Sfera di Poincaré - Quantum Optics Group

Considerazioni sui parametri di Stokes e
sulla sfera di Poincarrè
1 giugno 2014
Sommario
In questi brevi appunti si cercheranno di eettuare alcune considerazioni riguardanti la rappresentazione dello stato di polarizzazione di un
campo tramite i parametri di Stokes ed il signicato sico della sfera di
Poincarrè e delle traiettorie su di essa.
In particolar modo si introdurranno i parametri di Stokes e si vedrà come
essi possano essere messi in relazione con i vettori di Jones e la loro rappresentazione della polarizzazione di un campo. Si introdurrà, dunque, la
sfera di Poincarrè che descrive tutti i possibili stati di polarizzazione totale
(punti della supercie sferica) o parziale (punti interni). Ci si soermerà, quindi, sullo studio di alcune possibili traiettorie lungo tale supercie
sferica e si metterà ciò in relazione con le eettive variazioni del campo
che esse rappresentano.
Indice
1
2
I parametri di Stokes
1.1 Denizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Relazione con il campo elettrico E . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Radiazione totalmente o parzialmente polarizzata . . . . . . . . .
La sfera di Poincarrè
2.1 Luoghi geometrici notevoli . . . . . .
2.2 Traiettoria lungo i paralleli . . . . .
2.3 Traiettoria lungo i meridiani . . . . .
2.3.1 Lamina λ/4 . . . . . . . . . .
2.3.2 Variazione della fase relativa
1
.
.
.
.
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.
.
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.
.
.
2
2
3
5
5
. 8
. 9
. 9
. 9
. 11
1
I parametri di Stokes
In primo luogo è bene eettuare alcune considerazioni riguardo le basi nello spazio dei vettori di Jones con cui è possibile descrivere una generica polarizzazione
→
−
(totale). E' immediato vericare come, per un generico vettore E = (Ex , Ey ),
valgano le seguenti formule.
A) Base H, V:
→
−
E = EH
1
0
0
1
+ EV
Formula 1
In cui si sono indicati:
EH = Ex
EV = Ey
B) Base +45◦ , -45◦ rispetto H:
→
−
E+45◦
E = √
2
1
1
+
E−45◦
√
2
1
−1
Formula 2
In cui si sono indicati:
E+45◦ =
Ex + Ey
√
2
E−45◦ =
Ex − Ey
√
2
C) Base polarizzazione circolare Sinistra, Destra:
→
−
ES
E =√
2
1
i
ED
+ √
2
1
−i
Formula 3
In cui si sono indicati:
ES =
Ex − iEy
√
2
ED =
Ex + iEy
√
2
Tali formule possono essere facilmente ricavate utilizzando le matrici di cambiamento di base oppure, in alterniva, imponendo le uguaglianze vettoriali e
risolvendo il sistema nei coecienti incogniti. In ogni caso tali relazioni saranno
molto utili per comprendere quanto seguirà.
1.1 Denizione
Possiamo dunque procedere nel denire i parametri di Stokes. Si ha:
4.1)
4.2)
4.3)
4.4)
S0
S1
S2
S3
= I0
= 2I1 − I0
= 2I2 − I0
= 2I3 − I0
2







Formula 4
• I0 intensità della radiazione luminosa in esame, senza che subisca alcuna
alterazione.
• I1 intensità della radiazione dopo essere passata in un polarizzatore (ideale)
H (oppure V, la scelta è convenzionale). Nel nostro caso si denirà come la
componente H.
• I2 intensità della radiazione dopo essere passata in un polarizzatore (ideale)
a 45◦ (o -45◦ ) rispetto ad H o V. Nel nostro caso si sceglierà la componente a
45◦ rispetto ad H.
• I3 intensità della radiazione dopo essere passata in un polarizzatore (ideale)
che lasci passare solamente la componente polarizzata circolarmente sinistra (o
destra). Nel nostro caso sarà la componente S.
→
−
Tali intensità Ik (k=1...3) sono denite proiettando il vettore E in una particolare base (H,V / +45◦ ,-45◦ / S,D) e selezionando solamente una delle due
componenti (la prima componente, coerentemente con quanto denito). I parametri S1 , S2 , S3 ci danno dunque un'indicazione di quanto il tipo di polarizzazione che rappresentano contribuisca alla polarizzazione totale.
Alla luce di quanto detto nel paragrafo precedente, allora, diviene facile mettere
in relazione tali parametri di Stokes con le componenti del campo.
1.2 Relazione con il campo elettrico E
→
−
Consideriamo le componenti Ex ,Ey del campo E . Possiamo scrivere:
→
− →
−
Ex = Re[Exo ei( k · r −ωt+φx ) ]
→
− →
−
Ey = Re[Eyo ei( k · r −ωt+φy ) ]
In cui poniamo Exo , Eyo costanti, in quanto tali dipendenze temporali non risultano particolarmente signicative nelle considerazioni successive.
Ad ogni modo, a partire da tali relazioni, possiamo procedere nel calcolare i
parametri di Stokes deniti in precedenza. In primo luogo si ricordi che una
→
−
generica intensità è denita come I ∝< | E |2 >, dove la media è eettuata su
un tempo di misura molto più lungo (a meno di casi particolari) del periodo di
oscillazione del campo.
A partire dalle formule 1,2,3 e dalle denizioni in formula 4 possiamo allora
scrivere:
→
−
2
2
2
2
5.1) I0 = < | E |2 > = < Exo
> + < Eyo
> = Exo
+ Eyo
2
5.2) I1 = < |EH |2 > = Exo
5.3) I2 = < |E45◦ |2 > =
5.4) I3










Formula 5
1
2
2 (Exo

2

+ Eyo
) + < Exo Eyo cos(φ) > 






1
2
2
2
= < |ES | > = 2 (Exo + Eyo ) + < Exo Eyo sin(φ) >
Nelle quali si è usato il fatto che i vettori di base sono stati deniti normalizzati e in cui si è indicato φ = φy − φx , fase relativa.
3
Dimostriamo in particolar modo le formule 5.3 e 5.4:
5.3)
< |E45◦ |2 > = < |
→
− →
−
< (Ex + Ey ) · (E x + E y ) >
Ex + Ey 2
√
| >=
=
2
2
→
− →
−
→
− →
−
→
− →
−
< (Exo ei( k · r −ωt+φx ) + Eyo ei( k · r −ωt+φy ) ) · (Exo e−i( k · r −ωt+φx ) + Eyo e−i( k · r −ωt+φy ) ) >
=
=
2
=
< |Exo |2 + |Eyo |2 + Exo Eyo ei(φy −φx ) + Exo Eyo e−i(φy −φx ) >
=
2
=
5.4)
2
2
(Exo
+ Eyo
)
+ < Exo Eyo cos(φ) >
2
< |ES |2 > = < |
→
− →
−
Ex − iEy 2
< (Ex − iEy ) · (E x + iE y ) >
√
=
| >=
2
2
→
− →
−
→
− →
−
→
− →
−
< (Exo ei( k · r −ωt+φx ) − iEyo ei( k · r −ωt+φy ) ) · (Exo e−i( k · r −ωt+φx ) + iEyo e−i( k · r −ωt+φy ) ) >
=
=
2
=
=
< |Exo |2 + |Eyo |2 − iExo Eyo ei(φy −φx ) + iExo Eyo e−i(φy −φx ) >
=
2
< |Exo |2 + |Eyo |2 > < Exo Eyo ei(φy −φx ) − Exo Eyo e−i(φy −φx ) >
+
=
2
2i
2
2
)
(Exo
+ Eyo
+ < Exo Eyo sin(φ) >
2
A questo punto, a partire dalle relazioni in formula 5, è immediato vericare
(tramite la formula 4) la validità delle seguenti uguaglianze:
2
2
6.1) S0 = I0 = Exo
+ Eyo
2
2
6.2) S1 = 2I1 − I0 = Exo
− Eyo










6.3) S2 = 2I2 − I0 = 2 < Exo Eyo cos(φ) > 


6.4) S3 = 2I3 − I0 = 2 < Exo Eyo sin(φ) >
4






Formula 6
1.3 Radiazione totalmente o parzialmente polarizzata
Possiamo, ora, sviluppare alcune considerazioni a partire dalle espressioni in
formula 6. In particolar modo sottolineiamo come la fase relativa sia, in linea
generale, una funzione del tempo φ(t). L'integrazione di media temporale avviene su un tempo T di osservazione molto maggiore del periodo di oscillazione
del campo. Al limite si considera matematicamente T → ∞.
Consideriamo ora il caso in cui tra le due componenti del campo vi sia un tempo
di coerenza τ pari o superiore al tempo T (dunque, al limite, una radiazione
ideale che abbia un τ = ∞). Ciò vuol dire che la fase relativa φ rimane costante
nell'integrazione temporale e quindi si ha:
q
S12 + S22 + S32 = S0 Formula 7
in quanto cos2 φ + sin2 φ = 1.
Questi casi sono detti di radiazione totalmente polarizzata.
Nel caso, invece, in cui la radiazione sia reale, e quindi il tempo di coerenza
τ << ∞ si avrà che solo i brevi intervalli di integrazione in cui i campi sono in
fase contribuiranno costruttivamente all'integrale, mentre gli altri avranno alla
ne media nulla. Pertanto si avrà:
q
S12 + S22 + S32 < S0 Formula 8
in quanto (< cos2 φ + sin2 φ >) < 1.
Questi casi sono detti di radiazione parzialmente polarizzata.
2
La sfera di Poincarrè
A questo punto è utile ricordare le formule che descrivevano una generica polarizzazione in funzione dei parametri ψ ed , rispettivamente inclinazione e
→
−
larghezza dell'ellisse descritta dal vettore E in un periodo di oscillazione (si
veda la gura 1). Si ha:
Figura 1: Parametri dell'ellisse
5
2
2
9.1) a2 + b2 = Exo
+ Eyo
9.2) ± ab = Exo Eyo sin(φ)
9.3) tg(2ψ) =
2Exo Eyo
cos(φ)
2 − E2
Exo
yo
9.4) sin(2) =
2Exo Eyo
2 + E2
Exo
yo














Formula 9











sin(φ) 

A partire dalle relazioni in formula 9 è possibile riscrivere i parametri di Stokes
in funzione di ψ e . In particolar modo è possibile ricavare le uguaglianze in
formula 10:

10.1) S1 = S0 cos(2)cos(2ψ) 

10.2) S2 = S0 cos(2)sin(2ψ)



Formula 10





10.3) S3 = S0 sin(2)
Tali equazioni di fatto deniscono un trivettore di componenti (S1 , S2 , S3 ) espresso in coordinate polari. Si faccia attenzione al fatto che i termini cos(2) e
sin(2) sono di fatto invertiti rispetto ad una normale rappresentazione in coordinate polari. Ciò in quanto 2 = 90◦ − β con β angolo denito tra il vettore
(S1 , S2 , S3 ) e l'asse S3 .
Una rappresentazione di tale vettore è mostrata in gura 2.
Figura 2: Sfera di Poincarrè
6
Per dimostrare le relazioni in formula 10 utilizzeremo le seguenti uguaglianze
trigonometriche:
tg(α)





1 + tg 2 (α) 




1
Formula 11
11.2) cos(α) = p


1 + tg 2 (α) 





p

11.3) cos(α) = 1 − sin2 (α)
11.1) sin(α) = p
Dimostrazione formula 10:
(Si prendano in considerazione le formule 6-9-11)
2
2
10.1) S0 cos(2)cos(2ψ) = (Exo
+ Eyo
)·
s
2
2
= (Exo
+ Eyo
)·
q
2
2
= (Exo
+Eyo
)·
s
=
1−(
p
2Exo Eyo sinφ 2
) s
2 + E2
Exo
yo
1 − sin2 (2) p
1
1 + tg 2 (2ψ)
1
=
=
2Exo Eyo
cos(φ))2
1+( 2
2
Exo − Eyo
4 + E 4 + 2E 2 E 2 − 4E 2 E 2 sin2 φ
Exo
yo
xo yo
xo yo
2 + E2
Exo
yo
2
2
Exo
− Eyo
q
=
4 + E 4 − 2E 2 E 2 + 4E 2 E 2 cos2 φ
Exo
yo
xo yo
xo yo
4
4
2
2
Exo
+ Eyo
+ 2Exo
Eyo
(1 − 2sin2 φ)
2
2
2
2
(Exo
− Eyo
) = Exo
− Eyo
= S1
4 + E 4 + 2E 2 E 2 (−1 + 2cos2 φ)
Exo
yo
xo yo
Poichè: 1 − 2sin2 φ = −1 + 2cos2 φ
2
2
10.2) S0 cos(2)sin(2ψ) = (Exo
+ Eyo
)·
s
2
2
= (Exo
+ Eyo
)·
=
p
2Exo Eyo sinφ 2
1−(
) s
2 + E2
Exo
yo
tg(2ψ)
1 − sin2 (2) p
=
1 + tg 2 (2ψ)
2Exo Eyo
cos(φ)
2 − E2
Exo
yo
=
2Exo Eyo
1+( 2
cos(φ))2
2
Exo − Eyo
2Exo Eyo
2
2
cos(φ)(Exo
− Eyo
) = 2Exo Eyo cos(φ) = S2
2 − E2
Exo
yo
2
2
10.3) S0 sin(2) = (Exo
+ Eyo
)·
2Exo Eyo
sin(φ) = 2Exo Eyo sin(φ) = S3
2 + E2
Exo
yo
Si sottolinea allora il fatto che un qualsiasi stato di polarizzazione può essere
descritto tramite un vettore (S1 , S2 , S3 ). Per quanto detto nella sezione 1.2,
7
tutti i punti sulla sfera di raggio S0 descrivono stati di polarizzazione totale,
mentre i punti interni descrivono gli stati di polarizzazione parziale (formule
7-8). Tale sfera viene denita sfera di Poincarrè. Generalmente i parametri Si
(i=1...3) vengono normalizzati a S0 e lo stato di polarizzazione viene descritto
tramite il quadrivettore in formula 12:


1
S0 /S0
 S1 /S0
 S1 /S0 



 S2 /S0  =  S2 /S0
S3 /S0
S3 /S0



 Formula 12

2.1 Luoghi geometrici notevoli
Ci porremo (ora e per le considerazioni successive) nel caso di polarizzazione
totale, ossia lungo la sfera di Poincarrè. Analizziamo ora alcuni luoghi geometrici, lungo la sfera, di paricolare interesse.
In primo luogo abbiamo i punti (gura 3):
Figura 3: Luoghi geometrici notevoli
(blu in gura 3): deniscono quegli stati di polarizzazione in cui il
campo risulta polarizzato H (+) oppure V (-).
(1,0,±1,0) (verde in gura 3): campo polarizzato a +45◦ (+) oppure -45◦ (-).
(1,0,0,±1) (rosso in gura 3): campo polarizzato S (+) oppure D (-).
(1,±1,0,0)
Si vogliono, inoltre, sottolineare i seguenti luoghi geometrici:
(1, a, b, 0) con a2 + b2 = 1 → = 0: in riferimento alla gura 1
si comprende immediatamente come essi deniscano gli stati di polarizzazione
lineare. L'angolo di polarizzazione è denito da ψ .
Meridiano sul piano S2 , S3 : (1, 0, a, b) con a2 + b2 = 1 → 2ψ = 90◦ →
ψ = 45◦ : generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse variabile
Equatore:
8
() ma orientate a 45◦ rispetto all'asse x (gura 1).
Meridiano sul piano S1 , S3 : (1, a, 0, b) con a2 + b2 = 1 → ψ = 0◦ : generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse variabile () ma orientate
parallelamente all'asse x.
Paralleli: = cost generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse
ssata ma orientazione variabile.
Meridiani: ψ = cost generiche polarizzazioni ellittiche con larghezza dell'ellisse variabile ed angolo di orientazione ssato.
2.2 Traiettoria lungo i paralleli
Come osservato nel paragrafo precedente, i paralleli rappresentano quegli stati
di polarizzazione che hanno in comune la stessa larghezza dell'ellisse di polarizzazione (), ma orientati ad angoli ψ dierenti. Vogliamo ora trovare un modo
sperimentale che ci permetta di variare la polarizzazione in modo tale da muoverci lungo un parallelo con continuità. Ciò è facilmente ottenibile per mezzo di
una lamina λ/2 orientata ad un angolo θ (che va variato con continuità) rispetto
all'orientazione del campo. Si ha infatti che la matrice di Jones di una lamina
λ/2 ad angolo θ risulta:
Tλ/2,θ =
cosθ
−sinθ
sinθ
cosθ
1
0
0
−1
cosθ
sinθ
−sinθ
cosθ
=
cos2θ
−sin2θ
−sin2θ
−cos2θ
che corrisponde proprio alla rotazione di un angolo 2θ. Variando con continuità
l'orientazione di tale lamina è quindi possibile variare ψ mantenendo costante,
ossia muoversi lungo un parallelo.
2.3 Traiettoria lungo i meridiani
Possiamo ora analizzare un caso più particolare, quello di una traiettoria lungo
un generico meridiano.
2.3.1
Lamina λ/4
In primo luogo ci si potrebbe chiedere se sia possibile ottenere tale risultato variando con continuità l'orientazione di una lamina λ/4, in analogia con quanto
visto nel paragrafo precedente. La risposta però è negativa, come si proverà ora
ad analizzare.
In primo luogo la matrice di Jones per una lamina λ/4 ad angolo θ risulta:
Tλ/4,θ
cosθ sinθ
1 0
cosθ −sinθ
=
=
−sinθ cosθ
0 −i
sinθ cosθ
1 + (i − 1)sin2 θ sinθcosθ(i − 1)
=
sinθcosθ(i − 1) 1 + (i − 1)cos2 θ
Partiamo allora dal punto della sfera di Poincarrè (1,0,1,0) ossia una polarizzazione a +45◦ (1,1). Applicando tale matrice si ottiene:
9
1 + (i − 1)sin2 θ
sinθcosθ(i − 1)
sinθcosθ(i − 1)
1 + (i − 1)cos2 θ
1
1
=
1 + (i − 1)sin2 θ + sinθcosθ(i − 1)
sinθcosθ(i − 1) + 1 + (i − 1)cos2 θ
1 − sin2 θ − sinθcosθ + i(sin2 θ + sinθcosθ)
=
=
1 − cos2 θ − sinθcosθ + i(cos2 θ + sinθcosθ)
cos2 θ − sinθcosθ + i(sin2 θ + sinθcosθ)
=
=
sin2 θ − sinθcosθ + i(cos2 θ + sinθcosθ)
cosθ(cosθ − sinθ) + isinθ(sinθ + cosθ)
=
−sinθ(cosθ − sinθ) + icosθ(sinθ + cosθ)
Calcoliamo allora:
A) Exo =
p
[cosθ(cosθ − sinθ)]2 + [sinθ(sinθ + cosθ)]2 =
p
cos2 θ(cos2 θ + sin2 θ − 2cosθsinθ) + sin2 θ(cos2 θ + sin2 θ + 2cosθsinθ) =
p
cos4 θ + cos2 θsin2 θ − 2cos3 θsinθ + sin4 θ + cos2 θsin2 θ + 2cosθsin3 θ =
=
p
cos2 θ(cos2 θ + sin2 θ) + sin2 θ(cos2 θ + sin2 θ) − 2cosθsinθ(cos2 θ − sin2 θ) =
=
r
sin(4θ)
=
1−
2
p
B) Eyo = [sinθ(cosθ − sinθ)]2 + [cosθ(sinθ + cosθ)]2 =
r
sin(4θ)
1+
(analogamente)
=
2
=
C) φ = φy − φx =
=
cosθ(sinθ + cosθ)
sinθ(sinθ + cosθ)
−
=
sinθ(sinθ − cosθ) −cosθ(sinθ − cosθ)
(sinθ + cosθ)
(sinθ − cosθ)(sinθcosθ)
A questo punto possiamo riprendere la formula 9.3. Anchè si abbia una traiettoria lungo un meridiano (ruotando con continuità la lamina λ/4) si dovrebbe
avere che ψ rimanga costante al variare di θ, mentre vari . Da quanto appena
visto si ha invece:
2Exo Eyo
tg(2ψ) = 2
cos(φ) = 2
2
Exo − Eyo
r
1−
sin2 (4θ)
(sinθ + cosθ)
cos(
)
4
(sinθ − cosθ)(sinθcosθ)
Da cui, ovviamente, ∂ψ
∂θ 6= 0. Dunque il moto così ottenuto varia al contempo e ψ con una dipendenza da θ, peraltro, molto complessa.
Si ottiene quindi un moto ondulato lungo la sfera di Poincarrè ben dierente
dal semplice moto lungo un meridiano.
10
=
2.3.2
Variazione della fase relativa
E' possibile, a questo punto, studiare una dierente modalità per ottenere una
traiettoria lungo un meridiano. L'idea è quella di variare con continuità la fase
relativa φ tra le due componenti del campo, al ne di ottenere una variazione
di mantenedo ψ costante. Sperimentalmente ciò è ottenibile in diversi modi,
grazie ad apparati che introducono una dierenza di cammino ottico (e dunque
di fase) tra Ex ed Ey , oppure materiali che variano φ in maniera proporzionale
ad un voltaggio applicato. In ogni caso, come vedremo, per alcune traiettorie
tale metodo darà buoni risultati, mentre in altre situazioni non si otterrà il risultato sperato.
In primo luogo ci poniamo nel punto (1,0,±1,0), corrispondente ad una polarizzazione ±45◦ . Il fattore fondamentale, come si vedrà a breve, è che per
questo tipo di polarizzazione vale la condizione |Exo | = |Eyo |.
Riprendiamo, allora, le formule 9.3 e 9.4.
1)
Dalla 9.4: sin(2) =
2Exo Eyo
sin(φ) = sin(φ), nel caso in questione.
2 + E2
Exo
yo
Dalla 9.3: tg(2ψ) =
2Exo Eyo
cos(φ)
−→
∞ ∀φ
2 − E2
Exo
|Exo |=|Eyo |
yo
Dunque si osserva immediatamente come, partendo dal punto (1,0,±1,0) e spostandosi lungo la sfera di Poincarrè grazie all'introduzione di una dierenza di
fase φ si eettua un salto in un altro punto dello stesso meridiano, ossia varia
ma ψ = ±45◦ = cost.
Procediamo ora lungo la traiettoria. Introduciamo una dierenza di fase
innitesima δφ e ci spostiamo così dal punto (1,0,±1,0) di partenza, lungo il
meridiano. Vogliamo ora eettuare un altro salto innitesimo a partire però da
questo nuovo stato di polarizzazione. In linea generale non è detto a priori che
la proprietà osservata in precedenza (ψ = cost nello spostamento) si mantenga
anche in questo caso. Osserviamo però che il primo salto innitesimo ha lasciato
ψ = ±45◦ = cost. Ciò vuol dire che la condizione |Exo | = |Eyo | è ancora
valida per lo stato di polarizzazione ottenuto dopo il primo piccolo spostamento.
Pertanto quanto detto in precedenza resta valido anche ora, e da qui per ogni
nuovo salto innitesimo. Dunque tale traiettoria resterà vincolata al meridiano
di partenza, quello passante per S2 . Facendo tendere δφ −→ 0 si ottiene proprio
il moto continuo lungo il meridiano, come desiderato.
2)
Alla luce di quanto detto risulta evidente come, partendo da un qualsiasi
punto (1, 0, a, b) con a2 + b2 = 1 e variando φ con continuità, si otterrà la
traiettoria voluta.
3)
Tale risultato, ad ogni modo, non vale per un meridiano qualsiasi. Prendiamo
in analisi, ad esempio, i punti (1, ±1, 0, 0) come punto di partenza. Ciò che si
sta facendo, nel nostro caso, è variare la fase relativa φ tra le componenti Ex ed
Ey del campo. Questi due punti corrispondono a polarizzazioni H o V ossia (1,
0) oppure (0, 1). Si intuisce immediatamente come la variazione di φ non cambi
minimamente la polarizzazione, in quanto gli stati di partenza possiedono solo
4)
11
una delle due componenti. In questo caso, dunque, tale metodo non permette
neanche di spostarsi dal punto di partenza.
Nel caso in cui si parta da un qualsiasi altro punto della sfera di Poincarrè
dierente da quelli già analizzati si osserva immediatamente dalle formule 9.3 e
9.4 che una variazione di φ produrrà, necessariamente, una variazione sia di che di ψ . Si otterrà dunque, analogamente al caso della lamina λ/4, un moto
ondulato lungo la sfera che dipenderà in maniera complicata dal valore di φ.
5)
Si vogliono inne analizzare le traiettorie ottenute partendo da uno dei due
poli. tali punti risultano critici dal punto di vista matematico, in quanto il valore
di ψ non è denito. Si ha infatti che φ = π2 → cosφ = 0 ma, al tempo stesso,
|Exo | = |Eyo |. Pertanto si avrà una forma indeterminata nella formula 9.3. Ad
ogni modo, sicamente, tale fattore non è un problema. Se infatti si prende
della luce polarizzata destra o sinistra e si applica ad essa una variazione di fase
∆φ si otterrà una radiazione per la quale la condizione |Exo | = |Eyo | continua
a valere, mentre, essendo ora cosφ 6= 0, ψ ha acquisito un preciso valore, pari
proprio a ±45◦ con il segno stabilito dalla variazione di φ.
6)
In conclusione si vuole sottolineare come il tempo di coerenza di una radiazione reale, per quanto possa essere lungo, non sarà mai innito. Aumentare la
dierenza di fase φ dunque introdurrà una certa incoerenza che farà si che ci si
sposti anche verso l'interno della sfera di Poincarrè. Ad ogni modo se il ritardo,
introdotto dalla variazione di φ, tra le due componenti del campo si mantiene
trascurabile rispetto al tempo di coerenza si può considerare che la traiettoria
si mantiene praticamente tutta sulla stessa supercie sferica.
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