包絡線定理

包絡線定理
Shigeki Isogai
Department of Economics, Pennsylvania State University
April 13, 2014
Shigeki Isogai
包絡線定理
包絡線定理を学ぶ理由
最適化を含む問題で比較静学分析をする際に計算が簡単になる
(定理の statement は後で述べる)．
経済学のモデルの直観が理解しやすくなる．
動的計画法でも有用．
Shigeki Isogai
包絡線定理
復習：合成関数の微分と鎖法則
h(x) := g [f (x)] のように複数の関数が組み合わされてできた
関数のことを合成関数という．
合成関数の微分は
h′ (x) = g ′ [f (x)] f ′ (x)
で与えられる．
いつもどおり dx を用いると
h′ (x)dx = g ′ [f (x)] f ′ (x)dx
つまり
(g [f (x)] の増加量) = (g の増加率) × (f の増加量)
一つの変数が複数の経路を通じて関数の値に影響を与えている
場合も同様にして
dh [f (x), g (x)]
= h1 (·)f ′ (x) + h2 (·)g ′ (x)
dx
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包絡線定理
パラメトライズされた最適化問題
操作変数以外の変数 (パラメータ) を含む最適化問題を考える．
max f (x, w ) s.t. g (x, w ) ≥ 0
x
ここで w はパラメータ．
この問題を解くような操作変数の値はパラメータの値にも依存
する．
そこでこの値を w の関数として x(w ) と表す．
また最適化された目的関数の値を価値関数という：
V (w ) = max {f (x, w ) : g (x, w ) ≥ 0}
x
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包絡線定理
具体例：効用最大化問題
一般の L 財の場合を考え，記法の簡単化のためベクトル表記を
用いる (T はベクトルの転置)：
p = (p1 , p2 , . . . , pL )T , x = (x1 , x2 , . . . , xL )T
∑
このようにすると支出額は p · x = l pl xl と書ける．
効用最大化問題 (UMP) では価格と富水準 (p, w ) がパラメータ
になる．
UMP の解を需要関数といい，x(p, w ) と書く．
また UMP の価値関数を間接効用関数といい，
v (p, w ) := max {u(x) : p · x ≤ w }
x
と書く．
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包絡線定理
価値関数
価値関数を max 記号を使わずに表すと
V (w ) = f (x(w ), w )
= f (x(w ), w ) + λ(w )g (x(w ), w )
λ も w の関数であること，そして解においては
λ(w )g (x(w ), w ) = 0 が成り立つことに注意しよう．
Shigeki Isogai
包絡線定理
包絡線定理
Theorem (包絡線定理)
価値関数が
V (w ) = max {f (x, w ) : g (x, w ) ≥ 0}
x
で与えられ，さらに制約条件のラグランジュ乗数 λ が厳密に正であ
るとき，価値関数の w に関する変化率 V ′ (w ) は
V ′ (w ) = fw (x(w ), w ) + λ(w )gw (x(w ), w )
で表される．
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包絡線定理
包絡線定理の解釈
パラメータ w が変化するとき，w は価値関数 V に対して大き
く分けて 2 種類の効果を持つ．
一つは f , g の値を直接変化させる効果 (直接効果)．
またもう一つ，w が変化するとそれに応じて x(w ), λ(w ) が変
化する．その x, λ の変化を通しても価値関数の値は変化する
はずである (間接効果)．
しかし包絡線定理により，実は間接効果は無視してよいことが
わかる．
Shigeki Isogai
包絡線定理
包絡線定理の略証
λ(w ) > 0 から，もとの最適化問題の一階条件より
fx (x(w ), w ) + λ(w )gx (x(w ), w ) = 0
g (x(w ), w ) = 0
が成り立つことに注意しよう．
鎖法則により (少々ややこしいが簡単なので手計算を勧める)
V ′ (w ) =fx (x(w ), w )x ′ (w ) + fw (x(w ), w )
+ λ′ (w )g (x(w ), w )
{
}
+ λ(w ) gx (x(w ), w )x ′ (w ) + gw (x(w ), w )
= {fx (x(w ), w ) + λ(w )gx (x(w ), w )} x ′ (w )
+ λ′ (w )g (x(w ), w )
+ fw (x(w ), w ) + λ(w )gw (x(w ), w )
=fw (x(w ), w ) + λ(w )gw (x(w ), w )
Shigeki Isogai
包絡線定理
包絡線定理の略証
要するに鎖法則を用いた後に一階条件を用いて余分な項を消去
するだけ．
上の計算から，w の間接効果を表す項 (x ′ (w ), λ′ (w ) を含む項)
は最適化の一階条件により消去されることがわかる．
これにより直接効果のみが残る．
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包絡線定理
具体例：効用最大化問題
間接効用関数 v (p, w ) の w に関する微分係数を見てみよう．
定義より
v (p, w ) = max {u(x) : p · x ≤ w }
x
= u(x(p, w )) + λ (w − p · x(p, w ))
包絡線定理から，w の直接効果のみを見ればよいから
∂v (p, w )
=λ
∂w
λ は解における制約条件の効用単位の価値を表していたが，こ
のことは上の式からもわかる．
つまり λ は「富の限界効用」を表す．
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包絡線定理
包絡線定理の応用：マッケンジーの補題
次に支出最小化問題 (EMP) を考える．
パラメータは価格水準 p と効用水準 u¯．
EMP の解をヒックスの需要関数といい，h(p, w ) と書く．
また EMP の価値関数を支出関数という：
e(p, u)
¯ := − max {−p · x : u(x) ≥ u}
¯
:= p · h(p, u)
¯ − µ (u(h(p, u))
¯ − u)
¯
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包絡線定理
包絡線定理の応用：マッケンジーの補題
包絡線定理により各 pl について
∂e(p, u)
¯
= hl (p, u)
¯
∂pl
またはベクトルで書くと (ベクトル微分については別の講義
ノートで解説する予定)
Dp e(p, u)
¯ T = h(p, u)
¯
ある財の価格が上がると，支出はその財の元々の需要量に価格
の増加量を掛けたものになるはずであるというのが直観．
包絡線定理により，価格の上昇による需要量の変化は無視で
きる．
Shigeki Isogai
包絡線定理
包絡線定理の応用：ロイの恒等式
効用最大化問題でも，少し工夫することで同様の結果が得ら
れる．
間接効用関数は
v (p, w ) = u(x(p, w )) + λ (w − p · x(p, w ))
包絡線定理により各 pl について
∂v (p, w )
= −λxl (p, w )
∂pl
またはベクトルで書くと
Dp v (p, w )T = −λx(p, w )
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包絡線定理
包絡線定理の応用：ロイの恒等式
λ=
∂v (p,w )
∂w
= Dw v (p, w ) であったことを思い出すと
−
∂v (p,w )
∂pl
∂v (p,w )
∂w
= xl (p, w )
または
−
1
Dp v (p, w )T = x(p, w )
Dw v (p, w )
基本的な考え方はマッケンジーの補題と同様であるが，注意す
べきことは効用の高さには絶対的な基準がないこと．
そこでその基準として「富の限界効用」λ を用いる．
価格が下がった時，効用は元の需要量に富の限界効用を掛けた
分の増加率でもって増加する．
Shigeki Isogai
包絡線定理

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