2014 京都府立医科大学１前期日程問題解答解説のページへ a, b を正の実数とする。e は自然対数の底とし, 必要ならば 2.7 < e を用いてもよい。 (1) a < b とする。このとき ab = ba ならば 1 < a < e < b であることを証明せよ。 (2) 5 7 と 7 5 の大小を比較せよ。－1－ 2014 京都府立医科大学２前期日程問題解答解説のページへ 1 辺の長さが 2 の正四面体 ABCD を T とおく。直線 BD と平行な平面 H で T を切断したところ, H は辺 AB, BC, CD, DA とそれぞれ点 P, Q, R, S で交わり, PS : QR = 2 : 3 となった。 (1) 2 直線 PS と BD は平行であることを証明せよ。 (2) (3) △PBQ と△SDR は合同であることを証明せよ。 PS = 2a ( 0 < a < 2 ) とおくとき, 四角形 PQRS の面積 S ( a ) を a を用いて表せ。 3 (4) S ( a ) が最大となる a の値を求めよ。－2－ 2014 京都府立医科大学３前期日程問題解答解説のページへ 2 f ( x ) = log x + 1 とおく。xy 平面上の円 C と曲線 D : y = f ( x ) は D のすべての変 2 曲点で接しているとする。ただし, 2 つの曲線がある点で接するとはその点で共通の接線をもつことをいう。 (1) 増減, 凹凸に注意して関数 y = f ( x ) のグラフをかけ。 (2) C の方程式を求めよ。 (3) C と D の共有点は D の変曲点のみであることを証明せよ。 (4) C と D で囲まれた部分の面積を求めよ。－3－ 2014 京都府立医科大学４前期日程問題解答解説のページへ 3 3 xy 平面上の曲線 C : x + y = 26 を考える。C 上の点 P( a, b ) で, a, b がともに有理数のとき P を C 上の有理点という。たとえば ( -1, 3 ) や ( 53 , 75 ) は C 上の有理点 28 28 3 x ( - x + 52 ) である。 h ( x ) = とおく。 2x 3 - 26 (1) a3 + b3 = 26 ( a ¹ 3 13, b ¹ 3 13 ) のとき, { h ( a ) }3 + { h ( b ) }3 の値を求めよ。 p p p¢ (2) 有理数 ( p, q は互いに素な整数で q > 0 ) に対して, h ( ) を ( p ¢, q ¢ は互い q q q¢ に素な整数で q ¢ > 0 ) と表す。p が奇数ならば, p ¢ は奇数で q ¢≧2q であることを証明せよ。ただし, 2 つの整数が互いに素とは, その最大公約数が 1 であることをいう。 (3) C 上には無数の有理点が存在することを証明せよ。－4－