1 Matrici di Pauli e di Dirac (sunto)

Matrici di Pauli e di Dirac (sunto)
1
1.1
Matrici di Pauli
1.1.1
Definizione
Le matrici σk (k = 0, 1, 2, 3) di Pauli (meccanica quantistica, spin) sono così
definite:
1 0
0 1
0 −i
1 0
= I; σ1 =
; σ2 =
; σ3 =
σ0 =
0 1
1 0
i 0
0 −1
1.1.2
(1)
Proprietà
Si controlla a vista che:
1) sono Hermitiane
σ k = σ †k
(2)
(σk )−1 = σ†k
(3)
σ 2k = I
(4)
2) sono Unitarie
quindi
Notare che imponendo la (4) a generiche matrici hermitiane 2×2 si ottengono
essenzialmente le matrici di Pauli
x z
x z
1 0
=
(5)
z∗ y
z∗ y
0 1
x2 + |z|2 = 1
(6)
(x + y) z = 0
(7)
(x + y) z ∗ = 0
(8)
2
2
y + |z| = 1
(9)
x = ±1
y = ±1
(10)
(11)
allora
a) caso z = z ∗ = 0
resta
1
cioè 4 matrici σ 0 , σ1 , −σ0 , −σ 1
1 0
1 0
;
0 1
0 −1
(12)
b) caso y = −x
resta
2
= 1 − x2
(13)
2
≤ 1
(14)
|z|
|x|
scelta più semplice x = 0, z = ±i oppure z = ±1
>>> In ogni caso queste matrici salvo σ 0 avrebbero traccia nulla e determinante −1 e quindi autovalori ±1
Quindi anche per le σk , k = 1, 2, 3
det(σ k ) = −1
(15)
tr(σk ) = 0
(16)
σ i σ j = iεijk σk + δ ij I
(17)
[σi , σj ] = 2iεijk σk
(18)
{σi , σj } = 2δ ij I
(19)
In più
da cui
ove εijk è il tensore di Ricci-Levi-Civita e δ ij il solito simbolo di Kronecker.
Esercizio: trovare gli autovettori normalizzati delle matrici di pauli.
Esercizio: provare che le matrici di pauli formano un gruppo ... per gli
studiosi: essenzialmente SU(2)
• Le matrici di pauli formano una base ortonormale dello spazio vettoriale
delle matrici 2 × 2
Che lo spazio delle matrici n × n sia uno spazio vettoriale è stato detto ed
è ovvio. Tuttavia non abbiamo definito il prodotto scalare in tale spazio.
Una buona definizione per matrici hermitiane è
1
(A|B) = tr(AB)
2
(20)
Esercizio: controllare che valgono le proprietà assiomatiche del prodotto
scalare.
Quesito: perchè devono essere hermitiane?
2
Allora per i, j = 0
(σi |σj ) =
=
1
tr(σi σj )
2
1
1
tr (iεijk σk + δ ij I) = δ ij tr (I) = δ ij
2
2
(21)
(22)
e
(σ0 |σj ) =
1
1
tr(σ0 σ j ) = tr(σ j ) = 0
2
2
1
(σ0 |σ0 ) = tr (I) = 1
2
1.2
(23)
(24)
Matrici di Dirac
0
γk =
−σ k
σk
; k = 0, 1, 2, 3
0
3
(25)

Download Report