Esercizi sulle reti elettriche in corrente continua (parte 2) Esercizio 12: Determinare gli equivalenti di Thevenin e di Norton del bipolo complementare al resistore R5 nel circuito in figura e calcolare la corrente che circola attraverso il resistore R5 Soluzioni: B 50 V B 6Ω R5 E1 2A I2 I1 3A 2Ω R3 6Ω R5 72V C A 6Ω Req 4Ω R6 I5 Eeq C B 12 A Ieq D 6A 6Ω Req 6Ω R5 I5 6A C Soluzione: B 50 V E1 C A 2A I2 I1 3A 2Ω R3 4Ω R6 D B i C A 2Ω R3 4Ω R6 D Il bipolo lineare di cui trovare l’equivalente di Thevenin è illustrato in figura. I terminali del bipolo sono B e C. Per definizione, Eeq = VBC a vuoto, cioè supponendo che il bipolo sia collegato ad un circuito aperto. In tali condizioni le correnti sui rami ABD ad ACD sono definite dai generatori di corrente indipendenti. La corrente sul ramo AD si deduce applicando la LKC al nodo A (oppure D): I3 = I1 + I2 = 5A. Applicando la LKT alla maglia BADCB si ha quindi: 0 = -VBC + 50 +2 I3 +4 I1 da cui VBC = 72 V, e dunque Eeq = 72 V. Per definizione, Req = VBC /i con i generatori indipendenti azzerati (dove i è la corrente circolante nel bipolo con il verso di riferimento associato alla tensione VBC, e dunque entrante in B ed uscente da C). Nel circuito a sinistra si sono quindi spenti i generatori indipendenti (E1 = 0, equivalente ad un cortocircuito, I2 = I3 = 0, equivalenti a circuiti aperti) e si sono collegati i terminali B e C ad un generatore di corrente esterno a corrente impressa i. Il circuito contiene la sola maglia BADCB. Applicando la LKT alla maglia si ha quindi: 0 = -VBC + 2 i +4 i da cui VBC = 6i , e dunque Req = 6 Ω. 1 Per quanto riguarda la determinazione del bipolo di Norton, il calcolo della resistenza equivalente è essenzialmente lo stesso (anche se, per rispettare le ipotesi del Teorema di Norton si dovrebbero collegare i terminali B e C ad un generatore di tensione esterno a tensione impressa v, determinare la corrente che circola attraverso il bipolo e infine determinare la resistenza equivalente come rapporto tensione/corrente) Infine, per definizione, Ieq è uguale alla correnB te di cortocircuito, cioè supponendo che il bi2 − Is 50 V polo sia collegato ad un cortocircuito (il verso I s con cui calcolare tale corrente è definito dal E1 verso della corrente impressa nel bipolo di Norton). In tale condizione (vedi circuito a siC 2A A nistra), detta Is la corrente di cortocircuito, le correnti su tutti i rami sono definite applicando 3A le LKC ai nodi. La corrente Is si deduce appli3 − Is cando la LKT alla maglia definita da Is 2Ω 4Ω (BCDAB). Si ha quindi: R3 R6 0 = -4(3- Is) -2(5- Is) -50 = -72 + 6Is. 5 − Is Quindi Is = 12A = Ieq D Esercizio 13: Determinare gli equivalenti di Norton e di Thevenin del bipolo complementare al resistore R9 nel circuito in figura e calcolare la corrente che circola attraverso il resistore R9 Soluzioni: R2=10 Ω A E R5=2 Ω E R6=4 Ω 8Ω Req B I9 −20 V R9 I1 4Ω 6A E R8=10 Ω I9 Eeq F E −2.5 A R7=5 Ω C Ieq I2=7 A -1.67 A 30 V + F D 4Ω R9 8Ω Req 4Ω R9 I9 -1.67 A F 2 Esercizio 14: Determinare tensione e corrente alla porta AB del circuito in figura. Suggerimento: utilizzare il circuito equivalente di Thevenin (o di Norton) del circuito a sinistra della porta AB. A 3 I1 10 A I1 i + 3Ω 10 Ω v D Soluzione: v= 0 V i=6A 2Ω B Soluzione: Il bipolo lineare di cui trovare l’equivalente di Thevenin è illustrato in figura (unità SI). I terminali del bipolo sono A e B. Per definizione, Eeq = VAB a vuoto. A vuoto la corrente sul ramo contenente il generatore pilotato si deduce applicando la LKC al nodo C e, col verso scelto, è pari a 10 + I1. La tensione VAB è la tensione ai terminali del resistore da 10 Ω e dunque VAB = - 10 I1. La corrente I1 si deduce applicando la LKT alla maglia definita da I1: 0 = -3 I1 +3 (10 + I1) + 2 I1 +10 I1 da cui I1 = -2.5 A, e dunque Eeq = 25 V. A 10 + I1 3 I1 10 I1 + 3 C 10 2 B A I1 3 I1 + i + I1 10 i 2 3 B Per definizione, Req = VAB /i con i generatori indipendenti azzerati (dove i è la corrente circolante nel bipolo con il verso di riferimento associato alla tensione VAB, e dunque entrante in A ed uscente da B). Nel circuito a sinistra si è quindi spento il generatore indipendente e si sono collegati i terminali A e B ad un generatore di corrente esterno a corrente impressa i. La corrente sul ramo contenente il generatore pilotato si deduce applicando la LKC al nodo A. Applicando la LKT alle due maglie del circuito si ha quindi: 0 = -VAB -3 I1 +5 (i + I1) 0 = 10 I1 -3 I1 +5 (i + I1) da cui, supponendo nota la corrente i, si deduce I1 = -(5/12) i VAB = (25/6) i, e dunque Req = VAB /i = 25/6 Ω 3 Req 25/6 Ω + A i v D Sostituendo il bipolo equivalente di Thevenin nel circuito iniziale si ottiene il circuito a sinistra, la cui soluzione è immediata se si considera che il diodo ideale D, con i versi di riferimento scelti, è equivalente a: un circuito aperto se v < 0. In tal caso i = 0 A ma v = 25 V che è positiva e quindi inaccettabile. un cortocircuito se i >0. In tal caso v = 0 V e la LKT sulla maglia fornisce 0 = -25 +(25/6)i, da cui i = 6 A, che quindi è la soluzione cercata. Eeq 25 V B Esercizio 15: Determinare tensione e corrente alla porta AB del circuito in figura. Suggerimento: utilizzare il circuito equivalente di Thevenin (o di Norton) del circuito a sinistra della porta AB. 3 v1 + A i 4Ω v1 v 10 A D Soluzione: i= 0 A v = 16 V 2Ω 8Ω B Esercizio 16: Determinare l’equivalente di Thevenin del bipolo in figura tra i terminali A (+) e B (− −). 2S 1Ω 10 V A 2Ω Soluzione: Req = 0.5 Ω Eeq = 36 V 6 i2 [V] i2 [A] 3Ω B Soluzione: 4 A Per definizione, Eeq = VAB a vuoto (i terminali A e B sono collegati da un circuito aperto). Si può quindi risolvere il circuito a sinistra. Applicando il teorema di Millman si ha: 10 0 6i 2 + + 1 2 3 = 12 (5 + i ) VAC = 2 1 1 1 11 + + 1 2 3 Inoltre la caratteristica del resistore sul ramo centrale fornisce: VAC = 2i2 6 i2 [V] 1Ω 2Ω B 10 V i2 [A] 3Ω C Sostituendo e risolvendo si ha: i2 = 6 A. Quindi, la tensione VAB = 6 i2 = 36 V = Eeq. 0.5 Ω 2Ω A Vp 1Ω i 6 i2 [V] i2 [A] 3Ω B Per definizione, Req = VAB /i con i generatori indipendenti azzerati (dove i è la corrente circolante nel bipolo con il verso di riferimento associato alla tensione VAB, e dunque entrante in A ed uscente da B). Nel circuito a sinistra si è quindi spento il generatore indipendente e si sono collegati i terminali A e B ad un generatore di corrente esterno a corrente impressa i. I resistori da 1 e 2 Ω sono in parallelo (stessi terminali). Prima di sostituirli con un resistore equivalente (resistenza 2/3 Ω) si noti che è necessario esprimere la variabile pilota i2 in termini di una variabile circuitale che sia presente nel circuito dopo la sostituzione (altrimenti la tensione impressa dal generatore pilotato non sarebbe calcolabile). In questo caso i2 = Vp/2, quindi la tensione impressa dal generatore pilotato è 6 i2 = 3Vp. Nel circuito semplificato i due resistori a 0.5 Ω sinistra sono in serie (sono percorsi dalla stessa corrente is). Prima di sostituirli con A i s un resistore equivalente (resistenza 11/3 Vp Ω) si noti che è necessario esprimere la 2/3 Ω variabile pilota Vp in termini di una variabile circuitale che sia presente nel ciri 3 Vp [V] cuito dopo la sostituzione (altrimenti la tensione impressa dal generatore pilotato non sarebbe calcolabile). In questo caso 3Ω B Vp = (2/3) is, quindi la tensione impressa dal generatore pilotato è 3Vp = 2is . 5 is 0.5 Ω 11/3 Ω Applicando la LKC al nodo B si ottiene quindi la corrente sul ramo centrale. Applicando la LKT alla maglia a sinistra si ottiene: (11/3)is− 2is = 0 Quindi is = 0 2 is [V] i − is A i B Infine Req = VAB/i = (0.5i+2is)/i = 0.5 Ω 6
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