Star Wars(TM) Das Verhängnis der Jedi

Foglio di esercizi 3, Algebra e Geometria, Prof. Fioresi, 2014
Si svolgano i seguenti esercizi dal testo Algebra Lineare di Lang.
Es. 1, 2 §12. Es. 13, 14, 15, 16 pag. 60, §13.
Esercizio 1
a) Siano v1 = (1, 1, 1, 0), v2 = (2, 0, 2, −1), v3 = (−1, 1, −1, 1). Si determini
una base di W = Span{v1 , v2 , v3 } ⊂ R4 e la si completi ad una base di R4 .
Inoltre si determini se il vettore w = (1, 0, 1, 1) appartiene a Span{v1 , v2 , v3 }.
b) Si dica per quali valori di k (se esistono) il vettore (k, 0, k, 1) appartiene
a W.
Esercizio 2
Siano v1 = (1, 2, 1, 0), v2 = (4, 8, k, 5), v3 = (−1, −2, 3 − k, k). Si determini
per quali valori di k i vettori v1 , v2 , v3 sono linearmente indipendenti. Posto
k = 1, si determini, se possibile, un vettore w ∈ R4 tale che w 6∈ hv1 , v2 , v3 i.
Esercizio 3
a) Si dica per quali valori di k si ha w = (2, 5) ∈ span{(k, 1), (1, −2)}.
b) Si dica per quali valori di k (se esistono), {(k, 1), (1, −2)} e’ una base di
R2 . Motivare accuratamente la risposta.
Esercizio 4
Si dica per quali valori del parametro k i vettori di R3 [x]: v1 = 1 + x,
v2 = kx + 2x2 , v3 = 2x + kx2 , v4 = x3 sono linearmente indipendenti.
Esercizio 5
k 0
1 1
,
,
a) Si stabilisca per quali valori del parametro k le matrici
1 0
0 0
−1 k − 1
, sono linearmente indipendenti.
k
0
b) Si stabilisca per quali valori del
tospazio
r
W =
0
parametro k tali matrici generano il sot
s
, | r, s, t ∈ R
t
Esercizio 6
1
Sia W il sottospazio di R5 generato dall’insieme
B = {(1, 3, −1, 1, 2), (2, 6, −2, 4, 4)}.
Si completi la base B di W ad una base di R5 .
Esercizio Facoltativo
Si consideri lo spazio vettoriale complesso M2,2 (C) come spazio vettoriale
reale e lo si denoti V .
a) Si calcoli la dimensione di V su R.
b) Si dimostri che il sottoinsieme:
a + d b + ic
| a, b, c ∈ R
W =
b − ic a − d
e’ un sottospazio vettoriale di V (entrambi visti come spazi vettoriali reali).
c) Si dimostri che
1 0
σ0 =
,
0 1
0 1
σ1 =
,
1 0
0 −i
σ2 =
,
i 0
σ3 =
1 0
0 −1
e’ una base per W (sempre su R). Le matrici σi si dicono matrici di Pauli e
hanno un’importanza fondamentale in fisica.
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