Storie Erodoto

Compito di MQ. Gennaio 2014
Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore)
Esercizio I
Determinare i livelli energetici di un sistema di due particelle che interagiscono col
potenziale
13
5
mω 2 (x21 + x22 ) − mω 2 x1 x2
4
2
Determinare il pi`
u generale stato compatibile con le seguenti informazioni
• una misura dell’energia pu`o dare i soli valori 5~ω/2 e 9~ω/2
• il valor medio di x21 + x22 `e
2~
.
3mω
Esercizio II
Siano date due particelle (non identiche) di spin 1/2. A t = 0 lo spin della prima
punti nella direzione positiva dell’asse z e quello della seconda nella direzione positiva
individuata dal versore ~n = √12 (1, 1, 0). Le due particelle interagiscano con l’Hamiltoniana
(2)
(2)
H = Sz , dove Si
sono le componenti dello spin della seconda particella. Determinare
• la probabilit`a per lo spin totale a tempo t.
(2)
(2)
(2)
• il valor medio di Sx Sy e Sz
a tempo t.
• verificare la compatibilit`a del risultato del punto precedente col teorema di Ehrenfest.
Esercizio III
Una particella di spin 1/2 viene diffusa dal potenziale
(c1 + c2 (σx y − σy x))
e−µr
r
Determinare in approssimazione di Born
• la sezione d’urto differenziale per un fascio polarizzato lungo la direzione positiva
dell’asse z.
• la probabilit`a che la particella mantenga il proprio spin nella diffusione.
1
Compito MQ. Febbraio 2014
Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore)
Esercizio I
Data una particella in tre dimensioni soggetta al potenziale
W (r) −
~2 µ
δ(r − a)
2m
(1)
con
W (r) = −V0 , 0 < r < a ,
W (r) = 0 , r > a
(2)
con a, V0 , µ > 0, determinare per quali valori di V0 esiste almeno uno stato legato di
energia E < −V0 (con l = 0).
Esercizio II
Dato un oscillatore armonico tridimensionale isotropo
V (x, y, z) =
mω 2 2
x + y2 + z2
2
descritto a t = 0 dalla funzione d’onda
mω 2
ψ(~x) = N x e− 2~ r
~ 2 e Lx , Ly , Lz a t = 0.
• determinare i valor medi di L
• la probabilit`a che, a tempi grandi, l’oscillatore si trovi nello stato |0, 1, 0 > per
effetto della perturbazione (x + y + z)e−γt .
Esercizio III
Si determinino al primo ordine della teoria delle perturbazioni le correzioni alla struttura
iperfine dello stato fondamentale dell’atomo di idrogeno dovute all’interazione
2µ ~ (1) ~ (2) ~ (1) ~ (2) Sx Sy + Sy Sx
~2
~ (1) e S
~ (2) sono gli spin di elettrone e protone, rispettivamente. Si usi come Hamildove S
toniana iperfine la seguente espressione
H=
A ~ (1) ~ (2)
S ·S
~2
1
Compitino MQ. Giugno 2014
Risolvere due dei seguenti esercizi (tempo: due ore)
Esercizio I
Data una particella di spin uno con Hamiltoniana
µ
H = (Sx Sy + Sy Sx )
~
che si trova a t = 0 in uno stato con Sz = −~. Determinare
• le probabilit`a e il valor medio di Sz a tempo t
• confrontare il risultato per < Sz > con le previsioni del teorema di Ehrenfest
Esercizio II
Sia data una particella di spin 1/2 nello stato |1, 0, 0 > di un potenziale armonico isotropo
2
(x2 + y 2 + z 2 ). La particella abbia lo spin diretto nella direzione positiva
V (x, y, z) = mω
2
dell’asse z. A t = 0 venga aggiunta una perturbazione dipendente dal tempo e dallo spin
A(~σ · ~x)e−γt
Fermandosi al I ordine della teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo, determinare per tempi molto grandi
• in quali livelli la particella si pu`o trovare e con che probabilit`a
• qual `e la probabilit`a che la particella abbia invertito il proprio spin
Esercizio III
Due particelle identiche di spin 1/2 interagiscono attraverso il potenziale
e−µr ~ ~
S1 · S2 .
r
Determinare
• la sezione d’urto totale
• la probabilit`a che le particelle finali siano in uno stato di tripletto per un fascio non
polarizzato
• la dipendenza della precedente probabilit`a dall’energia e dall’angolo di diffusione
nel limite di bassa energia.
1
Compito di MQ. Luglio 2014
Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore)
Esercizio I
Sia dato lo stato di un oscillatore armonico isotropo in tre dimensioni descritto a t = 0
dalla funzione d’onda
mω
ψ(x, y, z) = C(x + iy)e− 2~ (x
2 +y 2 +z 2 )
.
• Determinare il valor medio di (x + y)2 a t = 0.
• Sia accenda a t = 0 un campo magnetico costante nella direzione x. Determinare,
trascurando i termini quadratici nel campo, la probabilit`a per Lz a tempo t.
Esercizio II
Siano dati l’Hamiltoniana e il vettore d’onda a tempo t = 0


1
1
ψ(0) = √  1 
3
eiφ


0 0 0
H = ~ 0 0 µ  ,
0 µ 0

e−iφ
• determinare la probabilit`a che al tempo t il sistema si trovi nello stato √13  e−iφ 
1

• qual `e il valore di questa probabilit`a per t = 0 ?
Esercizio III
Sia data una particella confinata su un cerchio di raggio R in un piano con Hamiltoniana
~2 d2
H0 = −
(1)
2mR2 dφ2
Determinare le correzioni all’energia dello stato fondamentale (al II ordine in λ) e dei
primi due stati eccitati (al I ordine in λ) dovute alla perturbazione V (φ) = λ sin 4φ.
1
Compito MQ. Settembre 2014
Risolvere i seguenti esercizi (tempo: tre ore)
Esercizio I
Due particelle di spin 1/2 interagiscono attraverso il potenziale
~1 · S
~2 − 3S1x S2x ) .
A(S
Determinare
• i livelli energetici e la relativa degenerazione
• il valor medio dello spin totale Sz in funzione del tempo sapendo che a t = 0 una
misura delle componenti dello spin ha dato come risultato S1z = S2z = ~2 .
Esercizio II
Data una particella in tre dimensioni soggetta al potenziale
W (r) −
~2 µ
δ(r − a)
2m
(1)
con
W (r) = 0 , 0 < r < a ,
W (r) = V0 , r > a
(2)
con a, µ, V0 > 0, determinare per quali valori di V0 esiste almeno uno stato legato di
energia negativa con l = 0.
Esercizio III
Si determinino le correzioni alla struttura iperfine dello stato fondamentale dell’atomo di
idrogeno dovute all’interazione
2µ ~ (1) ~ (2) ~ (1) ~ (2) Sx Sy − Sy Sx
~2
~ (1) e S
~ (2) sono gli spin di elettrone e protone, rispettivamente. Si usi come Hamildove S
toniana iperfine la seguente espressione
H=
A ~ (1) ~ (2)
S ·S
~2
Quali sarebbero le predizioni della teoria delle perturbazioni al primo ordine in µ?
1

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