San Luca Express 2015 timetable!

Le funzioni elementari
Giulio Starita
14 ottobre 2014
La funzione potenza di esponente naturale dispari
x 7→ xn
•D=R
n = 2m − 1, m ∈ N
• C=R
• La funzione `
e
3
– dispari
2
– crescente
1
– concava in (−∞, 0)
-2
-1
– convessa in (0, +∞)
• lim xn = −∞
x→−∞
1
2
1
2
-1
•
lim xn = +∞
x→+∞
-2
• D(xn ) = nxn−1
Z
1
•
xn dx =
xn+1 + c
n+1
-3
La funzione potenza di esponente naturale pari
x 7→ xn
•D=R
n = 2m, m ∈ N
• C = [0, +∞)
• La funzione `
e
4
– pari
3
– decrescente in (−∞, 0)
– crescente in (0, +∞)
2
– convessa
• lim xn = +∞
x→−∞
•
1
lim xn = +∞
x→+∞
• D(xn ) = nxn−1
Z
1
•
xn dx =
xn+1 + c
n+1
-2
1
-1
La funzione potenza di esponente reale positivo maggiore di 1
x 7→ xα
α ∈ (1, +∞)
• D = [0, +∞)
• C = [0, +∞)
3.0
• La funzione `
e
2.5
– crescente
2.0
– convessa
α
• lim x = +∞
1.5
x→+∞
1.0
• D(xα ) = αxα−1
Z
1
•
xα dx =
xα+1 + c
α+1
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
1.0
1.5
La funzione potenza di esponente reale positivo minore di 1
x 7→ xα
α ∈ (0, 1)
• D = [0, +∞)
• C = [0, +∞)
• La funzione `
e
1.4
– crescente
1.2
– concava
1.0
• lim xα = +∞
0.8
x→+∞
0.6
• D(xα ) = αxα−1
Z
1
•
xα dx =
xα+1 + c
α+1
0.4
0.2
0.0
2
0.5
La funzione potenza di esponente reale negativo
x 7→ xα
α ∈ (−∞, 0)
• D = (0, +∞)
• C = (0, +∞)
8
• La funzione `
e
– decrescente
6
– convessa
• lim xα = +∞
x→0
•
lim xα = 0
4
x→+∞
• D(xα ) = αxα−1
Z
1
•
xα dx =
xα+1 + c se α 6= −1
α+1
2
0.0
3
0.5
1.0
1.5
La funzione esponenziale di base maggiore di 1
x 7→ ax
a ∈ (1, +∞)
•D=R
• C = (0, +∞)
8
• La funzione `
e
– crescente
6
– convessa
• lim ax = 0
•
x→−∞
x
lim ax = +∞
4
x→+∞
• D(a ) = log a · ax
Z
1
•
ax dx =
ax + c
log a
2
–2
–1
0
1
2
0
1
2
La funzione esponenziale di base minore di 1
x 7→ ax
a ∈ (0, 1)
•D=R
• C = (0, +∞)
8
• La funzione `
e
– decrescente
6
– convessa
• lim ax = +∞
x→−∞
x
•
lim ax = 0
4
x→+∞
x
• D(a ) = log a · a
Z
1
•
ax dx =
ax + c
log a
2
–2
4
–1
La funzione logaritmo di base maggiore di 1
x 7→ loga x
a ∈ (1, +∞)
• D = (0, +∞)
• C=R
2
• La funzione `
e
– crescente
1
– concava
• lim loga x = −∞
•
x→0
lim loga x = +∞
x→+∞
1
• D(loga x) =
log a · x
Z
1
x(log x − 1)
•
loga x dx =
log a
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
–1
–2
La funzione logaritmo di base minore di 1
x 7→ loga x
a ∈ (0, 1)
• D = (0, +∞)
• C=R
2
• La funzione `
e
– decrescente
1
– convessa
• lim loga x = +∞
x→0
•
lim loga x = −∞
x→+∞
1
• D(loga x) =
log a · x
Z
1
x(log x − 1)
•
loga x dx =
log a
–1
–2
5
La funzione seno
x 7→ sin x
•D=R
• C = [−1, 1]
• La funzione `
e
1.5
– periodica con periodo 2π e dispari
π
π
– crescente in (− + 2kπ, + 2kπ) (k ∈ Z)
2
2
π
3π
– decrescente in ( + 2kπ,
+ 2kπ) (k ∈ Z)
2
2
– convessa in ((2k − 1)π, 2kπ) (k ∈ Z)
1.0
0.5
- 4π
- 3π
- 2π
-π
π
2π
3π
4π
π
2π
3π
4π
- 0.5
- 1.0
– concava in (2kπ, (2k + 1)π) (k ∈ Z)
• lim sin x n.e.
x→−∞
•
- 1.5
lim sin x n.e.
x→+∞
• D(sin x) = cos x
Z
•
sin x dx = − cos x + c
La funzione coseno
x 7→ cos x
•D=R
• C = [−1, 1]
• La funzione `
e
1.5
– periodica con periodo 2π e pari
1.0
– crescente in ((2k − 1)π, 2kπ) (k ∈ Z)
0.5
– decrescente in (2kπ, (2k + 1)π) (k ∈ Z)
π
3π
– convessa in ( + 2kπ,
+ 2kπ) (k ∈ Z)
2
2
π
π
– concava in (− + 2kπ, + 2kπ) (k ∈ Z)
2
2
• lim cos x n.e.
• lim cos x n.e.
x→−∞
- 4π
- 3π
- 2π
-π
- 0.5
- 1.0
- 1.5
x→+∞
• D(cos x) = − sin x
Z
•
cos x dx = sin x + c
6
La funzione tangente
x 7→ tan x
• D =R\
[ π
{ + kπ}
2
k∈Z
• C=R
4
• La funzione `
e
2
– periodica con periodo π e dispari
π
π
– crescente in (− + kπ, + kπ) (k ∈ Z)
2
2
π
– concava in (− + kπ, kπ) (k ∈ Z)
2
π
– convessa in (kπ, + kπ) (k ∈ Z)
2
• lim tan x = −∞
• lim tan x = +∞
2π
π
π
2π
π
2π
2
4
+
x→ π
2
−
x→ π
2
• lim tan x n.e.
x→±∞
1
• D(tan x) =
= 1 + tan2 x
2x
cos
Z
•
tan x dx = − log cos x + c
La funzione cotangente
x 7→ cot x
• D =R\
[
{kπ}
• C=R
4
k∈Z
• La funzione `
e
2
– periodica con periodo π e dispari
– decrescente in (kπ, (k + 1)π) (k ∈ Z)
π
– convessa in (kπ, + kπ) (k ∈ Z)
2
π
– concava in ( + kπ, (k + 1)π) (k ∈ Z)
2
• lim cot x = −∞
• lim cot x = +∞
x→0−
2π
π
2
4
x→0+
• lim cot x n.e.
x→±∞
1
• D(cot x) = − 2 = −1 − cot2 x
sin
x
Z
•
cot x dx = log sin x + c
7
La funzione arcoseno
x 7→ arcsin x
• D = [−1, 1]
π π
• C = [− , ]
2 2
• La funzione `
e
π
2
– dispari
– crescente
– concava in [−1, 0)
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
0.5
1.0
1.5
– convessa in (0, 1]
π
2
1
• D(arcsin x) = √
1 − x2
Z
p
•
arcsin x dx = 1 − x2 + x arcsin x + c
La funzione arcocoseno
x 7→ arccos x
• D = [−1, 1]
• C = [0, π]
• La funzione `
e
– decrescente
π
– convessa in [−1, 0)
– concava in (0, 1]
π
2
1
• D(arccos x) = − √
1 − x2
Z
p
•
arccos x dx = − 1 − x2 + x arccos x + c
1.5
8
1.0
0.5
La funzione arcotangente
x 7→ arctan x
π π
• C = (− , )
2 2
• La funzione `
e
•D=R
π
2
– dispari
– crescente
– convessa in (−∞, 0)
–5
5
– concava in (0, +∞)
• lim arctan x = −
x→−∞
π
π
• lim arctan x =
2 x→+∞
2
–
π
2
1
• D(arctan x) =
1 + x2
Z
1
•
arctan x dx = x arctan x− log(1+x2 )+c
2
La funzione arcocotangente
x 7→ arccot x
•D=R
• C = (0, π)
• La funzione `
e
π
– decrescente
– concava in (−∞, 0)
– convessa in (0, +∞)
• lim arccot x = π •
x→−∞
π
2
lim arccot x = 0
x→+∞
1
• D(arccot x) = −
1 + x2
Z
1
•
arccot x dx = x arccot x+ log(1+x2 )+c
2
4
9
2
2
4
La funzione seno iperbolico
x 7→ sinh x
•D=R
• C=R
10
• La funzione `
e
– dispari
5
– crescente
– concava in (−∞, 0)
-3
-2
-1
1
2
3
1
2
3
– convessa in (0, +∞)
• lim sinh x = −∞
x→−∞
•
lim sinh x = +∞
-5
x→+∞
• D(sinh x) = cosh x
Z
•
sinh x dx = cosh x + c
-10
La funzione coseno iperbolico
x 7→ cosh x
•D=R
• C = [1, +∞)
10
• La funzione `
e
– pari
8
– decrescente in (−∞, 0)
6
– crescente in (0, +∞)
4
– convessa
• lim cosh x = +∞
x→−∞
• lim cosh x = +∞
2
x→+∞
• D(cosh x) = sinh x
Z
•
cosh x dx = sinh x + c
-3
10
-2
-1
La funzione tangente iperbolica
x 7→ tanh x
•D=R
• C = (−1, 1)
• La funzione `
e
1.5
– dispari
1.0
– crescente
0.5
– convessa in (−∞, 0)
-3
– concava in (0, +∞)
-2
-1
1
2
3
- 0.5
• lim tanh x = −1
•
x→−∞
lim tanh x = 1
x→+∞
-1.0
1
• D(tanh x) =
2
cosh
x
Z
•
-1.5
tanh x dx = log cosh x + c
La funzione settore seno iperbolico
x 7→ setsinh x
•D=R
• C=R
• La funzione `
e
3
– dispari
2
– crescente
1
– convessa in (−∞, 0)
-10
– concava in (0, +∞)
-5
5
-1
• lim setsinh x = −∞ • lim setsinh x = +∞
x→−∞
x→+∞
-2
1
• D(setsinh x) = √
1 + x2
Z
p
•
setsinh x dx = − 1 + x2 + x setsinh x + c
-3
11
10
La funzione settore coseno iperbolico
x 7→ setcosh x
• D = [1, +∞)
• C = [0, +∞)
• La funzione `
e
3.0
– crescente
2.5
– concava
2.0
• lim setcosh x = +∞
1.5
x→+∞
1.0
1
• D(setcosh x) = √
x2 − 1
Z
p
•
setcosh x dx = x setcosh x − x2 − 1 + c
0.5
2
4
6
8
10
1.0
1.5
-0.5
La funzione settore tangente iperbolica
x 7→ settanh x
• D = (−1, 1)
• C=R
• La funzione `
e
3
– decrescente
2
– priva di minimo e di massimo
1
– concava in (−1, 0)
-1.5
– convessa in (0, 1)
-1.0
- 0.5
0.5
-1
• lim settanh x = −∞ • lim settanh x = +∞
x→−1
x→1
-2
1
• D(settanh x) =
1 − x2
Z
1
• settanh x dx = x settanh x+ log(1−x2 )+c
2
-3
12
I limiti notevoli
sin x
=1
x
x
1
1+
lim
=e
x→±∞
x
lim
lim
x→0
x→0
1
1 − cos x
=
x2
2
1
lim (1 + x) x = e
x→0
ex − 1
=1
x→0
x
lim
lim
x→0
log(1 + x)
=1
x
(1 + x)α − 1
=α
x→0
x
lim
log x
= 0 α ∈ R+
x→+∞ xα
xα log x = 0 α ∈ R+
lim
ex
= +∞ α ∈ R+
x→+∞ xα
lim xn ex = 0 n ∈ N
lim
x→−∞
13

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