COGNOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA. . . . . . . . . Esame di Matematica Generale - C.d.L. in Economia Aziendale 20 Maggio 2013 Esercizio 1. Si risolva la seguente disequazione (4 punti): e x2 +9 x−1 −e 9x−11 x−1 Esercizio 2: Si consideri la funzione f (x) = log ≤ 0. 5x + 2 . 3x + 2 (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). A (b) Determinare il segno di f ed eventuali intersezioni con gli assi (3 punti). (c) Calcolare i limiti e determinare il comportamento asintotico della funzione (4 punti). (d) Determinare gli intervalli di monotonia di f ed eventuali punti estremali (4 punti). (e) Determinare gli intervalli di convessit` a di f ed eventuali punti di flesso (4 punti). (f ) Disegnare il grafico di f (3 punti). (g) Si trovino il massimo assoluto ed il minimo assoluto di f nell’intervallo [0, 1] (4 punti). Esercizio 3: Si calcoli il seguente limite senza l’uso della regola di de l’Hˆopital (6 punti): (2e3x − 2)2 . x7→0 2 − 2 cos 3x lim Esercizio 4: Si calcoli il seguente integrale definito (6 punti): π Z 16 sin2 (4x) cos(4x)dx 4 0 FORMULARIO Trigonometria Formule fondamentali. sin2 x + cos2 x = 1, Valori per archi particolari. tan x = sin x . cos x √ √ π 1 π 2 π 3 π sin 0 = 0, sin = , sin = , sin = , sin = 1; 6 2 4 2 3 2 2 √ √ 3 2 π π π 1 π cos 0 = 1, cos = , cos = , cos = , cos = 0. 6 2 4 2 3 2 2 Formule di addizione e sottrazione. sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y, cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y. Formule di duplicazione. sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x − 1. Analisi Limiti notevoli. lim x→∞ 1+ ex − 1 = 1, x→0 x α x = eα , x lim sin x = 1, x→0 x lim cos x − 1 1 = . 2 x→0 x 2 lim Derivate ed integrali delle funzioni elementari. f (x) α x ex log x sin x cos x f 0 (x) α−1 αx ex 1 x cos x − sin x f (x) α x ex sin x cos x 1 x±a , a ≥ 0 R f (x)dx xα+1 α+1 x +c e +c − cos x + c sin x + c log |x ± a| + c