soluzioni - Dipartimento di Matematica

Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Tutorato di GE110
A.A. 2013-2014 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez
Tutori: Dario Giannini e Giulia Salustri
Tutorato 5
27 Marzo 2014
1. Sia k 
un numero reale
le seguenti coppie di matrici:
 e si considerino


k 1 0
1 0 0
A1 = 0 k 2  e B1 = 0 0 0
1 1 −1
0 0 1


1 k
0
1 0
0  B2 =  0 1
A2 =  0 1
+1
0 0
1 1 k 

1 k 0
1 1 1
A3 = 0 1 k  B3 = 0 0 1
1 1 2
1 0 0
(a)
k

e

0
0
0
e
Si determino i valori di per i quali Ai puó essere trasformata in Bi
con sole operazioni elementari.
(b) Per i valori di k individuati sopra, si determini una sequenza di trasformazioni elementari che trasformi Ai in Bi .
SOLUZIONE:
Matrice A1 → Primo esonero A.A. 2005-2006;
Matrice A2 → Primo esonero A.A. 2004-2005;
Matrice A3 → Primo esonero A.A. 2002-2003.
2. Sia a un numero reale e si consideri la matrice:

a
A = 3
2
1
−1
a

1
0
1
Si determinino i valori di a per i quali A puó essere scritto come prodotto
di matrici elementari e si scriva esplicitamente tale prodotto.
SOLUZIONE:
Primo appello A.A. 2005-2006
3. Sia h un numero reale. Nello spazio vettoriale R4 siano U il sottospazio
vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
(
X1 + X2 = 0
X2 − X4 = 0
Wh =< (1; 0; 1; 0); (−1; 1; 0; −1); (h; −1; 2; 1) > (a)
U Wh
(b)
Wh + U
Wh ∩ U
(c)
V 6= {0} R4
(Wh + U ) ⊕ V = R4
e
:
Determinare le
dimensioni di , e scrivere esplicitamente due basi di tali sottospazi;
Determinare le dimensioni di
e di
;
Determinare se esiste un sottospazio
di tale che:
.
SOLUZIONE:
Primo appello A.A. 2011-2012
1
4. Siano k un numero reale, vk = (k, k, 0) ∈ R3, W ⊂ R3 il sottospazio
vettoriale
delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
(
e
y=0
x−z =0
U k ⊂ R3
il sottospazio vettoriale Uk =< (0, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, k) >.
Si determinino due basi di (W + < vk >) e Uk ;
Si determinino le dimensioni di Uk + (W + vk ) e di Uk ∩ (W + vk );
Si determinino , se esistono, i valori di k per cui Uk ⊕ W = R3.
Primo esonero A.A. 2005-2006
5. Sia h un numero reale. Nello spazio vettoriale R4 siano U il sottospazio
vettoriale
delle soluzioni del sistema lineare omogeneo:
(
(a)
(b)
(c)
SOLUZIONE:
X1 + X4 = 0
X2 + X3 = 0
Wh =< (1; 1; 1; 1); (0; 1; 0; −1); (2; 3; 2; h) >
U Wh
(b)
Wh + U
(c)
h
e
: (a) Determinare le dimensioni di , e scrivere esplicitamente due basi di tali sottospazi;
Determinare le dimensioni di
e di Wh ∩ U ;
Determinare se esistono valori di per cui Wh ⊕ U = R4.
SOLUZIONE:
Primo esonero A.A. 2004-2005
6. Si consideri lo spazio vettoriale M2(R) delle matrici quadrate di ordine 2
a coecienti reali. Siano:
A1 =
1
0
0
2
, A2 =
1
3
0
0
, A3 =
2
1
0
−1
, A4 =
0
−5
0
−1
Sia U :=< A1 , A2 , A3 , A4 >. Si calcoli la dimensione di U ;
Si determini un sottospazio W di M2 (R) tale
che U ⊕
W =M2 (R);
1 k
(c) Sia k un numero reale e siano Bk =
e Ck = k0 k0 .
0 0
Si determino, se esistono, i valori di k per i quali Dim(U ∩ < Bk , Ck >) =
1.
SOLUZIONE:
Primo esonero A.A. 2001-2002
7. 
Al variare dei parametri si considerino i seguenti sistemi:
(a)
(b)
kx1 + hx2 + x4 = −1



x + kx + x = 2
1
3
4

−x1 + 2x3 − x4 = −2



x1 + kx2 + hx3 = 1


x1 + kx2 + x3 = −2

kx − kx + x = 0
1
2
3
−2x1 + x2 − x3 = 0



x1 + 3x2 + x3 = 0
2

kx1 − kx2 + x3 = 0



kx + x = 0
2
3

2x1 − kx2 + x4 = −1



x1 + x2 + x3 − kx4 = 1

x1 + hx2 + x4 = 0



hx + hx + x = 1
1
3
4

−x
+
x
−
hx
1
3
4 =0



hx1 + x2 + x3 = 0
Utilizzando esclusivamente operazioni elementari, si determinino i valori
dei parametri per i quali i sistemi sono o meno compatibili e, in tal caso
si calcolino esplicitamente le soluzioni.
SOLUZIONE:
Primo sistema → Primo esonero A.A. 2011-2012;
Secondo sistema → Primo appello A.A. 2011-2012;
Terzo sistema → Primo esonero A.A. 2005-2006;
Quarto sistema → Primo appello A.A. 2005-2006.
8. Sianoa e b due numeri
 reali:

a
1
A=
0
1
b
D = 1
0
1 0
1 1
1 0
1 −1

1 a
1 0
1 a
1
8 a
1
 B = 0 −1
2
a 1
1
,


2
a b
−1 C = 1 1
0
0 1
,

2
0
1
,
Per ognuna delle matrici si determinino i parametri per i quali sono o meno invertibili e, in tal caso, si calcoli l'inversa.
SOLUZIONE:
Matrice A → Secondo appello A.A. 2011-2012;
Matrice B → Primo esonero A.A. 2011-2012;
Matrice C → Primo esonero A.A. 2001-2002;
Matrice D → Secondo appello A.A. 2001-2002.
3

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