Newton

宇宙物理への招待–ニュートン力学から宇宙論へ
辻川信二
1
を得ます．速度 v は R の t による時間微分であ
ることから，v = R˙ と書きました．式 (4) の左辺
最近の急速な観測技術の向上により, 宇宙の進の第 1 項が運動エネルギー, 第 2 項が万有引力に
化に関する精度の良いデータが得られ，宇宙論はよる位置エネルギーに対応します．
詳細科学の領域に足を踏み入れたと言っても過言
ここまでは，通常のニュートン力学のお話と
ではありません．その一方で，宇宙論を本格的に変わりませんが，式 (4) は実は宇宙の膨張を記
学ぶには相対論などの知識が必要であることか述する式に対応しています．宇宙の膨張率を表
ら，宇宙論は多くの方々にとって，敷居の高い分す量として，通常，速度 R˙ を位置 R で割った量
˙
野であるようです．しかし実際には，下記の説明 H = R/R
を定義し，これをハッブルパラメータ
で示すように，ニュートン力学の拡張として簡単と言います．H に関する式を導くために，式 (4)
に宇宙の進化を記述する式が得られます．また，の両辺を mR2 /2 で割ると,
現在の宇宙を満たしている暗黒エネルギーがある
K
8πG
場合の宇宙進化なども，かなり容易に理解できま
H2 =
ρ− 2
(5)
3
R
す．下記の解説を読み，鉛筆を手にとって実際に
計算してみてください．要求されているのは，大を得ます. ただし, M = ρ(4πR3 /3) であること
学 1 年生レベルの物理の基礎知識のみです．
を用い，積分定数を改めて K = −2C/m とおき
ました. 式 (5) は, 圧力のない通常の物質に限定
してニュートン力学から導出された式ですが, 相
対論を用いて得られる式と完全に一致します. こ
2 宇宙の進化を記述する式
れを一様等方宇宙におけるフリードマン方程式と
様々な観測から，宇宙は一様等方であり, 空間呼びます. 式 (5) の定数 K は宇宙の曲率 (曲がり
の任意の点を取ったときその点の周りで球対称と具合) を表わしており, K > 0, K = 0, K < 0 が
みなすことができます．いま，任意の一点を中心それぞれ, 閉じた宇宙, 平坦な宇宙, 開いた宇宙を
とする半径 R の球 (体積 V = 4πR3 /3) を考え, 表わします. 様々な観測から, 現在の宇宙は平坦
その球の内部は，圧力を持たないような物質で一に近く, これは宇宙初期の加速膨張 (インフレー
様に占められているとします．球の一様な密度をション) からの帰結と考えられています. そこで,
ρ とすると，球の質量は M = ρV と表されます. 式 (5) において K = 0 とおくと,
その球の表面にある質量 m の質点を考えると, こ
8πG
H2 =
ρ
(6)
の質点が受ける重力の大きさは, 万有引力定数を
3
G として, GmM/R2 と表されます. 質点の遠心
方向への速度を v として，時刻 t における質点にとなります．この式は，宇宙を占める物質 (ρ) に
よって, 宇宙の膨張率 (H) つまり宇宙の進化が決
関するニュートンの運動方程式は,
定されることを意味しています．
mM
dv
半径 R の球の内部が，圧力のない通常の物質
= −G 2
m
(1)
dt
R
で占められているとき，M = ρ (4πR3 )/3 は一定
ですから，ρ は R−3 に比例し，ρ = ρ0 R−3 (ρ0 は
で与えられます．
ニュートン力学でよく知られているように, 運定数) と書けます．これを式 (6) の右辺に代入し，
˙
動方程式の両辺に速度 v を掛けて時間 t で積分 H = R/R > 0 に注意して式を整理すると，
はじめに
するとエネルギー保存則が得られます．いまの場
dR
を掛けて t で積分す
合, 式 (1) の両辺に v =
dt
ると，
mv
dv
dt = −
dt
G
mM dR
dt
R2 dt
R1/2
となります．この式を t で積分し，積分定数を B
とおくと，解として
(2)
R=
であり，置換積分を用いると
mv dv = −
G
mM
dR
R2
3
(At + B)
2
2/3
(8)
を得ます．つまり時間が十分たつと，スケール因
(3) 子と呼ばれる量 R は，
R ∝ t2/3
となります．両辺とも容易に積分でき，
1 ˙2
mM
mR − G
=C
2
R
dR
= A , ただし A = (8πGρ0 /3)1/2 (7)
dt
(9)
のように振る舞うことが分かります．これはいわ
(C は積分定数) (4) ゆる物質優勢期と呼ばれる，銀河のような宇宙の
1
大規模構造ができる時期の宇宙の進化に相当しす. 後者の方が前者よりも早く ρ が減少するのは,
ます．上記のように，相対論を用いずに，ニュー式 (11) で輻射が外部に仕事をする分だけ, 内部エ
トン力学から物質優勢期の宇宙進化が導かれるのネルギーの減少が大きいからと解釈できます．
暗黒エネルギーの場合, 観測的に w が −1 に近
は，大変興味深い点です．
く, ρ はゆっくりと変化します. 暗黒エネルギー
は, 負の圧力 p を持つため, 宇宙が膨張していて
もそれが外にする仕事 pΔV は負となります. こ
3 暗黒エネルギー
のとき，式 (11) の右辺が正で, 内部エネルギー
今までは，圧力のない物質に話を限定してきまに相当する量 ρR3 が増加します. つまり, 宇宙が
したが，次にもっと一般的な物質に議論を拡張し膨張しても, あたかも外部から仕事をされエネル
てみましょう．物質の性質を特徴づける量として, ギーが補給されるような状況になっており, エネ
状態方程式と呼ばれる量 w があり, 物質の圧力をルギー密度 ρ はほとんど減少しないのです．
w が一定のとき, エネルギー密度 ρ の変化は式
p, エネルギー密度を ρ として,
(15)
で与えられるので, 式 (6) に代入し積分する
w = p/ρ
(10)
ことにより (式 (7) から式 (8) を導いたのと同様
で定義されます．例えば, 圧力が無視できる物質な操作を行う), スケール因子 R の変化は, t が大
の場合は w = 0 ですが, 光の場合には輻射によきいとき
る圧力があり, w = 1/3 であることが知られてい
2
R ∝ t 3(1+w)
(16)
ます (そのうち統計力学で学びます)．現在の宇宙
を満たす暗黒エネルギーの状態方程式は, 観測的で与えられます (ただし w = −1). よって宇宙の
に w = −1 付近であることが知られています. つ進化は，輻射優勢期 (w = 1/3) には R ∝ t1/2 と
まり, 暗黒エネルギーの圧力 p は負であり, 通常なり，物質優勢期 (w = 0) での変化 R ∝ t2/3 と
の物質とは性質が本質的に異なることを示していは異なります．いずれの場合でも，R
¨ < 0 である
ます．
ことから，宇宙は減速膨張します．宇宙が加速膨
w の値により, エネルギー密度 ρ の変化がどのよ張をするためには, 式 (16) の t のべきが 1 より大
うに異なるかを見てみましょう. 一様等方宇宙で，きいこと, つまり
空間の任意の一点を中心とする半径 R, 一様密度
w < −1/3
(17)
ρ の球 (体積 V = 4πR3 /3, 質量 M = ρ(4πR3 /3))
を考えます．球内の物質が圧力 p を持っているとが必要です．w が −1 に近づくにつれ，式 (16)
すると, 球の体積が ΔV だけ微小に増加したとの t のべきは非常に大きくなり，急速な加速膨張
き, この物質は外に仕事 pΔV をします. いまこをすることが分かります．特に w = −1 のとき，
の変化を熱力学的な断熱変化と考え, 物質の持っ式 (15) より ρ が一定です．このとき式 (6) より,
˙
ている ‘内部エネルギー’ の変化を ΔM とみなす H = R/R
も一定で, これをそのまま t で積分し，
と, 熱力学第 1 法則: ΔM = 0 + (−pΔV ) から
R ∝ eHt
(18)
3
3
Δ(ρR ) = −p Δ(R )
(11)
を得ます．つまり，宇宙は指数関数的に加速膨張
が成り立ちます. この式を, 時間の微小変化 Δt をすることが分かります．
で割り，Δt → 0 の極限をとると
d
d
(ρR3 ) = −p (R3 )
(12)
dt
dt
4 終わりに
となり，より具体的に
以上のような簡単な議論から，宇宙進化のおよ
ρ˙ + 3H(ρ + p) = 0
(13)
その様子がお分かりいただけたと思います．宇宙
と書き直せます．式 (13) は連続方程式と呼ばれ, の初期にインフレーションと呼ばれる加速膨張が
相対論を用いた厳密な計算でも全く同じ式が得ら起こり，その後は輻射優勢期 (R ∝ t1/2 , ρ ∝ R−4 )
れます.
に移行します．輻射の密度は圧力のない物質の
物質の状態方程式 w = p/ρ が定数のとき, 式それより速く現象するので，いずれ物質優勢期
˙
(13) を積分してみましょう．式 (13) は，H = R/R
(R ∝ t2/3 , ρ ∝ R−3 ) に移行します．そして現在
にも注意すると，
付近になって，ρ がよりゆっくり変化する加速膨
1 dR
1 dρ
張期に入った訳です．この現在の加速膨張を引き
= −3(1 + w)
(14)
起こす暗黒エネルギーの起源は不明で，それを明
ρ dt
R dt
と書け，これを t で積分し置換積分を用いることらかにすることは今世紀の物理学の最大の課題と
言ってもよく，世界中の物理学者を引きつけてや
により，
まない研究分野になっています．
ρ = ρ0 R−3(1+w) (ρ0 は定数)
(15)
上の話に少しでも興味を持った人は，宇宙論へ
という関係を得ます．つまり，物質優勢期 (w = 0) の扉を開いてみたらどうでしょう．そこには，深
では前に見たように ρ ∝ R−3 ですが，輻射優勢遠でわくわくするような知の世界が広がってい
期 (w = 1/3) では ρ ∝ R−4 のように振る舞いまます．
2

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