Foglio 1 - Università degli Studi di Trento

ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 5
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin
Limiti di funzioni
Esercizio 1. (Polinomi) Sia f (x) un polinomio di grado n, cio`e f (x) =
an xn + · · · + a1 x + a0 con ai ∈ R (i = 0, 1, . . . , n) assegnati e an 6= 0.
Provare che, se an > 0,allora
lim f (x) =
x→±∞
+∞ se n pari ,
±∞ se n dispari .
Esercizio 2. (Funzione Fratte)
3+x
;
x→+∞ 2x
x2 + x − 2
ii.
lim
;
x→−∞ 21 − 10x − x3
x3 − 2x2 − x + 2
iii. lim
;
x→−∞
x+5
3
2
3x − 2x + 1
;
iv. lim
x→+∞
ex − 2x2
3x − log(x)
;
v.
lim x
x→+∞ e − 2 log(x)
i.
lim
x2 + 4x + 4
;
x→−∞ 3x2 − 8x + 11
x−1
lim 2
;
x→+∞ x + 2
5x3 + 6x2 − x + 2
lim
;
x→−∞
3x2 − 2x
3
2
x
5x + x − 3e
lim
;
x→−∞
4x3 + 5
5 log(x2 ) − log(x)
lim
;
x→+∞
3 log(x3 − 2)
lim
3x2 − 2
;
x→+∞ 2x2 − x − 7
2x3 + x − 1
lim
;
x→−∞ x4 − 2x2
3x4 − 2x2 + 1
lim
;
x→+∞
x − 2x2
2x
6x + e
lim
;
x→+∞ x7 + ex
6x + e−x
lim
.
x→+∞ log(x)
lim
Esercizio 3. (Funzioni elementari)
1
lim log
+ 4;
x→+∞
x
log(x) + 3
lim
;
x→+∞ 1 − log(x2 )
2x
;
x→+∞
1
+x
x2 − 1
ii.
lim arctan
;
x→+∞
3x
−
5
√
x+1
x2 − 1
x−1
iii. lim xe
− ex;
lim
;
x→+∞
3x+4 x→+∞ x 3x+4
x+1
x+2
iv. lim
; lim
;
x→+∞
x→+∞
x+2
x+1
i.
lim ex +
Esercizio 4. (Alcuni limiti al finito)
1
2x
;
x→−∞
1
+x
log(x)
lim arctan
;
x→+∞
1 + log(x)
√
lim
x2 − 1 − x.
lim ex +
x→+∞
lim
x→+∞
√
x2 + 3x + 2 − |x|
2
FOGLIO 5, LIMITI
x2 − 5x + 4
x2 − 6x + 9
3x4 + 9
;
lim
;
lim
;
x→4
x→0
x→0
x−4
x2 − 3x
x2
1
1
1
2x2 − 3x + 1
1
;
lim+ + √ ;
lim+ − √ ;
ii. lim1
x→0 x
x→0 x
2x − 1
x
x
x→ 2
√
√
4
4+x− 4−x
x−1
3x + 9
iii. lim √
; lim
; lim
;
2
x→1
x→0
x
x2 x − 1 − (x − 1) x→0
1
.
iv. lim+ xex ;
lim+ log(x) − x;
lim x sin
x→0
x→0
x→0
x
sin(x)
v. lim
;
lim ex sin(x);
lim ex log(x).
x→0 1 + x2
x→0
x→1
i.
lim
Esercizio 5. (Limiti tramite limiti notevoli)
tan(x)
;
x→0
x
sin(2x)
ii.
lim
;
x→0 tan(x)
x − sin(x)
iii. lim
;
x→0 x + sin(x)
sin2 (x)
;
iv. lim
x→0 1 − cos(x)
3 sin(x) + 4x cos(x)
v.
lim
;
x→0 2 sin(x) − 3x cos(x)
log(1 + 2x)
vi. lim
;
x→0 log(1 + x)
e2x − 1
vii. lim
;
x→0
x
3x sin(2x)
viii. lim
;
x→0 1 − cos2 (x)
ex − cos(x)
ix. lim
;
x→0 log(cos(x))
log(x)
ix. lim
;
x→0 log(sin(x))
i.
lim
1 − cos(2x)
;
x→0
x22
cos (x) − 1
lim
;
x→0 sin(2x) + sin(x)
x − x cos(x) + 3 sin(x)
lim
;
x→0
x + tan(x)
sin(3x)
lim
;
x→0 sin(5x)
sin(5x)
;
lim √
x→0
x+1−1
log(1 + 2x)
lim
;
x→0
e3x − 1
ex+2 − 1
lim
;
x→−2 x + 2
x
−x
e −e
lim
;
x→0 tan(x)
1
1
lim
−
;
x→0 sin(x)
tan(x)
3x sin(2x)
lim
.
x→0 1 − cos2 (x)
lim
Esercizio 6. Studiare la continuit`a delle seguenti funzioni (sul loro
naturale insieme di definizione, qualora non specificato), eventualmente
al variare dei parametri a, b.

4a − x2


se x ≤ 0



 x−1
i. f (x) =
3ax2 + 2x + 2b se 0 < x < 1





 3
x + bx + 2
se x ≥ 1
FOGLIO 5, LIMITI
3
 2
6x + 2bx + a
se x ≤ −1





 2
5x − x − 1
se − 1 < x < 0
ii. f (x) =


 5
4


 x + 3x − 3b + a se x ≥ 0
7x + 1
4
x2 − 2x
+
iii. f (x) =
|x − 2|
x+5
x2 − 9
1
iv. f (x) =
−
|x − 3| x − 1
Esercizio 7. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame)
i. Sia g : R → R una funzione continua e periodica. Provare che
g (ex )
= 0.
lim
x→+∞
x
Ricordiamo che g si dice periodica se esiste un numero reale
T > 0 tale√che g(x + T ) = g(x) per ogni x ∈ R.
x − 2 ex sin x
p
ii. lim+
.
x→0 log(1 + x2 ) −
sin(4x)
iii. lim (cos x)1/x .
x→0
iv. Determinare per quali α ∈ R vale che
1 − cos2 x1 (1 + x2 )2
= 1.
lim
x→+∞
xα
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 6
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin
Limiti di funzioni
Esercizio 1. Svolgere i seguenti limiti:
sin(x2 ) − log(1 + 3x)
;
x→0 sin(x4 ) + log(1 + x4 )
4
e−x − cos(2x4 )
lim
;
x→0 tan(x2 ) + log(1 + 2x4 )
2 sin(x4 ) + x4
lim 2x4
;
x→0 e
− cos(x4 )
4 tan(x4 ) + log(1 − x4 )
;
lim
x→0
log(1 + 3x2 ) − x2
(1 + 3x)2 − ex
lim 2
;
x→0 x + log(1 + 2x)
x3 + log(1 + 5x4 )
lim+
;
x→0
x sin(3x)
1 − cos(2x)
lim
;
x→0 log(1 + x) − x3
2
e2x − 1
lim x
;
x→0 e − 1 + x
e x − 1 − x3
lim
;
x→0 1 − cos(2x)
√
2 log(1 + 2x − 1)
√
lim+
;
4x2 − 1
x→ 12
√
log(1 + x − 1)
√
lim
;
x→1+
x2 − 1
√
log(1 + 2x + 1)
√
lim +
;
1 − 4x2
x→− 12
√
log(1 + 4 x − 1)
√
lim
;
x→1+
x2 − 1
N
lim ;
x→0 D
i. lim+
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
xiii.
xiv.
1
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 7
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti
Derivate e massimo e minimo di funzioni
Esercizio 1. Trovare la funzione derivata delle seguenti funzioni, nel
loro insieme di definizione:
i. exp(sin(x));
√
x−1
;
ii.
ln(x) x
iii. arctan
;
1 − x2
iv. exp(−7x)(x3 + 3x + 1);
v. x ln(x);
vi. (5x2 + 6)3 (x3 − 3)4 ;
sin(x)
;
vii.
1 − sin(x)
1
viii.
;
sin(x) + cos(x)
x2
ix. √
;
1 − x2
1
2
x. cos3 (sin(log(e3x + 2x)));
;
x+2
√
√
1
√ − x;
xi. 3 x2 − 3;
x2 log(x);
x
√
√
2
x2 + 1
5
x+ 3x− + 3
xii. x(log(x) − 1);
;
2
x −1
x x
√
log(x) − x
xiii. √
;
sin(5x) + 3 cos(3x);
x log(x)
xiv. (x + tan(x))(ex − x2 );
xv.
√
2x3 − x;
(x3 + 1)6 ;
x−2
x
er
− 5;
x+1
;
x−1
xvi. log(tan( x2 ));
√
x2 − 1
xvii.
;
esin(x) − log(sin(x));
x2
p
sin(x)
xviii. log
;
1 + sin2 (x);
1 + 2 cos(x)
1
2
FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO
xix. log ((cos(x) + 2)3 );
log (tan2 (x));
p
2
xx. esin(x +1) ;
sin(4ex + 1);
ex
;
xxi. arctan (log(1 + x2 ));
f (x) = 2
x −1
2
x +3
e2x + 3
xxii. arctan
;
;
x−1
ex − 1
p
√
xxiii. cos 1 + e3x ;
log
1 + cos2 (x) ;
2
e2x + 3
;
ex − 1
xxiv. sin(3x + 2x + 1) + x log(cos(x));
arctan
√
x
3
3
xxv. x − 12x;
log
;
x2 − 9
√
sin(e2 x) + cos2 (x2 − 3x)
log(sin(3x + 4)) − 5 x3 − 1
xxvi.
,
tan(x)
ex sin(x)
Esercizio 2. Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di y =
f (x) nel punto (x0 , f (x0 )):
i. f (x) = 3x2 + 2x + 1, x0 = 2;
ii. f (x) = exp(x2 ), x0 = ln(2);
iii. f (x) = exp(|x|), x0 = −1;
2x
iv. f (x) =
1 , x0 = 3.
2
(x − 1) 3
Esercizio 3. Siano f, g : (a, b) → R funzioni derivabili e suppponiamo
che f (x) > 0 per pgni x ∈ (a, b).
i. Sia h(x) := log(f (x)) per x ∈ (a, b), provare che h `e derivabile
in (a, b) e calcolare la funzione derivata h0 ;
ii. Sia h(x) := f (x)g(x) per x ∈ (a, b), provare che h `e derivabile
in (a, b) e calcolare la funzione derivata h0 .
Esercizio 4. Dire se le seguenti funzioni sono continue in x = 0 e se
sono ivi derivabili:
i. exp(−|x|);
ii. x|x|;
iii. |x sin(x)|;
iv. sia f : (a, b) → R una funzione derivabile e sia g : (a, b) → R
definita da g(x) := |f (x)|. Provare
g `e derivabile in ogni
che
0
f
(x)
se f (x) > 0
punto in cui f (x) 6= 0 e g 0 (x) :=
.
0
−f (x) se f (x) < 0
Esercizio 5.
i. Sia f : R → R la funzione definita da f (x) :=
x + exp(x). Provare che f `e bigettiva. Detta g : R → R la
funzione inversa calcolare g 0 (1).
ii. Sia f : (0, +∞) → R la funzione definita da f (x) := 3x+ln(x).
Provare che f `e bigettiva. Detta g : R → (0, +∞) la funzione
inversa calcolare g 0 (3).
FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO
3
Esercizio 6. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame):
i. Determinare i valori dei parametri reali a e b affinch´e la funzione:
a exp(x) + 1 x ≥ 0
f (x) :=
sin(x) − bx x < 0
sia definita in un intorno di x0 = 0 e sia continua e derivabile
in x0 .
a a = 1, b = −1 b a = −1, b = 0 c a = −1, b = 2 d a = 1, b = 0.
ii. Determinare i valori dei parametri reali a e b affinch´e la funzione:
2
x + 2x + 3 x ≥ 0
f (x) :=
ln(a + bx) x < 0
sia definita in un intorno di x0 = 0 e sia continua e derivabile
in x0 .
a a = exp(3), b = 3 exp(3) b a = exp(2), b = 2 exp(2) c a = exp(3), b = 2 exp(3)
d a = exp(2), b = 3 exp(2).
iii. I punti di minimo e massimo (assoluto) della funzione f :
[−1, 1] → R
exp(−x) −1 ≤ x ≤ 0
f (x) :=
exp(2x)
0≤x≤1
sono a min in x = 0, max in x = 1 b min in x = 0, max in x = −1
c min in x = −1, max in x = 0 d min in x = 1, max in x = 1/2.
Problemi di massimo e minimo
Esercizio 7. Determinare, se esistono, massimo e minimo delle seguenti funzioni su [−2, 2]:
i. f (x) = |x| + 1;
ii. f (x) = x3 + x2 − x + 1;
x+3
iii. f (x) = 2
;
x + 10
iv. f (x) = x3 exp(x)
Esercizio 8.
i. Trovare il max e min di f (x) =
{1 < x < 4};
ii. Trovare il max e min di f (x) =
x2 + 3
su A =
x−1
x2 + 1
su A = {−1 ≤ x ≤ 1};
x−2
1 − sin(x)
su A = {0 ≤ x ≤ 32 π};
1 + cos(x)
√
iv. Trovare il max e min di f (x) = x 1 − x2
su A = {−1 ≤ x ≤ 1};
x(4x − 3)
v. Trovare il max e min di f (x) = log
1+x
su A = {1 ≤ x ≤ 2};
iii. f (x) =
4
FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO
vi. Trovare il max e min di f (x) =
su A = {−3 ≤ x ≤ −2}.
√
x2 − 4
vii. Trovare il max e min di f (x) = arctan
e2x + 3
3x − 1
su A = {0 < x ≤ 3}.
viii. Trovare il max e min di f (x) := exp (sin(x) exp(−x)) su A :=
{x ∈ R : cos(x) = 0 oppure − 1 ≤ x ≤ 1};
x2
su
ix. Trovare il max e min di f (x) := arctan √
x4 + 2x2 − 3
x2 − 4x + 1
A := x ∈ R : x ≥ 1 e
≥0 ;
−x2 + 12x − 3
x. Trovare il max e min di f (x) := x3 cos(x3 ) − sin(x3 ) su A :=
{x ∈ R : π ≤ x3 ≤ 2π};
xi. Trovare iln max e min di f (x) := exp (2 sin(x))−2
exp (sin(x))+2
π
πo
su A := x ∈ R : sin(x) = 0 ∨
≤x<
;
3
6 3
log (x) + 1
xii. Trovare il max di f (x) := exp
su A := (0, 1);
2
log
(x)
+
4
sin(x) + 1
π 3π
,
;
xiii. Trovare il max di f (x) := exp
su A :=
2
4 4
4 − sin
(x)
cos2 (x) − 17
xiv. Trovare il max e min di f (x) := arctan
su A :=
4
+
cos(x)
π 3
, π .
2 2
Esercizio 9.
i. Tra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro
2p, determinare quello di area massima.
ii. Tra tutti i triangoli rettangoli aventi costante la somma dei
cateti, determinare quello di area massima.
iii. Tra tutti i triangoli rettangoli aventi costante la somma dei
cateti, determinare quello di ipotenusa minima.
iv. Tra tutti i triangoli rettangoli aventi costante la somma dell’ipotenusa e di un cateto, determinare quello di area massima.
v. Determinare il punto P della parabola di equazione y = x2 + 3
che ha dalla retta y = x la minima distanza.
vi. Determinare i rettangoli di massimo e minimo perimetro tra
quelli inscritti nella parte di piano limitata dalla parabola y =
−x2 + 6x e dall’asse x.
vii. Determinare l’area massima di un triangolo isoscele avente come somma delle lunghezze dei due lati uguali il valore L =
20m.
viii. Determinare il rettangolo di perimetro massimo tra quelli inscritti in un cerchio di raggio r.
ix. Determinare il rettangolo di area massima tra quelli inscritti in
un cerchio di raggio r.
FOGLIO 7, DERIVATE E MASSIMO E MINIMO
5
x. Determinare il cilindro di volume massimo e quello di superficie
totale massima tra quelli contenuti in una sfera di raggio r.
xi. Tra tutti i ciliindri di volume πa3 , determinare quello di superficie totale minima.
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 4
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin
Limiti di Successioni di Numeri Reali
Esercizio 1. Provare che
1
1
i. lim a n = lim a− n = 1, per ogni a ∈ (0, +∞);
n→+∞
n→+∞
ii. lim abn = ab , per ogni successione convergente {bn }n ⊂ R
n→+∞
con lim bn = b, per ogni a ∈ (0, +∞);
n→+∞ 1
1
iii. lim loga 1 −
= lim loga 1 +
= 0, per ogni a ∈
n→+∞
n→+∞
n
n
(0, +∞) \ {1}; 
 −∞ se b = 0 e a > 1, oppure b = +∞ e 0 < a < 1
loga b se 0 < b < +∞
,
iv. lim loga bn =
n→+∞

+∞ se b = 0 e 0 < a < 1, oppure b = +∞ e a > 1
per ogni successione (convergente o divergente) {bn } ⊂ (0, +∞)
con lim bn = b;
n→+∞
v. lim anbn = ab , per ogni successione convergente {an }n ⊂ (0, +∞)
n→+∞
con lim an = a con a > 0, per ogni successione convergente
n→+∞
{bn }n ⊂ R con lim bn = b.
n→+∞
Esercizio 2. Calcolare, se esitono, i seguenti limiti di successione. In
caso opportuno utilizzare il criterio del rapporto o criteri asintotici.
i. lim (−1)n ;
n→+∞
(−1)n
;
n→+∞
n
n
iii. lim (−1) 3n2 + 5n − 18;
ii. lim
n→+∞
2 + (−1)n
;
n
n→+∞ h
3
i
√
v. lim ( n4 + 1 − n2 ) nα , al variare di α ∈ (0, +∞);
iv. lim
n→+∞
vi. lim [log(n + 1) − log n];
n→+∞
vii. lim log(n4 + 1) − n1/4 ;
n→+∞ n
k
viii. lim 1 +
;
n→+∞
n
−n
1
ix. lim 1 −
;
n→+∞
n
1
2
FOGLIO 4, SUCCESSIONI
x.
xi.
xii.
xiii.
xiv.
xv.
xvi.
xvii.
xviii.
xix.
xx.
xxi.
xxii.
xxiii.
n2
1
lim 1 + 3
;
n→+∞
n
n!
lim n ;
n→+∞ n
2n
;
lim
n→+∞ n!
nn
lim
;
n→+∞ (2n)!
(n!)2
lim (−1)n n2 ;
n→+∞
2
n!
lim
;
n→+∞ n2 2n
(2n − 1)!
lim
;
n→+∞
n2n
(n + 3)n
;
lim
n→+∞ (n2 − 1)!
3n!(n + 7)!
lim
;
n→+∞
4n2n
n!e−n
lim
;
n→+∞ nn

1/3,
lim xn con xn :=
n−1
n→+∞

,
(3n + 1
n + 3n ,
lim xn con xn :=
n→+∞
3n2 + n,

2−n ,
lim xn con xn :=
1
n→+∞

,
2n + 1
lim (n − sin n);
n→+∞
n5 + 2n + 1
;
n→+∞ 2n − n + 1
n3 + 3
2n − 3
lim
−
;
3
2
n→+∞ 2n + n − 4
6n
200 + n5 + n!
lim
;
n→+∞
nnn − n
e − 10n
lim 2009
;
n→+∞ n
+ n2 + 2
3n − log(n)
lim x
;
n→+∞ e − 2 log(n)
5 log(n2 ) − log(n)
lim
;
n→+∞
3 log(n3 − 2)
6n + e−n
lim
.
n→+∞ log(n)
xxiv. lim
xxv.
xxvi.
xxvii.
xxviii.
xxix.
xxx.
se n dispari
se n pari
;
se n ≤ 10
;
se n > 10
se n pari
se n dispari
;
FOGLIO 4, SUCCESSIONI
3
Esercizio 3. Provare che
i. limn→+∞ sin(an ) = sin a per ogni successione convergente (an )n ⊂
R con limn→+∞ an = a;
ii. limn→+∞ cos(an ) = cos a per ogni successione convergente (an )n ⊂
R con limn→+∞ an = a;
iii. limn→+∞ tan(an ) = tan a per ogni successione convergente (an )n ⊂
(−π/2, π/2) con limn→+∞ an = a con a ∈ (−π/2, π/2).
4
FOGLIO 4, SUCCESSIONI
Alcuni Svolgimenti
Esercizio 1 i.
1
1
Mostrare che lim a n = lim a− n = 1, per a > 0 e a 6= 1.
n→+∞
n→+∞
Soluzione. Sia a > 1; poich´e vale
n
1
1
a = 1 + (a n − 1) ≤ 1 + (a n − 1)n,
1
a−1
1
abbiamo che a n −1 ≤
e dunque, mandando n → +∞, otteniamo
n
la tesi per il teorema del confronto.
Sia 0 < a < 1; per il caso precedente abbiamo che
n1
1
= 1.
lim
n→+∞
a
Ne segue che
1
1
1
lim a n = lim
1 =
n→+∞
n→+∞ 1 n
1
a
Esercizio 1 ii.
Mostrare che lim abn = ab se lim bn = b, a > 0.
n→+∞
n→+∞
bn
Soluzione. Passo I: Poich´e
lim abn = ab
n→+∞
a
= abn −b abbiamo
ab
⇐⇒
lim abn −b = 1.
Passo II: Proviamo che limn→+∞ a
provare che ∀ε > 0 vale
n→+∞
bn
1 − ε < abn < 1 + ε
= 1 se limn→+∞ bn = 0. Dobbiamo
definitivamente.
Per l’esercizio 2i esiste N = N (ε) ∈ N tale che
1 − ε < a−1/N < a1/N < 1 + ε;
d’altra parte poich´e −1/N < bn < 1/N definitivamente si ha che
1 − ε < a−1/N < abn < a1/N < 1 + ε
definitivamente.
Esercizio 2 i.
Calcolare il limite della successione {xn }n := {(−1)n }n .
Soluzione: il limite richiesto non esiste perch´e {xn }n `e l’unione di
due successioni che hanno limite diverso
{xn }n = {−1}n ∪ {1}n
e ovviamente limn −1 = −1, limn 1 = 1.
1la
disuguaglianza vale perch´e (1 + b)n ≥ 1 + nb
FOGLIO 4, SUCCESSIONI
Esercizio 2 ii.
5
(−1)n
Calcolare il limite della successione {xn }n :=
.
n
n
Soluzione: osserviamo che per ogni n ∈ N vale
−1
(−1)n
1
≤
≤ ,
n
n
n
applicando quindi il teorema dei carabinieri abbiamo limn xn = 0.
Esercizio 2 xiv.
Calcolare il limite della successione {xn }n :=
2n
n!
.
n
Soluzione: applichiamo il criterio del rapporto abbiamo
|xn+1 |
2n+1 n!
2
lim
= lim
=
lim
= 0 < 1,
n
n (n + 1)! 2n
n n+1
|xn |
ne segue che limn xn = 0.
Esercizio 3
Soluzione: Ricordiamo le disuguaglianze trigonometriche elementari
(1)
| sin x| ≤ |x| ∀x ∈ R ,
(2)
0 ≤ 1 − cos x ≤ | sin x| ∀x ∈ (−π, 2, π/2) ,
(3)
| sin(x0 +h)−sin(x0 )| ≤ | sin(x0 )||(1−cos h)|+| cos x0 || sinh | ∀x0 , h ∈ R
(vedi, per esempio, [BPS, dimostrazione Teorema 3.22]).
Dalla (1) , applicando il teorema del confronto, segue la tesi del punto
(i) con a = 0.
Utilizzando ora il punto (i), appena approvato nel caso a = 0, e la
disuguaglianza (2), applicando il teorema del confronto, segue la tesi
del punto (ii) con a = 0.
La prova del punto (i) nel caso a 6= 0 segue dalla (3), dai punti (i) e
(ii) con a = 0 e dal teroma del confronto.
La prova della (ii) nel caso a 6= 0 segue da una disuguaglianza analoga
alla (3) per la funzione cos x.
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 8
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti
`
Limiti e Derivabilita
Esercizio 1. Svolgere i seguenti limiti, applicando il metodo che si ritiene pi`
u opportuno:
sin(x2 ) − log(1 + 3x)
;
x→0 sin(x4 ) + log(1 + x4 )
4
e−x − cos(2x4 )
;
lim
x→0 tan(x2 ) + log(1 + 2x4 )
2 sin(x4 ) + x4
lim 2x4
;
x→0 e
− cos(x4 )
4 tan(x4 ) + log(1 − x4 )
;
lim
x→0
log(1 + 3x2 ) − x2
(1 + 3x)2 − ex
lim 2
;
x→0 x + log(1 + 2x)
x3 + log(1 + 5x4 )
lim+
;
x→0
x sin(3x)
1 − cos(2x)
lim
;
x→0 log(1 + x) − x3
2
e2x − 1
;
lim
x→0 ex − 1 + x
e x − 1 − x3
lim
;
x→0 1 − cos(2x)
√
2 log(1 + 2x − 1)
√
lim+
;
4x2 − 1
x→ 12
√
log(1 + x − 1)
√
lim
;
x→1+
x2 − 1
√
log(1 + 2x + 1)
√
lim +
;
1 − 4x2
x→− 12
√
log(1 + 4 x − 1)
√
lim
;
x→1+
x2 − 1
i. lim+
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
xiii.
1
`
FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILITA
2
Esercizio 2. (Limiti con De L’Hˆopital)
Calcolare i seguenti limiti utilizzando il teorema di De L’Hˆopital:
log(e3x + 2x − 1)
x→+∞
x
i lim
sin x − x
iii lim
x→0
x2
1
1 −
v lim
x→0 x
sin x
1
x
vii lim+ (2 + sin x) x
x→0
2
ex + 2x2 − 1
ix lim
x→0 cos( π cos(x))
2
ii limπ
x→ 2
cos2 (x)
log(sin(x))
2
ex − cos x
iv lim
x→0 x sin x + x2
π
vi lim x − arctan x .
x→+∞
2
viii lim (sin x)x
x→0
1
x lim x log
x→0
x2
Esercizio 3. (continuit`a e derivabilit`a)
Studiare continuit`a e derivabilit`a delle seguenti funzioni, eventualmente
al variare dei parametri a, b,
i. f : (−1, 1) → R quando:

2
( −2
 x sin(x ) x 6= 0
−x
e
x 6= 0
f (x) :=
; f (x) :=
; f (x) := 1 − cos(x)

0
x=0
0
x=0

x2
 e −1
x 6= 0
.
x log(1 + x)

0
x=0

 sin(3x + a)
x 6= 0
ii. f : R → R quando: f (x) :=
; f (x) :=
bx
1
x=0
(
ax2 + b x > 0,
xex
x ≤ 0.

sin(2x)


(
x<0

 3x
x + a cos(x)
iii. f : R → R quando: f (x) := b
x = 0 ; f (x) :=

2x2 − b log(x + 1)
x

e
−
1


x>0
ax
iv. f : D → R, dove D `e il naturale insieme di definizione di
f , da determinare, quando:r f (x) := |x2 − 1|;
f (x) :=
2
x3 − x 2
−
x
f (x) :=
;
f (x) := x|x|−4;
f (x) :=
x2 − 4x + 4 ;
2−1
x
p
x2 − |x|.
Studio di funzione
Esercizio 4. Studiare il grafico delle seguenti funzioni, specificando dominio, intersezione con gli assi, simmetria rispetto gli assi, segno della
x<0
;
x≥0
FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILIT`
a
3
funzione, limiti al bordo del dominio, punti di discontinuit`a, asintoti, derivata prima, massimi e minimi relativi e globali, punti di non
derivabilit`a, derivata seconda e convessit`a:
Polinomiali e fratte
1 + 3x4 2x2 + 4x − 11
x2 − x + 1
2x3 + x − 1
;
;
;
;
x2
x2 + 2x − 8
x3 − 2x2 + x
x−2
x−1
2x3 − 3x2 + 1
3x2 − 12
3x − x2
ii .
;
;
;
;
x2 − 2x + 2
2x2
x−4
x−7
x2 + 2x + 4
x − 1 2x3 − 2x2 − 2x + 2
3x2 + 2x + 1
;
;
;
.
iii .
x2 − 4
x−3
x2 + 2
x2 − 9
Radici
s
s
3
p
x +1
x4 − x2 + 1
1
3
2
2
i.
(x − 5x + 6) ;
;
; √
3
2
4x − 5
x −x
x +4
r
√
√
x
x+1
.
ii .
x2 + x;
;
(x
−
1)
4 − x; √
3
2
2
4−x
x −4
i.
Esponenziali
x+1
ex−1
ex
3
;
; e−x +1 ;
xe x−1 ;
x3 e−x ;
x + 1 2x − 1
x
2
2
ii . e x2 +1 ; xe−x ; e−x +2x ; e−x (x + 2); (x − 2)(ex − 1).
i.
Logaritmi
log(x) + 2
;
i.
x
1
1 + 2x
x log (x); log
; x + log
;
x2 + 1
x
2
x
x +x+1
2
ii . x − log(1 + x); log(x − x + 1); log
log
.
x2 − 4
x2 − x + 1
2
Trigonometriche e altro
√
cos(x)
1 + ex
i. 4 cos(x) + 2 cos(2x) − 1;
;
sin(x) − 1
x
e +1
ii .
arctan x
; log(cos(x) + 3 sin(x)); 2 arctan(x) − x;
e −1
Esercizio 5. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame):
2
1−x
i. La retta tangente al grafico della funzione f (x) := 1+2x
2 nel
punto (2, f (2)) ´e:
a 49y = 12x − 59; b 25y = −12x − 11; c 27y = −4x − 1;
d 3y = 4x − 17.
ii. L’insieme dei β per i quali l’equazione x2 = βx4 − x ha una
soluzione in (0, 1) ´e:
a β > 1; b β > 2; c β > 0; d β > 3.
4
`
FOGLIO 8, LIMITI E DERIVABILITA
iii. L’equazione della retta perpendicolare al grafico di f (x) := cos(x2 −
2x) nel punto x = 1 ´e:
a y = −1; b y = x; c x = 1; d y = 1.
2 +2x−1
¨
iv. L’asintoto obliquo di g(x) := x 3x−2
per x → +∞ ´E:
.
a 13 x − 19 ; b 32 x + 94 ; c 13 x + 92 ; d 32 x − 15
4
v. Sia g : R → R una funzione derivabile tale che g(0) = 1,
g 0 (x) > 0 per ogni x ∈ R. Allora
a g(x) < 1 per x < 0; b g(x) > 1 per x < 0; c esiste x0 ∈ R tale che g 0 (x0 ) = 0;
d esiste x0 ∈ R tale che g(x0 ) = 0.
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 9
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti
Integrali
Esercizio 1. Calcolate i seguenti integrali immediati
Z 2
Z π/3
3x
dx;
tan(x)dx;
log2 (x2 + 1) 2
i.
x +1
π/6
0
Z 2
Z 1 2
ex
x
p
ii.
cos(x3 ) + x sin(x2 )dx;
dx;
2
1
−
exp(2x)
1
0
Z π/3
Z 2
arctan(x)
iii.
exp(sin(x)) cos(x)dx;
dx;
1 + x2
0
1
Z π/6
Z π/2
p
4
cos(x) 1 − 2 sin(x)dx;
sin (x) cos(x)dx;
iv.
Z π0
Zπ/6
2
1
dx;
cos3 (x)dx;
v.
x(log(x)
+
1)
Z1 2
Z 20
7
1
√
vi.
dx;
dx.
2
x+3
0 x + 2x + 5
1
Esercizio 2. Calcolare le primitive delle seguenti funzioni utilizzando
la formula di integrazione per parti
Z
Z
Z
Z
x
2
i.
e sin(x)dx;
x arctan(x)dx; x sin(x)dx;
x log(x)dx;;
Z
Z
Z
Z
ii.
sin2 (x)dx;
log(x)dx;
x3 exp(x)dx;
log(x)dx;
Z
Z
Z
Z
√
2
iii.
x log(x)dx;
4x exp(2x)dx;
x exp(−x)dx;
ex sin2 (x)dx;
Z
Z
Z
2
2
iv.
sin(log(x))dx;
x log(1 + x )dx;
sin4 (x)dx.
Esercizio 3. Calcolare i seguenti integrali utilizzando la formula di
integrazione per sostituzione
Z π/4
Z π/3
1
i.
dx;
sin(2x) log(sin(x))dx;
sin(2x) + cos2 (x)
0
π/6
√
Z 4
Z 1
exp(2 + x)
x
√
ii.
dx;
dx;
3
x
1
0 (x + 1)
√
Z log( 3)
Z 1/2
exp(x)
1
√ dx.
iii.
dx;
1 + exp(2x)
1+ x
0
0
1
2
FOGLIO 9, INTEGRALI
Z
iv.
4
(exp(3x) + 1)
Z1 π/3
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
xiii.
xiv.
xv.
xvi.
xvii.
−2
Z
dx;
1
4
x−1
√
dx;
4
x
+
3
Z π/4
1
dx;
cos(x)
0
1
dx;
;
π/6 sin(x) cos(x)
Z 0
Z 1
tan(x)
arctan(2x)dx.
dx;
π/3 cos(x) + 2
−1
Z π
Z 3
2 sin(2x) + cos(x)(3 + sin2 (x))
ex log(3 + ex )dx;
dx;
3
2
sin
(x)
+
sin
(x)
+
sin(x)
+
1
1
√
√
Z0 1
Z 0
x log( x2 + 1)
cos( 1 − x)
√
√
dx;
dx;
2+1
1
−
x
x
0
−1
Z 2
Z 1
1 + 2ex
1
√
dx;
x;
2x
x
2
− 2e + 2
x
+
4x
+
5
0 e
−2
Z π/3
Z 5 √
2
tan(x)
dx;
25 − x2 − 1 dx;
cos(x) + sin(x)
+1
√
Z0 −1 √
Z 0log(3) p
2
6
x+1−2 x+1
√
dx;
ex 1 − (ex − 2)2 dx;
3
x+1+1
log(2)
Z0 1 q
Z π/2
√
1 + xdx,
sin(x) log(sin(x))dx;
0
π/4
Z 3
Z π/4 s
cos(x)
log(x)
dx;
dx;
1 − sin(x)
x2
1
0
√
Z 8p
Z π/4
1+ 3x
dx,
x sin2 (x)dx;
x
0
Z1 π/4
Z 1
√
cos(x)
1 + ex dx.
dx,
4
sin(x)
+
3
cos(x)
0
Z0 π/2
4 sin(x) cos(x)
dx.
cos4 (x) − 4 cos3 (x) + 8 cos2 (x) − 16 cos(x) + 16
0
Z π/3
Z 2 3x
2 cos(x)
2e + 2e2x − 3ex
dx;
dx.
e3x − 2ex − 4
π/6 (cos(x) − sin(x)) tan(x)
1
Esercizio 4. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali fratte
Z 4 4
Z 1
x + 2x3 + x2 + x + 1
2x + 1
i.
dx;
;
2
2
x
+
2x
+
1
x
−
x
−
2
2
0
Z 2
Z 2
x+1
2x − 3
ii.
dx;
dx;
2
2
1 x −
Z1 7 x −32x −2 15
Z x5 − 2
−2x + x + 2x + 2
2x
iii.
dx;
dx;
2
2
x
+
3
x
+
2x
+
5
0
0
Z 0
Z 0 2
3x + 2
4x + 5x + 6
dx;
dx.
iv.
2
x + 2x − 3
x3 + x 2 − 2
Z−21 3
Z 1−1 3
x + 2x
x + 2x + 1
dx;
dx;
v.
2
2
0 x + 4x + 4
0 x −x−2
FOGLIO 9, INTEGRALI
Z
1
vi.
Z0 3
vii.
Z2 3
viii.
2
Z 2
2x + 1
8x + 1
dx;
dx;
2
(x2 + 2)2 (x + 1)
1 x −x−6
3x3 − 3x2 + x + 1
dx;
x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1
x4 + 6x3 + 18x2 + 28x + 7
dx.
x5 + 4x4 + 2x3 − 10x2 − 7x + 10
3
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 9
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti
Serie di Taylor
Esercizio 1. Scrivere lo sviluppo in serie di Taylor nello 0 delle seguenti funzioni, fermandosi al grado di sviluppo pi`
u opportuno:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
log(1 + sinh(x)) − x;
sin(x2 ) − tan(x2 );
sinh(x) − x cosh(x);
sin(log(x + 1)) + x log(sin(x)) − x log(x) − x
2 arctan(sin(x)) − √
sin(2x);
√
sin(x) sinh( x) − x3 ;
9 sin(ex − 1) − 3 log(1 + x) − 6 arctan(x);
sinh(x) log(1 + x) − x2 .
Convergenza di Serie
Esercizio 2. Si determini la somma delle seguenti serie geometriche:
n
n ∞
∞ n
∞
X
X
X
1 2
1
1
(−1)n
i.
.
ii.
+
iii.
4 3
3
5
2n
n=2
n=0
n=1
Esercizio 3. Dimostrare che le seguenti serie telescopiche hanno somma finita e calcolarla.
∞
X
1
;
i.
n2 − 1
n=2
∞
X
1
;
ii.
n(n
+
3)
n=1
∞
X
1
iii.
;
2
n
−
1
n=2
∞
X
1
iv.
.
3
2 + 2n
n
+
3n
n=1
Esercizio 4. Studiare la convergenza delle seguenti serie:
∞
X
1
i.
;
n2n
n=1
∞
X
n+2
ii.
;
3n
+
1
n=0
1
2
FOGLIO 9, STUDIO DI FUNZIONE
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
∞
X
n3
n=1
∞
X
7n
;
n!
;
n5 3n
n=0
n
∞
X
1 2
;
n
5
n=1
∞
X
2n
;
n!
n=0
∞
X
2−n
;
n!
n=0
∞
X
(n!)2
(−1)n n2 ;
2
n=1
∞
X
n!
(−1)n 2 n ;
n2
n=1
∞
X 2 + (−1)n
;
3n
n=1
∞
X
2 + (−1)n
;
n
n=1
Esercizio 5. Studiare, al variare del parametro x ∈ R, la convergenza
delle serie
∞
X
4(x + 1)n
i.
;
n3
n=1
n+1
∞
X
1 x+1
.
ii.
n2 x − 1
n=1
∞
X
x2n
iii.
.
n2 + x2n
n=1
Esercizio 6. (Alcuni esercizi di passate prove scritte di esame):
i. Trovare per quale valore α ∈ R `e finito il limite
x sin x − x2 + 3αx4
lim 2
.
x→0 x (1 − cos(2x2 ))
ii. Il polinomio di Taylor di secondo grado con centro nel punto
2
x0 = 1 di f (x) = e−x /9 `e: a 19 e−1/9 (3 − 2(x − 1) − 13 (x − 1)2 )
b 19 e−1/9 (9 − 2(x − 1) − 97 (x − 1)2 ) c 19 e−1/9 (3 − 4(x − 1) + 53 (x − 1)2
d 19 e−1/9 (9 − 4(x − 1) − 91 (x − 1)2 ).
∞
X
2
5
iii. La somma delle serie
`e: a 15 b 12
c 13 d 32 .
n
3
n=2
FOGLIO 9, STUDIO DI FUNZIONE
3
P
P
iv. Se ∞
e una serie a termini positivi convergente con ∞
n=0 an `
n=0 an =
P∞
P∞ √
a, allora: a
an converge se a < 1 diverge se a > 1
b
n=0 an diverge;
P∞ 2
P∞ 2 n=0
c
d
n=0 an converge
n=0 an diverge.
∞
X
n2
v. L’insieme degli α ∈ R per i quali la serie
converge
α + n−α
n
n=1
`e: a α < −2 e α > 2 b α < −3 e α > 3 c −2 < α < 2
d −3 < α < 3.
P∞
vi. Sia (an )n ⊂ R \ {0} una successione tale che
n=0 log(1 +
a2n ) `e convergente.
Quale
delle
seguenti
affermazione
`e vera:
P∞ 2
P∞
|an | converge
a E’ certo che
n=0 an converge b E’ certo che
P∞ 2
P∞n=0 − 1
an converge.
o essere divergente d E’ certo che
c
n=0 an pu`
n=0 e
vii. Determinare l’insieme dei valori x ∈ R per cui `e convergente
la serie
n
∞
X
x+2
2n + n
.
n−n
2 − 2x + 3
3
x
n=1
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 9
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti
Studio di funzione
Esercizio 1. Studiare il grafico delle seguenti funzioni, specificando dominio, intersezione con gli assi, simmetria rispetto gli assi, segno della
funzione, limiti al bordo del dominio, punti di discontinuit`a, asintoti, derivata prima, massimi e minimi relativi e globali, punti di non
derivabilit`a, derivata seconda e convessit`a:
Polinomiali e fratte
x2 − x + 1
2x3 + x − 1
1 + 3x4 2x2 + 4x − 11
;
;
;
;
i.
x2
x2 + 2x − 8
x3 − 2x2 + x
x−2
2x3 − 3x2 + 1
3x − x2
3x2 − 12
x−1
;
;
;
;
ii .
x2 − 2x + 2
2x2
x−4
x−7
3x2 + 2x + 1
x2 + 2x + 4
x − 1 2x3 − 2x2 − 2x + 2
iii .
;
;
;
.
x2 − 4
x−3
x2 + 2
x2 − 9
Radici
s
s
3
p
1
x
+
1
x4 − x2 + 1
;
; √
i . 3 (x2 − 5x + 6)2 ;
3
4x − 5
x −x
x2 + 4
r
√
√
x
x+1
√
;
(x
−
1)
ii .
x2 + x;
4
−
x;
.
3
4 − x2
x2 − 4
Esponenziali
x+1
ex−1
ex
3
i.
;
; e−x +1 ;
xe x−1 ;
x3 e−x ;
x + 1 2x − 1
x
2
2
ii . e x2 +1 ; xe−x ; e−x +2x ; e−x (x + 2); (x − 2)(ex − 1).
Logaritmi
log(x) + 2
;
i.
x
1
1 + 2x
x log (x); log
; x + log
;
x2 + 1
x
2
x +x+1
x
2
ii . x − log(1 + x); log(x − x + 1); log
log
.
x2 − 4
x2 − x + 1
Trigonometriche e altro
√
cos(x)
i. 4 cos(x) + 2 cos(2x) − 1;
;
1 + ex
sin(x) − 1
x
e +1
; log(cos(x) + 3 sin(x)); 2 arctan(x) − x;
ii .
arctan x
e −1
2
1
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 11
LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TRENTO
prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin, A. Pinamonti
Equazioni Differenziali Ordinarie
Esercizio 1. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy

00

y + y = 0,
h
i
cos(x)
i. y(0) = 1

y 0 (0) = 0

y 00 + y 0 = 0,

i
h
ii. y(0) = 0
2 − 2e−x

y 0 (0) = 2

00
0
3x

y − 5y + 6y = e
h
2x
3x i
2
1
iii. y(1) = e
− e e + x − e2 e
e

y 0 (1) = e + e3

00
0
3x

y − y − 6y = 5e
i
h
iv. y(0) = 2
(1 + x)e3x + e−2x

y 0 (0) = 2
 00
0
2

y − 2y + 17y = 17x + 13x + 17
v. y(0) = 2
h
i

y 0 (0) = 6
ex (cos(4x) + sin(4x)) + x2 + x + 1

00
2

y + y = x + 1,
h
i
vi. y(0) = 1
− 1 + x2 + 2 sin(x) + 2 cos(x)

y 0 (0) = 2

00
0

y + y = x − 2,
h
i
vii. y(0) = 0
− 3x + 21 x2 + 3 − 3e−x

y 0 (0) = 0

y 00 − 2y 0 + y = e2x ,

h
i
viii. y(0) = 3
e2x + 2ex − 4xex

y 0 (0) = 0

00
0
2x

y − 4y + 4y = e
i
h
1 2 2x
2x
2x
x e + e − 2xe
ix. y(0) = 1
2

y 0 (0) = 0
1
2
FOGLIO 11, EDO
x.
xi.
xii.
xiii.
xiv.
xv.
xvi.
xvii.

00

y + y = sin(3x),
h
i
1
35
− 8 sin(3x) + 8 sin(x)
y(0) = 0

y 0 (0) = 4

00

y + 4y = −2 sin(2x)
h
i
x
1
+ 2 cos(2x) + 4 sin(2x)
y(0) = 2
2

y 0 (0) = 1
 00
0
7x
3
2

y − 4y − 21y = e (40x + 12x + 20x + 2)
y(0) = 1
h
i

y 0 (0) = 0
3 7x
7 −3x
e7x (x4 + x2 ) + 10
e + 10
e
 00
0
2x

y − 2y + 2y = e (7 cos(x) + sin(x))
y(0) = 1
h
i

y 0 (0) = 6
e2x (cos(x) + 3 sin(x)) + ex sin(x)

00
0
x
2

y − 6y + 10y = e (5x − 3x + 3)
y(0) = 2

y 0 (0) = 6

00
0
x

y − 2y + 5y = 3e sin(x)
y(0) = 1

y 0 (0) = 4

00
0
2x
2

y − 5y + 6y = −e (6x − 12x + 1)
y(0) = 2

y 0 (0) = 7

00
0
2x

y − 3y + 2y = e (1 + sin(x) + cos(x))
y(0) = 0

y 0 (0) = 0
Esercizio 2. Risolvere i seguenti problemi di Cauchy
i.
ii.
iii.
iv.
y
+ x2
x(1 + log(x))
2

y(1) =
9
(
y˙ + xy = 0,
;
y(1) = 4
(
y˙ + 3x2 y = 4x2 ,
;
y(0) = 1
(
(x − 1)y˙ = y + 3(x − 1)2 ,
y(2) = 1


y 0 = −
h 1−x2 i
4e 2
#
"
3
4 − e−x
3
;
[3x2 − 8x + 5]
FOGLIO 11, EDO
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
xii.
xiii.
xiv.
xv.
3
(
i
h 3
1
x3 y˙ + (2 − 3x2 )y = x3 ,
−1
x
x2
;
1
−
e
2
y(1) = 0
(
h 4
i
xy˙ = y + x4 + 2x2 + 3x,
x
7
2
;
+
2x
+
3x
log(x)
−
x
3
3
y(1) = 0
(
h
i
y˙ = x(y + x2 ),
x2
;
−x2 − 2 + 2e 2
y(0) = 0


y˙ = − 2 y + cos(x) ,
1
+
sin(x)
2
x
x
;
1

x2
y(π) =
2
π

y
(1 + x2 )y˙ =
+ arctan2 (x),
arctan(x)
;
y(1) = 1
h
i
4
1
π2
3
arctan(x) + 2 arctan (x)
−
 π 32
1
y 0 = tan(x)y +
1 + tan(x)
3
cos (x) ;

cos(x)
y(0) = 1
(
√
y
+ log( x),
y0 = −
x+2
;
y(1) = 0
2
3
x
x2 1
x 3
log(x) −
+ x log(x) − +
x
+
2
12
24
3
3 8

3
x2 log(x)y 0 = xy + log (x),
h
i
log(x)+1
2
2
log(x) − e2 + e −
2
x
y(e) = − ;
2
e

y 0 + sin(x) y = cos(x),
2 − cos(x)
;

y(0) = 1
1
x 1
1 + 2 sin(x) − − sin(2x)
2 4
2 − cos(x)
y 0 + 2x = log(1 + x2 ),
;
1 + x2
y(0) = 1
1
x3
2x3 4x 4
2
2
1 + x log(1 + x ) +
log(1 + x ) −
− 3 + 3 arctan(x)
2
3
9
(1 + x
y˙ + 2y = sin(x),
;
y(0) = 1
i
h
1
2
6
y(x) = − 5 cos(x) + 5 sin(x) + 5 exp(−2x)
4
FOGLIO 11, EDO

y˙ + cos(x) y = 5ecos(x) ,
sin(x)
xvi.

y(1) = 1
sin(1) + 5ecos(1) − 5ecos(x)
y(x) =
sin(x)

Download Report