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Zeta 正則化の無限次元微積への応用
浅田明 Freelance, （元信州大学)
E-mail [email protected]
概要
ζ-正則化を用いて無限次元での初等関数や微積の計算に現わ
れる発散の問題を組織的に処理する方法について解説する。そのた
めまず微分作用素の spectre ζ-関数 η-関数 Ray-Singer 行列式
を説明し次いで初等関数や行列式の正則化を述べる。その後無
限次元積分の正則化を定義しその応用として無限次元球面の正則
化体積要素の計算や無限多変数の周期関数の Fourier 展開を説明
する。最後に Fourier 展開と関連して無限次元での Laplacian の正
則化とその周期的境界条件での固有値・固有関数を求める。
1
始めに
無限次元では簡単な微積の計算でも発散の問題が起きる。例えば H
を Hilbert 空間としたとき H の完備正規直交系 e1 , e2 , . . . を固定しそれによる H の座標を x = (x1 , x2 , . . . ); x = n xn en とすれば
∞
r(x) =
n=1
∂2
∂x2n
∞
x2n ,
n=1
は発散する。こうした計算を扱う為 H の（正値）Schatten 級作用素 G
でその ζ-関数 ζ(G, s) = trGs でその s = 0 への解析接続が存在し有限な値をとるものを固定し組 {H, G} を考える。G の固有値・固有ベク
トルを Gen = µn en , µ1 ≥ µ2 ≥ · · · > 0, en = 1 としたとき例えば
∞
:
:f =
(s)f |s=0 ,
µ2s
n
(s) =
n=1
で
の {H, G} での正則化 :
∞
:
=
: r(x) =
ζ(G, 2s)
−
r(x)
∂
µ2s
n
n=1
∞
2
µ2s
n xn
r(x)3
n=1
∂2
,
∂x2n
: を定義すれば
2 r(x)
∂x2n
∞
µ2s
n
|s=0 =
n=1
|s=0 =
ν−1
,
r(x)2
x2
1
− n 3 |s=0
r(x) r(x)
ν = ζ(G, 0),
と:
: r(x) が有限になる ([2],[7])。
{H, G} の例としては X が compact Riemann 多様体で E がその上の
vectro bundle、D を E の切断に働く (正値）非退化自己共役楕円形（擬）
1
微分作用素 D とするとき時 H = L2 (X, E), G を D の Green 作用素と
したものがある（これ以外に意味の有る例があるか不明）。この場合 D の
固有値・固有関数を λn , en : Den = λn en , G の固有値は µn = λ−1
n となり
∞
∞
λ−s
n =
ζ(D, s) =
n=0
µsn = ζ(G, s),
n=1
である。Dirac 作用素のように正値でないものを含め D の ζ-関数（と η関数 η(D, s) = n sgnλn |λn |−s については次の事が知られている。
d−n
, n=
m
0, 1, . . . , d = dimX, m = ordD に高々１位の極を持つ。
2. ζ(D, s) (η(D, s)) は s = 0 で正則である。
3. D が正のとき ζ(D, s) は実軸上で実数値をとる。このとき留数も
実数である。
1. ζ(D, s) (η(D, s)) は全平面に有理型に解析接続され s =
([1],[18],[19],[22],[28], なお [9],[10],[15],[20],[21] 参照)。
形式的に ζ(G, 0) ∼ 1 + 1 + · · · (=G の固有値の数）、ζ (G, 0) ∼ log µ1 +
log µ2 + · · · (=log n µn ) だから ζ(G, 0) = ν は H の正則化次元であり、
exp(ζ (G, 0)) は G の正則化行列式である。G が D の Green 作用素のと
きは exp(−ζ (D, 0)) (=exp(ζ (G, 0))−1 ) が D の正則化行列式 (Ray-Singer
行列式）になる。また ζ(G, s) の最初の極の位置を d そこでの ζ(G, s) の
α
留数を c とおく。これらはともに正の実数である。形式和 eα = ∞
n=1 µn
は α > d/2 のとき H の元だが α ≤ d/2 では H では発散する。
∞
ζ (G,0)
e
=e
ζ (G,s)
s
µµnn |s=0 ,
|s=0 =
n=1
だから数列 x1 , x2 , . . . が Agmon 角 θ; θ + < Argθn < θ + 2π − , を
持つとき x1 , xn , . . . の正則化無限積 : n xn :G,θ を
∞
:
∞
n=1
s
xµnn |s=0 ,
xn :G,θ =
θ + < Argxn < θ + 2π − ,
n=1
で定義する。x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ H に対し : n xn :G,θ を対応させる関数
は θ の決め方を含め H を 1-次元拡大した空間の稠密な部分空間で定義
される。この場合 ν が整数ならこの関数は１価そうでなければ多価に
なる ([2])。
作用素 Ix ; Ix en = xn en を使えば
∞
s
xn :G,θ = eG
:
log Ix
|s=0 ,
log Ix en = log µn en ,
n=1
θ + < Arg log µn < θ + 2π − ,
2
となる。一般に作用素 T が対数 S = log T を持つとき T の G に関する
正則化行列式 detG T を
s
detG T = eG S |s=0 ,
で定義する。log T は存在しても一意ではないので、detG T も一意では
ない。また一般には detG T と detG (P T P −1 ) は等しくない。
正則化無限積、正則化行列式は無限次元積分の正則化に現われる。
N
N
Da,b
= {
xn en |an ≤ xn ≤ bn }} ⊂ RN ,
n=1
∞
Da,b = {
xn en |an ≤ xn ≤ bn } ⊂ H = H ⊕ Re∞ ,
n=1
ただし e∞ =
d/2
∞
n=1 µn en
であり a = (a1 , a2 , . . . ), b = (b1 , b2 , . . . ) は
lim µ−d/2
an = a,
n
lim µn−d/2 bn = b,
n→∞
n→∞
を満たすとする。また c = (c1 , c2 , . . . ) ∈ Da,b , cN = (cN +1 , cN +2 , . . . )
とする。このとき Da,b で全微分可能な f にたいし
Da,b
=
lim
f (x) : d∞ x :G
µs
N →∞ DN
a,b
µs
f (x1 , . . . , xN , cN )d(x1 1 ) · · · d(xNN )|s=0 ,
でその正則化積分を定義する。
正則化積分は scaling 変換 Iξ ; Iξ en = ξn en , ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . ) に対し
Da,b
f (x) : d∞ x :G =
Iξ (Da,b )
と変換する。これから f (x) =
|detG Iξ |−1 f (Iξ (x)) : d(ξ(x))∞ :G ,
n fn (xn )
∞
Da,b
f (x) : d∞ x :G =:
のとき
bn
n=1 an
fn (xn )dxn :G ,
となる。an = −∞, bn = ∞ も許されるからこの式から Gauss 型経路積
分の公式
1
e−π(x,Dx) Dx = √
,
detD
が導かれる。ただし detD は D の Ray-Singer 行列式である ([3])。
3
極座標を使うと正則化体積要素は
∞
: d∞ x :G = rν−1 dr : d∞ ω :,
: d∞ ω :=
sinν−n−1 θn dθn ,
n=1
となる。G が楕円形作用素 D の Green 作用素のとき ζ(D + mI, 0) は m
の多項式になるので、この形から有限次元積分の繰り込みでの次元正則
化は無限次元積分での質量摂動と解釈できる可能性がある ([4],[5])。
本稿の概略は次のようである。最初にこうした話に必要な spectre ζ-関
数と Ray-Singer 行列式を §2-§5 で説明した後、Schtteen 級作用素と Hilbert
空間の組 {H, G} と H の拡大 H およびその上の初等関数の正則化、正
則化行列式とその ζ(G, s) の高階導関数の特殊値による計算を §6-§10 で説
明する。§11-§13 では正則化積分の定義と H の球面の正則化体積の計算、
正則化 Cauchy 積分と H の周期関数の Fourier 展開を述べる。Fourier 展
開と正則化 Laplacian の周期的境界条件による固有値問題の関係は §14 で
説明する。最後の §15 では G が Dirac 作用素の二乗の Green 作用素の場
合についての注意を述べる。
2
楕円形作用素の Zeta 関数
X を n-次元 (compact) Riemann 多様体 E を X 上の (Hermite または
対称）vector bundle とする。E の (C ∞ -級）切断 Γ(X, E) から Γ(X, E)
への写像 D が局所的に
Aα (x)Dα ,
D =
|α|<m
n
α = (α1 , · · · , αn ),
|α| =
αk ,
k=1
Dα =
∂xα1 1
∂ |α|
,
· · · ∂xαnn
と書けるとき D を m 階の微分作用素 cotangent vector ξ = (ξ1 , . . . , ξn )
に対し ξ α = ξ1α1 · · · ξnαn と置いて写像
Aα (x)ξ α : π ∗ (E) → π ∗ (E),
σ(D) =
|α|=m
π は cotangent bundel の projection, を D の（主）symbol という。0section を除いて σ(D) が同型写像のとき D を楕円形と呼ぶ。 D が supectre 分解されその固有値が Agmon 角 θ を持つとき D の ζ関数 ζ(D, s) = ζθ (D, s) は γ を C \ {z|Argz = θ} の中の D の固有値を囲
む路として
1
λ−s (λI − D)−1 dλ ,
ζ(D, s) = tr
2πi γ
4
で定義される ([23])。D が自己共役であれば θ = 0, π と取れる。これから
ζθ (D, s) は
iπs
λ−s
n +e
ζ+ (D, s) =
λn >0
|λn |−s ,
−iπs
λ−s
n +e
ζ− (D, s) =
π < θ < 2π,
(1)
|λn |−s . 0 < θ < π,
(2)
λn <0
λn >0
λn <0
と２種類ある。ただし D が正なら ζ(D, s) = ζ+ (D, s) と一意に決まる
([1])。
D が正で固有値・固有関数が λn , en ; Den = λn en , 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ,
とすれば
∞
e−tD f =
e−tλn en (x)(f, en ),
K(t, x, ξ)f (ξ)dξ =
X
n=1
で e−tD が定義される。積分核 K(t, x, ξ) は次のような漸近展開を持つ
事が知られている。
∞
tr(e−tD ) ∼
e−tλn ∼
n=1
∞
an (D)t(n−d)/m ,
t → +0.
(3)
n≥0
∞
ts−1 e−λt dt = λ−s
0
(λt)s−1 e−λt d(λt) = Γ(s)λ−s だから
0
∞
tr(e−tD )ts−1 dt = Γ(s)ζ(D, s),
(4)
0
である。(3) と (4) から
∞
Γ(s)ζ(D, s) =
1
ts−1 tr(e−tD )dt +
1
an (D)
0≤n≤N
1
+
0
tr(e−tD ) −
t(n−d)/m+s−1 dt
0
an (D)t(n−d)/m ts−1 dt,
0≤n≤N
となりこの第１項は総ての s で、第３項は ((N − d)/m + s) > 0 で存在
する。第２項は s = (d − n)/m で高々１位の極を持つ全平面で有利型な
関数である。従って ζ(D, s) は全平面に有利型に解析接続され極はあ
るとしても s = (d − n)/m, n = 0, 1, . . . で高々１位である ([18],[22],[28])。
なお (28) にある Seeley 展開の係数の訂正が (30) にある。
この証明は熱核の漸近展開を用いているがそれを使わない Heisenberg
d
の交換関係 [ , x] = 1 に基づく以下のような証明もある。
dx
5
n
D が q 階の微分作用素なら qD =
[D, xi ]
i=1
∂
+ R, ordR ≤ q − 1 だ
∂xi
から
n
(q + n)D =
i=1
∂
[D, xi
]+
∂xi
n
[
i=1
−z
である。この式は D の代わりに D
0 により)
tr(D
−z
∂
, xi D] + R,
∂xi
ordR ≤ q − 1,
を使っても成り立つから (tr[A, B] =
1
tr(Rz ),
q − 2z + n
)=
となる。これを繰り返せば tr(D −z ) が全平面に有利型に解析接続できるこ
とと極の位置・位数がわかる。一般の多様体でも１の分割と関数 A1 , . . . , An ,
vectro 場 B1 , . . . , Bn で
n
n
[Bi , Ai ] = 1,
qD =
i=1
[D, Ai ]Bi + R, ordR ≤ q = 1,
i=1
と成るものを撰んで同様に tr(D −z ) の解析接続が出来る ([19])。これ
は非可換留数等で用いられる指数定理でも使われる ([8],[19],[31])。
3
Eta 関数
Dirac 作用素のように D が正負とも無限の固有値を持つとき D の
η-関数 η(D, s) を
|λn |−s ,
λ−s
n −
η(D, s) =
λn >0
λn <0
で定義する。
tr(De−tD
2
2
λn e−λn ,
=
n
sgnλ|λ|−s = λ(λ2 )−(s+1)/2 = Γ
s+1
2
∞
−1
2
λt(s−1)/2 e−tλ dt,
0
だから
Γ
s+1
η(D, s) =
2
∞
2
t(s+1)/2 tr(De−tD )dt,
0
である。
6
(5)
D が１階の時 M × R+ の微分作用素 P を
P =
∂
+ D,
∂s
P† = −
∂
+ D,
∂s
で定義し、P の境界条件を Π+ f (·, 0) = 0 とする ([9], Π+ は D の正固有空
間への射影、P † の境界条件は (I − Π+ )f (·, 0) = 0)。
∂2
2
†
†
2 = P P とする。 1 の境界条件は
1 = P P = − ∂s2 + D ,
Π+ f (·, 0) = 0,
∂f
+ Df |s=0 = 0,
∂s
(I − Π+ )
である（APS 条件）。この条件で
∂
∂t
−
∂2
∂s2
+ λ2 の基本解は
2
e−λ t
(s − σ)2
(s + σ)2
√
exp −
− exp −
4t
4t
4πt
2t
2
−λ
(s − σ)
(s + σ)2
e
√
exp −
+ exp −
4t
4t
4πt
√
(s
+
σ)
√ − λ t , erfc(x) =
+λe−λ(s+σ) erfc
2 t
, λ > 0,
+
2
√
π
∞
2
e−ξ dξ, λ < 0,
x
である。同様に 2 の基本解も求められる。これから K(t, x, s) = (e−t
e−t 2 )|(x,s,x,s) は
λ
=
λ
2
√
s
e−λ t s2
sgn − √ e− 2 + |λ|e2|λ|s erfc √ + |λ| t
πt
t
√
∂ 1 2|λ|s
s
sgnλ
e
erfc √ + |λ| t |φλ (x)|2 ,
∂s 2
t
K(t, x, s)dxds = −
0
dK(t) √
= 14πt
dt
−
|φλ (x)|2
√
sgnλ
erfc(|λ| t) となり
2
∞
となり K(t) =
1
M
1
lim K(t) = − h, h = dimKerD,
2
λn e−λn t ,
t→∞
n
だから
∞
K(t) +
0
Γ(s + 12 )
h s−1
√
t dt =
2
2s π
となって K(t) が
k≥−n ak t
k/2 ,
sgnλn |λn |−2s =
λn =0
Γ(s + 12 )
√ η(2s),
2s π
t → +∞ の形の漸近展開を持てば
√
N
2s π
h
+
η(D, 2s) = −
Γ(s + 12 ) 2s k=−n
7
k
2
ak
+ O(s) ,
+ s)
となり η(D, 0) = −(2a0 + h) となって η(D, s) は s = 0 で正則である。一
般に M が compact なら η(D, s) は s = 0 で正則になる ([18])。境界のある
多様体上ではこれは必ずしも成り立たないが境界条件の選び方によっ
てはなりたつ ([32])。
M = S 1 の上で方程式 D =
値は {2nπ + a|a ∈ Z} だから
η(D, s) =
n≥0
1d
+ a, 0 < a < 2π を考えると固有
i dt
1
−
(2nπ + a)s
n≥1
1
,
(2nπ − a)s
だから
η(D, s) = a−s +
n≥1
= a−s +
n≥1
= a−s −
1
1
a s −
(2nπ)s (1 + 2nπ
)
1
n≥1
(1 −
a s
2nπ )
1
as
as
(1 −
+ · · · ) − (1 +
+ ···)
s
(2nπ)
2nπ
2nπ
2as
ζ(s + 1) + · · · ,
(2π)s+1
a
である。D は S 1 の
π
π1 (S 1 ) = Z の生成元を exp(2aπi) に写す表現から得られる Flat bundle に
1d
S 1 の Dirac 作用素
を持ち上げたものだから η(D, 0) は Flat bundle
i dt
(π1 (S 1 )）の不変量を与える（[11] 参照)。
となり lims→0 sζ(s + 1) = 1 により η(D, 0) = 1 −
4
Ray-Singer 行列式
ζθ (D, s) が s = 0 で正則なとき D の (θ に関する)Ray-Singer 行列式
detD(=detθ D) を
detθ D = e−ζθ (D,0)
(6)
で定義する ([23],[26])。適当な仮定のもとに D の行列式は本質的に RaySinger 行列式に一致することが知られている ([27])。D の固有値を使って
書けば
∞
−s
λλnn |s=0
detD =
n=1
8
(7)
である。これから
∞
−s
(tλn )(tλn ) |s=0
det(tD) =
n=1
= (t−s
P∞
n=0
λ−s
n
∞
−s
λλnn |s=0 = tν detD,
)
ζ(D, 0) = ν,
n=1
である。D が正だと detD は一意的に定まり正の実数になるが一般には
detD は一意でなく値も実数とは限らない。以下では D = D
/, Dirac 作用
素、のときについてこのことを説明する。
D は 0-mode がないとし正負固有空間への射影を Π± , DΠ± = ±D±
とする。D = D+ − D− , |D| = D+ + D− である。また
s
ζ(|D|, s) = η(D2 , ),
2
ζ(D± , s) =
ζ(|D|, s) ± η(D, s)
,
2
とする。このとき ζ(D, s) = ζ(D+ , s) + (−1)s ζ(D− , s) だから
ζ± (D, s) = ζ(D+ , s) + e±iπs ζ(D− , s),
(8)
である。ζ± (D, s) = ζ (D+ , s) + ±iπe±iπs ζ(D− , s) + e±iπs ζ (D− , s) だから
det± D = e±iπν− detD+ detD− = e±iπν− det|D|,
(9)
である。ただし ν− = ζ(D− , 0) である。従って detD は ν− が整数のとき
に限り一意的にさだまり実数になる。
またこの計算から det+ D と det− D は互いに共役で従って |det± D|
は一意に定まることが解る。
5
質量摂動
D + mI の固有値は λn + m, n = 1, 2, . . . だから D が正の時
∞
ζ(D + mI, s) =
(λn + m)−s
n=1
∞
λ−s
n
=
n=1
m
s · · · (s − k + 1) m k
1−s
+ · · · (−1)k
( ) + ···
λn
k!
λn
= ζ(D, s) − s · mζ(D, s + 1) + · · ·
s(s − 1) · · · 8s − k + 1) k
+(−1)k
m ζ(D, s + k) + · · · ,
k!
9
|m| < λ1
となる。これから
ζ(D + mI, 0) = ν − Ress=1 ζ(D, s)m − · · · − Ress=k ζ(D, s)
mk
− · · ·(10)
k
となる。この式は |m| < λ1 で示されるが ζN (D, s) = n>N λ−s
n を考え
るとこの式が任意の m にたいし成立することがわかる ([1],[2])。
D が自己共役の時 ζ(D + mI, s) = ζ(D+ + mI, s) + (−1)s ζ(D− − mI, s)
だから ζ(D + mI, 0) = ζ(D+ + mI, 0) + ζ(D− − mI, 0) と
Ress=k ζ(D + mI, s)
= Ress=k ζ(D+ + mI, s) + (−1)k Ress=k ζ(D− − mI, s),
により
Ress=k ζ(D, s)
ζ(D + mI, 0) = ν −
1≤k≤[d/m]
mk
k
(11)
である。ν, Ress=k ζ(D, s) は実数だから (11) によって [d/m] が奇数であ
れば任意の実数 c にたいし ζ(D + mI, 0) = c となる実数 m が存在する。
後の議論では ν = ζ(D, 0) が整数になるこが必要な場合があるが、この
結果から ν が整数であるというのは本質的な制約にはならない。
D が Dirac 作用素のとき ζ(D± ) = ν± を任意の値にする為には polarization J = D|D|−1 = P+ − P− を導入して作用素 D + m1 I + m2 J を
考えればよいがこの作用素は微分作用素ではない。
det|D + mI| については |m| < |λN +1 | で
N
det|D + mI| = det|D|
1+
i=1
m
λi
sgnλi mi RN (m)
e
(12)
となる。ただし mi は λi の重複度である。RN (m) も正確にかけ曲がっ
た空間」での determinant bundel の構成に使われるが省略する ([2])。
6
組 {H, G} と W k,
H を K, K = R, または C 上の Hilbert 空間 G を H に働く正値 Schatten
級作用素でその ζ-関数 ζ(G, s) = trGs が s = 0 で正則なものとする
(Schatten 級作用素については [29] 参照)。G の固有値固有 vector は
µ1 ≥ µ2 ≥ . . . > 0, e1 , e2 , . . . ; Gen = µn en , en = 1 とし固定する。
x ∈ H の座標は (x1 , x2 , . . . ); x = n xn en とする。
10
このような組を考えるのは Connes の spectral triple ([13],[19]) と似て
いるがこの方が一般性はすくないが具体的な計算には便利である。
以下 ζ(G, 0) = ν, ζ(G, s) の最初の極の位置 d, c = Ress=d ζ(G, s) とす
る。H = L2 (M, E), G は E の切断に働く楕円形作用素の Green 作用素の
時 limn→∞ λn = ∞ だから n が十分大きければ λn /2 < λn + m < 2λn と
なる。従って d は m に無関係に決まる。
H の内積を (x, y) で表し Sobolev k-内積 (x, y)k を (x,y に対し G−k/2 が
定義できるとき）(G−k/2 x, G−k/2 y) で定義する。この内積と H から得ら
れる Sobolev 空間を W k とかく。H = W 0 である。W k の正規直交系は
k/2
e1,k , e2,k , . . . , en,k = µn en である。定義から
G(k−l)/2 : W l ∼
= W k,
W 0 = H,
(13)
である。集合としては W k ⊂ W l , k > l となる。
W l,
W l, H − =
W k−0 =
l>0
l>k
l<0
l<k
W l , (14)
W l, H + =
W k+0 =
と置く。W k−0 の点列 x1 , x2 , . . . は総ての W l , l < k で limn→∞ xn = x と
なるとき x に収束するとする。また W k+0 の点列 x1 , x2 , . . . はある W l ,
l > k にふくまれそこで x に収束するとき x に収束すると定める。
なお W −∞ = l W l , W ∞ = l W l とする。位相は W k±0 と同様に定
める。
(l−k)/2
(l−k)/2
en,l = µn
en,k だから x = n xn en,l ∈ W l は n µn
書ける。従って x ∈ W k−0 は n xn en,k と書ける。ただし
散することもある。この意味で
∞
∞
k−0
µd/2
,
n en,k ∈ W
x∞,k =
xn en,k と
2
n |xn | は発
n=1
−
µd/2
n en ∈ H
x∞ =
(15)
n=1
である。x∞ (x∞,k ) は e1 , e2 , . . . の撰び方に関係する。従って e∞ を指定
するのは {H, G} に更に構造を与えることになる。
W k, = W k ⊕ Ke∞,k ⊂ W k−0 ,
H = H ⊕ Ke∞ ⊂ H −
(16)
で空間 W k, , H を定義する。W k , H に付け加えられる 1-次元空間
Ke∞,k , Ke∞ は determinat bundle (の fibre) と解釈できるがこの議論
は省略する ([2],[5],[20],[21],[25])。
定義から x ∈ W k, は
∞
∞
x=
xn en,k =
n=1
k
(xn,f + tµd/2
n )en,k = xf + te∞,k , xf ∈ W ,
n=1
11
(17)
と一意的に書ける。W k, は Hilbert 空間ではないが内積を
√
√
xf + te∞,k , yf + ue∞,k k = lim(xf + ste∞,k , yf + sue∞,k )k−s , (18)
s↓0
で定義すれば Hilbert 空間 W k, になる。定義から Hilbert 空間として
W k, = W k ⊕ Ke∞,k である。正規直交系間の内積は
en,k , em,k
k
= δn,m ,
en,k , e∞,k
k
= 0,
e∞,k , e∞,k
k
=c
となる。
正則化無限次元積分の議論は H ではなく H で展開される。また正則
化 Laplacian の固有値問題などは H で考えると有限次元から類推される
固有値・固有関数しか得られないが H で考えると有限次元からは類推さ
れない固有値・固有関数があらわれる。このように無限次元の解析学では
意味の有る結果を得るためには元の Hilbert 空間に１次元付け加えるこ
とが必要になることが多い ([16] 参照）。この理由を探るのは今後の課題
である。
注意。ζ(G, s) が k + l で正則なら e∞,k と e∞,l の正則化内積を
(Gs/2 e∞,k , Gs/2 e∞,l )|s=0 = ζ(G, s + l),
で定義できる。この意味で e∞,k と e∞,−k の正則化内積は ν だから ν = 0
なら W k, の Sobolev 双対は W −k, と考えてよい。
x ∈ H の座標を (x1 , x2 , . . . , x∞ ), H での座標を (y1 , y2 , . . . ) とすると
d/2
yn = xn + x∞ µn , n = 1, 2, . . . である。従って
∂
∂xn
=
∂
∂x∞
=
∂
,
∂yn
n = 1, 2, . . . ,
∞
µd/2
n
n=1
∂
∂yn
となり H の開集合 D 上の関数 f が全微分可能であれば df は D から H
への連続写像を定義するが必ずしも W k , k > 0 への写像を定義しない。f
を H の開集合上の関数と考えたときは f の全微分可能性は f がある W k ,
k < 0 の開集合の関数に拡張されそこで全微分可能と定義するのが妥当
だからある k < 0 にたいし W k への写像を定義する。従って H の関数
と考えての全微分可能性と H の関数と考えての全微分可能性には違いが
ある。
H を実 Hilbert 空間とすればその極座標は x = r として
x1 = r cos θ1 ,
x2 = r sin θ1 cos θ2 , . . . ,
xn = r sin θ1 · · · sin θn−1 cos θn , . . . ,
12
0 ≤ θi ≤ π, i = 1, 2, . . .
で与えられる。この座標は緯度だけがあって、経度がない。また緯度は独
立でなく制約
lim sin θ1 · · · sin θn = 0
(19)
n→∞
を満たさなければならない。この制約をはずし緯度が独立として変数
t∞ = limn→∞ sin θ1 · · · sin θn = ∞
n=1 sin θn を導入し「経度」φ; 0 ≤ φ <
2π と変数 y, z, y − rt∞ cos φ, z = rt∞ sin φ を H に付け加えた空間を
ˆ = {(x, y, z)|x ∈ H} ∼
H
= H ⊕ R2 ,
˜ = {(x, y, z)|φ = 0, π} ∼
H
= H ⊕ R,
(20)
(21)
とする。
k > 0 のとき e∞,k ∈ H であり e∞,k = ζ(d + k), 緯度は cos αn,k =
(d+k)/2
ˆを
µn
/ ζ(d + k) となるから写像 ρ : H → H
√
ρ(x, te∞ ) = (x, t ct∞ ),
ˆ である。また e∞ の極座標は (√c, π/2, π/2, . . . )
で定義すれば ρ : H ∼
=H
となる。
7
正則化対称関数
x = (x1 , x2 , . . . ) ∈ H に対し左辺が収束するとき
σk (x) =
xi1 · · · xik
i1 ,... ,ik
とおく。これは無限和だから一般には発散する。是に対し
µsi1 · · · µsik xi1 · · · xik |s=0
: σk (x) :G =
i1 ,... ,ik
を G に関する正則化対称関数とよぶ。例えば µn = n−1 の時 x =
−c は c > 1
(x1 , x2 , . . . ), xn = n−c , c > 1/2 であれば σ1 (x) =
nn
でしか収束しないが : σ1 (x) := ζ(c) は c = 1 であれば c > 1/2 で有限の値
をとる。
注意. この定義では k は有限だから無限積になる σ∞ (x) =
議論は含まれない。 n xn の正則化は次節で扱う。
の
∞
∞
定義から両辺が収束すれば
n xn
σk (x)tk である。また
(1 + txn ) =
n=1
n=0
∞
∞
(1 + µsn txn )|s=0 =
n=1
: σk (x) : tk
n=0
13
となる。一方
∞
log
∞
(1 +
µsn txn )
log(1 + µsn txn )
=
n=1
n=1
∞
=
n=1
であり n xkn , k ≥ 2 は収束するから
が存在すれば存在する。よって
(−1)k−1 tk
k
∞
n=1 (1
∞
k
µks
n xn
n=1
+ µsn txn )|s=0 は : σ1 (x) :
命題１ x ∈ H であれば : σ1 (x) : が存在すれば : σk (x) :, k ≥ 2 は存
在する。
Ix ; Ix en = xn en で scaling 作用素 Ix を定義すれば
∞
xn :G = tr(Gs Ix )|s=0
: σ1 (x) :G =:
(22)
n=1
だから : σ1 (x) : は Ix の Paicha の ζ-正則化 trace (renormalized trace) で
ある。
G が compact 多様体上の Laplacian (+定数項) の Green 作用素であ
れば微分作用素 D に対し tr(Gs d) は全平面に有利型に解析接続され極は D が m 階のとき (m + n)/2, (m + n − 1)/2, . . . にしかないから
Ress=0 Tr(Gs D) = 0 であれば D の G に関する正則化 trace が存在する
([19],[31])。特に DG = GD であり D が soectre 分解できれば D = Ix となりこの x = Spec(D) については : σ1 (x) : が存在する。よって命題
１によりすべての k について : σk (x) : が存在する。
x ∈ W k の時ば x = Gk/2 y; y ∈ H だから : σ1 (x) := tr(Gs+k/2 Iy )|s=0
と書ける。
注意. 関数によっては H では意味がないが H では意味がある物があ
−d/2
る。例えば n sin cmn πµn xn , c = 0 は H では 0 になるが H では
lim nm = n∞ ∈ N,
m→∞
が存在すれば意味のある関数になる。一般に数列 {nm } について同
−d/2
−d/2
じ仮定で fn (xn ) = sin cnm πµn xn , または cos cnm πµn xn のとき
−d/2
xn , または
n fn (xn ) は有限個の fn (xn ) を除いて総てが sin cn∞ πµn
−d/2
cos cn∞ πµn xn の時に限って H で恒等的には 0 でない関数になる。
x = xf + te∞ ∈ H とすれば
∞
:
∞
(xf,n tµd/2
n ) :=:
n=1
n=1
14
d
xf,n + tζ(G, ),
2
だから ζ(G, s) が s = d/2 で正則なときには : σ1 (xf ) :G が存在すれば
: σ1 (x) : が存在する。しかし ζ(G, s) は s = d で極を持つから t = 0 であ
れば一般には : σ2 x :G は存在しない。
ζ(G, s) の（最初の）極 s = d での Laurent 展開の定数部分
lim ζ(G, s) −
s↓d
c
,
s−d
は意味がある。例えば ζ(G, s) が Riemann ζ-関数になるときはこの値
−1 − log N となり
は Euler 数 γ; γ = limN →∞ ( N
n=1 n
log(
d
) log x
dx
n
n−1
n+1
= − (log x)
n
(−1)n−k
+ γ(log x) +
k=0
n!ζ(n − k + 1)
(log x)k
k!
となる ([6]）。この例は zeta(G, s) の極での Laurent 展開の定数項を「第
２正則化」として使える可能性があることを示している。
8
正則化無限積
数列 x1 , x2 , . . . が Agmon 角 θ; θ − 2π + < Argxn < θ + を持つ
∞
とき x1 , x2 , . . . の (G と θ に関する) 正則化無限積 :
n=1 xn :G,θ (=:
∞
∞
n=1 xn :) を
n=1 xn :G =:
∞
∞
:
n=1
s
s
xµnn |s=0 ,
xn :=
s
s
xµnn = |xn |µn eµn Argxn ,
(23)
n=1
(θ2 π < Argxn < θ) で定義する。
xn = µkn であれば
∞
∞
µkn :G =
:
∞
s
s
n
µkµ
n |s=0 =
n=1
n=1
µµnn
k
|s=0 = (detG)k
n=1
となる。ただし detG は G の Ray-Singer 行列式 exp ζ (G, 0) である。特
に G が楕円形作用素 D の Green 作用素なら detG D = dtD となる。
定義から : n xn : は各変数について線形で
∞
∞
xn : | =:
|:
n=1
:
(xn yn ) :=:
n=1
(24)
n=1
∞
∞
∞
|xn | :,
xn : · :
n=1
15
yn :
n=1
(25)
である。
(x1 , x2 , . . . ) を H や H の元の座標と思えば : n xn : は H や H の
適当な部分集合で定義された関数である。x =
n xn en ∈ H のとき
∞
xf,n
x = xf + te∞ , t = 0 とし
| d/2 | < ∞ であれば
n=1 tµn
∞
:
∞
n=1
s
µn
(xf,n + tµd/2
n ) |s=0
xn : =
n=1
∞
= tζ(G,s)
∞
d/2
s
µµnn
(1 +
n=1
n=1
∞
= tν (detG)d/2
(1 +
n=1
xf,n
d/2
tµn
xf,n
d/2
tµn
s
)µn |s=0
)
となる。従って 1,c = { n xn en | n µ−c
n |xn | < ∞} とすれば :
n xn : は
d/2 ⊕ K× e で定義される。この関数は ν が整数の時に限り一価である。
∞
x = xf + te∞ ∈ H に対し x
ˇ = t¯e∞ − xf をつくれば : ∞
n=1 xn : · :
∞
d
d
ˇn : は xf ∈ W で存在する。従って : n xn : は W ⊕ K× e∞ で解
n=1 x
析的である。
同様に (x1 , x2 , . . . ) を x ∈ W k, の座標と考えれば正則化無限積は
1,(d+k)/2 ⊕K× e
(k+d) ⊕K× e
∞,k で定義され W
∞,k で解析的である。k = −d
1
と取ればこの操作は x ∈ H （または x ∈ ) に
∞
∞
(t + xn ) := tν
:
n=1
(1 +
n=1
xn
),
t
の計算をしていることになる。これから ν が正の整数であれば
∞
p.f. :
xn :=: σν (x) :
(26)
n=1
で x ∈ H(または x ∈ 1 ) の（座標の）正則化無限積の有限部分が定義で
きる。
x ∈ W k の時は x = Gk/2 y; y ∈ H として : n xn : の有限部分は
∞
xn := (detG )k/2 : σν (y) :
p.f. :
n=1
となる。
16
(27)
9
正則化行列式
x = (x1 , x2 , . . . ) のとき log x = (log x1 , log x2 , . . . ), log Ix = Ilog x とす
れば
∞
xn :G = etr(G
:
s
log Ix )
|s=0
(28)
n=1
である。一般に作用素 T に対数 S = log T ; exp(S) = T が存在するとき
detG T = etr(G
s S)
|s=0
(29)
を T の (G に関する) 正則化行列式と定義する。tr(Gs S)|s=0 は Paycha
の意味の正則化 (renormalize) trace である ([12],[24])。従って正則化行
列式は正則化 trace の応用と解釈できる。
G が compact 多様体の Lpalacian(+mI) の Green 作用素 D が微分作用
素であれば D の熱核 exp(−tD) は tr(DGs ) が s = 0 で正則;
Ress=0 tr(DGs ) = 0,
の時 detG e−tD をもつ。
log T は一意でないから detG T は一意ではない。しかし T が正のとき
は log T を実の作用素とすれば一意である。また T = I + U , U は trace
class とすれば |s| が小さいとき
∞
log(I + sU ) =
n=1
(−1)n−1 n n
s U ,
n
と定めれば detG (I + sU ) は det(I + sU ) と一致するから解析接続して
detG T は通常の T の行列式と一致する。
T1 T2 = T2 T1 , log T1 log T2 = log T2 log T1 であれば T1 , T2 の正則化行列
式が存在するとき
detG (T1 T2 ) = detG T1 detG T2 ,
となる。特に
detG (tT ) = tν detG T,
(30)
が成立する。
補題１。T1 = exp S1 , T2 = exp S2 がともに正則化行列式を持ち T1t , T2t
に対し Campbell-Hausdorff の公式が成立し Gs S2 = S2 Gs , s ∈ R であれ
ば detG (T1 T2 ) = detG T1 detG T” である。
17
証明仮定から任意の H に対し
trGs S2 H = trS2 Gs H = trGs HS2 ,
だから trGs [S2 , H] = 0 となる。また Campbell-Hausdorff の公式から |t|
が小さいとき
T1t T2t = etS1 etS2 = et(S1 +S2 )+[S2 ,f (t,S1 ,S2 )] ,
となる。従って
detG (T1t T2t ) = etr(G
s
log(T1t T2t )
|s=0 = etr(G
tr(Gs (t(S1 +S2 ))
= e
tr(tGs S1 )
= e
|s=0 e
|s=0 = e
tr(tGs S2 )
s (t(S +S )+[S ,f (t,S ,S )])
1
2
2
1 2
tr(Gs (tS1 +S2 ))
|s=0
|s=0
|s=0 = detG T1t detG T2t
となって t について解析接続して補題がえられる。
detG P T P −1 = detP −1 GP T だが detG P T P −1 = detG T は必ずしも成立
しない。例えば



1
T e
P e
Ge
=
3e
,
=
e
,
2n−1
2n−1
2n−1 = e2n ,
2n−1
2 2n−1
T e2n = 2e2n ,
P e2n = e2n−1 ,
Ge2n = 1 e2n ,
n+1
とすれば
1
1
detG T = 3ζ(s) 2ζ(s)−1 |s=0 = √ , detG P T P −1 = 2ζ(s) 3ζ(s)−1 = √ ,
2 6
3 6
となって値が異なる。
T ∈ GL(n, K) であれば T が Kn = { ni=1 xn en } ⊂ H とし T = T ⊕
PKn,⊥ とすれば detG S = detG T −1 ST が成立する。detG S は S について
norm 位相で連続だから T = I + K, K は compact, のとき
detG S = detG T −1 ST,
が成立する。また T G = GT であってもこの式は成立する。従って K を
I + K, K は compact の形の逆をもつ作用素の群、CG を G と可換な逆を
持つ作用素の群とすれば K · CG が正則化行列式を保存する群の候補にな
る。しかし CG の元は必ずしも H を H に写さないので正則化行列式
を保存する群としては CG の適当な部分群を選ぶ必要がある。また Gs 等
が正則化無限次元積分との関係で正則化行列式を保存する変換として
重要なので、正則化行列式を保存する変換を有界作用素に限るのは適切で
ない。正則化行列式の対称性の群を確定するのは今後の課題である。
18
10
G の対数と ζ(G, s) の高階導関数
t > 0 であれば limh→0 Gt+h − Gt = 0 だが t = 0 では
lim Gh x − x = 0,
h↓0
しか成立しない。半群 {Gt |t > 0} の生成作用素 A = log G は
lim
h↓0
Gh x − x
= Ax,
h
が x ∈ H + で成立するので、H + で定義された作用素である。ただし G が
微分作用素 D の Green 作用素であっても log G は擬微分作用素ではない
([25])。
群 {Gt |t ∈ R} または {Gt |t ∈ C} は W ∞ で定義され生成作用素は
A = log G である。
定義から W ∞ の作用素として
dm t
G = (log G)m Gt ,
dtm
(31)
である。
log G から作用素 exp(t(log G)k Gm ), k ∈ N, m ∈ C, ζ(G, s) は s = m
で正則、を
k Gm
et(log G)
k µm
n
en = et(log µn )
en ,
で定義する。 m > 0 であれば exp(t(log G)k Gk ) は H の有界作用素にな
る。また m = 0 であれば k ∼
= 0 mod.2, t ≥ 0, または k ∼
= 1 mod.2,
t ≤ 0 の時 H の有界作用素になる。しかしそれ以外の場合は非有界作
用素である。
命題 2。ζ(G, s) が s = m で正則であれば
k Gm
detG et(log G)
= etζ
(k) (G,m)
(32)
である。
証明。
etζ
d m+s
d
trGm+s = tr
G
だから
ds
ds
(k) (G,m+s)
t
|s=0 = e
dk
dsk
(trGm+s )
|s=0 = e
ttr((log G)k Gm+s )
= e
となって命題が成立する。
19
ttr(
dk
dsk
Gm+s )
|s=0 = detG e
|s=0
t(log G)k Gm
,
特に方程式
dU
= Gm U,
dt
U (0) = I,
の解 U = exp(tGm ) については
m
detG etG = etζ(G,m) ,
である。これから ζ(G, m) = 0 であれば detG exp tGm は t に関係せず常に値が 1 である。同じ方程式の初期条件 U (0) = C に関する解 U (t) =
(exp(tGm ))C については補題１から C = exp S, SGs = Gs S であり C
が正則化行列式をもてば
detG U (t) = etζ(G,m) detG C,
である。
et(log G)
k Gm
k−1 Gm
= Gt(log G)
detG Dt(log G)
だから (32) は
k−1 Gm
= etζ
(k) (G,m)
,
(33)
とも書ける。
命題２から
∞
n |xn |
k−1 µm
n
µn )
µt(log
n
:
< ∞ の時
(1 + xn ) :G = etζ
n=1
(k) ζ(G,m)
∞
(1 + xn ),
(34)
n=1
である。
11
正則化無限次元積分
H は実 Hilbert 空間、a = (a1 , a2 , . . . ), b = (b1 , b2 , . . . ) は H の元（の
座標）で an < bn , n = 1, 2, . . . , または an = −∞, bn = ∞, とし
∞
xn en ∈ H |an ≤ xn ≤ bn } ⊂ H ,
Da,b = {x =
n=1
と置く。ただしすべての n について an = −∞,bn = ∞ であれば Da,b =
H , 等とする。また RN = { N
n=1 xn en } ⊂ H とし
N
xn en ∈ RN |a1 ≤ x1 ≤ b1 , . . . , aN ≤ xn ≤ bN },
N
Da,b
= {x =
n=1
20
とする。また ∗ = (c1 , c2 , . . . ) ∈ Da,b にたいし ∗ = (c1 , . . . , cN , ∗N ) と
する。
定義１。f が Da,b の関数のときその Da,b での G に関する正則化無
限次元積分 Da,b f : d∞ x :G を
Da,b
=
f (x1 , x2 , . . . ) : d∞ :G
µs
µs
lim
N →∞ DN
a,b
f (x1 , . . . , xN , ∗N )d(x1 1 ) · · · d(xNN )|s=0
(35)
で定義する。∗, ∗ がともに Da,b に属するとき f が (H の関数として) 全
微分可能なら
lim |f (x1 , . . . , xn , ∗N ) − f (x1 , . . . , xN , ∗N )|
N →∞
≤
lim |(df (x1 , . . . , xN , ∗N ), ∗N − ∗N )| + o( ∗N − ∗N ) = 0,
N →∞
µs
µs
だから lim
N →∞ DN
a,b
f (x1 , . . . , xN , ∗N )d(x1 1 ) · · · d(xNN ) が存在すればそ
の値は ∗ に関係しない。
Iξ , ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . ) を scaling 変換 Iξ en = ξn en とする。以下では
ξn = 0, n = 1, 2, . . . とする。このときは (定義域、値域を適当に取れば）
ξ −1 = (ξ1−1 , ξ2−1 , . . . ) である。f が Iξ (D) 上の関数の時 D 上の関数 Iξ∗ (f )
を Iξ∗ f (x) = f (Iξ x) で定義する。このとき y = ξx であれば
b
s
f (x)d(xµ ) =
a
ξb
ξa
y s
s
f ( )ξ µ d(y µ ) =
ξ
y
s
s
f ( )|ξ|µn d(y µn ),
ξ
|[ξa,ξb]|
N ⊂ H として
だから yn = ξn xn 、Da,
µs
µs
N
Da,b
=
f (x1 , . . . , xn )d(x1 1 ) · · · d(xNN )
N )
Iξ (Da,b
f(
y1
yN
,... ,
)
ξ1
ξN
N
µs
s
µs
ξnµn d(y1 1 ) · · · d(yNN )
n=1
によって
f (x) : d∞ x :=
Da,b
Iξ (Da,b )
Iξ−1,∗ f (y) :
∞
ξn :: d∞ y :,
(36)
n=1
となる。この式は積分の（領域についての）符号を考えて
f (x) : d∞ x :=
Da,b
|Iξ (Da,b )
|detG Iξ |Iξ−1,∗ f (y) : d∞ y :,
21
(37)
と書いても良い ([3])。なお (36) から W k, の部分集合での積分を Gk/2 D,
D ⊂ H として定義できる。このとき
f : d∞ x :=
Gk/2 D
D
(detG G)k/2 G−k/2, f : d∞ y :
(38)
である。
命題２ f (x) =
∞
n=1 fn (xn )
であれば
∞
bn
∞
Da,b
f (x) : d x :G =:
n=1 an
fn (xn )dxn :G ,
(39)
である。
bn
証明 an
fn (xn )dxn = ξn とし yn = ξn xn と変数変換すれば (36) か
ら命題が成り立つ。
H = L2 (X, E) で G が楕円形作用素 D の Green 作用素のとき (x, Dx) =
(G−1/2 x, G−1/2 x) から関数 exp(−π(x, Dx)) は W 1/2 で定義され W 1/2,
の関数に拡張される。従って
W 1,
1
,
e−π(x,Dx) : d∞ x := √
detG D
となる。従って命題２は Gauss 型経路積分の公式 ([17])
1
e−π(x,Dx) Dx = √
,
detD
H
の数学的正当化を与える。
命題２から Da,b の正則化体積は : n (bn − an ) : である。このことを
使って正則化無限次元積分を Riemann 式に定義できないかは今後の問題
である。なお = 0 の時分数冪積分
Ixµ f (x) =
を使うと
s
n Γ(µn )|s=0
1
Γ(µ)
x
(x − t)b−1 f (t)dt,
0
= 1 により
µs
µs
lim Ix11 · · · IxNN f (x1 , . . . , xN , ∗N )|s=0 ,
N →∞
とも書ける。また弱収束の意味で正則化因子を入れた
lim
N →∞ D
a,b
∂N
µs
µs
x1 1 · · · xNN f (x1 , . . . , xN , ∗N )dN x|s=0 ,
∂x1 · · · ∂xN
22
−∞
で定義しても良い。g(x) = f (x2 ), g(0) = 1, ∞ g(x)dx = 1 とし
h(x1 , . . . , xN ) n>N g(xn ), h ∈ W 1 ((RN ) で生成された空間の W 1 (R∞
の弱位相の意味で
∂N
:
N →∞ ∂x1 · · · ∂xN
∞
xn := 1,
lim
(40)
n=1
が成立するから f ∈ W 1 (R∞ ) の時も正則化無限次元積分が定義できる。
12
極座標での正則化無限次元積分
RN = {
N
n=1 xn en }
⊂ H とする。RN の極座標で
∂N
µs
µs
x1 1 · · · xNN f (x)dN x
∂x1 · · · ∂xN
RN
∞
s
s
rµ1 +···+µN −N ×
=
S N −1
0
s
s
s
s
× sinµ2 +··· ;µN −N +1 θ1 · · · sinµN −1 +µN θN −2 FN (x; s)f (x) ×
×rN −1 sinN −2 θ1 · · · sin θN −2 drdθ1 · · · dθN −2 dφ
∞
=
s
s
rµ1 +···+µN −1 dr
S N −1
0
s
FN (x; s)f (x) ×
s
s
s
× sinµ2 +···+µN −1 θ1 dθ1 · · · sinµN −1 +µN −1 θN −2 dθN −2 dφ,
FN (x; s) = FN (| cos θ1 |, . . . , | cos θN −2 |, | cos φ|, | sin φ|; s),
∂N
µs
µs
FN (x; s) =
x1 1 · · · xNN ,
∂x1 cos ∂xN
だから limN →∞ FN (x; s)|φ=0,π = F (θ1 , θ2 , . . . ; s) と置いて
lim
=
N →∞ RN
∞
ν−1
r
0
∂N
µs
µs
x1 1 · · · xNN f (x)dN x|s=0
∂x1 · · · ∂xN
∞
dr
S∞
sinν−n−1 θn dθn ,
F (θ1 , θ2 , . . . ; s)|s=0
n−1
となる。f ∈ W 1 (R∞ ) の時 (40) から limN →∞ FN (x; s)|s=0 = 1 だから
F (θ1 , θ2 , . . . ; s)|s=0 = 1 である。一方 θ1 , θ2 , . . . は独立だから RN の極
ˆ であり S ∞ は H の球面ではなく H
ˆ の球面 Sˆ∞ である。
限は H ではなく H
よって H の正則化体積要素を : d∞ x :G と書けば
∞
ρ∗ (: d∞ x :G ) = rν−1 drd∞ ω,
d∞ ω =
sinν−n−1 θn dθn ,
n=1
23
(41)
となる ([4])。(19) から d∞ ω は H の球面では定義できないが Sˆ∞ では定
義できそれによる Sˆ∞ の正則化体積は
ˆ
H
e−π
2
x
∞
d∞ x =
2
e−πr dr
0
Sˆ∞
F (θ1 , θ2 , . . . ; s)d∞ ω|s=0 ,
により
vol(Sˆ∞ ) =
2π ν/2
,
Γ( ν2 )
となる ([4])。
従って正則化次元 ν の空間での正則化無限次元積分は次元 ν の空
間での積分に近い。G が D の Green 作用素のとき D + mI の Green 作用
素を Gm , ζ(Gm , 0) = ν(m) とすれば ν(m) は m の多項式だから有限次
元での次元正則化は正則化無限次元積分に移ることが出来れば m に関
する摂動になる。
13
Cauchy 核と Fourier 展開
H を複素 Hilbert 空間とし CN = {
N
n=1 zn en }
⊂ H とする。また
∞
Tr∞,k = {
zn en,k ∈ W k, ||zn,k | = µd/2
n r},
n=1
n,k
とする。また Tr
= Tr∞,k ∩ Cn と置き
n
Dn,k
r ={
zj ej ||zj | ≤ rµkj },
j=1
とする。特に k = −d/2, r = 1 の時は k, r を省略する。
写像 w = z a によって {z = eiθ |0 ≤ θ ≤ 2π} は {w = eiφ |0 ≤ φ ≤ 2aπ}
に写されるから
(2πi)a−1
a
|z|=1
2π
d(z a )
= (2πi)a ,
za
dz =
|z|=1
ieiθ dθ,
0
である。よって
s
lim
n→∞ T n
µs
s
µs
(2πi)µ1 −1 d(z1 1 )
(2πi)µn −1 d(zn n )
·
·
·
|s=0 = (2πi)ν ,
s
µs
µ
µs1
µsn
zn n
z 1
1
T n = {eθ1 i |0 ≤ θ1 ≤ 2π} × · · · × {eθn i |0 ≤ θn ≤ 2π},
24
(42)
である。ここで ν が整数であれば
T ∞ = {eθ1 i |0 ≤ θ1 < 2π} × {eθ2 i |0 ≤ θ2 < 2π} × · · · ,
として
T∞
∞
: d∞ z : |T ∞
,
: ∞
n=1 zn :G
s
: d∞ x :T ∞ =
n=1
(2πi)µn −1
s
d(znµn ) |s=0 ,
s
µn
(43)
d/2
となる。これから D∞ = { n zn en ||zn | < µn } とすれば f (z) が D∞ で
zn について Taylor 展開可能;
d/2
ai1 ,... ,ik z1i1 · · · zkik ,
f (z) =
d/2
|z1 | < µ1 , . . . , |zk | < µk ,
i1 ,... ,ik
であれば ν が整数のとき
f (ζ) =
1
(2πi)ν
f (z)
T∞
: d∞ z : |T ∞
∞
n=1 (zn − ζn ) :
:
(44)
が成立する ([5])。
∞ で解析的だが Taylor 展開可能ではない。是に対し
: ∞
n=1 zn : は D
ては
1
(2πi)ν
1
(2πi)ν
∞
:
zn :
T∞
n=1
∞
:
zn :
T∞
n=1
:
: d∞ z : |T ∞
∞
n=1 (zn − cn ) :
= 0,
:
: d∞ z : |T ∞
∞
n=1 (zn − cn ) :
= :
|cn | < µd/2
n ,
∞
cn :,
|cn | > µd/2
n ,
n=1
∞ ⊂ H と見たときそこでの解析関数 f (z) につ
が成立する。よって DR
いては ∞
∞
DR,r
={
d/2
zn en ∈ H |µd/2
n r ≤ |zn | ≤ µn R},
0 < r < R,
n=1
∞ では
として DR,r
f (ζ) =
1
(2πi)ν
∞ −T ∞
TR
r
f (z)
:
: d∞ z : |T ∞
,
∞
n=1 (zn − ζn ) :
(45)
と積分表示される ([5])。
正則化 Cauchy 核が存在することは T ∞ の正則化体積要素が存在するこ
とを示している。これを実形式で書けば正則化 Fourier 展開ができる。以
下それについて説明する。
25
d/2
H が実 Hilbert 空間のとき µn en , n = 1, 2, . . . で生成された H の部分
ˆ ∞ とする。加群として
群 (自由 Abel 群) を Z∞ , その H での closure を Z
ˆ ∞ = Z∞ ⊕ Ze∞ ,
Z
ˆ ∞ = H /T
ˆ ∞ と置けば
である。T∞ = H/Z∞ , T
ˆ∞ ∼
T
= T∞ × S 1 ,
S1 ∼
= Re∞ /Ze∞ ,
ˆ ∞ の基本領域 D
ˆ∞ は
である。T
∞
ˆ∞ = {
D
xn en |0 ≤ xn ≤ µd/2
n } = D0,µd/2 ,
n=1
d/2
d/2
0 = (0, 0, . . . ), µd/2 = (µ1 , µ2 , . . . ) となる。
−d/2
−d/2
fn (xn ) = sin(2ni πµn xn ) または cos(2ni πµn xn ) とすれば f (x) =
∞
ˆ∞
n=1 fn (xn ) が D で恒等的に 0 でないとき fn (xn ) は有限個を除いて
−d/2
−d/2
sin(2nπµn xn ) か cos(2nπµn xn ) である。ただし n = 0 のときは −d/2
sin 2nπµn − −d/2xn ) = 0 だからこれを除いて cos(2nπµn xn ) = 1 だ
けを考える。この形の関数 f (x), g(x) について命題２から
Dˆ∞
f (x)g(x) : d∞ x := 0,
f (x) = g(x),
(46)
2
f (x) : d∞ x := f ,
(47)

 1 (detG)d/2
fn (xn ) = 1 except n ∈ {n1 , . . . , nk },
k
(48)
= 2
1
 ν−k
(detG)d/2 fn (xn ) = 1 except n ∈ {n1 , . . . , nk }
2
Dˆ∞
f
ˆ ∞ の関数の Fourier 展開が計算でき
が成立する ([6])。(46), (48) により T
ˆ ∞ = T∞ × S 1 により T
ˆ ∞ ) の全微分可能な C 1 -級関数の空間 C 1 (T
ˆ ∞)
る。T
b
で p∗1 (Cb1 (T∞ )) × p∗∞ (C 1 (S 1 )) は稠密である。
−d/2
−d/2
Cb1 (T∞ ) の関数は sin(2mπµn xn ), cos(2mπµn xn ) の有限積の ˆ から同じ関数の無限積の級数に展開
また C 1 (S 1 ) の関数は ρ : H ∼
=H
1
∞
ˆ ) の関数は Fourier 展開可能である。また Fourier
される。従って Cb (T
ˆ ∞ ) は L2 (T
ˆ ∞ ) で稠密で
ˆ ∞ ) も定義でき C 1 (T
展開可能な関数から L2 (T
b
ある ([6])。
14
正則化 Laplacian の固有値問題
始めに H の Laplacian の正則化 :
: を定義した。この節では前節での Fourier 展開の応用として :
: の周期的境界条件
f (x)|xn =0 = f (x)|x
d/2
n =µn
,
∂f
∂f
|xn =0 =
|
d/2 ,
∂xn
∂xn xn =µn
26
(49)
に関する固有値問題を扱う。ここで :
: は H で定義されているとする。
ˆ ∞ の関数と思う。
従ってこの境界条件を満たす関数は T
この境界条件に関する (s) の固有関数が fs (x) = ∞
n=1 fn,s (xn ) とな
れば
fn,s (xn ) = An sin(2mn πµs−d/2
xn ) + Bn cos(2mn πµs−d/2
xn ),
n
n
である。fs (x) が存在し 0 でない為には limn→∞ mn = m∞ が存在しなけ
ればならない。An = 0 または Bn = 0 とすれば fs (x) は有限個を除いて
sin(2m∞ πµs−d/2
xn ), or cos(2m∞ πµs−d/2
xn ),
n
n
の積である。このとき
N
(s)fs (x) = −
m2∞ ζ(G, 2s
(m2n − m2∞ )µ2s−d
fs (x),
n
− d) +
n=1
だから s = 0 まで解析接続すれば f (x) = fs (x)|s=0 は
sin(2m∞ πµ−d/2
xn ), or cos(2m∞ πµn−d/2 xn ),
n
の無限積
∞
n=1 fn (xn )
(50)
であり、ζ(G, s) が s = −d で正則のとき f (x) は
N
:
: f (x) = − m2∞ ζ(G, −d) +
(m2n − m2∞ )µ−d
n f (x),
(51)
n=1
ˆ ∞ ) はここで現われた f (x) を完備直交系としてもつから
を満たす。L2 (T
定理１. ζ(G, s) が s = −d で正則なら正則化 Laplasian :
件 (49) に関する固有値は H では
: の境界条
N
2
{−m ζ(G, −d) +
(m2n − m2 )µ−d
n |m, n ∈ N ∪ {0}},
n=1
でありそれに属する固有関数は ∞
n=1 fn (xn ), fn (xn ) は (50) の形の
無限積で limn→∞ = m となり n が充分大きければ fn (xn ) は総て
−d/2
−d/2
sin(2mπµn xn ), m ≥ 1, または cos(2mπµn xn ), m ≥ 0 となるもので
ある。
H での境界条件 (49) に関する固有値・固有関数はこのうち m = 0 と
なるものである ([6],[7])。
注意. 境界条件を
f (x)|xn =0 = f (x)|x
(d+k)/2
n =µn
∂f
∂f
|xn =0 =
|
(d+k)/2 ,
∂xn
∂xn xn =µn
,
27
ととると ζ(G, s) が s = −(d + k) で正則のとき :
: は ζ(G, −(d + k))
を固有値としてもつ。しかしこの場合 :
: は H でなく W k で定義さ
れていると考えた方が良い。
なお ζ(G, s) が s = −d で極を持つときは (G が楕円形作用素 D の Green
作用素のとき
(s)(sfs )|s=0 = Ress=−d ζ(G, s)f (x),
であるがこの意味付けは今の所出来ていない。
:
: は H の極座標で
∂2
ν−1 ∂
1
+
+ Λ[ν],
∂r2
r ∂r r2
∞
1
∂2
cos θn ∂
Λ[ν] =
,
+ (ν − n − 1)
2
2
2
sin θn ∂θn
sin θ1 · · · sin θ{n − 1 ∂θn
n=1
:
: =
と表示される。Λ[ν] は正則化球面 Laplacian と見られる。これを Sˆ∞ で考え
ると ν が整数のとき固有値は ln (ln +ν −n−2), ln ∈ N, l1 ≥ l2 ≥ . . . ≥ 0
でこれに属する固有関数は Gegenbauer 多項式の有限積と
θn
0
sinn+1−ν−2l∞ θn dθn ,
lim = l∞ ,
n→∞
の無限積である。ただしこの後者は Λ[ν] を S ∞ で考えたときには現われ
ない。Sˆ∞ の正則化体積要素によるこれらの固有関数の (正則化)norm の
計算は課題である。
有限次元では f = −δdf と書ける。この表示を無限次元で行うために
W k の p-次微分形式を Λp W −k への関数、(∞ − p)-次微分形式を Λp W k
への関数とし (∞ − p)-次微分形式 f を W k ⊗ · · · ⊗ W k への交代関数と見
てその外微分 df を
ˆ (x; x1 , . . . , xp−1 , x),
df (x; x1 , . . . , xp−1 ) = (−1)p−1 tr(df
ˆ は f の Fr´echet 微分である。定義から f は各変数
で定義する。ただし df
について微分可能で偏導関数が連続でも外微分可能ではない。例えば球面
n−1 d∞−{n} x は外微分可能でない。し
の形式的体積要素 ω = ∞
n=1 (−1)
かし正則化外微分 ; d : を
ˆ (x; x1 , . . . , xp−1 , x)|s=0 ,
: d : f (x; x1 , . . . , xp−1 ) = (−1)p−1 tr(Gs df
で定義すれば : d : ω = νd∞ x となり ω は正則化外微分可能である。正則化外微分を使えば :
: f d∞ x =: d : df と書ける。
28
(∞ − p)-次微分形式については外微分可能なら大域的に完全形式にな
るなど有限次微分形式とかなり違っていて de Rham cohomology などは
意味がない。しかし球面や torus に正則化体積要素が存在することはこれ
らの空間に Poincar´e 双対が成立する de Rham 型 cohomology が存在
することを示している。これらと正則化外微分、正則化体積要素との関
係を調べるのは課題である。また無限次元の cyclic cohomology, entire
cyclic cohomology, ([14]) との関係を探るのも問題だろう。
注意。(∞ − p)-次微分形式や正則化外微分 : d : は写像空間などの
「曲がった」空間でも定義できる ([2])。
15
GがD
/2 の Green 作用素の場合
G が Dirac 作用素 D
/2 の Green 作用素であれば G の固有値は D
!/ の正固有値の二乗の逆数 µ+,1 ≥ µ+,2 ≥ . . . > 0 と負固有値の二乗の逆数
µ−,1 ≥ µ−,2 ≥ . . . > 0 に分かれる。固有 Vector を e±,n ; Ge±,n = µ±,n e±,n ,
とし (H − の中で）e±,∞ = ∞
n=1 µ±,n e±,n ,
H
,2
= H ⊕ K2 ,
K2 = {ae+,∞ + be−,∞ |a, b ∈ K},
(52)
とする (H ,2 は {H, G} だけでは決まらない)。また D
/ の正固有空間を H+ ,
負固有空間を H− , H± = H± ⊕ Ke±,∞ とする。定義から
H
,2
= H+ ⊕ H− ,
k,
である。W k, ,2 , W± 等も同様に定義する。
以下 H を実 Hilbert 空間とする。H+ から H− への等距離作用素 F を
固定し F e+,n = e−,n とする。µ±,n = λ−2
/e−,n = −λ+,n e−,n と取れな
±,n ; D
ければ F は G と可換にはとれない。しかし F によって
Je+,n = e−,n , Je−,n = −e+,n , Je+,∞ = e−,∞ , Je−,∞ = −e+,∞ ,
√
で H ,2 に −1-作用素 J が導入され H ,2 に複素構造が入る。この複素構
造は F によってさだまるので、H ,2 に対して一意ではない。また µ+,n =
µ−,n , n = 1, 2, . . . , でないと F は H+ から H− の写像に拡張できない。
H± での正則化体積要素を : d±,∞ x : とすれば
F ∗ (: d±,∞ x :) =: d∓,∞ x :,
| : d∞ x : | = | : d+,∞ :: d−,∞ x : |,
(53)
である。この２番目の式は H ,2 の符号を無視したものだが符号について
の議論は省略する。なおこの式から H ,2 の上では : d±,∞ : と書くより
: d∓,∞/2 : と書くほうが適切である。
29
H
積
,2 では整数列 n
±,i が極限 limi→∞ n±,i
∞
f
(x
)f
n=1 +,n +,n −,n (x−,n ), f±,n (x±,n ) は
−(d/2)
f±,n (x±,n ) = sin(2n±,i πµ±,n
= n±,∞ をもつとき無限
−(d/2)
x±,n ), or cos(2n±,j πµ±,n
x±,n ,
の形でそれぞれの添え字 ±,n について有限個を除いて総て
f+,n (x+,n ) = sin(c+,n x+,n ),
f−,n (x−,n ) = cos(c−,n x−,n ), or
f+,n (x+,n ) = cos(c+,n x+,n ),
f+,n (x+,n ) = sin(c−,n x−,n ),
∞ ⊂H をD
ˆ±
ˆ ∞ と同様に定
となれば意味がある。命題２と (53) から D
±
義したとき ˆ∞
ˆ ∞ ×D
D
+
−
n
×
f+,n (x+,n )
n
g−,n (x−.n ) : d;,∞/2 x : · : d−,∞/2 x :,
g+,n (x+,n )
n
f−,n (x−,n ) ×
n
は命題１により計算できるから H ,2 でも Fourier 展開ができる。とくに
F : H+ → H− が定義できれば Fourier 展開された関数は複素 torus 上
の関数とおもえ種々の応用が期待できる。
H ,2 での Fourier 展開は ζ(D± , s) が s = −d で正則のとき正則化
Laplacian: : の H ,2 で境界条件 (49) を与えた時の固有関数である。こ
の時の固有値は
N+
(m2+,n − m2+ )µ−d
n,+ ) +
− (m+ ζ(D+ , −d) +
n=1
N−
(m2−,n − m2− ) ,
+(m− ζ(D− , −d) +
n=1
となる。
注意。G が正定値のときは「曲がった空間」に今までの議論を拡張する
のは容易だが G が D
/ の Green 作用素のような場合は空間が parallelisable
なことが必要になる ([2],[5])。
写像空間 M ap(X, M ) では G として X の正値楕円形作用素 D をとり
D ⊗ IN , N = dimM を取れば今までの議論の拡張が出来るがこの場
合 G の固有値は重複度 N （以上）と成るのでそれに対応して W k に N 個の vector e1,∞,k , . . . , eN,∞,k を付け加えた空間 W k,∞,N を W 2,∞,k と同
様に構成する必要がある。
30
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