Sabato - Ufficio Stampa Rai

Universit`
a degli studi di Trieste
Corso di Laurea magistrale a ciclo unico in Architettura
Istituzioni di Matematiche
14 Novembre 2014
Soluzione
Esercizio 1 – 2 punti. Dare le seguenti definizioni:
(a) Una successione an ha limite −∞.
∀U ∈ I−∞ ∃¯
n ∈ N : ∀n ≥ n
¯ , an ∈ U o equivalentemente ∀M > 0 ∃¯
n ∈ N : ∀n ≥ n
¯ , an < −M .
(b) Una succesisone an ha limite ` ∈ R.
∀U ∈ I` ∃¯
n ∈ N : ∀n ≥ n
¯ , an ∈ U o equivalentemente ∀ε > 0 ∃¯
n ∈ N : ∀n ≥ n
¯ , |an − `| ≤ ε.
Esercizio 2 – 1 punto.
p q p∧q p∧q p
V V
V
F
F
V F
F
V
F
F V
F
V
V
F F
F
V
V
Dimostrare la seguente legge di De Morgan: p ∧ q ⇔ p ∨ q.
q p∨q p∧q ⇔p∨q
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
Esercizio 3 – 2 punti. Siano dati i seguenti insiemi:
A :=] − ∞, −5] ∪ [−1, 2[ ∪ {3}, B := [−5, 0[ ∪ ]1, 4], C := [−5, 0] ∪ [3, 4].
˚ D, ∂D; E;
˚ E, ∂E.
Tovare D := A ∩ B; E := C \ D; D;
D = {−5} ∪ [−1, 0[∪]1, 2[∪{3}. E =] − 5, −1[∪{0}∪]3, 4].
˚ =] − 1, 0[∪]1, 2[; D = {−5} ∪ [−1, 0] ∪ [1, 2] ∪ {3}; ∂D = {−5, −1, 0, 1, 2, 3}.
D
˚
E =] − 5, −1[∪]3, 4[; E = [−5, −1] ∪ {0} ∪ [3, 4]; ∂E = {−5, −1, 0, 3, 4}.
Esercizio 4 – 1 punto. Sia F :=] − 1, +∞[. Con riferimento all’esercizio precedente, trovare G := D ∪ F ;
inf G, sup G. Dire se esistono, e in tal caso identificarli, min G; max G.
G = {−5} ∪ [−1, +∞[; inf G = −5, sup G = +∞, min G = −5, max G non esiste.
n(n + 1)
e sia A := {an , n ≥ 3}.
n−2
Trovare inf A; sup A. Dire se esistono, e in tal caso identificarli, min A; max A.
inf A = min A = 10, sup A = +∞, max A non esiste.
2n
an
Sia poi bn := 2
an − . Calcolare lim an e lim bn .
n→∞
n→∞
n −1
n
lim an = +∞. lim bn = 1.
Esercizio 5 – 3 punti. Sia an :=
n→∞
n→∞
Esercizio 6 – 3 punti. Calcolare i seguenti limiti:
r
2n
1
(a) lim
,
(b) lim [log(7 + n) − log n] [0],
n→∞
n→∞
8n + 1 2
n + (−1)n
[1].
n→∞ n − (−1)n
(c) lim
Esercizio 7 – 3 punti. Usando la definizione di limite, mostrare che:
√
(a) n − n → −∞ per n → ∞. Trovare n
¯ per M = 42. [¯
n = 8].
3n2 + 11
n
−
5
3
2
(b)
→ per n → ∞. Trovare n
¯ per ε = 1/10. [¯
n = 11].
5n2
5
Esercizio 8 – 4 punti. Calcolare i seguenti limiti:
n2
3
3
(a) lim
tan
;
2
n→∞ 4
n
4
(b) lim
n→∞
1
2014
1+
n
n/2
e1007 .
2
Esercizio 9 – 3 punti. Trovare il dominio delle seguenti funzioni:
!
r
x+5
x2 − 3x + 2
;
(b) g(x) = log
.
(a) f (x) = exp
x−3
x−2
(a) dom(f ) = [1, 2]∪]3, +∞[. (b) dom(g) =] − ∞, −5[∪]2, +∞[.
Esercizio 10 – 3 punti. Calcolare i seguenti limiti:
"r
#
√
x
5
2x2 − 1
π2
x x+5
(a) lim
e ;
−1 ;
(b) lim 2
x→∞
tan x
8
2x
x→π/4
sin(x2 ex log x)
[0].
x→∞
x
(c) lim
Esercizio 11 – 1 punto. Enunciare il teorema di Bolzano-Weierstrass.
Esercizio 12 – 1 punto. Scrivere la definizione di funzione continua.
Esercizio 13 – 1 punto. Trovare a ∈ R affinch´e risulti continua la funzione definita da

 sin x ,
x ≥ 0,
[a = 1]
f (x) := a x
 (ex − 1), x < 0.
x
Esercizio 14 – 3 punti. Vero o falso.
(a) Se la successione an `e infinitesima, allora lim (1 − an ) = 0. [F]
n→∞
(b) Se f : R → R `e strettamente crescente, allora lim f (x) = +∞. [F]
x→+∞
(c) Se lim f (x) = `, allora f (c) = `. [F]
x→c

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