２ モーメントと偶力
参考図書など：Zatsiorsky, Kinetics of human motion,
Human kinetics, 2002
WF Riley and LD Sturges Engineering mechanics, I Statics, II Dynamics,
John Wiley & Sons, 1996
２．１ 外積によるモーメントの表現
数学的準備
G G G
(1) cは，aともbとも直交
G G G
(2) a，b，cは右手系をなす．
G
G G
(3) cの長さは，a，bの張る平行四辺形の面積
G G G
G G
cはaとbとのベクトル積，あるいは外積と言い，a × bで表す．
定義から明らかに
G G G G
G G
G G G G
a × b = −b × a
c(a × b) = ca × b = a × cb
⎛ a⎞
⎛ a′ ⎞
G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟
今右手座標系で, a = ⎜ b ⎟, b = ⎜ b′ ⎟ ならば，
⎜c⎟
⎜ c′ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
′
′
⎛ bc − cb ⎞
G G ⎜
⎟
a × b = ⎜ ca′ − ac′ ⎟
⎜ ab′ − ba′ ⎟
⎝
⎠
G G G
c = a ×b
G
b
G
a
WF Riley and LD Sturges Engineering mechanics, I Statics, II Dynamics,
John Wiley & Sons, 1996
1
⎛ bc′ − cb′ ⎞
G G ⎜
⎟
a × b = ⎜ ca′ − ac′ ⎟ の証明
⎜ ab′ − ba′ ⎟
⎝
⎠
⎛1⎞
⎛0⎞
⎛0⎞
G G ⎜ ⎟ G G ⎜ ⎟
G ⎜ ⎟
a = e1 = ⎜ 0 ⎟ , b = e2 = ⎜ 1 ⎟ とおくと，上式の両辺は共にe3 = ⎜ 0 ⎟ となる．
⎜0⎟
⎜0⎟
⎜1⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
G G G
G G G
e1 , e2 , e3からa , b , cまで線形独立性を保ち，右手系のまま移る．
また，
G2
c = (bc′ − cb′) 2 + (ca′ − ac′) 2 + (ab′ − ba′) 2
= (a 2 + b 2 + c 2 )(a′2 + b′2 + c′2 ) − (aa′ + bb′ + cc′) 2
G2 G2 G G
G2 G2
G G
= a b − (a , b ) 2 = a b (1 − cos 2 θ ) = a ⋅ b sin θ
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John Wiley & Sons, 1996
z
G
FB
２．２ 力のモーメント－ベクトルによる外積表現
G
G
外積，crossproduct of vector r and F
G
G G
モーメント M O = r × F
G
FA
G
rB
G
MO
G
rA
大きさ：M O = Fr sin θ = Fd ;
G
G
向き: r と Fに直交
(右手の法則)
y
x
M0
G G
左上図のように，FAとFBが同一線上
G
G
にあり，FA = FBならば
G
G G G G
M O = rA × FA = rB × FB
G
r
G
F
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John Wiley & Sons, 1996
2
z
G
直交座標系上での単位ベクトル表現
k
G G
G G G G G
G
G
i ×i = 0
i × j = k i ×k = − j
j
G G G
G G
G G G
G
y
j × i = − k j × j = 0 j × k = i
i
G G G G G
G G G
x
k × i = j k × j = −i k × k = 0
G G
G
MO = r × F
G
GG G G G G
i
G G
= ( Xi + Yj + Zk ) × ( Fx i + Fy j + Fz k )
+
G
G
G
= (YFz − ZFy )i + ( ZFx − XFz ) j + ( XFy − YFx )k
－
G
G
G
G
G
i
j k
k
j
= X Y Z
Fx Fy Fz
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John Wiley & Sons, 1996
モーメントの定理，theorem of moments,
Varingnon’s theorem, Pierre Varignon (1654-1722)
剛体に作用する力は１つの合力として表現でき，任意の点Oについての合
力のモーメントは，点Oについてのそれぞれの力のモーメントの和に等し
い．またモーメントの和は合力のモーメントに等しい
G
F2
G
F3
G
F1
G
r
G
F4
G G G G
G G
r × F1 + r × F2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + r × Fn
G
G G G
= r ( F1 + F2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Fn )
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John Wiley & Sons, 1996
3
解
演習１．図のように60Nの力が点CからBの方向に作用している．支持部Aに作
用するモーメントを計算しなさい．
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John Wiley & Sons, 1996
G
G G G G
M A = rB × F = rC × F
G
rB
位置ベクトルを定義
G
G
G
G
rB = 1 i + 3 j + 2 k
{
}
G
rC =
G
{3 i
G
+ 4 j} m
F の向きを上記の位置ベクトルから求め，Fを計算
G
G
G
⎡ (1 − 3) i + (3 − 4) j + (2 − 0) k ⎤
G
G
F = (60 N ) u F = (60 N ) ⎢
⎥
( − 2) 2 + ( − 1) 2 + (2) 2
⎢⎣
⎥⎦
G
G
G
= − 40 i − 20 j + 40 k N
{
G
rC
G
F
G
uF
}
外積によるモーメントの計算
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John Wiley & Sons, 1996
4
問題 O点まわりのモーメントと，その方向余弦を求めなさい．
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John Wiley & Sons, 1996
R4-56
２．３ 特定の軸周りのモーメント
G
今，右図の剛体上の点Aに力Fが作用して
いる．ベクトル解析を利用して軸a - a′方向の
G
モーメントを考える．力FによるO点周りの
G
G G
モーメントをM O (= r × F )とし，その作用軸を
b - b′とする．
G
この時の軸a - a′周りのモーメントM aを求める．
G
G G G
G G
M a = u a ⋅ ( r × F ) = ua ⋅ M O
G
G
G
u a x ua y u az
i
j k
G
G
G
= (uax i + ua y j + uaz k ) ⋅ rx ry rz = rx
ry
rz
G
= M a ua
Fx
Fy
Fz
Fx
Fy
Fz
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5
（応用） ３つのベクトルによる内積と外積を用いた平行六
面体の体積
G G G
P, Q できまる平行六面体の体積は次
３つのベクトルで S ,
のようになる．
G G G
S ⋅ ( P × Q)
G
S
G
Q
G
P
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問題 OCまわりのモーメントを計算しなさい．
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John Wiley & Sons, 1996
R4-68
6
問題 軸ABまわりのモーメントをもとめなさい．
1
1
F2 = 500 N , ABとの距離は200mm
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３． 偶力，Couples
定義
大きさが同じで方向が反対の二つ
の平行な力が働いている時，偶力と
呼ぶ．
偶力は力のつりあいから並進運動
を生み出さないが，回転力，偶力の
モーメント（あるいは単に偶力と呼
ぶ）を発生させる．
G
G
図において偶力を発生させる力，Fと − Fが作用している．
静止座標系において，
偶力 G
G G G
G G G
G G
M O = rA × F + rB × (− F ) = (rA − rB ) × F = r × F
= MC
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7
G
G
例１：剛体上点 P に作用する力 F は，他の点 O に作用する F
と，直交する偶力 M に置換できる．
C
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John Wiley & Sons, 1996
例２：同じモーメントを持っている２つの偶力は等価である．
G
G
G
G
G
F1 をG P と Q ，− F1 を − P
と −Q に分解する．
G
G
P と − P は同一作用線
上大きさが同じで向き
は反対なのでキャンセ
ル可．
G G
Ｂ点のQ， F1 による
モーメントは等しい
G
G
G
Q ｄ２＝F1 ｄ１= F2 d2
G G
Q = F2
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8
偶力について
力 F をかけて自動車のタイヤをレンチで締める動作
大きさが同じで反対向きの
力を付加
G
偶力の向きは：作用力 F
によってつくられる平行
四辺形面に直交する軸
ｎの方向
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John Wiley & Sons, 1996
(b) 偶力の向きｎは座標系
とは一致しない．
（ｃ）偶力はベクトル量
座標系軸上の成分に分解
できる．
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9
走行時の自由モーメント Mc
走行時(4.5m/s)の支持脚足
部に作用するモーメント
Holden and Gavanagh, 1991
J Biomech
G
G
G G
Mz AA′ = M C + r × F
AA’ラインにおける床反力による推定モーメント，
但し値は身長＊体重で正規化
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自由モーメントの平均パターン曲線
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10
剛体の釣り合いの式のまとめ
G
F
∑ G=0
G G
∑ M O = ∑ (r × F ) = 0
自由体図の書き方
１．作用する外力を明確にするために，構造体全体の自由体図を書く．
２．ジョイント部では作用・反作用の法則に従って，出来るだけ直接的
な解が得られるように部材を分解していく．
３．部材に偶力が作用せず，２つ外力のみが作用して釣り合っている時，
その力は大きさが同じで向きが反対である．
４．偶力（のモーメント）は自由モーメントであり，同一作用面上を自
由に移動できる．一方力は同一作用線上ならば自由に移動できる．
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11
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