Revisione
gen. 2015
Metodi e risultati per le
Funzioni Ortogonali,
con elementi di Teoria di Sturm-Liouville
Claudio Magno
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Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville
Sturm
–
Jacques Charles Franç
François Sturm (1803-1855)
Joseph Liouville (1809-1882)
1
2
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
Ortogonalità tra funzioni in modalità vettoriale
Nell’algebra vettoriale ordinaria in uno spazio euclideo, e.g., in R 3 ≡ X ×Y × Z , i due vettori F
e G , entrambi ≠ 0 , sono ortogonali (o perpendicolari) quando il loro prodotto scalare è nullo,
F ⋅ G ≡ Fx G x + Fy G y + Fz G z = 0 .
(1)
Com’è noto, la proprietà di ortogonalità vettoriale trova un’estensione formalmente legittima,
benché non ovvia da un punto di vista geometrico o fisico ordinari, quando si considerano vettori a
n > 3 componenti.
Ci si può spingere oltre, interpretando la funzione (applicazione) reale F : x ֏ F (x ) come un
vettore (campo) con un numero infinito continuo di componenti del tipo y ≡ F (x ) ∈ R , ciascuna
ottenuta applicando F a ogni valore della variabile indipendente x ∈ (a , b) ⊆ R . In tal caso,
mediante un’estensione prevedibile al continuo della somma discreta (1), due funzioni F e G ,
entrambe non-nulle, sono ortogonali nell’aperto (a , b) se, in esso, vale l’annullamento non-banale
del loro prodotto interno (forma bilineare simmetrica non-negativa definita, in notazione bra(c)ket di Dirac)
∫
〈 F |G 〉 ≂
b
a
F (x ) G (x )dx ≡
b
∫
a
G (x ) F (x )dx ≂ 〈 G|F 〉 = 0 ,
(2)
dualmente associato a, e rappresentato da, ( ≂ ), un integrale definito, e.g., à-la Riemann.
Una generalizzazione dell’Eq. (2) riguarda il caso in cui è { F (x ), G (x )} ⊂ C , tipico nella Fisica
Quantistica, dove, all’Eq. (2), in uno spazio H di Hilbert appropriato, corrisponde l’annullamento
(non-banale) del prodotto interno complesso (nell’una o nell’altra forma equivalenti sesquilineari)
〈 F |G 〉 ≂
∫
b
a
F (x )∗ G (x )dx ≡
∫
G (x )∗ F (x )dx ≂ 〈 G|F 〉∗ = 0 ,
b
a
(2.1)
dualmente associato a un integrale à-la Lebesgue. Comunque, per gli scopi di questa discussione
semplificata, si assumerà, salvo avviso diverso, che sia { F (x ), G (x )} ⊂ R , con x ∈ (a , b) ⊆ R .
Ancora, un vettore geometrico elementare unitario, φˆ , detto versore (contraddistinto mediante un
accento circonflesso) in R n ha norma pitagorica (o modulo) di valore 1 , nel senso che
φˆ ≡ (φˆ ⋅ φˆ )1 / 2 =
(
∑ k = 1 φˆ k2
n
)
1/2
= 1.
(3)
Analogamente, mediante l’Eq. (2), si ottiene la generalizzazione dell’Eq. (3) in termini di norma
(o metrica) integrale di ordine 2 appropriata in (a , b) ,
φˆ ≡ 〈 φˆ |φˆ 〉 1 / 2 ≂
(∫
b
a
(φˆ (x ))2dx
)
1/2
= 1,
(4)
dicendo che la funzione φˆ è normale, o normalizzata a 1 , in (a , b) .
Ora, dalle Eq. (2) e (4) precedenti, si può indagare circa l’esistenza di un insieme numerabile {φˆ k }
(successione) di funzioni, le quali risultino, in (a , b) , sia ortogonali tra loro sia normalizzate a 1 ,
〈 φˆ j |φˆ m 〉 ≂
∫
b
a
φˆ j (x ) φˆ m (x ) dx = δ j , m ,
(5)
dove, δ j , m è il simbolo di Kronecker consueto. Una tale successione di funzioni, se esiste, si dice
che è ortonormale in (a , b) . La normalizzazione a 1 è convenzionalmente sottintesa.
3
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
Esercizio 1
Si verifichi che l’insieme di funzioni (successione), numerabile vs. l’indice k ∈ Z ,
{1/(2 λ )1/ 2 } ∪ {(1/λ 1 / 2 ) cos (k π x /λ ), (1/λ 1 / 2 ) sin (k π x /λ )}k ,
è ortonormale in ogni x-intervallo compatto di ampiezza 2 λ ( > 0 ), simmetrico o no.
■
Il concetto di ortogonalità funzionale in (a , b) si approfondisce con la specificazione di una
funzione-peso, o funzione-densità, appropriata quando si voglia generare uno spazio vettoriale
ortogonale da un insieme-base numerabile {ϒ k } di funzioni non necessariamente ortogonali tra
loro. In altri termini, lo scopo della funzione-peso, w , è quello di rendere ortogonale lo spazio
vettoriale generato da {ϒ k } in (a , b ) , analogamente allo jacobiano di una trasformazione tra
sistemi discreti di coordinate ortogonali continue (e.g., dx dy dz ֏ r 2 |sin θ | drd θ d ϕ ). Per quanto
riguarda l’integrazione in (a , b) , in particolare, tutte le caratteristiche algoritmiche à-la Riemann
rimangono invariate, salvo che l’elemento di variazione infinitesima dx viene sostituito da quello
di misura à-la Lebesgue-Stieltjes (LS-), dx ֏ dτ ≡ dτ (x ) := w (x )dx .
La situazione descritta è tipica nelle rappresentazioni che coinvolgono, più o meno direttamente, le
funzioni ϒ k come generatori vettoriali dello spazio ortogonale corrispondente in (a , b) .
Sia x ֏ w (x ) una funzione almeno Riemann-integrabile e generalmente positiva in (a , b) . Se
〈ϒ j |ϒ m 〉 ≂
∫
b
a
ϒ j (x )ϒ m (x ) w (x ) dx ≡
∫
b
x =a
ϒ j ( x )ϒ m ( x ) d τ = δ j , m ,
(6)
(LS-integrale) si dice che l’insieme numerabile {ϒ k } di funzioni è ortonormale in (a , b) vs. la
funzione-peso w . In tal caso, l’insieme di funzioni {φˆ k }:= { w 1 / 2ϒ k } è ortonormale in (a , b) vs.
w ≡ χ (a , b ) : x ֏ ϑ (x − a ) − ϑ (x − b) , la funzione caratteristica dell’intervallo (a , b) , nota anche
come funzione Gradino Unitario finito di Heaviside (al più, è w = ϑ (x − a ) , quando b → + ∞ ).
Così come qualsiasi funzione vettoriale (e.g., 3D) F (r ) può sempre essere espansa vs. una base
vettoriale ortonormale arbitraria (e.g., quella cilindrica { ρˆ , ϕˆ , ˆz } , nella rappresentazione solita
r ֏ F ρ (r ) ρˆ + Fϕ (r )ϕˆ + Fz (r ) ˆz ), si può considerare la possibilità di associare a una funzione
x ֏ f (x ) , in un intervallo aperto limitato opportuno, una WSTK-espansione (cosiddetta, dai
nomi dei matematici H. Weyl, M. H. Stone, E. C. Titchmarsh e K. Kodaira), in termini di un certo
insieme-base numerabile {ϒ n } di funzioni mutuamente ortogonali in tale intervallo. In questo,
inoltre, si assuma che le ϒ siano ortonormalizzabili vs. un insieme-base {φˆ } , con funzione-peso
n
n
w , generando le rappresentazioni
f (x ) ≓
∑
+∞
n =0
c nϒ n (x ) ≡
∑
+∞
n =0
c n ( w (x )) −1 / 2 φˆ n (x ) ≡ S (x ) ,
(7)
dove, x ֏ S (x ) è la funzione-somma della WSTK-serie, corrispondente in media ( ≓ ) a f (x ) .
Se esiste la serie (7), essa è detta espansione ortogonale di f (x ) nell’intervallo aperto specificato
e costituisce una generalizzazione del modello della Serie di Fourier.
Per le Serie Ortogonali\Ortonormali (vs. la funzione-peso in un certo intervallo almeno aperto),
che rivestono sia grande rilevanza teorica che utilità applicativa in numerosi modelli della Fisica e
dell’Ingegneria, vale il fondamentale
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
TEOREMA di espansione 1
4
(WSTK-formulazione minimale) (*)
La funzione x ֏ f (x ) sia limitata e regolare a tratti in (a , b ) , i.e.,
1.
f ∈ C ( (a , b) ) tranne, al più, che in corrispondenza di un numero finito di punti x j di
discontinuità o eliminabile o di 1.o tipo ( ∃ f (x −j ) ∧ f (x +j ) , ∀ j , ⇒ f continua a tratti);
2.
∃ f ′ in (a , b ) tranne, al più, che in corrispondenza di un numero finito di punti x k tali che,
però, ∃ f ′(x −k ) ∧ f ′(x k+ ) , ∀ k ( f derivabile a tratti ⇒ f ′ continua a tratti).
Allora, ∀ x ∈ (a , b) , ∃ una WSTK-serie convergente a f in media, i.e., tale che
f (x ) ≓ S (x ) ≡
1
( f (x − ) + f (x + )) .
2
(8)
In particolare, se f ∈ C ( (a , b) ) , l’uguaglianza in media (8) si riduce all’uguaglianza puntuale
f (x ) =
∑
+∞
n =0
c nϒ n (x ) ( ≡ S (x ))
(8.1)
∀ x ∈ (a , b ) , (in breve: f è WSTK-espandibile in (a , b) ).
Se la WSTK-espansione vale nell’intervallo compatto [a , b ] , allora, la WSTK-serie converge
uniformemente a f (x ) in [a , b ] . ▲
Osservazione:
Se f è espandibile in T-serie (∴ Taylor) nell’intervallo I ⊆ R , qui essa è
anche espandibile in WSTK-serie. In generale, l’asserto inverso è falso.
____________________
(*)
Si confronti l’enunciato del Teorema di espansione con quello di Dirichlet, specifico per la Serie di Fourier (v.,
e.g., l’Unità tematica dell’autore: Proprietà e applicazioni della Serie di Fourier, p. 6).
Peraltro, il Teorema di espansione di WSTK costituisce una generalizzazione del celebre Teorema di HilbertSchmidt.
5
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
Forma generale dei coefficienti di una WSTK-espansione
WSTK
Sia f ∈ C ([a , b]) ed espandibile, analogamente all’Eq. (8.1), dall’insieme-base numerabile {ϒ n }
di funzioni ortogonali tra loro in [a , b ] vs. la funzione-peso w .
Moltiplicando i termini in entrambi i membri dell’Eq. (8.1) per il prodotto ϒ q w , dove ϒ q è un
elemento qualsiasi della base ortogonale, e integrando vs. x ∈ [a , b ] , si ottiene
∫
∫ (∑
= (∑
c
b
f (x )ϒ q (x ) w (x )dx =
a
b
+∞
a
n =0
+∞
n =0
n
)
c nϒ n (x ) ϒ q (x ) w (x )dx ≡
δ nq
)∫
b
x =a
(ϒ q (x ))2dτ = c q ∫
∑
b
x =a
+∞
n =0
cn
∫
b
x =a
ϒ n (x )ϒ q (x )dτ
(ϒ q (x ))2dτ
≂ cq 〈ϒ q |ϒ q 〉 ,
dall’ortogonalità tra gli elementi della base {ψ k } vs. la funzione-peso w . Inoltre, la commutabilità
delle operazioni di somma numerabile e di integrale definito è lecita, data la continuità uniforme di
f nell’intervallo compatto [a , b ] di integrazione.
L’espressione di cq si scrive ( dτ ≡ dτ (x ) := w (x )dx )
cq =
∫
b
x =a
b
∫
x =a
f (x )ϒ q (x )dτ
(ϒ q (x ) ) dτ
2
≂
〈 f |ϒ q 〉
〈ϒ q |ϒ q 〉
.
(9)
Si può estendere la validità del Teorema di espansione, mantenendo la forma (9) dei coefficienti di
una WSTK-espansione associata in (a , b ) a una funzione f qualsiasi, purché siano mantenute le
condizioni sufficienti espresse dal
TEOREMA di espansione 2
(WSTK-formulazione massimale)
Si abbia che
1.
2.
f ∈ C ((a , b) ) , salvo, al più, che in corrispondenza di un numero finito di punti in (a , b) di
discontinuità di qualsiasi tipo per f ;
∫
b
a
| f (x )| ( w (x ))1/ 2dx < + ∞ , sia questo un integrale definito ordinario oppure generalizzato
[i.e., nel contesto più tecnico e più profondo della Teoria della Misura, si richiede che sia
w 1 / 2 f ∈ L 1 ( (a , b) ) , la classe delle funzioni sommabili assolutamente in (a , b ) ].
Allora, f risulta espandibile in WSTK-serie ∀ x ∈ (a , b) che non sia un punto di discontinuità di
2.o tipo, con il valore f (x ) dato ancora dall’Eq. (8). In corrispondenza di un punto in (a , b) di
discontinuità di 2.o tipo, si può assegnare a f un valore finito qualsiasi. ▲
■■■
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
6
Approssimazione per quadrati minimi
Sia f limitata e regolare a tratti in (a , b ) . Qui, pertanto, è definibile un insieme-base numerabile
di funzioni {ϒ n } , mutuamente ortonormali vs. la funzione-peso w , il quale genera un’espansione
in serie convergente almeno in media a f (x ) , secondo l’Eq. (8), e avente somma S (x ) .
Ora, dal confronto con l’Eq. (7), la somma finita di coefficienti arbitrari
∑
s M (x ) :=
M
κ nϒ n (x )
n =0
(10)
può essere considerata, come un’approssimazione di f (x ) in (a , b ) affetta da un errore (scarto)
quadratico medio, dipendente da M , esprimibile dall’LS-integrale ( dτ ≡ w (x ) dx )
σ M2 :=
1
b −a
∫
b
x =a
( f (x ) − s M (x ))2 dτ .
(11)
Riscrivendo esplicitamente vs. x la funzione integranda contenuta nella forma (11) come
( f (x ) − s M (x ))2 w (x ) ≡ (( f (x )) 2 − 2 f (x ) s M (x ) + (s M (x ))2 ) w (x )
= ( f (x ))2 w (x ) − 2 ∑ n = 0 κ n f (x )ϒ n (x ) w (x ) +
M
+ ∑n =0
M
↳
∑
M
n =0
↲
κ j κ n φˆ j (x ) φˆ n (x )
(12)
e, integrando l’espansione quadratica (12) tra a e b , si ottiene successivamente (vs. w in (a , b ) )
∫
b
x =a
( f (x ) − s M (x ))2 dτ =
∫
b
x =a
( f (x ))2dτ − 2 ∑ n = 0 κ n ∫
M
+ ∑ j =0
M
↳
≂ 〈 f | f 〉 − 2 ∑ n = 0 κ n 〈 f |ϒ n 〉 + ∑ j = 0
M
M
∑
b
x =a
∑
M
n =0
f (x )ϒ n (x ) dτ +
M
n =0
κ j κ n ∫ φˆ j (x ) φˆ n (x ) dx
a
κ j κ n 〈 φˆ j |φˆ n 〉
= 〈 f | f 〉 − 2 ∑ n = 0 κ n c n + ∑ n = 0 κ n2 ,
M
↲
b
M
dalle Eq. (9) e (5),
≡ 〈 f | f 〉 + ∑ n = 0 (κ n − c n )2 − ∑ n = 0 c n2 .
M
M
(13)
Dall’Eq. (13), è immediato concludere che σ M2 è minimo quando si scelga κ n ≡ c n , ∀ n ≤ M ,
i.e., quando i coefficienti κ n coincidono con i WSTK-coefficienti corrispondenti.
Tale restrizione, detta regime di quadrati minimi, riduce l’Eq. (13) alla forma
∫
b
( f (x ) − s M (x ))2dτ = 〈 f | f 〉 − ∑ n = 0 c n2 .
M
x =a
(14)
L’integrale nel membro sinistro dell’Eq. (14), se esiste, è non-negativo. Questa circostanza implica
la disuguaglianza attenuata
∑
M
n =0
c n2 ≤
∫
b
x =a
( f (x ))2dτ , che, essendo f limitata e indipendente
da M in (a , b ) , dà luogo, per M → + ∞ , alla
Disuguaglianza (attenuata) generale di Bessel:
∑
+∞
c2 ≤
n =0 n
∫
b
x =a
( f (x ))2dτ ≂ 〈 f | f 〉 .
Quando valga l’uguaglianza, la Disuguaglianza (attenuata) generale di Bessel si riduce alla
(15)
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
7
Uguaglianza generale di Parseval:
∑
+∞
n =0
c n2 =
∫
b
x =a
( f (x ))2dτ ≂ 〈 f | f 〉 .
(16)
____________________
La validità della Disuguaglianza (attenuata) generale di Bessel e, da questa, dell’Uguaglianza
generale di Parseval, dipende dalla presenza di tutti gli elementi dell’insieme-base ortonormale di
funzioni {φˆ n } – nessuno escluso! – quando M → + ∞ in s M (x ) , in regime di minimi quadrati
(i.e., con κ n ≡ c n , ∀ n ∈ Z 0+ ). Tale condizione si esprime nel fondamentale
TEOREMA di Completezza per una Base Ortonormale
Condizione necessaria e sufficiente affinché un insieme-base ortogonale di funzioni {ϒ n } sia
completo in (a , b ) vs. f è che, in regime di minimi quadrati (con peso w in (a , b ) ), risulti
1
M → +∞ b − a
lim σ M2 ≡ lim
M → +∞
∫
b
x=
( f (x ) − s M (x ) ) d τ
a
2
= 0. ▲
(17)
■
In modo equivalente al limite (17), avendo presente l’Eq. (8), si incontra, talvolta, la scrittura
l .i .m . s M (x ) = f (x ) , intendendo che la convergenza di s M (x ) a f (x ) costituisce un processo di
M →+∞
limite-in-media.
Tecnicamente, l’integrale contenuto nel limite (17) corrisponde a un integrale à-la Lebesgue.
Infatti, l’annullamento-limite richiesto dal Teorema di Completezza non riguarda lo scarto relativo
f (x ) − s M (x ) ma soltanto lo scarto medio (in senso integrale) quadratico, coerentemente con la
condizione rilassata (8) di convergenza-in-media a f (x ) della WSTK-espansione.
Una conseguenza importante della completezza di {ϒ n } in regime di minimi quadrati vs. la
funzione-peso w è espressa dal
TEOREMA di Riemann (formulazione generalizzata)
Se vale la Disuguaglianza (attenuata) generale di Bessel per f in (a , b ) , allora, vale anche il
limite seguente:
lim c n ≡ lim
n → +∞
n → +∞
∫
b
x =a
f (x )ϒ n (x ) dτ ≂ lim 〈 f |ϒ n 〉 = 0 . ▲
(18)
n → +∞
Dimostrazione
L’asserto è immediatamente evidente dall’Eq. (15), osservando che, se
∑
+∞
n =0
c n2 < + ∞ , ciò
implica che c n = o (1) per n → + ∞ .
■
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8
Come conclusione di questa panoramica elementare (e fin troppo breve) sulle proprietà esistenziali
dei sistemi di funzioni ortonormali in un intervallo limitato, è proposta la costruzione (semplice)
di una dimostrazione del seguente
TEOREMA
Sia (a , b ) un intervallo aperto dove sono definiti un insieme numerabile {ϒ n } di funzioni limitate,
integrabili e mutuamente ortogonali vs. la funzione-peso w : x ֏ w (x ) e una funzione integrabile
x ֏ f (x ) ≠ 0 generalmente.
Se, ∀ n ∈ Z 0+ ( ≡ Z + ∪ { 0 } ), risulta
〈 f |ϒ n 〉 ≂
∫
b
x =a
f (x )ϒ n (x )d τ = 0 ,
(19)
allora, {ϒ n } non è completo in (a , b ) vs. la funzione-peso w . ▲
■■■
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
9
Generazione di un Insieme-base Ortonormale in (a,b)
Il Metodo di Gram-Schmidt
Fin qui, la discussione si è concentrata sulle proprietà generali di una base numerabile qualsiasi,
{ϒ n } , di funzioni mutuamente ortogonali in un intervallo aperto vs. una funzione-peso w .
Appare evidente, e.g., dalle Eq. (7) e (8.1), che {ϒ n } genera, dall’intervallo (a , b ) , uno spazio
ortogonale di dimensione infinita dotato di prodotto interno. La richiesta ulteriore che la base {ϒ }
sia completa in (a , b ) garantirebbe l’idoneità di {ϒ } a rappresentare in WSTK-serie, in (a , b ) ,
ogni funzione che soddisfi le ipotesi del Teorema di espansione.
È noto un raffinamento operativo consistente in un procedimento auto-generatore di un insieme
ortonormale {φˆ n } in (a , b ) a iniziare da un insieme (numerabile) qualsiasi { u n } di funzioni
assegnate, limitate e linearmente indipendenti in (a , b ) . L’indipendenza lineare delle funzioni u n
è una condizione necessaria quasi ovvia, data l’ortogonalità in (a , b ) tra gli elementi-base φˆ
n
cercati.
L’origine e la natura dell’insieme { u n } sono irrilevanti; ad esempio, { u n } potrebbe risultare dalla
ricerca della soluzione generale di un’equazione differenziale a derivate parziali del 2.o ordine,
nella quale il parametro autovalore sia indipendente dalla/e costante/i di separazione.
Il procedimento auto-generativo citato, forse il più celebre e semplice disponibile, benché
applicabile in modo sistematico solo con l’aiuto di un computer, è quello noto come il Metodo di
Gram-Schmidt. Esso ha il suo fondamento in Algebra Lineare, precisamente, nel
TEOREMA
Sia V ≡/ { 0 } uno spazio vettoriale nell’insieme aperto Ω ⊆ C , di dimensione finita o infinita e
dotato di prodotto interno non-negativo definito. Inoltre, sia { u n } un insieme numerabile qualsiasi
in V di vettori limitati (i.e., u n < + ∞ ) e linearmente indipendenti in Ω .
Allora, ∃ una base ortonormale generatrice di V e deducibile da { u n } . ▲
■
Costruzione e verifica esistenziale di {φˆ n } in
Ω ≡ (a , b ) ⊂ R
:
Il Metodo di Gram-Schmidt procede induttivamente con la costruzione ricorsiva esplicita degli
elementi della base ortonormale richiesta sull’intervallo aperto (a , b ) . Nel linguaggio dell’Algebra
Lineare, esso è equivalente a una trasformazione matriciale A (matrice triangolare) da un insieme
numerabile non necessariamente ortogonale di vettori, l’insieme di funzioni { u n } , a una base
ortonormale di vettori vs. la funzione-peso caratteristica in (a , b ) , χ (a , b ) , l’insieme di funzioni
{φˆ n } ≡ { w 1 / 2 u n } .
Riferendo { u n } all’espansione in WSTK-serie nell’intervallo aperto arbitrario (a , b ) ⊂ R vs. la
funzione-peso generica w , si incomincia ponendo
φˆ 0 (x ) :=
u 0 (x )
|u 0 |
Poi, definita la combinazione lineare
≡
(∫
u 0 (x )
b
a
(u
(x ) ) w (x ) dx
2
0
)
1/ 2
≂
u 0 (x )
〈 u 0 |u 0 〉1 / 2
.
(20)
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
Φ 1 (x ) := u 1 (x ) − 〈 u 1 |φˆ 0 〉 φˆ 0 (x ) ,
10
(21.1)
si verifica facilmente che Φ 1 e φˆ 0 sono ortogonali. Infatti, dall’Eq. (21.1), risulta
〈 Φ 1 |φˆ 0 〉 = 〈 u 1 |φˆ 0 〉 − 〈 u 1 |φˆ 0 〉 〈 φˆ 0 |φˆ 0 〉 ≡ 0 .
≡1
Pertanto, dopo aver posto
φˆ 1 (x ) :=
Φ 1 (x )
≡
Φ 1 (∫
Φ 1 (x )
b
a
(Φ 1 (x )) w (x )dx
2
Φ 1 (x )
,
〈 Φ 1 |Φ 1 〉 1 / 2
≂
)
1/2
(21.2)
si conclude immediatamente che la coppia {φˆ 0 , φˆ 1 } è ortonormale.
La costruzione di Gram-Schmidt prosegue con la definizione
Φ 2 (x ) := u 2 (x ) − 〈 u 2|φˆ 0 〉 φˆ 0 (x ) − 〈 u 2|φˆ 1 〉 φˆ1 (x ) ,
(22.1)
dalla quale, verificata l’ortogonalità di Φ 2 sia vs. φˆ 0 sia vs. φˆ 1 ,
〈 Φ 2|φˆ 0 〉 = 〈 u 2|φˆ 0 〉 − 〈 u 2|φˆ 0 〉 〈 φˆ 0|φˆ 0 〉 − 〈 u 2|φˆ 1 〉 〈 φˆ 1|φˆ 0 〉 ≡ 0 ,
≡1
≡0
〈 Φ 2|φˆ 1 〉 = 〈 u 2|φˆ 1 〉 − 〈 u 2|φˆ 1 〉 〈 φˆ 0|φˆ 1 〉 − 〈 u 2|φˆ 1 〉 〈 φˆ 1|φˆ 1 〉 ≡ 0 ,
≡0
≡1
si ottiene un nuovo elemento normalizzato a 1 in (a , b ) ,
φˆ 2 (x ) :=
Φ 2 (x )
≡
Φ 2 (∫
Φ 2 (x )
b
a
(Φ 2 (x )) w (x )dx
2
≂
)
1/2
Φ 2 (x )
,
〈 Φ 2 |Φ 2 〉1 / 2
(22.2)
che, insieme con i due precedenti, costituisce la terna ortonormale {φˆ 0 , φˆ 1 , φˆ 2 } .
In generale, dopo aver costruito l’ n - pla ortonormale {φˆ , φˆ , φˆ , …, φˆ } , si definisce
0
1
Φ n (x ) := u n (x ) − ∑ k = 0 〈 u n |φˆ k 〉 φˆ k (x ) ≡ u n (x ) − ∑ k = 0
n −1
n −1
n −1
2
(∫
b
x =a
)
u n (x ) φˆ k (x ) dτ φˆ k (x ) ,
(23.1)
che si verifica facilmente essere ortogonale in (a , b ) a ciascuno degli elementi φˆ k dell’n-pla.
Quindi, l’ (n + 1) - esimo elemento dell’insieme ortonormale successivo, {φˆ 0 , φˆ 1 , φˆ 2 , … , φˆ n − 1 , φˆ n } , è
φˆ n (x ) :=
Φ n (x )
≡
Φ n (∫
Φ n (x )
b
x =a
(Φ n (x )) dτ
2
)
1/ 2
≂
Φ n (x )
,
〈 Φ n |Φ n 〉 1 / 2
(23.2)
e così via – costruttivamente – per n → + ∞ .
■
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville
Sturm
–
11
L’espansione (23.1) può essere riscritta in termini di operatori di proiezione,
proiezione o proiettori, Pk ,
interpretando il coefficiente integrale generico 〈 u |φˆ 〉 ( ≡ l’elemento α
della matrice A di
n
k
n, k
trasformazione) come la proiezione del vettore u n sulla ‘direzione’ del vettore φˆ k di riferimento
ortonormale, i.e., come la ‘componente’ k-esima del vettore u n (vs. w in (a , b ) ).
Quindi, ricorrendo alla notazione vettoriale di Dirac
Dirac, f ≂ | f 〉 ( ≡ 〈 f |∗ ) , etc., si scrive
(∫
b
x =a
)
u n (x ) φˆ k (x )dτ φˆ k (x ) ≡ φˆ k (x )
(∫
b
x =a
u n (x ) φˆ k (x ) dτ
)
≂ |φˆ k 〉 〈 u n |φˆ k 〉 ≡ |φˆ k 〉 〈 φˆ k |u n 〉 := Pk |u n 〉 ≂ Pk u n (x ) ,
avendo definito il proiettore k-simo
simo del ket n-simo
Pk := |φˆ k 〉 〈 φˆ k | ≡ |w 1 / 2ϒ k 〉 〈 w 1 / 2ϒ k |
(24)
e tenuto conto dell’Eq. (2).
Pertanto, la rappresentazione operatoria
operatoriale dell’Eq. (23.1) è data da
(
)
(
)
Φ n (x ) ≂ I − ∑ k = 1 Pk |u n 〉 ≂ I − ∑ k = 0 Pk u n (x ) .
n −1
n −1
(25)
La sottrazione delle componenti k - esime ( k = 0 , 1 , … , n − 1 ), lascia Φ n ortogonale (in (a , b ) ) a
tutti i vettori φˆ k . Con ill simbolo I è indicato l’operatore unitario (identità
identità) nello spazio lineare
dei proiettori Pk .
[Una presentazione semplice ma esauriente dell’algebra bra-ket di Dirac, è contenuta,
a, e.g., in C. COHEN-TANNOUDJI,
B. DIU, F. LALOË, QUANTUM MECHANICS
MECHANICS, VOL. 1, CAP. 2, JOHN WILEY]
■■■
Jorgen Pedersen Gram (1850--1916)
Erhard Schmidt (1876-1959)
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville
Sturm
–
12
APPLICAZIONI
I. Il sistema ortonormale delle Funzioni di Bessel J ν
Poiché le Funzioni di Bessel x ֏ J ν (λx ) ≡ y 1 e x ֏ J ν ( µ x ) ≡ y 2 , Ordinarie di 1.o tipo, dello
stesso ordine (o rango) ν ∈ ( − 1, + ∞ ) e di argomento, generalmente proporzionale a x , sono,
rispettivamente, integrali particolari delle equazioni differenziali, con {λ , µ} ⊂ R + ∧ λ ≠ µ , (†)
x 2y ′′ + xy ′ + (λ 2x 2 − ν 2 ) y = 0 ,
(26.1)
x 2y ′′ + xy ′ + ( µ 2x 2 − ν 2 ) y = 0 ,
(26.2)
____________________
(†) Una verifica di questo risultato fondamentale si trova, e.g., nell’Unità
tematica dell’autore: Metodi di integrazione delle Equazioni
Differenziali Ordinarie
e Lineari del 2.o ordine a coefficienti
variabili, p. 5, Eq. (15.2) e (15.1)
(15.1).
Inoltre, si ricordi l’espansione fondamentale in serie di potenze
ν +∞
αx
J ν (α x ) =
2
∑
k =0
( − 1)k
αx
,
k !Γ (k + ν + 1) 2
2k
(27)
definita ∀ ν ∈ C .
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846)
____________________
valgono, dunque, le identità ovvie,
x 2y ′′1 + xy ′′1 + (λ 2x 2 − ν 2 )y 1 ≡ 0 ,
(28.1)
x 2y ′′2 + xy ′2 + ( µ 2x 2 − ν 2 )y 2 ≡ 0 .
(28.2)
Applicando il Metodo di Green (George, 1793-1841),
), si moltiplicano i termini nell’Id. (27.1) per
y 2 e quelli nell’Id. (28.2) per y 1 e si sottraggono tra loro le espressioni così ottenute. Quindi, si
divide la differenza risultante per x ≠ 0 , rimanendo con l’uguaglianza
x (y 2 y ′′1 − y 1y ′′2 ) + (y 2 y ′1 − y 1 y ′2 ) + (λ 2 − µ 2 ) x y 1 y 2 = 0 ,
che è riscrivibile
le in modo equivalente come
( µ 2 − λ 2 ) xy 1 y 2 =
d
(x (y 2 y ′1 − y 1 y ′2 )) .
dx
(29)
Quando ν ∈ ( − 1, + ∞ ) , l’integrazione parametrica tra 0 e x ( > 0 ) dell’Eq. (28) è lecita,
x
x
0
0
( µ 2 − λ 2 ) ∫ y 1 (t )y 2 (t ) t dt = (t (y 2 (t )y ′1 (t ) − y 1 (t )y ′2 (t ))) .
Dividendo l’Eq. (30) per µ 2 − λ 2 ≠ 0 e ripristinando le espressioni di y 1 e di y 2 , risulta
(30)
13
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
∫
x
0
J ν (λt ) J ν (µt ) t dt =
x (λ J ν ( µx ) J ν′ (λx ) − µ J ν (λx ) J ν′ ( µx ))
µ2 −λ2
,
(31)
il 1.o Integrale di Lommel [E. C. J., von, (1837-1899)], avendosi, per continuità vs. x , che
lim+
x →0
∫
x
0
J ν (λt ) J ν (µt ) t dt ≡ lim+
x →0
x (λ J ν ( µx ) J ν′ (λx ) − µ J ν (λx ) J ν′ ( µx ))
µ2 − λ2
= 0.
(32)
Se l’integrale (31) è definito tra 0 e L ∈ R + , risulta, ∀ ν ∈ ( − 1, + ∞ ) (v., anche, Esercizio 2),
∫
L
0
J ν (λx ) J ν ( µx ) x dx =
L (λ J ν ( µ L) J ν′ (λ L) − µ J ν (λ L) J ν′ ( µ L))
µ2 − λ2
,
(33)
Ora, si consideri il caso in cui λ e µ sono scelte in modo che λ L e µ L siano due qualsiasi delle
infinite radici positive – tutte distinte e semplici! – dell’equazione
C 1 (x /L) J ν′ (x ) + C 2 J ν (x ) = 0 ,
(34)
nella quale, i parametri C 1 e C 2 non sono entrambi nulli. In tal caso, deve valere il sistema lineare
nelle incognite C 1 e C 2
C 1 λ J ν′ (λ L) + C 2 J ν (λ L) = 0
.
C 1 µ J ν′ ( µ L ) + C 2 J ν ( µ L) = 0
(35)
Avendo escluso la soluzione banale {C 1 , C 2 } ≡ { 0 , 0} , allora, deve essere nullo il determinante
dei coefficienti delle Eq. (35),
λ J ν′ (λ L) J ν (λ L)
= λ J ν ( µ L ) J ν′ (λ L ) − µ J ν (λ L) J ν′ ( µ L) = 0 .
µ J ν′ ( µ L) J ν ( µ L)
(36)
Pertanto, se λ L e µ L sono radici distinte qualsiasi dell’equazione (34), segue, dall’Eq. (33), che
∫
L
0
J ν (λx ) J ν ( µ x ) x dx = 0 ,
(37)
i.e., che le Funzioni di Bessel x ֏ J ν (λx ) e x ֏ J ν ( µx ) sono mutuamente ortogonali in (0 , L )
vs. la funzione-peso w ≡ x , ovvero, che le funzioni x ֏ x 1/ 2 J ν (λx ) e x ֏ x 1/ 2 J ν ( µx ) sono
mutuamente ortogonali in (0 , L ) vs. la funzione-peso (caratteristica) w ≡ χ ( 0, L ) (cfr/c Eq. (6)).
L’Eq. (37) costituisce il primo passo nella costruzione di una base vettoriale ortonormale mediante
le Funzioni di Bessel di 1.o tipo e dello stesso ordine ν ∈ ( − 1 , + ∞ ) .
Il secondo passo consiste nella normalizzazione a 1 delle funzioni generiche x ֏ x 1/ 2 J ν (κ x ) ,
ancora assumendo che κ L sia una qualsiasi delle infinite radici, semplici e distinte, dell’Eq. (34).
Considerando λ e µ nell’integrale (31) come parametri continui, l’espressione finita di tale
integrale tende alla forma di indecisione [ 0 / 0 ] nel limite relativo µ → λ . Allora, applicando
all’integrale (33) la 1.a Regola di de l’Hôpital vs. µ , si scrive,
∫ ( J ν (λx ) ) x dx
L
0
2
= lim
µ →λ
∂ L (λ J ν ( µ L ) J ν′ (λ L) − µ J ν (λ L ) J ν′ ( µ L))
∂µ
µ2 −λ2
14
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
λ L J ν′ ( µ L ) J ν′ (λ L ) − J ν (λ L ) J ν′ ( µ L ) − µ L J ν (λ L ) J ν′′ ( µ L )
µ →λ
2µ
2
J ν (λ L ) J ν′ (λ L )
L
2
=
− J ν (λ L ) J ν′′ (λ L ) .
( J ν′ (λ L )) −
2
λL
= L lim
(38)
Un’espressione per J ν′′ (λL) è determinabile osservando che, dall’Equazione di Bessel definita
nell’intervallo ( 0 , 1 ) , x 2y ′′ + xy ′ + (x 2 − ν 2 )y = 0 , segue, per x = λ L , che l’identità numerica
(λ L )2 J ν′′ (λ L ) + (λ L) J ν′ (λ L ) + ((λ L )2 − ν 2 ) J ν (λL ) ≡ 0 ,
è riscrivibile come
J ν′′ (λL ) ≡ −
J ν′ (λ L )
λL
− (1 − ν 2 /(λ L)2 ) J ν (λ L ) .
(39)
Sostituendo l’Id. (39) nell’Eq. (38), riportata all’intervallo ( 0 , L ) , si arriva all’integrale cercato, il
cosiddetto 2.o Integrale di Lommel,
∫
L
0
( J ν (λx ))2 x dx =
L2
(( J ν′ (λ L))2 + (1 − ν 2 /(λ L)2 ) ( J ν (λ L ))2 ) .
2
(40)
Questo, a sua volta, fornisce prontamente l’ortonormalizzazione in ( 0 , L ) , detta di Dini-Bessel,
1=
2
L (( J ν′ (λ L )) + (1 − ν
2
2
2
/(λ L) ) ( J ν (λ L )) ) ∫
2
2
L
0
x ( J ν (λx ))2 dx .
(41)
In particolare, se λ L ≡ x ν ,k (k ∈ Z + ) è una delle infinite radici positive, distinte e semplici di
J ν (x ) , l’ortonormalizzazione di Dini-Bessel si riduce a quella di Fourier-Bessel,
1=
≡
2
(L J ν′ (x ν ,k ))2
∫
2
(L J ν + 1 (x ν ,k ))2
L
x ( J ν ((x ν , k /L ) x ))2dx
0
∫
L
0
x ( J ν ((x ν , k /L ) x ))2dx ,
(42.1)
(42.2)
facendo ricorso, per la forma (42.2), all’identità generale J ν′ (x ) = (ν /x ) J ν (x ) − J ν + 1 (x ) .
Ora, si assuma che la funzione f : x ֏ f (x ) soddisfi le condizioni del Teorema generalizzato di
Dirichlet nell’intervallo (0, L ) e si consideri la successione crescente, {λn L} , delle radici positive
(distinte e semplici) dell’Eq. (34) (dunque, risulta 0 < λ1 L < λ 2 L < λ 3 L < … ). Dall’Eq. (37),
normalizzata a 1 mediante l’Eq. (41), si determina la base vettoriale numerabile (di indice n )
ortonormale in ( 0 , L ) vs. la funzione-peso w ≡ x (con l’abbreviazione J ν , λ n ≡ x ֏ J ν (λ n L ) ),
2
{ϒ n } ≡
J
,
ν
,
λ
2
2
2
2 1/2
n
L (( J ν′ (λ n L )) + (1 − ν /(λ n L) ) ( J ν (λ n L )) )
(43)
che genera l’espansione di f (x ) in ( 0 , L ) di Dini-Bessel,
f (x ) =
∑
+∞
n =1
c n J ν (λn x ) ,
i cui coefficienti sono esprimibili mediante le Eq. (9) e (40),
(44)
15
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville
Sturm
–
cn =
2
L (( J ν′ (λ n L )) + (1 − ν /(λ n L) ) ( J ν (λ n
2
2
2
2
L )) ) ∫
2
L
0
f (x ) J ν (λ n x ) x dx .
(45)
In modo analogo, se λn L ≡ x ν , n corrisponde, ∀ n ∈ Z + , all’ n - sima radice positiva di J ν (x ) ,
dall’Eq. (36), normalizzata a 1 con l’Eq. (42), si ottiene la base vettoriale ortonormale numerabile
in ( 0 , L ) vs. la funzione-peso w ≡ x ,
2
{ϒ n } ≡
J ν , x ν , n /L .
L J ν + 1 (x ν , n )
(46)
Questa genera l’espansione celebre di f (x ) , cosiddetta di
Fourier-Bessel o di Hankel, in ( 0 , L ) ,
f (x ) =
∑
+∞
n =1
c n J ν ((x ν , n /L) x ) ,
(47)
i cui coefficienti, esprimibili mediante le Eq. (9) e (42.2)
generali, si scrivono
cn =
2
(L J ν + 1 (x ν , n ))2
∫
L
f (x ) J ν ((x ν , n /L) x ) x dx .
0
(48)
George Neville Watson (1886-1965)
■■■
Esercizio 2
Si verifichi che l’integrale (33) possiede la forma equivalente
∫
L
0
J ν (λ x ) J ν ( µ x ) x dx =
L
ν (λ − µ )
λ J ν + 1 (λ L ) J ν ( µ L ) − µ J ν + 1 ( µ L ) J ν (λ L) −
J ν (λ L) J ν (µ L) .
2
x
λ −µ
2
Hermann Hankel (1839-1873)
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
16
II. Espansioni in Polinomi e in Funzioni Associate Ortogonali
Il Metodo di Green seguito per la determinazione delle basi vettoriali ortonormali generatrici delle
espansioni di Dini-Bessel e di Fourier-Bessel trova applicazione nel caso di molte altre classi di
funzioni ortogonali in intervalli specifici. La costruzione delle espansioni corrispondenti per una
generica funzione x ֏ f (x ) che soddisfi le condizioni del Teorema di espansione è proposta
negli Esercizi seguenti, di risoluzione immediata e decisamente meccanica:
Esercizio 3
La Funzione Associata di Legendre x ֏ Pn , m (x ) , di 1.o tipo, di ordine n e di rango m ,
con n ∈ Z 0+ ∧ m = 0 , 1 , … , n , è un integrale particolare dell’Equazione Differenziale Associata
di Legendre
m2
′′
′
(1 − x ) y − 2xy + n (n + 1) −
y = 0 .
1−x2
2
(49)
Per m = 0 , si ottiene Pn0 (x ) ≡ Pn (x ) , il Polinomio di Legendre di grado n .
Ora, si considerino due Funzioni Associate di Legendre, x ֏ Pk , m (x ) ∧ Pl , m (x ) , di ordini k e l
rispettivi qualsiasi ma dello stesso rango m . Tenendo presenti le definizioni fondamentali, dette
Formule generatrici di Rodrigues (Benjamin Olinde, 1794-1851),
Pn , m (ξ ) := (1 − ξ )
2 m /2
Pn (ξ ) :=
dm
Pn (ξ ) ,
dξ m
(50.1)
1 dn
(ξ 2 − 1)n ,
n
n
2 n ! dξ
(50.2)
si ricavi l’integrale di ortogonalità nell’intervallo ( −1, 1) vs. la funzione-peso w ≡ χ ( −1, 1) ,
∫
1
−1
Pk , m (x ) Pl , m (x )dx =
2 (k + m )!
δ k,l .
(2 k + 1) (k − m )!
(51)
Dall’Eq. (51), determinata la base vettoriale ortonormale numerabile in ( −1, 1) ,
1/2
(2 n + 1) (n − m )!
{ϒ n , m } ≡
Pn , m ,
2 (n + m )!
si provi che i coefficienti dell’espansione ortonormalizzata f (x ) =
cn =
∑
(52)
+∞
n =0
(2n + 1) (n − m )! 1
∫ −1 f (x ) Pn , m (x )dx .
2 (n + m )!
c n Pn , m (x ) sono dati da
(53)
■
Esercizio 4
Il Polinomio Associato di Laguerre x ֏ Ln , m (x ) , di grado n e di rango m , con n ∈ Z 0+ ∧
m = 0 , 1 , 2 , … , n , è un integrale particolare dell’Equazione Differenziale Associata di Laguerre,
x y ′′ + (m + 1 − x ) y ′ + (n − m ) y = 0 .
(54)
17
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
Per m = 0 , si ottiene Ln , 0 (x ) ≡ Ln (x ) , il Polinomio Ordinario di Laguerre di grado n.
Ora, si considerino due Polinomi Associati di Laguerre, x ֏ Lk , m ∧ Ll , m (x ) , di gradi k e l
rispettivi qualsiasi ma dello stesso rango m . Tenendo presenti le definizioni fondamentali espresse
dalle Formule generatrici di Rodrigues
L n , m (ξ ) :=
dm
Ln (ξ ) ,
dξ m
(55.1)
Ln (ξ ) := e ξ
dn
(ξ e − ξ ) ,
n
dξ
(55.2)
si ricavi l’integrale di ortogonalità nell’intervallo ( 0 , + ∞ ) vs. la funzione-peso w : x ֏ x me − x ,
∫
+∞
0
(k !)3
δ k,l .
L k , m (x ) Ll , m (x ) x e dx =
(k − m )!
m
−x
(56)
Dall’Eq. (56), determinata la base vettoriale numerabile ortonormale in ( 0 , + ∞ ) ,
1/2
(n − m )!
{ϒ n , m } ≡
Ln , m ,
3
(n !)
si provi che i coefficienti dell’espansione ortonormalizzata f (x ) =
cn =
(57)
∑
+∞
n =0
c n Ln , m (x ) sono dati da
(n − m )! + ∞
f (x ) L n , m (x ) x me − xdx .
3
∫
0
(n !)
(58)
■
Esercizio 5
Il Polinomio di Hermite x ֏ Η n (x ) , di grado n , con n ∈ Z 0+ , è un integrale particolare
dell’Equazione Differenziale di Hermite,
y ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0 .
(59)
Tenendo presenti le relazioni fondamentali (Formule generatrici di Rodrigues),
Η n (x ) := ( − 1)ne x
2
d n −x 2
e ,
dx n
(60.1)
d
Η n (x ) = 2 n Η n − 1 (x ) ,
dx
(60.2)
si ricavi l’integrale di ortogonalità nell’intervallo ( − ∞, + ∞ ) vs. la funzione-peso w : x ֏ e − x ,
2
∫
+∞
−∞
Η m (x )Η n (x )e − x dx = 2 n n ! π δ m , n .
2
(61)
Dall’Eq. (61), determinata la base vettoriale ortonormale numerabile in ( − ∞, + ∞ ) ,
{ϒ n } ≡ {(2 n n ! π )−1/ 2 Η n } ,
si deduca che i coefficienti dell’espansione ortonormalizzata f (x ) =
(62)
∑
+∞
n =0
c n Η n (x ) sono dati da
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
cn =
1
2 n! π
∫
n
+∞
−∞
f (x ) Η n (x ) e − x dx .
2
18
(63)
■
Esercizio 6
Il Polinomio di Chebyshev x ֏ Τ n (x ) , di 1.o tipo e di grado n , con n ∈ Z 0+ , è un integrale
particolare dell’Equazione Differenziale di Chebyshev di 1.o tipo,
(1 − x 2 ) y ′′ − xy ′ + n 2y = 0 .
(64)
Tenendo presenti le relazioni fondamentali (Formule generatrici di Rodrigues)
Τ n (x ) := cos (n cos x ) ≡
−1
n / 2
∑ 2k x
n
n − 2k
(1 − x 2 )k ,
(65.1)
k =0
d
n
Τ n (x ) =
( − xΤ n (x ) + Τ n − 1 (x )) ,
dx
1 − x2
(65.2)
( n /2 indica la parte intera (floor) di n /2 ) si determini l’integrale di ortogonalità nell’intervallo
( −1, 1) vs. la funzione-peso w : x ֏ (1 − x 2 ) −1 / 2 ,
∫
1
−1
Τ m (x )Τ n (x ) (1 − x 2 ) −1 / 2 dx =
π
2
(1 + δ 0 , n ) δ m , n .
(66)
Dall’Eq. (66), determinata la base vettoriale ortonormale numerabile in ( −1, 1) ,
1/ 2
2
{ϒ n } ≡
Τn ,
π (1 + δ 0, n )
si deduca che i coefficienti dell’espansione ortonormalizzata f (x ) =
cn =
2
π (1 + δ 0, n )
∫
1
−1
(67)
∑
+∞
n =0
f (x )Τ n (x ) (1 − x 2 ) −1 / 2 dx .
c nΤ n (x ) sono dati da
(68)
■■■
19
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
INTRODUZIONE ALLA TEORIA DI STURM-LIOUVILLE
1. Esattezza e Auto-aggiuntezza di un’equazione differenziale lineare
L’equazione differenziale di ordine n , definita per x ∈ (a , b) ,
F (y (n ) , y (n − 1) , … , y ′, y , x ) = f (x )
(69)
si dice essere esatta se essa può essere ottenuta derivando direttamente l’equazione specifica
G (y (n − 1) , y (n − 2 ) , … , y ′, y , x ) = g (x ) + c ,
(69.1)
di ordine n − 1 . Nel caso in cui l’Eq. (69) è lineare,
α 0 (x )y (n ) + α 1 (x )y (n − 1) + α 2 (x )y (n − 2) + … + α n − 1 (x )y ′ + α n (x )y = f (x ) ,
(70)
dove sia α 0 (x ) ≠ 0 (il coefficiente generico α k (x ) è una funzione nota, derivabile almeno n − k
volte in (a , b) ), la condizione necessaria e sufficiente per la sua esattezza è espressa dall’identità
α 0(n ) (x ) − α 1(n − 1) (x ) + α 2(n − 2) (x ) − … + ( − 1)n − 1α ′n − 1 (x ) + (− 1)nα n (x ) ≡ 0 .
(71)
In particolare, per un’equazione lineare del 1.o ordine, la condizione (71) diventa, ∀ x ∈ (a , b) ,
α ′0 (x ) − α 1 (x ) ≡ 0
(71.1)
mentre, per un’equazione lineare a coefficienti costanti di ordine n , si ha, semplicemente,
α n (x ) ≡ 0 .
(71.2)
Se l’Eq. (70) non è esatta in (a , b) , si può tentare di determinare un fattore integrante, µ = µ (x ) ,
tale che, se gli addendi contenuti nei due membri dell’Eq. (70) sono moltiplicati per µ ,
α 0 µy (n ) + α 1 µy (n − 1) + α 2 µy (n − 2) + … + α n − 1 µy ′ + α n µy = µ f ,
(72)
l’Eq. (72) risultante è un’equazione differenziale esatta in (a , b) . In altri termini, dall’Eq. (71), si
ha che µ è un integrale particolare dell’equazione differenziale lineare omogenea
dn
d n −1
d n −2
d
(
α
u
)
−
(
α
u
)
+
(α 2 u ) − … + ( − 1)n − 1 (α n − 1 u ) + ( − 1)n (α n u ) = 0 (73)
0
1
n
n −1
n −2
dx
dx
dx
dx
vs. la variabile dipendente incognita u ≡ u (x ) .
L’Eq. (73) prende il nome di equazione aggiunta dell’equazione omogenea associata all’Eq. (70).
Sostanzialmente, la sua utilità consiste nel costituire uno strumento di verifica se u ≡ µ (x ) sia o
meno un fattore integrante dell’Eq. (70). Peraltro, la sua integrazione generale può presentare
difficoltà anche superiori che per l’integrazione dell’Eq. (70) stessa!
Restringendo la discussione alle equazioni differenziali lineari omogenee del 2.o ordine in (a , b) ,
α 0 (x ) y ′′ + α 1 (x ) y ′ + α 2 (x ) y = 0 ,
(74)
di gran lunga le più importanti nei modelli fenomenologici della Fisica e dell’Ingegneria, l’Eq.
aggiunta (73) di ordine n assume la forma specifica del 2.o ordine
d2
d
(α 0 u ) −
(α 1 u ) + α 2 u = 0 .
2
dx
dx
(75)
20
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
Qui, conviene ricombinare l’Eq. aggiunta (75) nella forma seguente:
0 =
d d
d
d
(α 1 u ) + α 2 u =
(α ′0 u + α 0 u ′) − (α ′1 u + α 1 u ′) + α 2 u
(α 0 u ) −
dx dx
dx
dx
= α ′′0 u + α ′0 u′ + (α 0 u′)′ − α ′1 u − α 1 u ′ + α 2 u ≡ (α 0 u ′)′ + (α ′′0 − α 1′ ) u + (α ′0 − α 1 ) u′ + α 2 u
= (α 0 u ′)′ +
d
((α ′0 − α 1 ) u ) + α 2 u .
dx
(75.1)
Nel caso in cui vale la condizione
α ′0 = α 1 ,
(76)
allora, l’Eq. aggiunta (75) assume la stessa forma dell’Eq. omogenea (74),
(α 0 u′)′ + α 2 u = α 0 u′′ + α ′0 u′ + α 2 u ≡ α 0 u′′ + α 1 u′ + α 2 u = 0 .
(77)
Per questa ragione, l’Eq. differenziale del 2.o ordine (77) è detta auto-aggiunta (o hermitiana).
Da ciò, segue la
Proposizione
Condizione necessaria e sufficiente affinché l’Eq. (74) abbia, in (a , b) , rappresentazione autoaggiunta, o hermitiana, è che, in tale intervallo, risulti generalmente
α 1 (x ) ≡ α ′0 (x ) . ▲
(78)
■
____________________
Non tragga in inganno la coincidenza formale tra la condizione di auto-aggiuntezza (o hermiticità) (78) per una
equazione lineare del 2.o ordine e la condizione di esattezza (71.1) per un’equazione lineare del 1.o ordine.
____________________
In notazione operatoriale, l’Eq. (74), quando sia auto-aggiunta, si riscrive conforme l’Eq. (77),
d
dx
d
α 0 (x ) dx y + α 2 (x ) y = 0 .
(79)
Dall’Eq. (79), definito l’operatore differenziale (lineare) L† , auto-aggiunto (o hermitiano) e,
quindi, reale,
L† :=
d
dx
d
α 0 (x ) dx + α 2 (x ) ,
(80)
si ottiene la rappresentazione operatoriale in (a , b) dell’Eq. (74) (auto-aggiunta o hermitiana),
L† y = 0 .
(81)
D’altra parte, se l’Eq. (74) non risulta già in forma auto-aggiunta nell’intervallo di interesse (a , b) ,
allora, può rendersi necessario determinarne un fattore ς = ς (x ) di auto-aggiuntezza (o di
hermiticità), analogo a un fattore integrante che rende esatta un’equazione differenziale non-esatta.
Ad esempio, moltiplicando i termini addendi dell’Eq. (74) per la quantità incognita ς (x )/α 0 (x ) ,
ς (x ) y ′′ +
ς (x ) α 1 (x )
ς (x ) α 2 (x )
y′ +
y =0
α 0 (x )
α 0 (x )
(82)
21
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
e, poi, imponendo la condizione
ς ′(x ) ≡
ς (x ) α 1 (x )
,
α 0 (x )
(83)
si costruisce una trasformata auto-aggiunta (hermitiana) equivalente dell’Eq. (74),
ς (x ) y ′′ + ς ′(x ) y ′ +
ς (x ) α 2 (x )
y = 0,
α 0 (x )
(84)
che risulta conforme alla condizione (78).
L’espressione esplicita di ς (x ) segue dall’integrazione della forma differenziale (83),
ς (x ) = ce
⌠ α 1 (x ) dx
α (x )
⌡ 0
,
(85)
essendo c ≠ 0 la costante arbitraria di integrazione.
Pertanto, dalle Eq. (79) e (85), una trasformata auto-aggiunta equivalente di qualsiasi equazione
differenziale lineare omogenea del 2.o ordine in forma canonica (74) prende l’espressione esplicita
generale, in un intervallo (a , b) appropriato,
⌠ α 1 (x ) dx
⌠ α 1 (x ) dx d
α (x )
α
(
x
)
x
α
(
)
2
⌡ 0
e ⌡ 0
y +
e
y = 0,
α
dx
x
(
)
0
d
dx
(86)
evidenziando la struttura dell’operatore differenziale auto-aggiunto corrispondente all’Eq. (80),
d
L :=
dx
†
⌠ α 1 (x ) dx d α (x ) ⌠ α 1 (x ) dx
α (x )
e ⌡ α 0 (x )
+ 2
e⌡ 0
.
dx α 0 (x )
(87)
Un controllo immediato mostra che l’Equazione differenziale Associata di Legendre, Eq. (49), si
presenta esplicitamente in forma auto-aggiunta. Non è così per le altre equazioni soddisfatte dalle
Funzioni Speciali citate: di Bessel, Associata di Laguerre, di Hermite, di Chebyshev, Eq. (26.1),
(54), (59) e (64), rispettivamente. Queste ultime, comunque, possono essere ricondotte alla forma
auto-aggiunta mediante l’Eq. (86) (se ne suggerisce la verifica).
Così, ad esempio, per l’Eq. di Bessel (26.1) – rappresentazione da considerarsi sufficientemente
generale, essendo soddisfatta dalle funzioni J ν , λ n e Yν , λ n (o N ν , λ n ), di argomento ‘scalato’, ∀ λ ,
vs. la variabile indipendente – la forma auto-aggiunta si scrive
x
x
d ⌠⌡ x 2 dx d
λ 2x 2 − ν 2 ⌠⌡ x 2 dx
0 =
e
y
e
y +
dx
dx
x2
≡ x y ′′ + y ′ + (λ 2 − ν 2 /x 2 ) x y .
(88)
■
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
22
2. Il Problema regolare di Sturm-Liouville
La teoria delle equazioni differenziali lineari omogenee del 2.o ordine in rappresentazione autoaggiunta si presenta come legittimamente generale. Essa trova le sue applicazioni più importanti in
problemi connessi con la separazione delle variabili nelle equazioni differenziali a derivate parziali
di molti modelli fisici (e.g., di Laplace/Poisson, di Helmholtz, di Schrödinger, di Dirac, etc.) e nel
trattamento della cosiddetta Funzione di Green. Le equazioni separate che se ne ottengono, a
variabile indipendente singola, sono ricombinabili nella forma auto-aggiunta generale tipica
d
dx
d
α 0 (x ) dx + α 2 (x ) y + κ w (x )y = g (x ) ,
(89)
Qui, κ è un parametro e w è una funzione-peso appropriata vs. l’intervallo (a , b) , nel quale l’Eq.
(89) è definita.
Il riconoscimento dei termini nell’Eq. (89) segue un criterio preciso. La funzione α 0 e il parametro
κ sono prontamente identificabili; κ deve comparire come fattore in un prodotto con la funzione
incognita y e la funzione-peso. Questo è sufficiente per individuare il fattore w (x ) . Tutti i termini
rimanenti moltiplicati per y vanno a costituire, insieme, la funzione α 2 .
Ad esempio, ritornando all’Equazione di Bessel, la sua forma auto-aggiunta (88) si scompone,
secondo lo schema dell’Eq. (89) (con g (x ) ≡ 0 ), come
d d ν2
2
x
−
y + λ xy = 0 .
x
dx dx
(90)
L†
È evidente, qui, che α 0 (x ) ≡ x , κ ≡ λ 2 , w (x ) ≡ x (com’era da attendersi!) e α 2 (x ) ≡ −ν 2 /x ,
con una ridefinizione dell’operatore L† tale che esso, pur contenendo le due derivate, resta, però,
separato additivamente dal prodotto κ w (x )y ≡ λ 2xy .
Analogamente, mediante l’Eq. (86), si determinano
per l’Eq. Associata di Legendre (49),
α 0 (x ) ≡ 1 − x 2 ,
α 2 (x ) ≡ − m 2 /(1 − x 2 ) ,
κ ≡ n (n + 1) ,
w (x ) ≡ 1 ;
per l’Eq. Associata di Laguerre (54),
α 0 (x ) ≡ x m + 1e −x ,
α 2 (x ) ≡ 0,
κ ≡ n −m,
w (x ) ≡ x me − x ;
per l’Eq. di Hermite (59),
α 0 (x ) ≡ e − x ,
2
α 2 (x ) ≡ 0,
κ ≡ 2n ,
w (x ) ≡ e − x ;
2
per l’Eq. di Chebyshev di 1.o tipo (64),
α 0 (x ) ≡ (1 − x 2 ) −1/ 2 ,
α 2 (x ) ≡ 0,
κ ≡ n 2,
w (x ) ≡ (1 − x 2 )−1/ 2 .
Assegnato un valore al parametro κ , una funzione y κ che, oltre l’Eq. (89), soddisfa condizioni di
frontiera (boundary conditions) prescritte è detta autofunzione corrispondente all’autovalore κ .
D’altra parte, non è garantito che esista un’autofunzione y κ sulla sola base di una scelta arbitraria
del valore di κ . Talvolta, infatti, una tale scelta restringe i valori accettabili di κ a un insieme
discreto (e.g., numerabile), come avviene per tutte le Funzioni Speciali considerate in precedenza.
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
23
Questa caratteristica, tra l’altro, si adatta perfettamente ai processi di quantizzazione caratteristici
della Fisica Moderna, e.g., quelli descritti dall’equazione ondulatoria 1-dim di Schrödinger,
Hψ E (x ) − Eψ E (x ) = 0 ,
nella quale l’operatore hamiltoniano H corrisponde all’operatore differenziale auto-aggiunto L†
mentre l’energia totale E del sistema fisico corrisponde, formalmente, all’opposto dell’autovalore
κ ; inoltre, si hanno le identificazioni α 0 (x ) ≡ − ℏ 2 /(2m ) , la costante fenomenologica cinetica, e
α 2 (x ) ≡ U (x ) , l’energia potenziale del sistema. L’autofunzione ψ E è detta funzione d’onda di
particella singola.
____________________
Diversamente dal Problema di Cauchy (del 2.o ordine), nel quale le condizioni di ordine 0 e 1
sono assegnate nello stesso punto, si è già osservato, per quanto riguarda il Problema regolare di
Sturm-Liouville, che condizioni degli stessi ordini sono richieste agli estremi (frontiera) di un certo
intervallo. Se questo è compatto, [a , b ] , e, senza perdita di generalità, α 0 (x ) ∈ R + ∀ x ∈ [a , b] ,
allora, il complesso delle condizioni fissate in [a , b ] per l’Eq. (89) definisce il Problema di SturmLiouville cosiddetto regolare (contrapposto a singolare, e.g., quando α 0 ∉ C ([a , b]) ).
2.1
Il Problema regolare omogeneo di Sturm-Liouville
L’equazione-modello è quella omogenea associata all’Eq. (89),
α 0 (x ) u′′ + α ′0 (x ) u′ + (α 2 (x ) + κ w (x )) u = 0 ,
(91)
della quale, si suppone già determinato l’integrale generale, relativo all’autovalore κ ,
u κ (x ) = c 1 u 1,κ (x ) + c 2 u 2,κ (x ) (∈ C 2 ([a , b])) .
(92)
Al solito, gli integrali particolari u 1,κ (x ) e u 2,κ (x ) sono linearmente indipendenti mentre c1 e c 2
sono costanti arbitrarie di integrazione.
Per il Problema regolare omogeneo di Sturm-Liouville, le condizioni di frontiera sono espresse dal
sistema generale, anch’esso omogeneo,
γ 11 u κ (a ) + γ 12 u ′κ (a ) + γ 13 u κ (b ) + γ 14 u ′κ (b) = 0
.
γ 21 u κ (a ) + γ 22 u ′κ (a ) + γ 23 u κ (b) + γ 24 u ′κ (b) = 0
(93)
In esso, i coefficienti γ i j sono valori assegnati.
L’apparenza ridondante del sistema (93) non è tale. In realtà, esso include una varietà di vincoli
diversificati secondo le tipologie del Problema regolare omogeneo di Sturm-Liouville. Infatti, si
possono incontrare vincoli sia semplici che misti, e.g., di periodicità, del tipo
u κ (a ) = u κ (b )
α 0 (a ) u ′κ (a ) = α 0 (b) u ′κ (b )
(93.1)
e di regolarità (well-behavior) interna ad [a , b ] , del tipo
{ u κ (a ), u ′κ (a )} ∈ R ∧ α 0 (a ) = 0
{ u κ (b ), u ′κ (b )} ∈ R ∧ α 0 (b ) = 0
e /o
.
Ad esempio, nella seconda delle Eq. (93.1), può avvenire che γ 22 ≡ α 0 (a ) = ± γ 24 ≡ α 0 (b) .
(93.2)
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
24
Con le Eq. (91), (92) e la derivata u′κ (x ) ≡ c 1 u′1, κ (x ) + c 2 u′2, κ (x ) , le condizioni (93) si riscrivono
h 11, κ c 1 + h 12, κ c 2 = 0
h 21, κ c 1 + h 22, κ c 2 = 0
(94)
vs. le incognite c1 e c 2 . I coefficienti h r s , κ sono dati da
h 11, κ ≡ γ 11 u 1, κ (a ) + γ 12 u′1, κ (a ) + γ 13 u 1, κ (b) + γ 14 u′1, κ (b) ,
(94.1)
h 12, κ ≡ γ 11 u 2, κ (a ) + γ 12 u′2, κ (a ) + γ 13 u 2, κ (b) + γ 14 u′2, κ (b) ,
(94.2)
h 21, κ ≡ γ 21 u 1, κ (a ) + γ 22 u′1, κ (a ) + γ 23 u 1, κ (b) + γ 24 u′1, κ (b) ,
(94.3)
h 22,κ ≡ γ 21 u 2, κ (a ) + γ 22 u′2, κ (a ) + γ 23 u 2, κ (b) + γ 24 u′2, κ (b) .
(94.4)
Ora, indicato con det H κ il determinante della matrice H κ dei coefficienti del sistema omogeneo
(94), relativo all’autovalore κ , quando det H κ ≠ 0 , il sistema (94) ammette come soluzione solo
quella nulla, (c 1 , c 2 ) ≡ (0, 0) , e, quindi, il Problema regolare omogeneo (91) ∩ (93) di SturmLiouville ammette la sola soluzione particolare identicamente nulla,
u κ (x ) = 0 ⋅ u 1, κ (x ) + 0 ⋅ u 2, κ (x ) ≡ 0 .
Invece, se det H κ = 0 , il sistema (94) ammette infinite soluzioni non-nulle (c 1, κ , c 2, κ ) ≡/ (0, 0) .
Gli infiniti integrali particolari distinti corrispondenti (caso degenere),
u κ (x ) = c 1,κ u 1, κ (x ) + c 2, κ u 2, κ (x ) ,
detti autosoluzioni del Problema regolare omogeneo (91) ∩ (93) di Sturm-Liouville, sono tutti
associati allo stesso autovalore κ . Il numero delle autosoluzioni linearmente indipendenti sarà al
più 2, a seconda del valore, 0 o 1, del rango di H κ .
2.2
Il Problema regolare non-omogeneo di Sturm-Liouville
L’equazione differenziale-modello è l’Eq. (89). Il suo integrale generale, y κ (x ) ∈ C 2 ([a , b]) ,
relativo all’autovalore κ , si suppone già determinato,
y κ (x ) = c 1y 1, κ (x ) + c 2 y 2, κ (x ) + υ κ (x ) ,
(95)
essendo υ κ (x ) un integrale particolare qualsiasi dell’Eq. (non-omogenea) (89).
Per il problema regolare non-omogeneo di Sturm-Liouville, le condizioni di frontiera sono
espresse dal sistema generale, anch’esso non-omogeneo,
γ 11 y κ (a ) + γ 12 y ′κ (a ) + γ 13 y κ (b ) + γ 14 y ′κ (b) = β 1
,
γ 21y κ (a ) + γ 22 y ′κ (a ) + γ 23 y κ (b ) + γ 24 y ′κ (b) = β 2
(96)
dove β 1 e β 2 sono costanti assegnate, come le γ i j .
Analogamente al caso del sistema omogeneo (94), si riscrive il sistema non-omogeneo (96) in
forma canonica vs. i parametri incogniti c1 e c 2 ,
h 11, κ c 1 + h 12, κ c 2 = σ 1
,
h 21, κ c 1 + h 22, κ c 2 = σ 2
(97)
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville
Sturm
–
25
dove i coefficienti h r s , κ sono dati ancora dalle E
Eq.
q. (94.1), …, (94.4) mentre le espressioni delle
costanti σ 1 e σ 2 risultano, rispettivamente,
σ 1 ≡ β 1 − γ 11υ κ (a ) − γ 12υ ′κ (a ) − γ 13υ κ (b) − γ 14υ ′κ (b) ,
σ 2 ≡ β 2 − γ 21υ κ (a ) − γ 22υ ′κ (a ) − γ 23υ κ (b) − γ 24υ ′κ (b) .
(97.1)
(97.2)
Poiché il determinante della matrice H κ dei coefficienti del sistema non-omogeneo
non
(97) è
identico a quello del caso omogeneo, allora, se det H κ ≠ 0 , il sistema (97) possiede un’unica
soluzione, per il Teorema di Cramer, {c 1 , c 2 } ≡ {c 1, κ , c 2, κ } , dalla quale,
e, si scrive immediatamente
l’unica autosoluzione corrispondente all’autovalore κ ,
y κ (x ) = c 1, κ y 1, κ (x ) + c 1, κ y 2, κ (x ) + υ κ (x ) .
Invece, se det H κ = 0 , il Teorema di Rouché
Rouché-Capelli garantisce l’esistenza di una o di infinite
(caso degenere) soluzioni (c 1, κ , c 2, κ ) del sistema (97) se e solo se H κ e la matrice aumentata
associata
h 11, κ
H κ , + :=
h 21, κ
h 12, κ
h 22, κ
σ1
σ 2
hanno lo stesso rango, r . Questo fissa la condizione per la compatibilità del sistema (97), i.e.,
perché esso sia o no risolvibile. Se il rango comune è r = 2 , il sistema (97) ammette una sola
soluzione; se r = 1 ∨ 0 , il sistema (97) ammette, rispettivamente, ∞ ∨ ∞ 2 soluzioni.
Da queste condizioni algebriche fondamentali di compatibilità, si deduce il numero e il valore
delle autosoluzioni associate all’autovalore κ per il Problema regolare non-omogeneo
non
(95) ∩
(96) di Sturm-Liouville.
Pertanto, si osserva che il teorema di esistenza e unicità per le (auto-)soluzioni (95) eventuali
dell’Eq. differenziale (89) risulta condizionato da un principio di alternativa fondato sul Teorema
di Rouché-Capelli.
■
AdrienAdrien-Marie Legendre (1752-1833)
(acquerello del caricaturista francese J.-L.
L. Boilly (1820))
Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894)
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
26
L† e natura dei suoi autovalori
Proprietà operatoriali di
Mediante la definizione (80) dell’operatore differenziale lineare auto-aggiunto L† , si riscriva l’Eq.
omogenea associata all’Eq. (89) nella forma
L† u + κ w (x ) u = 0 ,
(98)
generalizzandola come segue: {α 0 (x ), α 2 (x ), w (x )} ⊂ R , i.e., le funzioni note contenute in essa
mantengono i loro valori reali in [a , b ] , ma si ammette che sia {κ , u (x )} ⊂ C in [a , b ] . Da
u (x ) ≡ Re u (x ) + i Im u (x ) , seguono, per linearità, i risultati
•
•
•
u ′ = (Re u )′ + i (Im u )′ ,
(u ∗ )′ ≡ (u′ )∗ ,
∫
b
a
u dx ≡
∫
b
a
b
(Re u ) dx + i ∫ (Im u ) dx , etc. .
a
Il fatto che L† sia auto-aggiunto genera alcune conseguenze interessanti. Se {u r , u s } ⊂ C è una
coppia di auto-soluzioni distinte dell’Eq. (98) in [a , b ] , corrispondenti agli autovalori distinti κ r e
κ s , rispettivamente, ma che soddisfano le stesse condizioni di frontiera à-la Sturm-Liouville, si
può ricorrere ancora al Metodo di Green. Scritta l’identità
L† u r + κ r w (x ) u r ≡ 0 ,
(98.1)
L† u∗s + κ s∗ w (x ) u∗s ≡ 0 ,
(98.2)
e quella coniugata vs. us ,
si ha, moltiplicando i termini nell’Id. (98.1) per u∗s e quelli nell’Id. (98.2) per ur , sottraendo tra
loro le espressioni così ottenute e integrando queste tra a e b (cfr/c l’Eq. (29)),
(κ ∗s − κ r ) ∫ u ∗s u r w (x )dx =
∫
≡
∫
b
a
b
a
b
a
(u ∗s L† u r − u r L† u ∗s ) dx
( u ∗s (α 0 u ′r , κ )′ − u r (α 0 u ∗s , κ ′ )′)dx
= α 0 ( u ∗s u ′r − u r u ∗s ′ )
b
a
≡ 0,
(99)
poiché le funzioni ur e us soddisfano le stesse condizioni di frontiera à-la Sturm-Liouville in
[a , b ] , dove, si ricordi, è α 0 (x ) ≠ 0 .
Allora, dall’Eq. (99), si arriva alla condizione necessaria e sufficiente di auto-aggiuntezza di L† ,
espressa mediante il prodotto interno in C in notazione di Dirac (cfr/c l’Eq. (2.1)),
(κ ∗s − κ r ) ∫ u∗s u r w (x )dx ≂ 〈 u s |L† u r 〉 − 〈 L† u ∗s |u r 〉 = 0 ,
b
a
(100)
che fornisce immediatamente la proprietà fondamentale di auto-aggiuntezza
〈 u s |L† u r 〉 = 〈 L† u∗s |u r 〉 .
(100.1)
Dunque, ritornando al membro sinistro dell’Eq. (100), si conclude che due auto-soluzioni distinte
qualsiasi dell’Eq. (98), soddisfacendo le stesse condizioni di frontiera à-la Sturm-Liouville ed
essendo relative ad autovalori distinti, sono ortogonali in [a , b ] vs. la funzione-peso w . In altri
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville –
27
termini, con r ≠ s , si ha (cfr/c l’Eq. (2.1))
〈 u s |u r 〉 = 0 .
(101)
Invece, nell’ipotesi che le due auto-soluzioni distinte precedenti corrispondano allo stesso
autovalore κ , allora, risulta che
u∗s L† u r − u r L† u∗s = u∗s (α 0 u′r )′ − u r (α 0 u∗s ′ )′ = 0
=
d
(α 0 ( u ∗s u ′r − u r u ∗s ′ )) .
dx
i.e., α 0 ( u ∗s u ′r − u r u ∗s ′ ) = c , una costante, in [a , b ] . Per qualsiasi condizione di frontiera (96),
salvo quella di periodicità (93.1), questa espressione si annulla agli estremi x = a e x = b .
D’altra parte, poiché è α 0 (x ) ≠ 0 in [a , b ] , risulta, qui, necessariamente, u∗s u′r − u r u∗s ′ ≡ 0 , i.e.,
u′r / u r = u∗s ′ / u∗s . Integrando, si ottiene
u r = c u∗s .
Questa uguaglianza implica che, per uno stesso valore di κ , sia {κ , u r (x ), u s (x )} ⊂ R , così che
u r (x ) e u s (x ) non possono essere linearmente indipendenti in [a , b ] , eccetto che per il caso di
condizioni di frontiera periodiche. Come esempio di questa circostanza anomala, si consideri il
modello dell’oscillatore armonico quantizzato,
y ′′ + κ y = 0 ,
con κ ≡ (nπ /L)2 . Per esso, si determinano le auto-soluzioni indipendenti x ֏ cos (nπ x /L ) e
x ֏ sin (nπ x /L ) nell’intervallo [a , b ] ≡ [0 , L ] .
Se r ≡ s , l’integrale nell’Eq. (100) non può annullarsi (è w (x ) > 0 generalmente), salvo che per
il caso banale u r ≡ 0 identicamente in [a , b ] . Allora, è il coefficiente (κ ∗r − κ r ) ad annullarsi, i.e.,
κ ∗r ≡ κ r .
(102)
I risultati espressi dalle Eq. (101) e (102) sono sintetizzati dal seguente fondamentale
TEOREMA
Se il Problema regolare omogeneo (91) ∩ (93) di Sturm-Liouville è auto-aggiunto, allora,
• tutti gli autovalori sono reali, per l’Eq. (102). Essi sono in numero infinito e possono
essere disposti in sequenza crescente divergente, infinito-continua o -numerabile. In questo
secondo caso, si determina la successione divergente {κ n } ;
• le auto-funzioni corrispondenti ad autovalori distinti sono ortogonali tra loro in [a , b ] vs.
la funzione-peso w appropriata. ▲
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Le conseguenze del Teorema precedente sono cruciali: quando le auto-funzioni costituiscono un
insieme numerabile, come effetto di condizioni di frontiera (tipicamente, quelle periodiche) che
discretizzano la sequenza delle auto-funzioni ammissibili, da tale famiglia ortogonale può essere
estratta, in modo evidente, una base vettoriale ortonormale di espansione in serie sotto le
Metodi e risultati per le Funzioni Ortogonali, con elementi di Teoria di Sturm-Liouville
Sturm
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condizioni fissate dal Teorema di espansione (v. p. 2-3).
La questione dell’ortogonalità non può ancora ritenersi risolta definiti
definitivamente.
vamente. Infatti, anche con
r ≠ s , esiste l’eventualità che risulti κ r ≡ κ s e, pertanto, che l’integrale nell’Eq. (100) non sia
nullo necessariamente. Questo fenomeno, noto come degenerazione degli autovalori, si manifesta
anche attraverso la possibilità che autofunzioni linearmente indipendenti non siano ortogonali tra
loro e che si riveli necessario ricorrere a un procedimento di orto-normalizzazione
normalizzazione del sotto-spazio
da esse costituito, e.g., al Metodo di Gram
Gram-Schmidt (v. p. 7-9).
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Charles Hermite (1822-1901)
1901)
Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886)
(1834
Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)
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