Prova Scritta di di Meccanica Analitica 4 giugno 2014 Problema 1 Un punto di massa unitaria si muove sull’asse x soggetto al potenziale √ V (x) = − 2 cos x + x a) Determinare le posizioni di equilibrio e la loro stabilit`a b) Tracciare il grafico del potenziale ed il ritratto di fase c) Determinare il periodo delle piccole oscillazioni associato ai punti critici stabili e l’equazione della rette tangenti alle separatrici nei punti critici instabili. d) Un punto di massa unitaria si muove secondo la legge oraria x˙ = −γx + a cos ωt Determinare il comportamento limite di x(t) per t ≫ 1. Soluzione I punti critici del potenziale sono √ 2 sin x + 1 = 0 xs = − π + 2πk 4 xu = 5 π + 2πk 4 √ Calcolando la derivata seconda del potenziale d2 V /dx2 = 2 cos x i punti xs sono di tipo ellittico mentre i punti xu sono di tipo iperbolico. Il periodo delle piccole oscillazioni ´e Tpo = 2π e le rette tangenti alle separatrici nei punti iperbolico sono ( ) 5 v = ± x − π + 2πk 4 d) Scriviamo la soluzione particoare con condizione iniziale x(0) = 0 ∫ x(t) = a t e −γ(t−s) −γt cos ωsds = ae 0 ∫ t eγs+iωs ds Re 0 Integrando, nel limite t → ∞ otteniamo x(t) = aRe eiωs a = 2 (γ cos ωt + ω sin ωt) γ + iω γ + ω2 Problema 2 1 Un punto materiale di massa m la cui dinamica `e determinata dalla Lagrangiana L= ) m ( ˙2 sinhθ θ + cosh2 θϕ˙ 2 + k 2 coshθ con (θ, ϕ) due parametri reali. a) Scrivere la Hamiltoniana indicando gli integrali primi del moto. b) Determinare l’equazione per le orbite circolari θ = const. ed indicarne la stabilit`a . c) utilizzando la variabile u = sinhθ/coshθ scrivere un’equazione dell’orbita u(ϕ) e risolverla. Soluzione Il momento 2 ˙ pϕ = mϕcosh θ ´e un integrale primo del moto insiema all’Hamiltoniano p2ϕ sinhθ p2θ + −k H= 2 2m 2mcosh θ coshθ Definiamo il potenziale efficace Vef f = p2ϕ 2 2mcosh θ −k sinhθ coshθ e le orbite circolari sono determinate dall’equazione p2ϕ dVef f k sinhθ − =0 =− 3 dθ mcosh θ cosh2 θ da cui tghθ = − km p2ϕ Ne segue che le orbite circolari esistono se |km/p2ϕ | < 1 e sono instabili in quanto la derivata del potenziale cambia il segno da positivo a negativo. Utilizzando la variabile u abbiamo la relazione du du θ˙ 1 mcosh2 θ ˙ m =− = θ = − θ˙ 2 dϕ dθ ϕ˙ pϕ pϕ cosh θ Sostituendo θ˙ nella funzione energia otteniamo l’equazione p2ϕ E= 2m ( du dϕ )2 + 2 p2ϕ (1 − u2 ) − ku 2m Posto E ′ = 2mE/p2ϕ − 1 l’espressione sopra si riduce ′ E = ( du dϕ )2 − u2 km − 2 u 2 pϕ ed ´e equivalente all’equazione di Newton d2 u =u+k dϕ2 La soluzione si scrive nella forma u(ϕ) = Acosh(ϕ − ϕ0 ) − km p2ϕ dove la costante A di determina in funzione di E ′ . Problema 3 Un’asta AB omogenea di massa m e lunghezza 2ℓ ha il baricentro vincolato a muoversi su una linea orizzontale mentre ad uno degli estremi `e attaccata una molla di costante elastica k con il secondo estremo in un punto fisso O. a) Scrivere la Lagrangiana dell’asta utilizzanfo come coordinate l’angolo θ tra asta e retta orizzontale, e la posizione del baricentro. b) Determinare la configurazione di equilibrio stabile e scrivere la Lagrangiana delle piccole oscillazioni c) Determinare le frequenze per le piccole oscillazioni Soluzione La Lagrangiana del sistema si scrive L= m 2 ml2 ˙2 k 2 x˙ + θ − (x − 2lx cos θ) 2 6 2 dove x ´e la coordinata del baricentro. Le posizioni di equilibrio sono determinate dal sistema kx − kl cos θ = 0 lx sin θ = 0 Gli equilibri stabili sono con θ = 0, x = l e θ = π, x = −l. La Lagrangiana delle piccole oscillazioni si scrive Lpo = m 2 ml2 ˙2 k x˙ + θ − ((x ± l)2 − l2 θ2 ) 2 6 2 3 Dal momento che il sistema ´e diagonalizzato, le frequenze delle piccole oscillazioni si calcolano immediatamente √ k ωx = ωθ = m Problema 4 Si consideri la trasformazione di coordinate dipendente da un parametro α ( q1 (α) q2 (α) ) ( = cos ωα −ω sin ωα sin ωα/ω cos ωα )( q1 q2 ) (1) a) trovare un completamento canonico della trasformazione; b) dimostrare che la trasformazione definisce un gruppo di trasformazioni ad un paramero; c) sia dato un sistema dinamico H = T + V invariante per il gruppo di trasformazioni ⃗q(α) trovare l’integrale primo del moto associato a tale simmetria, sapendo che l’energia cinetica `e T = (q˙22 + ω 2 q˙12 )/2 Soluzione Il completamento canonico si pu´o ottenere considerando la funzione generatrice del secondi tipo ( )( ) cos ωα sin ωα/ω q1 F (⃗ p(α), ⃗q) = (p1 (α), p2 (α)) −ω sin ωα cos ωα q2 Da cui la relazione ( (p1 , p2 ) = (p1 (α), p2 (α)) cos ωα −ω sin ωα sin ωα/ω cos ωα ) che si inverte facilmente determinando (p1 (α), p2 (α)). La relazione (1) ´e il flusso di fase di un oscillatore armonico quindi ha le propriet´a di essere gruppo abeliano omomorfo alla somma dei numeri reali: α = 0 corrisponde all’identit´ a e la composizione equivale a sommare i parametri. Applicando il teorema di N¨other al sistema Lagrangiano considerato abbiamo un integrale primo con ( 2 I = (ω q˙1 , q˙2 ) 0 −ω 2 1 0 )( 4 q1 q2 ) = ω 2 (q˙1 q2 − q˙2 q1 )
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