
は解けているものとし、さらに、固有関数 φn (r) は軌道角運動量やスピン角運動
量の固有関数になっているものとします。すなわち、
3
J φn (r) = mn φn (r),
σ3
φn (r) = sn φn (r)
2
sn = ±
1
.
2
mn は磁気量子数、sn はスピン量子数と呼ばれるものです。そうすると、ゼーマ
ンエネルギーを含む方程式の固有関数も φn (r) であり、エネルギー固有値は、
n
= ¯n −
qB
(mn + 2sn )
2m
となります。磁場の存在によりエネルギーが分岐するこの現象は、ゼーマン効果と
呼ばれます。
例えば s 軌道 (l = 0) にあるスピン 1/2 の電子 (q = −e) を考えると、mn = 0,
sn = ±1/2 に注意して、mn + 2sn = ±1 の 2 通りに分岐します。これはスピン
の上下がエネルギーに寄与し、エネルギーの縮退が解けたことを意味します。ま
た、p 軌道 (l = 1) にある電子を考えるなら、mn = ±1, 0 に注意して、mn + 2sn =
±2, ±1, 0 の 5 通りに分岐することになります。この場合 mn + 2sn = 0 は、いま
だ (mn , sn ) = (1, −1/2), (−1, +1/2) の 2 つの軌道を意味し、縮退は完全に解けて
いないことがわかります。
全角運動量の z 成分は mn + sn であることに注意。軌道角運動量とスピン角運
動量では、磁気モーメントへの寄与が 2 倍だけ異なるのです。
6
(余談) 外部磁場を弱くしていくと相対論的な高次効果であるスピン軌道相互作用などが効いて
きます。このため外部磁場を完全になくしても軌道の分岐が残ります。この現象を異常ゼーマン
効果といいます。また、外部磁場を強くしたときに通常のゼーマン効果に漸近する現象はパッシェ
ン・バック効果と呼ばれます。歴史的には異常ゼーマン効果 (スピン軌道相互作用の効果) がアル
カリ金属の原子において発見されたことが、電子のスピン提唱のきっかけになりました。
1.6
荷電粒子の光子放出
ディラック場のラグランジアン密度は、非相対論的近似で、
1
q
|∇ − iqA|2 − qA0 +
σ·B ψ
2m
2m
1
i∂t +
− qA0 ψ + LI
2m
LD = ψ † i∂t +
= ψ†
でした。ここで LI はベクトルポテンシャル A を含む項で、
iq
iq †
q2
q †
†
LI = −
∇·A ψ ψ − ψ A·∇ψ −
|A|2 ψ † ψ +
ψ σ·Bψ.
2m
m
2m
2m
これを相互作用ラグランジアンの密度と考え相互作用表示をとります。そうする
と、スカラーポテンシャル A0 だけを外部ポテンシャルとした場合のシュレーディ
ンガー方程式、
1
+ qA0 φn (r) = n φn (r)
−
2m
の固有関数 φn (r) を用いて、量子場 ψ(x) は、
cn φn (r)e−i n t ,
ψ(x) =
{cn , c∗n } = δnn ,
{cn , cn } = 0
n
と表されることになります。
一方、ベクトルポテンシャルは、
A(x) =
d3 k
(2π)3 2k 0
k 0 = |k|,
ελ (k) aλ (k)e−ik·x + a∗λ (k)eik·x ,
λ=1,2
ελ (k)·k = 0,
[aλ (k), a∗λ (k )] = (2π)3 2k 0 δλλ δ 3 (k−k ),
[aλ (k), aλ (k )] = 0
のように基準モード展開されるのでした。このとき ελ (k)·k = 0 より、いわゆる
クーロンゲージの条件、
∇·A(x) = 0
が成り立つことに注意。
7
いま、軌道 n にある荷電粒子が軌道 n に遷移し、運動量 p, 偏光モード λ の光
子を 1 個放出する過程を考えると、その S 行列要素は、電荷 q の 1 次において、
4
< 0|cn aλ (p)Sc∗n |0 >=< 0|cn aλ (p) T ei d x LI c∗n |0 >
q
=
d4 x < 0|cn aλ (p) ψ † A·∇ψ c∗n |0 >
m
iq
+
d4 x < 0|cn aλ (p) ψ † σ·Bψ c∗n |0 >
2m
ですが、ψ(x), A(x) の式を代入し整理すると、
< 0|cn aλ (p)Sc∗n |0 >= 2πδ
Mλnn (p) =
I nn (p) =
n
− n +p0 Mλnn (p),
1
q
ελ (p)·I nn (p) + (p×ελ (p))·J nn (p) ,
m
2
d3 r e−ip·r φ†n (r)∇φn (r),
J nn (p) =
d3 r e−ip·r φ†n (r)σφn (r)
を得ます。考えている遷移が起こる微小確率は、
dΓ = |
< 0|cn aλ (p)Sc∗n |0 > |2
d3 p
(2π)3 2p0
ですが、上の < 0|cn aλ (p)Sc∗n |0 > の式を代入すると、
dΓ
p0
=
|Mλnn (p)|2
2
T dΩ
8π
p0 = n −
n
を得ます。dΩ は p の微小立体角、T は系における時間の大きさ (→ ∞) で、よっ
て dΓ/T は単位時間あたりにこのような遷移が起こる微小確率を意味することに
なります。
1.7
水素原子の軌道遷移
例として水素原子における電子の軌道遷移を考えてみましょう。このとき、
p0 =
n−
n
=
m e e4
32π 2
1
1
−
n 2 n2
また、ボーア半径は、
.
4π
me e2
ですから、ap0 ∼ e2 /(8π) ∼ 10−3 . よって、I nn (p) や J nn (p) において e−ip·r の
因子は無視できることになります。そうすると固有関数の直交性から J nn (p) は
無視でき、
a=
I nn =
d3 r φ†n (r)∇φn (r)
8
だけを計算すれば良いことになります。このとき、
|Mλnn
λ=1,2
e2
(p)| = 2
me
j
i
εiλ (p)εjλ (p)Inn
Inn
2
λ=1,2
e2
= 2
me
δji
pi pj
− 0 2
(p )
j
i
Inn
Inn
.
よって単位時間あたりの遷移確率は、
Γ
p0
=
T
8π
|Mλnn
dΩ
λ=1,2
e2 ( n − n )
(p)| =
|I nn |2
2
3πme
2
で計算できます。
水素原子の固有関数は、主量子数 n, 方位量子数 l, 磁気量子数 m, スピン量子数
σ のものを φnlmσ と書いたとき、
γσ −r/a
γσ
r
e−r/2a ,
φ1s0σ = √
1−
e
, φ2s0σ = √
3
3
2a
πa
8πa
γσ
γσ
φ2p0σ = √
r e−r/2a cos θ, φ2p±σ = ∓ √
r e−r/2a sin θ e±iφ , · · · .
5
5
32πa
64πa
また、ナブラについては、極座標表示で、
∂x = sin θ cos φ ∂r + (∂θ , ∂φ の項),
∂y = sin θ sin φ ∂r + (∂θ , ∂φ の項),
∂z = cos θ ∂r + (∂θ の項)
であったことに注意します。そうすると、2s → 1s については I nn は 0 になりま
す。また、2p0 → 1s については、
√
16 2
.
I nn = 0, 0,
81a
2p± → 1s については、
∓16 −16i
0 .
81a, 81a,
よって軌道遷移 2p → 1s が単位時間あたりに起こる確率は、2p0 からにせよ 2p±
からにせよ、
e10 me
Γ
=
T
4·38 π 5
となり、よって一般に 2p の寿命は T /Γ ∼ 1.60×10−9 sec と見積もられ、これは
実験値とピタリ合っています。一方、2s の寿命は実験値で 8.23 sec と非常に長く、
これはより高次の効果による遷移と考えられます。
I nn =
(余談) 原子の軌道電子が軌道を変え光を放出することは、高校生でも習って知っているわけで
すが、このことを定量的に計算できる人が、一体どれだけいるのでしょうか…。光子という言葉
をよく使うけれど、それをちゃんと記述でき計算できる人がどれだけいるでしょうか…。本当に
一部の人達に限られるでしょう。このことは、物理学が度重なるパラダイムシフトにより高度すぎ
る概念と化し、特定の人間にしか理解できなくなっていることを、まさに象徴しているように思
います。
9
索引
あ
異常ゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
か
軌道遷移 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
クーロンゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
クーロン相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
光子放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
さ
サイクロトロン運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
スピン軌道相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ゼーマンエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ゼーマン効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
た
電磁場を含むシュレーディンガー方程式 . . . 4
は
パウリ方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
パッシェン・バック効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
反磁性項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ら
ランダウ準位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
10

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