CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE

CINEMATICA DEL PUNTO MATERIALE
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20/03/2014
CINEMATICA E PUNTO MATERIALE: CONCETTI
La cinematica studia il moto dei corpi indipendentemente
dalle cause che lo generano e indipendentemente dalle propriet`
a del mezzo in cui il moto avviene.
Si definisce punto materiale un corpo la cui massa va considerata, ma le cui dimensioni risultano trascurabili rispetto
alle altre lunghezze in gioco, come ad esempio la distanza
che lo stesso corpo percorre durante il suo moto. Di un
corpo trattato nello schema di punto materiale vanno inoltre
ignorati eventuali moti rotazionali.
2
POSIZIONE DI UN PUNTO MATERIALE
Si pu`
o individuare la posizione del punto materiale P nello
spazio fissando un’origine O ed assegnando un vettore r,
detto raggio vettore, che parte da O ed arriva su P .
Con l’introduzione di una terna di assi cartesiani di origine O, la posizione di P `
e individuata dalle 3 coordinate cartesiane (x, y, z)
di P , che si identificano con le componenti
del raggio vettore r in rappresentazione cartesiana
r = (x, y, z) .
(1)
3
LEGGE ORARIA DEL MOTO
Se P si muove, i valori delle sue coordinate cambiano con il
tempo.
Si pu`
o descrivere in maniera semplice il moto di P se si assegna la dipendenza temporale della terna (x, y, z) mediante
le 3 funzioni del tempo t
x = x(t)
,
y = y(t)
,
z = z(t) .
(2)
L’insieme delle (2) `
e detto legge oraria del moto di P . In
notazione vettoriale la legge oraria si scrive r = r(t).
4
TRAIETTORIA
Si definisce traiettoria l’insieme dei punti dello spazio esplorati da P durante il suo moto.
e
Nota la legge oraria r = r(t) del moto di P , la traiettoria `
rappresentata da tutte le terne (x, y, z) di valori di coordinate
che si ottengono dalle (2) al variare del tempo t.
In linguaggio geometrico la traiettoria `
e una curva nello
spazio 3D, curva che viene assegnata in forma parametrica
dalle (2). In questo caso il parametro `
e rappresentato dal
tempo.
5
SPOSTAMENTO
Si assegni una base di tempo individuata dagli istanti t1 e
t2, con t2 = t1 + ∆t e ∆t > 0. Nota la legge oraria per il
moto di P , si avr`
a r1 = r(t1) e r2 = r(t2).
Si definisce spostamento di P sulla
base di tempo individuata da (t1, t2)
il vettore ∆r ottenuto dalla differenza
∆r = r(t2) − r(t1) = r2 − r1 .
(3)
Si avr`
a ∆r = (∆x, ∆y, ∆z) dove, ad esempio, ∆x sar`
a ricavabile dalla legge oraria come ∆x = x(t2) − x(t1).
6
` VETTORIALE MEDIA
VELOCITA
Si consideri la base di tempo (t1, t2).
Su questa base di
a vettoriale media di P , il vettore
tempo si definisce v, velocit`
ottenuto dal rapporto
r(t2) − r(t1)
∆r
v=
=
.
t2 − t1
∆t
(4)
In termini di componenti cartesiane la velocit`
a vettoriale
media si esprime come v = (v x, v y , v z ), dove, ad esempio,
v x = ∆x
e diretto lungo la secante alla traiet∆t . Il vettore v `
toria che passa per le posizioni di P individuate da r1 e r2
ed `
e orientato da 1 verso 2.
Nel S.I. la velocit`
a (... di qualunque tipo) si misura in m/s.
7
` ISTANTANEA
VELOCITA
Per un’assegnata legge oraria il valore assunto dalla velocit`
a
vettoriale media v dipende dai valori di t1 e t2 (= t1 + ∆t).
Si pu`
o vedere che, per valori di ∆t tendenti a zero, v tende
ad un valore ben preciso che dipende solo da t1. Possiamo
considerare t1 come variabile indipendente e chiamarla t.
Si definisce velocit`
a istantanea il vettore v(t) dato da
∆r
v(t) = lim
∆t→0 ∆t
(5)
dy(t) dz(t)
dx(t)
di componenti (vx, vy , vz ) = dx(t)
,
,
dove
con
dt
dt
dt
dt
si indica la derivata di x(t) rispetto al tempo t.
8
La velocit`
a istantanea v(t) pu`
o essere pensata come una
valutazione della velocit`
a vettoriale media v su di una base
di tempo brevissima a cavallo dell’istante t.
La velocit`
a istantanea v(t) `
e un vettore che `
e orientato come la tangente
alla traiettoria nel punto occupato da P
all’istante t.
Il modulo v(t) di v(t) viene chiamato
velocit`
a scalare ed `
e dato da
v(t) =
v
u
2
u
u dx(t)
t

dt

2

2
dy(t) 
dz(t) 

+
+
.
dt
dt

(6)
L’espressione (6) per la velocit`
a scalare `
e utile per il calcolo
dello spazio percorso da P lungo la traiettoria.
9
Nell’intervallo temporale infinitesimo dt il punto P compie
lungo la traiettoria il percorso infinitesimo dl dato da
dl = v(t) dt .
(7)
Dalla precedente relazione si pu`
o ricavare mediante integrazione il percorso l1,2 compiuto da P lungo la traiettoria
tra gli istanti t1 e t2. Si imposta l’integrale
l1,2 =
Z 2
1
dl =
Z t
2
t1
v(t) dt ,
(8)
la cui valutazione risulta spesso difficile. In seguito verr`
a
applicato un metodo grafico. Va comunque sottolineato che
nel caso di traiettoria chiusa l’integrale (8) d`
a un risultato
generalmente non nullo mentre il corrispondente valore di
|∆r| `
e nullo. In questo caso anche v `
e nulla.
10
ACCELERAZIONE ISTANTANEA
e arrivati ad introdurre, per
Dalla legge oraria r = r(t) si `
mezzo di derivazione rispetto al tempo, un’altra grandezza
o
vettoriale, la velocit`
a istantanea v(t). Il procedimento pu`
essere a sua volta applicato a v(t) per ottenere un’altra
grandezza vettoriale che `
e ricavata dalle variazioni di v e
che interviene nelle leggi della dinamica.
Si definisce accelerazione istantanea il vettore a(t) dato da
v(t + ∆t) − v(t)
∆v
a(t) = lim
= lim
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
di componenti (ax, ay , az ) =
dvx(t)
dt
dvx(t) dvy (t) dvz (t)
dt , dt , dt
(9)
dove con
si indica la derivata di vx(t) rispetto al tempo t.
11
Poich´
e si ha vx(t) = dx(t)
dt , si ha
d  dx(t) 
d2x(t)
dvx(t)
=
,
ax(t) =
=
2
dt
dt
dt
dt


(10)
scrittura che viene letta: “la componente x dell’accelerazione istantanea `
e la derivata seconda di x(t) rispetto al
tempo”. Relazioni analoghe valgono per le componenti y e
z dell’accelerazione.
Nel S.I. l’accelerazione si misura in m/s2 = m s−2.
L’accelerazione ha in generale componenti sia lungo la tangente alla traiettoria (at), sia lungo la normale alla traiettoria (an). Se t e n sono rispettivamenti i versori lungo la
tangente e lungo la normale alla traiettoria si scrive
a = at t + an n .
(11)
12
La componente tangenziale dell’accelerazione `
e data dall’espressione
dv(t)
,
at(t) =
dt
(12)
in base alla quale at dipende dalla variazione temporale della
velocit`
a scalare v(t) definita dalla (6).
Questa componente dell’accelerazione `
e nulla per tutti i
e per i moti che avvengono con velocit`
a
moti uniformi, cio`
scalare v costante e questo indipendentemente dalla forma
della traiettoria.
13
La componente normale dell’accelerazione `
e data dalla formula
[v(t)]2
,
an(t) =
R
(13)
dove R `
e il raggio di curvatura della traiettoria.
Questa componente dell’accelerazione dipende dal quadrato della velocit`
a scalare e dalla forma della
traiettoria attraverso il raggio di curvatura e punta verso il suo centro di
curvatura (esempio in figura).
Nei moti rettilinei, per i quali R `
e
infinito, si ha an = 0.
14
TIPI DI MOTO
La legge oraria r = r(t) del moto di un punto materiale P `
e
in grado di descrivere la cinematica di P in tutto lo spazio.
Tuttavia esistono situazioni in cui il moto si sviluppa in due
sole dimensioni (moto 2D che ha luogo in un piano) oppure
addirittura in una sola dimensione (moto 1D che ha luogo
lungo una retta). In questi casi si parla rispettivamente di
moti piani o di moti rettilinei.
Un’opportuna orientazione degli assi cartesiani permette di
descrivere i moti piani con l’andamento temporale di due
sole coordinate (ad esempio x = x(t) e y = y(t)) mentre nel
caso dei moti rettilinei consente di assegnare la dipendenza
da t di una sola coordinata (x = x(t), ad esempio).
15
MOTO RETTILINEO UNIFORME
Si consideri il moto 1D dato da
x(t) = x0 + vx0 t
(14)
la cui velocit`
a vx(t) `
e data da
dx(t)
vx(t) =
= vx0
dt
= costante .
(15)
Si tratta di un moto che si svolge lungo una retta (asse
x) a velocit`
a costante vx0 e che viene quindi denominato
moto rettilineo uniforme. La sua accelerazione `
e nulla poich´
e
dvx(t)
dvx0
ax(t) =
=
= 0.
dt
dt
(16)
16
Il grafico di sinistra riporta l’andamento lineare di x(t) assegnato dalla (14) quando vx0 > 0. La pendenza del grafico `
e
costante e questo implica una derivata costante, quindi una
velocit`
a costante. Questo `
e evidente dal grafico di destra
che riporta l’andamento (costante) della velocit`
a vx con t.
L’area A = vx0 t sottesa tra il grafico della velocit`
a vx e
l’asse t tra t = 0 e t = t d`
a lo spazio ∆x = x(t) − x(0)
percorso durante lo stesso intervallo di tempo [vedere (14)].
17
MOTO RETTILINEO UNIFORMEMENTE
ACCELERATO
Si consideri il moto 1D dato da
1
x(t) = x0 + vx0 t + ax0 t2
2
(17)
la cui velocit`
a vx(t) `
e data da
dx(t)
vx(t) =
= vx0 + ax0 t
dt
(18)
e la cui accelerazione ax(t) `
e data da
dvx(t)
ax(t) =
= ax0
dt
= costante .
(19)
Si tratta di un moto che si svolge lungo una retta (asse x)
con accelerazione costante ax0 e che viene quindi denominato moto rettilineo uniformemente accelerato.
18
Le quantit`
a x0 e vx0 sono i valori assunti all’istante t = 0
rispettivamente dall’ascissa x e dalla velocit`
a vx. Nel linguaggio matematico in cui le leggi orarie sono le soluzioni
di equazioni differenziali le quantit`
a x0 e vx0 sono dette
condizioni iniziali. Nel caso della legge (14) basta solo x0
perch´
e la velocit`
a`
e costante.
A sinistra `
e riportato il grafico
(t, vx(t)) per vx0 > 0 e ax0 > 0.
L’area A, calcolabile come area di
un trapezio di altezza t e basi vx0 e
2.
vx0 + ax0 t, vale vx0 t + 1
a
t
2 x0
Questa espressione coincide con ∆x = x(t) − x(0) che `
e la
variazione di ascissa nell’intervallo (0, t) secondo la (17).
19
Viene trattata la situazione cinematica del moto verticale di
un corpo lanciato verso l’alto (vz0 > 0 con l’asse z orientato
verso l’alto; az0 = −g e z0 = 0). Le (17) e (18) diventano
1
z(t) = vz0 t − g t2 ;
2
dz(t)
vz (t) =
= vz0 − g t .
dt
(20)
A sinistra `
e riportato il grafico
(t, vz (t)) corrispondente alle (20). Il
tempo t∗ d`
a l’istante in cui la velocit`
a vz si annulla.
La soluzione
dell’equazione vz (t) = 0 d`
a
t∗
vz0
.
=
g
L’area A d`
a la massima altezza raggiunta zmax =
(21)
2
vz0
2 g.
20
Il grafico della legge oraria z = z(t)
`
e riportato qui accanto. Il tempo
totale di “volo” di P (tempo di
salita + tempo di ricaduta) vale
2 t∗ = 2 gvz0 .
I risultati ottenuti valgono anche per la caduta (con velocit`
a
iniziale nulla) di un corpo da un’altezza h (→ zmax). Dalla
2
vz0
relazione zmax = 2 g , ponendo zmax = h, si ottiene
vz∗
=
q
2 g h
velocita0 di impatto al suolo (22)
e, usando la (21), il tempo di caduta (= tempo di salita)
t∗
=
v
u
u2
t
h
.
g
(23)
In tutti i moti rettilinei si ha an = 0 poich´
e R = ∞.
21

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