Lezione 6 - Sezione STRUTTURE del DICA

Lezione 6: Sistemi ad un grado di libertà:
l’oscillatore elementare (6)
Federico Cluni
18 marzo 2015
1
1.1
Risposta sotto forzante qualsiasi - Analisi in frequenza
Sviluppo di Fourier
Nelle lezioni precedenti si è vista la risposta sotto forzanti tipo seno, coseno e a valore costante.
Nel caso di forzante generica F (t) definita per t ∈ [0, T ] la risposta può ottenersi con l’impiego
della rappresentazione in serie di Fourier di F (t). In tal caso si assume che la funzione sia
periodica di periodo T . La sua rappresentazione in serie di Fourier è la seguente:
∞
A0 X
F (t) =
+
[Ah cos (hωt) + Bh sin (hωt)]
2
(1)
h=1
con:
Z
2 T
A0 =
F (t)dt
T 0
Z
2 T
Ah =
F (t) cos (hωt) dt
T 0
Z
2 T
Bh =
F (t) sin (hωt) dt
T 0
e:
(2)
(3)
(4)
2π
(5)
T
In sostanza la F (t) viene vista come una sommatoria di funzioni armoniche in cui il periodo
1
della k-esima componente è Tk = T (si veda la figura 1).
k
ω=
1
Figura 1: Scomposizione della forzante F (t) in serie di Fourier con armoniche di pulsazione
crescente.
In maniera alternativa, si può porre:
∞
A0 X
F (t) =
+
Ch cos (hωt + φh )
2
(6)
h=1
con:
Ch =
q
A2h + Bh2
φh = tan−1
−Bh
,
Ah
con φh ∈ [−π, π)
e
Bh = −Ch sin φh
Ah = Ch cos φh ,
In genere, al crescere di h il contributo delle funzioni trigonometriche (anche dette armoniche)
diviene trascurabile.
Facendo uso delle seguenti:
1 ix
e + e−ix
2
i
sin x = − eix − e−ix
2
cos x =
2
e delle inverse:
eix = cos x + i sin x
e−ix = cos x − i sin x
la (1) si può esprimere come:
∞
X
f (t) =
Fh eihωt
(7)
f (t)e−ihωt dt
(8)
h=−∞
con:
1
Fh =
T
Si noti che F0 =
1
T
Z
Z
T
0
T
f (t)dt e quindi F0 rappresenta il valor medio della funzione nell’in0
tervallo considerato.
∗ , dove il simbolo ∗ indica il coniugato di un numero complesso.
Dalla definizione si ha Fh = F−h
Si noti infine che, poiché Fh = 12 (Ah − iBh ) (per h > 0):
q
p
Ch = A2h + Bh2 = 2 Re(Fh )2 + Im(Fh )2 = 2 Fh Fh∗
φh = tan−1
−i (Fh − Fh∗ )
Im(Fh )
−Bh
= tan−1
= tan−1
,
Ah
Re(Fh )
Fh + Fh∗
con φh ∈ [π, π)
Ricordando la forma polare dei numeri complessi per cui:
Fh = |Fh | eiθFh
dove |Fh | è il modulo (o valore assoluto) e θFh è l’argomento (o fase) del numero complesso Fh
si ha:
Ch = 2 |Fh |, φh = θFh
1.2
Risposta dell’oscillatore elementare
Si consideri un oscillatore elementare di massa m, smorzamento c e rigidezza k, di cui si voglia
determinare la risposta x(t) quando sottoposto ad una forza F (t):
Figura 2: Oscillatore elementare.
L’equazione differenziale che governa il problema è la seguente:
mx
¨ + c x˙ + k x = F (t)
(9)
x(t) = xOA (t) + xP (t)
(10)
La soluzione è data da:
dove xOA è l’integrale generale dell’equazione differenziale omogenea associata:
h
p
p
i
xOA (t) = e−νω1 t A cos ω1 1 − ν 2 t + B sin ω1 1 − ν 2 t
3
(11)
con:
k
ω12 =
m
c
ν= √
2 km
(12a)
(12b)
e xP (t) è un integrale particolare che dipende dalla forzante F (t). I valori di A e B vengono
stabiliti dalle condizioni iniziali, x(0) = x0 e x(0)
˙
= x˙ 0 .
iωt
Si consideri una forzante del tipo F (t) = F e , con F ∈ C e t ∈ [0, T ]. Si cerca un integrale
particolare del tipo xP (t) = X eiωt , sostituendo nella (9):
−m ω 2 X eiωt + c i ω X eiωt + k X eiωt = F eiωt
(13)
per cui deve essere:
X=
da cui, tenendo conto delle (12) si ha:
X=
La quantità:
H=
F
−m ω 2 + c i ω + k
(14)
F
k 1−
ω2
ω12
1
+ i 2 ν ωω1
(15)
1
k 1−
ω2
ω12
1
+ i 2 ν ωω1
(16)
è funzione di ω e dipende dai parametri dell’oscillatore elementare ed è definita funzione di riposta
in frequenza complessa dell’oscillatore elementare.
La soluzione è quindi:
xP (t) = F H eiωt
(17)
Passando alla forma polare dei numeri complessi, si può scrivere:
F = |F | ei θF
(18)
p
|F | = Re(F ) + Im(F )
Im(F )
θF = tan−1
, θF ∈ [−π, π)
Re(F )
(19a)
con:
(19b)
e, tenuto conto che:
ω
−
i
2
ν
ω1
1
iθ
H= 2 2 = |H| e H
k
ω
ω2
1 − ω 2 + 2 ν ω1
1−
ω2
ω12
(20)
1
con:
|H| =
p
1
Re(H) + Im(H) = r
k
θH = tan−1
1−
ω2
ω12
Im(H)
2 ν ω ω1
= tan−1 − 2
,
Re(H)
ω1 − ω 2
1
2
+
2 ν ωω1
2
θH ∈ [−π, π)
(21a)
(21b)
si ha:
F (t) = F eiωt = |F | ei(ω t+θF )
xP (t) = F H e
iωt
= |F | |H| e
4
i(ω t+θF +θH )
(22a)
(22b)
per cui la risposta dell’oscillatore è amplificata di un fattore |H| e sfasata di θH rispetto alla
forzante.
Si noti come |H| = fD /k e θH = −ψ.
Nel caso di una funzione generica F (t) definita in t ∈ [0, T ], è possibile risolvere il problema tenuto conto che, essendo il sistema lineare, vale la sovrapposizione degli effetti, per cui
esprimendo la F (t) in serie complessa di Fourier:
+∞
X
F (t) =
Fh ei hωt ,
con ω =
h=−∞
si ha:
+∞
X
xP (t) =
2π
T
(23)
H(h ω) Fh ei hωt
(24)
h=−∞
Ponendo:
Xh = Hh Fh ,
con Hh = H(h ω)
si può scrivere:
+∞
X
xP (t) =
Xh ei hωt
(25)
h=−∞
per cui si riconoscono in Xh i coefficienti della serie complessa di Fourier relativa a xP .
In definitiva, sotto la forzante:
+∞
X
F (t) =
Fh ei hωt ,
con ω =
h=−∞
2π
T
(26)
la soluzione, con le condizioni iniziale x(0) = x0 e x(0)
˙
= x˙ 0 , è la seguente:
−νω1 t
x(t) = e
+∞
h
p
p
i
X
2
2
A cos ω1 1 − ν t + B sin ω1 1 − ν t +
Xh ei hωt
(27)
h=−∞
con
k
m
c
ν= √
2 km
Xh = Hh Fh
ω12 =
Hh = 1−
A = x0 −
(h ω)2
ω12
+∞
X
(28a)
(28b)
(28c)
1
(28d)
+ i 2 ν (hωω)
1
Xh
(28e)
h=−∞
"
1
B= √
ν ω1
ω1 1 − ν 2
x0 −
+∞
X
h=−∞
!
Xh
+
+∞
2π X
x˙ 0 −
i h Xh
T
h=−∞
dove si è tenuto conto che:
x˙ P (t) =
+∞
X
i hω Xh e
i hωt
h=−∞
+∞
2π X
=
i h Xh ei hωt
T
h=−∞
5
!#
(28f)
P
2 π P+∞
In sostanza i termini +∞
h=−∞ Xh e T
h=−∞ i h Xh rappresentano le condizioni iniziali per
spostamento e velocità della sola parte di soluzione relativa all’integrale particolare.
Se la forzante F (t) è la funzione delta di Dirac, F (t) = δ(t), allora dalla proprietà della
funzione delta:
Z
+∞
−∞
f (t)δ(t − t0 )dt = f (t0 )
(29)
si ha che lo sviluppo in serie della delta è tale che Fh = 1 ∀h.
Perciò in questo caso si ha Xh = Hh , ovvero la funzione di risposta in frequenza complessa,
valutata in hω, fornisce i coefficienti della serie complessa di Fourier della funzione di risposta
all’impulso unitario.
Esempio
La forzante è definita per un periodo T = 120 s ed è riportata in Fig. 3.
10
8
6
F (t)
4
2
0
−2
−4
−6
−8
0
20
40
60
t
80
100
120
Figura 3: Forzante F (t).
Il sistema ha i seguenti parametri:
m = 100 kg,
k = 75 N m−1 ,
c = 8.66 N s m−1
Le caratteristiche del sistema sono:
ω1 = 0.866 rad s−1 ,
T1 = 7.255 s,
ν = 0.05
La risposta del sistema è mostrata in Fig. 4, mentre in Fig. 5 sono evidenziati i contributi di
xOA (t) (che tende a svanire) e xP (t):
I moduli e le fasi dei valori della funzione di risposta in frequenza e delle componenti delle
trasformate discrete di Fourer della forzante F (t), della risposta x(t) sono riportate in Fig. 6.
6
0.4
0.3
0.2
x(t)
0.1
0.0
−0.1
−0.2
−0.3
−0.4
−0.5
0
20
40
60
t
80
100
120
Figura 4: Risposta del sistema sotto la forzante F (t).
0.4
0.3
0.2
x(t)
0.1
0.0
−0.1
−0.2
x(t)
xOA (t)
−0.3
−0.4
−0.5
xP (t)
0
20
40
60
t
80
100
120
Figura 5: Risposta del sistema sotto la forzante f F (t): contributi di xOA (t) e xP (t).
7
8
0.080
0.100
0.120
6.70
6.70
+
-1.000
0.000
1.000
2.000
3.000
0.000
0.00
1.68
1.68
3.35
ω
3.35
ω
5.03
5.03
6.70
6.70
=
=
Figura 6: Moduli e fasi di H, F e X.
-3.000
0.00
5.03
5.03
-3.000
0.00
3.35
ω
3.35
ω
0.100
0.200
-2.000
1.68
1.68
×
0.300
0.400
0.500
-2.000
-1.000
0.000
1.000
2.000
3.000
0.000
0.00
0.020
0.040
0.060
|H|
θH
|F |
θF
-3.000
0.00
-2.000
-1.000
0.000
1.000
2.000
3.000
0.000
0.00
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
|X|
θX
1.68
1.68
3.35
ω
3.35
ω
5.03
5.03
6.70
6.70

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