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CALCOLO NUMERICO
CALCOLO NUMERICO
(C.L. Ing. delle Comunicazioni - AA 2012-13)
(C.L. Ing. delle Comunicazioni - AA 2012-13 )
Proff. F. Pitolli, A. Pascarella
Proff. F. Pitolli, A. Pascarella
(Scritto del 23-01-2014)
(Esame del 23-01-2014)
COGNOME e NOME:
COGNOME e NOME:
MATLAB A
ESERCIZIO 1-A
1.1) Separare le radici dell’equazione non lineare
Scrivere una function Matlab Newton.m che implementi il metodo di Newton per la soluzione
di un’equazione non lineare. La funzione deve ricevere in input:
x arctg x − 2 = 0
• l’espressione della funzione f di cui si vuole approssimare la radice;
in intervalli di ampiezza pari a 0.4.
1.2) Verificare se il metodo delle secanti `e adatto ad approssimare la radice nell’intervallo
[1.8, 1.9]. In caso negativo individuare un diverso metodo adatto ad approssimare tale
radice.
• l’espressione df della derivata di f;
• l’approssimazione iniziale x0;
• il limite superiore eps dell’errore da usare come criterio di arresto.
La funzione deve restituire in output:
• l’approssimazione xn della radice;
ESERCIZIO 2-A
• l’errore di approssimazione err;
2.1) Calcolare il valore in 0 del polinomio di terzo grado approssimante i dati
• il valore fn della funzione nell’approssimazione xn;
-0.20
0.818731
-0.05
0.951229
0.15
1.161834
0.25
1.284025
relativi a una funzione f ∈ C ∞ [−0.25, 0.25].
2.2) Sapendo che f (0) = 1, valutare quante cifre decimali esatte ha l’approssimazione
ottenuta al punto precedente.
• il numero niter di iterazioni eseguite.
Ad ogni passo dell’algoritmo la function deve stampare: niter, xn, err, f(xn).
CALCOLO NUMERICO
(C.L. Ingegneria Meccanica - AA 2012-13)
Proff. F. Pitolli, F. Battista
CALCOLO NUMERICO con ELEMENTI DI PROGRAMMAZIONE
ANALISI NUMERICA
(C.L. Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio, C.L. Ing. Elettrotecnica - AA 2013-14)
Proff. F. Pitolli, A. Nascetti
(Esame del 23-01-2014)
(Scritto del 23-01-2014)
COGNOME e NOME:
COGNOME e NOME:
ESERCIZIO 1-E
ESERCIZIO 1-B
1.1) Separare le radici dell’equazione non lineare
2
x + e−x (cos x + 1) = 0
in intervalli di ampiezza non superiore a 0.4.
1.2) Verificare se il metodo delle tangenti `e adatto ad approssimare la radice nell’intervallo
[−0.9, −0.8]. In caso negativo individuare un altro metodo adatto ad approssimare
tale radice.
1.1) Individuare tutti i valori del parametro reale β per i quali la matrice


β
−1
1
−1 
A(β) =  0 1 − β
0
0
1+β
ha autovalori tutti positivi;
1.2) posto β = 1.01, calcolare il numero di condizionamento in norma 1 della matrice A(β)
e stabilire se la matrice ha un buon condizionamento.
ESERCIZIO 2-E
2.1) Dati i valori
-2/3
-6/13
ESERCIZIO 2-B
2.1) Approssimare la soluzione del problema differenziale

1
3

− 2 y2
x>
 y ′ (x) =
1 + x2
2


y(3/2) = 6/13
nel punto β = 3 con il metodo di Eulero con passo h = 0.5.
2.2) Approssimare y(β) con il metodo di Heun con passo h = 1.5. Sapendo che il valore
esatto `e y(β) = 3/10, individuare quale delle due approssimazioni `e migliore motivando
il risultato ottenuto.
-1/3
-3/10
0
0
1/3
3/10
2/3
6/13
1
1/2
4/3
12/25
relativi al campionamento di una funzione f ∈ C ∞ [−2, 2], approssimare I =
utilizzando tutti i valori in tabella;
R 4/3
−2/3
f (x) dx
2.2) dare una stima del numero di decimali esatti forniti dall’approssimazione di I ottenuta
al punto precedente.
ESERCIZIO 3-E
Scrivere uno schema numerico adatto ad approssimare la soluzione del problema differenziale

1 − x2 + 8x3

 (1 + x2 ) y ′′ (x) + y ′ (x) + 6 y(x) =
,
−1 ≤ x ≤ 1 ,

2

(1 + x2 )



 y(−1) = − 1 ,
y ′ (−1) = 0
2
Specificare, l’ordine del metodo scelto.
Traccia delle soluzioni
ESERCIZIO 1-B
ESERCIZIO 1-A
1.1) La funzione f (x) = x + e−x (cos x + 1) `e continua in IR. Graficando o tabulando f (x)
si individua un’unica radice negativa appartenente all’intervallo [−1, −0.6].
2
1.1) La funzione f (x) = x arctg x − 2 `e continua in IR e antisimmetrica quindi `e sufficiente
studiarla per x > 0. Graficando o tabulando f (x) si individua un’unica radice positiva
appartenente all’intervallo [1.6, 2]. Per l’antisimmetria di f esiste un’altra radice in
[−2, −1.6].
2.5
2
2
f(x)= x + e−x (cos x+1)
1.5
1
h(x)= x
0.5
2
0
h(x)= 2/x
1.5
g(x)= arctg x
1
−0.5
−1
0.5
2
−1.5
g(x)= − e−x (cos x+1)
0
−2
−2
−0.5
−1
−1.5
−1
−0.5
0
x
0.5
1
1.5
2
f(x)= x arctg x−2
−1.5
1.2) f `e derivabile in IR. Si ha
−2
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
2
f ′ (x) = 1 − e−x (2 x (1 + cos x) + sin x)
2
f ′′ (x) = e−x (−2 − 3 cos x + 4x2 (1 + cos x) + 4 x sin x)
1.2) f `e derivabile in IR. Si ha
f ′ (x) =
x
+ arctg(x)
1 + x2
f ′′ (x) =
2
(1 + x2 )
2
Sia f ′ che f ′′ sono positive nell’intervallo dato. Inoltre dal grafico si vede che l’intervallo
`e approssimativamente simmetrico rispetto alla radice, quindi il metodo delle secanti
`e adatto ad approssimare la radice in [1.8, 1.9]. La convergenza `e garantita scegliendo
x0 = 1.9, estremo di Fourier dell’intervallo, e x1 = 1.8. Dopo 4 iterazioni del metodo si
ottiene l’approssimazione x4 = 1.85722751726, accurata alla undicesima cifra decimale.
Sia f ′ che f ′′ sono positive nell’intervallo dato (si noti che in questo intervallo sin x e
cos x sono praticamente costanti), quindi il metodo delle tangenti `e adatto ad approssimare la radice in [−0.9, −0.8]. La convergenza `e garantita scegliendo x0 =
−0.8, estremo di Fourier dell’intervallo. Dopo 4 iterazioni del metodo si ottiene
l’approssimazione x4 = −0.83398119, accurata alla settima cifra decimale.
ESERCIZIO 2-B
2.1) Il metodo di Eulero con passo h = 0.5 fornisce le approssimazioni
ESERCIZIO 2-A
2.1) Costruito il polinomio algebrico di terzo grado interpolante i dati in tabella, si ottiene
l’approssimazione p3 (0) = 0.999983.
2.2) Si ha f (0) − p3 (0) = 1 − 0.999983 = 0.17 · 10−4 , quindi l’approssimazione ha 4 cifre
decimali esatte.
i
xi
yi
1
2.0
0.402367
2
2.5
0.340468
3
3.0
0.293515
L’approssimazione fornita dal metodo di Eulero in β `e per difetto e accurata alla prima
cifra decimale.
2.2) Il metodo di Heun con passo h = 1.5 fornisce l’approssimazione y1 = 0.326777, che `e
per eccesso e accurata alla prima cifra decimale.
Anche se entrambe le approssimazioni sono esatte alla prima cifra decimale, l’errore
di approssimazione fornito dal metodo di Eulero `e pi`
u piccolo di quello fornito dal
metodo di Heun. Quindi il metodo di Eulero fornisce un’approssimazione migliore.
Questo `e dovuto al fatto che `e stato scelto un passo di integrazione pari a un terzo di
quello utilizzato per il metodo di Heun .
ESERCIZIO 1-E
1.1) La matrice A(β) `e triangolare, quindi i suoi autovalori sono i valori sulla diagonale
principale. Dalle condizioni
β>0
1−β >0
1+β >0
si individua l’intervallo 0 < β < 1.
1.2) Per β = 1.01, si ha

A(1.01) = 

1.01
−1
1
0
−0.01 −1 
0
0
2.01


0.990099 −99.0099 −49.7512
−1
0
−100.
−49.7512 
A(1.01)
=
0
0
0.497512
−1
k ≈ 4 · 199 = 796. La matrice A(1.01)
da cui K1 (A(1.01)) = kA(1.01)k k A(1.01)
non ha un buon condizionamento, come c’`e da aspettarsi in quanto per β = 1 A(β) `e
singolare.
ESERCIZIO 2-E
2.1) La formula generalizzata dei trapezi fornisce I ≈ 0.32358.
2.2) Il criterio di Runge fornisce R(f ) ≈ (0.32358−0.31385)/3 ≈ 0.32·10−2. L’approssimazione
ha due decimali esatti.
E’ possibile risolvere l’esercizio con la formula delle parabole?
ESERCIZIO 3-E
Si tratta di un problema ai valori iniziali che pu`
o essere approssimato con i metodi di Eulero
(primo ordine), Heun (secondo ordine), Runge-Kutta (quarto ordine).

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