Soluzione - Dipartimento di Matematica e Informatica

Esame di profitto di Geometria superiore - Laurea magistrale in Matematica
aprile 2014
∂
∂
1. Si consideri il campo vettoriale X : (x, y) 7→ y ∂x
+ ∂y
di R2 e sia γ(t) la curva
integrale di X passante per (0, 1) al tempo t = 0. Qual `e la curva integrale di X
passante per γ(−1) al tempo t = 0?
2 2
(a) t 7→ t, t 2−1 ; (b) t 7→ t 2−1 , t ; (c) t 7→ t, t22−1 ; (d) t 7→ t22−1 , t .
Soluzione. γ `e la curva t 7→ 12 t2 + t, t + 1 che al tempo
2 t = −1 passa per
1
q := − 2 , 0 . La curva richiesta `e allora t 7→ γ(t − 1) = t 2−1 , t .
2. Tra le seguenti funzioni lineari T(−i, i) T2 → T(0,−1,0,1) R4
∂ ∂ (a) a1 ∂t∂1 (−i, i) + a2 ∂t∂2 (−i, i) 7→ 2π a1 ∂x
−
a
2
∂x2 (0,−1,0,1) ;
1 (0,−1,0,1)
∂ ∂ (b) a1 ∂t∂1 (−i, i) + a2 ∂t∂2 (−i, i) 7→ 2π a1 ∂x
−
a
;
2
∂x
(0,−1,0,1)
(0,−1,0,1)
1
3
∂ ∂ (c) a1 ∂t∂1 (−i, i) + a2 ∂t∂2 (−i, i) 7→ 2π a1 ∂x
− a2 ∂x
;
4 (0,−1,0,1)
1 (0,−1,0,1)
∂ ∂ − a2 ∂x
(d) a1 ∂t∂1 (−i, i) + a2 ∂t∂2 (−i, i) 7→ 2π a1 ∂x
;
1 (0,−1,0,1)
4 (0,−1,0,1)
descritte al variare della coppia (a1 , a2 ) in R2 in termini di coordinate angolari (t1 , t2 ) per T2 e coordinate cartesiane (x1 , x2 , x3 , x4 ) per R4 , quale d`a il
differenziale in (−i, i) ≡ (0, −1, 0, 1) dell’inclusione T2 ,→ R4 ?
Soluzione. Nelle coordinate prescritte l’inclusione T2 ,→ R4 si rappresenta
mediante la funzione (t1 , t2 ) 7→ cos(2πt1 ), sin(2πt1 ), cos(2πt2 ), sin(2πt2 ) il cui
differenziale in (−i, i) `e la funzione lineare (b).
3. Il centro Z del gruppo lineare speciale SL(n, C) consiste delle matrici scalari ξIn
con ξ radice n-ma dell’unit`a. Tra le seguenti affermazioni, riguardanti la proiezione
canonica ρ : g 7→ g := gZ di SL(n, C) sul quoziente SL(n, C)/Z, individuare quella
corretta:
(a) ρ non `e un’immersione;
(b) ρ non `e una submersione;
(c) ρ ha rango costante 2(n2 − 1);
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione. Essendo ρ un omomorfismo di gruppi di Lie con nucleo di cardinalit`a
finita, ρ `e una funzione di rivestimento di gruppi di Lie, quindi un diffeomorfismo
locale, in particolare una funzione di rango pari a dimR SL(n, C).
4. Ricordiamo che l’algebra H dei quaternioni `e una R-algebra associativa di dimensione 4 con base 1, i, j, k e prodotto R-lineare determinato dalle condizioni
ij = k, jk = i, ki = j, i2 = j 2 = k 2 = −1
che rende l’aperto H∗ dei quaternioni non nulli un gruppo di Lie. Tenuto conto
che H `e altres`ı spazio vettoriale di dimensione 2 sul campo complesso con base 1, j,
1
a quale dei seguenti gruppi di Lie `e isomorfo il sottogruppo di H∗ dei quaternioni
di norma 1:
(a) a SL(2, R);
(b) a SU(2);
(c) a T3 ;
(d) a nessuno dei precedenti.
Soluzione. I quaternioni di norma 1 hanno sostegno in S3 , cio`e in uno spazio
topologico compatto, ed SL(2, R) non `e compatto. Inoltre T3 `e un gruppo commutativo mentre, per esempio, i quaternioni i e j, ambedue di norma 1, non commutano. Mostriamo invece che SU(2) `e isomorfo al sottogruppo dei quaternioni
di norma 1.
Ricordiamo che le matrici di SU(2) sono matrici della forma
x y
,
M(x,y) :=
−y x
con x, y ∈ C tali che xx+yy = 1, e si ha M(a,b) M(c,d) = M(ac−bd,ad+bc) . Daltronde
il prodotto (a + bj)(c + dj) di due quaternioni, a, b, c, d ∈ C, `e dato dal quaternione
`
(ac − bd) + (ad + bc)j, ove si tenga conto che vale l’identit`a jx = xj ∀x ∈ C. E
subito visto allora che x + yj 7→ M(x,y) d`a l’isomorfismo cercato.
5. Siano G un gruppo topologico connesso ed H il suo gruppo fondamentale. Quale
dei seguenti gruppi non `e certamente isomorfo ad H?
(a) il gruppo discreto Z;
(b) il gruppo alterno A3 ;
(c) il gruppo ciclico Z5 ;
(d) il gruppo alterno A4 .
e p) il ricoprimento universale di G, allora il nucleo di p `e un
Soluzione: Sia (G,
e sul nucleo di p per coniugruppo discreto isomorfo ad H. Se si lascia agire G
e
gazione, le orbite di quest’azione si devono ridurre a singoli elementi essendo G
connesso ed il nucleo di p discreto. Questo in particolare deve valere quando si
coniuga ker p con elementi di ker p stesso, cio`e H deve essere commutativo.
6. Si consideri il sottospazio del piano topologico euclideo che ha sostegno nell’insieme di punti
S
Y := n∈N∗ (x, y) ∈ R2 : n(x2 + y 2 ) = 2x .
Individuare l’affermazione corretta:
(a) non `e possibile definire alcuna operazione binaria su Y che renda lo spazio
un gruppo di Lie;
(b) `e possibile definire su Y un’operazione binaria che renda lo spazio un gruppo
di Lie connesso;
(c) `e possibile definire su Y un’operazione binaria che renda lo spazio un gruppo
di Lie privo di sottogruppi chiusi non banali;
(d) `e possibile definire su Y un’operazione binaria che renda lo spazio un gruppo
di Lie contenente sottogruppi chiusi non banali.
Soluzione. Il punto (0, 0) di Y non ha alcun intorno omeomorfo ad un aperto
euclideo.
2

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