DALLA CALCOLATRICE AI NUMERI REALI

DALLA CALCOLATRICE AI NUMERI REALI
(a cura della prof.ssa Laura Corazza)
Vediamo come operare con la calcolatrice una estrazione di radice.
Il codice necessario per ordinare alla calcolatrice di operare una estrazione di radice varia a
seconda della calcolatrice usata. Alcune calcolatrice sono in grado di calcolare direttamente solo le
radici quadrate ( e non , ad esempio, le radici cubiche). Ecco alcuni esempi di codici usati:
7√ =
√ 7=
2 x√ 7 =
Analizza la tua calcolatrice e scopri come esegue questa operazione.
Esercizio 1
Esegui le operazioni indicate, prima usando le proprietà a te note, poi con la calcolatrice; scrivi ogni
volta il risultato.
Operazione
a) √ (32)
b) ( √ 3)2
a) 3√ (43)
b) (3√ 4)3
a) √ (22)
b) ( √ 2)2
Risultato (con le proprietà) Risultato (con CT)
Per ogni coppia a), b) hai ottenuto lo stesso risultato usando le proprietà?
E con la calcolatrice?
Analizziamo i passi compiuti da una calcolatrice:
Tasto
3
Yx 2
=
√
=
Visore
3
3
9
9
3
Registro
0
9
9
3
3
Tasto
3
√
=
Yx 2
=
Visore
3
3
1.7320508
1.7320508
2.9999999
Registro
0
1.7320508
1.7320508
2.9999999
2.9999999
Tu sai che l' operazione di estrazione di radice (di indice n) è una inversa dell'operazione di
elevamento a potenza (di esponente n), dunque applicandole di seguito ad un numero a si ottiene
ancora a:
yx 2
√
a
a
√
yx 2
La calcolatrice non lo sa. Eseguendo l'estrazione di radice, la calcolatrice, ad un certo punto, deve
fermarsi, perché è al limite delle sue capacità; dunque fornisce un risultato approssimato.
Esercizio 2
Il primo risultato, nel caso b), ha un errore dell'ordine di………
Operando ancora su di esso, l'errore………
Esercizio 3
In quali dei seguenti casi troverai un risultato approssimato?
Qual è, in questi casi, l'ordine di grandezza dell'errore?
Quale operazione conduce all'approssimazione?
√ 24 =
(√ 16 )2 =
√ 9 ÷ 11 =
√ (5 ÷ 2) =
√ 1.44 =
√ 23 =
( √ 3 )3 =
4÷3*3=
Esercizio 4
Quali tipi di numeri ottieni come risultati delle operazioni: 6 : 17 e √ 3 ?
Eseguile con la calcolatrice. Analizza i risultati ottenuti: sei in grado di stabilire in ciascun caso il
tipo di numero ottenuto? Perché?
La calcolatrice non distingue numeri razionali da numeri irrazionali: sai infatti che essa opera su un
sottoinsieme finito dei numeri razionali, che ha perciò una scrittura decimale finita.
La calcolatrice perciò approssima, con una scrittura decimale finita, infiniti numeri, sia
razionali che irrazionali.
Vediamo ora come calcolare una radice cubica con una calcolatrice che non ha l'apposito tasto.
Si tratta dunque di far calcolare approssimazioni successive di numeri irrazionali.
Vogliamo calcolare 3√ 20.
Cerchiamo i due cubi perfetti che racchiudono il 20; sapete che 8 < 20 < 27
Possiamo dire allora che la radice cubica cercata è circa 2,….Approssimiamo meglio:
calcoliamo 2,53
15,625 è minore di 20 perciò
calcoliamo 2,63
17,576 è ancora minore di 20, dunque
3
calcoliamo 2,7
19,683 è ancora minore di 20, dunque
calcoliamo 2,83
21,952 è maggiore di 20
ora abbiamo due cubi perfetti che racchiudono il 20 e che sono più vicini al 20 dei numeri trovati
precedentemente, ossia
19,683 < 20 < 21,952
possiamo perciò dire che
2,7 < 3√ 20 < 2,8
Allora la radice cubica cercata è circa 2,7.
Esercizio 5
Calcola con questo metodo le seguenti radici, con una approssimazione a meno di 10-2
3
3
√5
√7
Calcoliamo ancora 3√ 42 = x con una approssimazione di 10-2
Poiché 27 < 42 < 64 possiamo dire che 3 < x < 4 e possiamo scrivere anche:
3
x=
4
Cerchiamo di dare una approssimazione migliore:
3,53 = 42,875 è maggiore di 42
3,43 = 39,304 è minore di 42
dunque poiché 39,304 < 42 < 42,875 possiamo dire che 3,4 < x < 3,5 e possiamo scrivere che:
 3 3,4
x=
 4 3,5
Arriviamo ora all'approssimazione richiesta: poiché 41,781923 < 42 < 42,144192 possiamo dire
che 3,47 < x < 3,48 e possiamo scrivere:
 3 3,4 3,47
3
√ 42 = 
 4 3,5 3,48
Potremmo continuare ulteriormente il procedimento e avvicinarci meglio al valore cercato.
In questo procedimento abbiamo costruito due sequenze di numeri razionali:
nella prima sequenza i numeri crescono,
nella seconda decrescono
Nella prima coppia (3; 4) si ha una approssimazione a meno di 100,
nella seconda coppia (3,4; 3,5) si ha una approssimazione a meno di 10-1 ,
nella terza coppia si ha una approssimazione a meno di 10-2.
Continuando, otterremo approssimazioni migliori del nostro numero irrazionale, mediante
numeri razionali.
In sostanza stiamo chiudendo il nostro numero in intervalli sempre più piccoli
3
3,4 3,5
4
Esercizio 6
Calcolate per approssimazioni successive, fino a 10-2 (senza usare il tasto di √ ) e per ciascun
numero scrivete le due sequenze di numeri razionali ottenute:
√2
√3
√5
√7
√35
Avrete ottenuto:
 1 1,4 1,41
 1 1,7 1,73
√2=
√3=
 2 1,5 1,42
 2 1,8 1,74
come vedete, se l'approssimazione è all'unità, non distinguete i due numeri; avete bisogno di una
approssimazione migliore. Lo stesso accade in altri casi.
Ogni volta abbiamo dato la caccia al nostro numero irrazionale imprigionandolo in intervalli
sempre più piccoli
1
1,4
1,5
1,7
1,8
2

Download Report